精品解析：山东省菏泽市曹县2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

2025年11月素质教育质量检测 九年级数学 本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴. 故选：B． 2. 在中，，，，则BC的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键． 利用锐角三角函数求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 故选：A． 3. 如图，点在上，点在上，，增加下列一个条件：①；②；③．其中能判定的条件是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据等边对等角以及邻补角相等得出，进而根据相似三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ①增加条件，根据两角对应相等能判定； ②增加条件，不能判定； ③增加条件，根据两边对应成比例及其夹角相等，能判定． 故选：B． 4. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ 故选：B． 5. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据平行线的性质可得，结合已知证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴， 故选：D． 6. 如图，是的直径，是弦，于点，，的半径为，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，连接，证明是等边三角形，根据题意得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据垂径定理可得． 【详解】解： 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工速度，在直线上湖的另一边的点D处同时施工，取，，，则C，D两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，含角直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形． 过点C作于点E，根据，得出，求出，得出，根据三角函数求出． 【详解】解：过点C作于点E，如图所示： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的性质求出，利用余弦求出BE，利用阴影部分的面积，求出各部分面积作差即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， ， ， ，， ， 阴影部分的面积 ． 故选：． 【点睛】本题考查矩形性质，余弦，扇形面积，解题的关键是熟练掌握矩形性质和利用余弦解三角形，理解阴影部分的面积． 9. 如图，在中，，，则（ ） A. 6 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，得到，进而得到，根据面积比等于相似比，求出，再根据同高三角形的面积比等于底边比求出即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 故选D． 10. 如图，中，，点在上，与相切于点，交于点，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角；连接，根据切线的性质结合已知证明得出，得出，根据得出即可得出，从而判断①；根据是直径，得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可判定③，假设成立，得出，即可判断②，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； ∵是直径， ∴ ∴ ∴，即，故③正确， ∵， ∴， ∴， 若 ∴ ∴ ∴ ∴，而题干无此条件， ∴不一定成立，故②错误， 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 11. 在中，，，，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的余弦函数的定义，解题的关键是掌握直角三角形中余弦值为邻边与斜边的比值．在中，由余弦函数的定义得，代入已知的和的数值，求解斜边． 【详解】解：在中，，根据余弦的定义：， 已知，，代入得：， 解得， 故答案为：． 12. 已知圆的内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆. 根据圆的内接正六边形的边长得出圆的半径，再作圆的内接正方形，由圆的半径和正方形的边构成等腰直角三角形，利用勾股定理进行求解，根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，六边形是的内接正六边形，连接，， 则， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，即圆的半径为4． 如图，四边形是的内接正方形，连接，， 则， 又， ∴， 即该圆的内接正方形的面积为， 故答案为：． 13. 已知的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式． 根据弧长公式 代入已知数值求解． 【详解】由题意，圆心角 ，弧长 ，代入弧长公式： ， ， ， 解得：． 故答案为：6． 14. 如图，中，点在边上，连接，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定；根据已知证明，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 解得： 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，已知矩形与矩形位似，位似中心为，矩形的面积等于，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案． 【详解】解：如图 矩形与矩形关于点位似， 矩形矩形， 矩形的面积等于矩形面积的， 矩形与矩形的相似比为， 矩形中，，，则点的坐标为， ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 16. 如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，，，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理． 连接，根据垂径定理可知，根据圆周角定理得到，即，可知，根据勾股定理得到，即可求出的半径． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，垂足为点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，是对角线，点在边上，连接交于点，，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质；根据勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，，，则 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 18. 如图，中，，，，点D在边上，，点P是线段上一动点，当半径为3的与边相切时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质及三角函数，熟练掌握切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质及三角函数是解题的关键；过点P作于点H，由题意易得，则有，然后可知，，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点P作于点H，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵半径为3的与边相切，且， ∴， ∴； 故答案为． 三、解答题：本题共9个题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）如图，在中，，于点，，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值、解直角三角形； （1）首先由特殊角的函数值，再利用二次根式的混合运算求解即可求得答案； （2）根据题意得出，根据得出，解，即可求解． 【详解】解：（1）原式． （2）∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 20. 如图，与是位似图形，位似中心为M． （1）画出点M的位置； （2）与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查利用位似作图，可以根据位似图形的定义，结合位似图形的作法进行解答． （1）连接交于点； （2）根据位似比为1∶2，分两种情况画出； 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求 21. 如图，四边形中，，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据已知可得，，即可证明，根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，是的直径，，是上的点，，交于点，，，求的半径． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设的半径为， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为． 23. 如图，四边形中，点P在边上，连接，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据三角形外角的性质并结合已知可得出，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，某数学小组在点处测得大树顶点的仰角为，测得斜坡的长为，求大树的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，则，设，则，根据勾股定理求得，在中求得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，则， ∵斜坡的坡度 ∴， 设，则， ， 或（不合题意，舍去） ，． 在中，， ， 大树的高度为． 25. 如图，在中，点在上，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）若为的中点，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定； （1）根据平行四边形的性质可得，根据得出，即可证明； （2）根据，列出比例式，求得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是圆的内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，再由，即可得出．根据圆周角定理结合题意可知，即得出．由此易证，即得出． （2）过点作，垂足为．根据题意可求出，结合（1）可知，即可求出．根据题意又可求出，利用三角函数即可求出，最后再利用三角函数即可求出最后结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作，垂足为． ∵，， ∴． 由（1）知． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题为圆的综合题．考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形．利用数形结合的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键． 27. 如图，是的直径，是的中点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定；相似三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理； （1）连接，根据是的中点，得出，进而根据半径相等得出，则，得出即可证明，从而证明是的切线； （2）证明，根据相似三角形的性质得出，根据得出，再根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 连接， ∵是的中点，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵AB是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年11月素质教育质量检测 九年级数学 本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则BC的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 3. 如图，点在上，点在上，，增加下列一个条件：①；②；③．其中能判定的条件是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 4. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6. 如图，是的直径，是弦，于点，，的半径为，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 7. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工速度，在直线上湖的另一边的点D处同时施工，取，，，则C，D两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，则（ ） A. 6 B. 18 C. 20 D. 24 10. 如图，中，，点在上，与相切于点，交于点，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 11. 在中，，，，则的长为______． 12. 已知圆的内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正方形的面积为______． 13. 已知的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为______． 14. 如图，中，点在边上，连接，，，，则的长为______． 15. 如图，矩形中，，，已知矩形与矩形位似，位似中心为，矩形的面积等于，则点的坐标为______． 16. 如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，，，则的半径为______． 17. 如图，在矩形中，是对角线，点在边上，连接交于点，，，，则的长为______． 18. 如图，中，，，，点D在边上，，点P是线段上一动点，当半径为3的与边相切时，的长为______． 三、解答题：本题共9个题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）如图，在中，，于点，，，求的长． 20. 如图，与是位似图形，位似中心为M． （1）画出点M的位置； （2）与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，画出． 21. 如图，四边形中，，，平分，，求证：． 22. 如图，是的直径，，是上的点，，交于点，，，求的半径． 23. 如图，四边形中，点P在边上，连接，，，求证：． 24. 如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，某数学小组在点处测得大树顶点的仰角为，测得斜坡的长为，求大树的高度． 25. 如图，在中，点在上，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）若为的中点，，，求的长． 26. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 27. 如图，是的直径，是的中点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $