精品解析：甘肃省武威市凉州区武威十二中、十六中2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期九年级数学第三次月考试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 已知是关于的一元二次方程，则满足（　　） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3. 已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 由，知二次函数开口向下，对称轴为，比较各点与对称轴的距离，距离越大值越小，比较所得距离大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数中，， 抛物线开口向下，对称轴为， 点，，到对称轴的距离分别为， ∵ 二次函数图象开口向下，图象上的点到对称轴的距离越大，值越小， ， ∴， 故选：C． 4. 如图在中,，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对称点恰好落在变上，连接，则度数是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据旋转的性质得出，得出的度数即可求解． 【详解】解：在中，， ∴=， ∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵是上的一动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为， 故选：A 6. 如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和平行线的性质． 连接，如图，先根据切线的性质得，则利用互余可计算出，再根据圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数． 【详解】解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 7. 如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的性质求和的度数，再根据是的中点求，进而求的度数，最后根据圆周角定理可得． 【详解】解：连接． ∵六边形是正六边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正多边形的相关计算是解题关键． 8. 如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．先根据旋转的性质得，，再利用面积的和差得到，即有，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵半圆AB绕点A顺时针旋转，点B旋转到C的位置， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 9. 从，，，四个数中随机抽取一个数，这个数是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数，简单概率的计算，理解概率公式是解题的关键．从所给实数中找出无理数，利用无理数的个数与总个数的比值计算即可． 【详解】解：∵ 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是开方不尽的数，属于无理数； 0是整数，属于有理数． ∴ 四个数中无理数只有1个． ∴无理数的概率为． 故选：C． 10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分函数图象如图所示，下列结论正确有（ ）个． ①； ②； ③方程的两个根是，； ④当时，随增大而减小． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，通过图象获取参数符号和判定式子的符号是解题的关键． 根据抛物线开口方向可知，根据对称轴可得可知b的正负、函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，进而判定①是否正确；根据抛物线与x轴的交点个数可以判定②是否正确；根据抛物线的对称性可以得到与x轴的另一个交点，从而判定③是否正确；根据图象可以判定④是否正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为，与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴，，即，， ∴，即①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，，故③正确； ④根据抛物线图象可得，当时，随增大而减小，故④正确； 故正确有①②③④，共4个． 故选：D． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，直接利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴由根与系数关系，得，， ∴， 故答案为：． 12. 二次函数图象的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，熟记顶点式与图象顶点坐标的关系是解决问题的关键． 根据二次函数的顶点式，直接写出顶点坐标即可得到答案． 【详解】解：二次函数是顶点形式，则其图象的顶点坐标为， 故答案为：． 13. 如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集． 【详解】解：∵直线与抛物线交于，两点， ∴关于x的不等式解集是． 故答案为：． 14. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转得到，若四边形的面积为，，则的长度为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．利用旋转的性质得出四边形的面积等于正方形的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：把顺时针旋转的位置， ， ， ， ， ， ， 中，， 故答案为：． 15. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，关键是熟练应用规律解决问题； 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均互为相反数即可得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点F，由垂径定理得，，由是的中位线，可得，由圆周角定理得，证明，推出，进而可得，最后由勾股定理解即可． 【详解】解：如图，连接交于点F， 是的中点， ，， 又， 是的中位线， ， 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 的直径， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 17. 如图，正方形和正三角形内接于，和相交于点，则的度数为________°． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、三角形外角性质，解题思路是利用圆周角定理求出相关角的度数，再结合三角形外角性质计算；考查的知识点是圆周角定理、三角形外角性质，用到的思想是转化思想，方法是角度转化法，技巧是将所求角转化为已知图形的角的和，解题关键是利用圆周角定理求出相关角的度数，易错点是对圆周角与圆心角的关系理解不清导致角度计算错误． 【详解】解：∵正方形内接于， ∴正方形的每条边对应的圆心角为，对应的圆周角为， ∵正三角形内接于， ∴正三角形的每条边对应的圆心角为，对应的圆周角为 连接， ∵是的外角， ∴， ∵是边对的圆周角， ∴, ∵是边对的圆周角， ∴ ∴ 故答案为． 18. 如图，对折边长为4的正方形纸片，为折痕，以点O为圆心，为半径作弧，分别交于E、F两点，则扇形的面积为__． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的扇形面积公式，直角三角形中角所对的边是斜边的一半；解题的关键在于看到直角三角形，并找到一个直角边和斜边的关系从而找到角；本题的易错点在于找错对应的角； 分析正方形与对折性质，求扇形半径，再根据边的关系找到特殊角度，从而找到圆心角，再用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，利用因式分解—平方差公式进行解答，即可求解； （2）利用配方法解答，即可求解． 小问1详解】 解： 或， 解得； 【小问2详解】 解： 或， 解得． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，， （1）求的面积； （2）请画出关于原点O对称的，并写出各点的坐标． 【答案】（1）； （2）作图见解析；，，． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中三角形面积的计算（割补法）和关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握割补法求面积的技巧以及关于原点对称的点的坐标变化规律是解题的关键． （1）采用割补法，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算的面积． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，求出、、关于原点对称的点的坐标，再画出图形． 【小问1详解】 解：的面积为：； 【小问2详解】 解：关于原点对称的点； 关于原点对称的点； 关于原点对称的点． 画出如图所示， 21. 某公司今年7月份的生产成本是500万元，由于改进生产技术，生产成本逐步下降，9月份的生产成本是405 万元，假设该公司7，8，9月份每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测今年10月份该公司的生产成本． 【答案】（1） （2）364.5万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的运算，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设每个月生产成本的下降率为x，根据7月到9月的成本变化，列出一元二次方程求解即可； （2）利用9月份的成本和下降率，即可计算10月份的成本． 【小问1详解】 解：设每个月生产成本的下降率为， 由题意得 解得，（舍） 答：每个月生产成本的下降率为； 【小问2详解】 解：预测10月份生产成本：（万元） 答：预测10月份该公司的生产成本为364.5万元． 22. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到 （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）和性质是解题的关键． （1）利用旋转的性质得到对应角和对应边相等，再结合已知角的关系，通过判定定理证明三角形全等． （2）根据（1）中全等关系，将线段进行转化，进而求出的长度． 【小问1详解】 证明∶由旋转的性质得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（）； 【小问2详解】 解：∵，， 由（）知：， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由中心对称的性质证明，即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求即可． 【小问1详解】 证明：∵和关于点对称， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接， ∵和关于点对称，四边形是平行四边形； ∴三点共线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，为四边形的外接圆，延长相交于点，直径弦于点，连接． （1）若，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得出，垂直平分，则，根据圆周角定理得出，得出为等边三角形，即可证明． （2）由（1）得，则，根据圆内接四边形的性质得出，结合平角得出，根据圆周角定理得出，等量代换即可证明． 【小问1详解】 解：连接， 直径弦于点， ， 垂直平分， ， ， ， 为等边三角形， ． 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 为四边形的外接圆， ， ， ， ， ． 【点睛】该题考查了垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 如图，是的直径，点C，D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点F． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定、角平分线性质、勾股定理及三角形面积法的应用，解题的关键是连接利用平行关系证切线，通过构造直角三角形、结合面积法与勾股定理计算的长． （1）连接，利用角平分线与等腰三角形的性质证，结合得，从而证切线； （2）由直径得，用勾股定理求，通过角平分线性质与面积法得，再用勾股定理求． 【小问1详解】 证明：连接， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ 是的半径， ∴ 与相切． 【小问2详解】 解：连接，过作于， ∵ 是的直径， ∴ ， 在中，， ∵ 平分，， ∴ ， 由， 得，即， 在中， 故答案为：． 26. 如图，是的直径，且，D为上一动点（不与点B、C重合）过点C作的切线交延长线于点A，E为中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得到，由直径所对的圆周角是直角推出，则由直角三角形的性质和等边对等角推出，根据切线的性质得到，则，据此可证明结论； （2）可证明是的中位线，推出，则，进而求出，可证明根据求解即可． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵点O和点E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求不规则图形的面积，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 如图1，抛物线与轴交于A，B（点A在点B左侧），与轴相交于C．且，抛物线的顶点为M． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为直线下方抛物线上一动点，连接交于E，求的最大值． （3）如图2，直线与抛物线交于P，Q两点，点P关于直线的对称点为，直线与直线交点于点R，求证：的长为定值． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）令，求出，，根据，求出，即可得出答案； （2）先求出直线解析式为，分别过A，D作轴的垂线分别交于F，G点，设，则，求出，根据平行线分线段成比例定理得出：，根据，得出当时，有最大值为4，即可得出答案； （3）先求出顶点，对称轴为直线，设，，求出直线的解析式为：，求出当时，，根据根与系数的关系得出，，求出，根据，求出，为定值． 【小问1详解】 解：令，则， ， 解得：，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：由得： ，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， 分别过A，D作轴的垂线分别交于F，G点， 则，， 设，则， ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为4． ∴的最大值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴顶点，对称轴为直线， 设，， 点P关于直线的对称点， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为： ， 当时，， 由得： ， ∴，， ∴， ∵， ∴，为定值． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，平行线分线段成比例定理，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学第三次月考试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知是关于的一元二次方程，则满足（　　） A. B. C. D. 或 3. 已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 如图在中,，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对称点恰好落在变上，连接，则度数是(　　) A. B. C. D. 5. 如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 6. 如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若，则度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A B. C. D. 9. 从，，，四个数中随机抽取一个数，这个数是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，已知抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分函数图象如图所示，下列结论正确有（ ）个． ①； ②； ③方程的两个根是，； ④当时，随增大而减小． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若是方程两个实数根，则的值为______． 12. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 13. 如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是_______． 14. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转得到，若四边形的面积为，，则的长度为 __． 15. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是___________． 16. 如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是________． 17. 如图，正方形和正三角形内接于，和相交于点，则的度数为________°． 18. 如图，对折边长为4的正方形纸片，为折痕，以点O为圆心，为半径作弧，分别交于E、F两点，则扇形的面积为__． 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1）． （2）． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，， （1）求的面积； （2）请画出关于原点O对称的，并写出各点的坐标． 21. 某公司今年7月份的生产成本是500万元，由于改进生产技术，生产成本逐步下降，9月份的生产成本是405 万元，假设该公司7，8，9月份每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测今年10月份该公司的生产成本． 22. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到 （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 24. 如图，为四边形的外接圆，延长相交于点，直径弦于点，连接． （1）若，求证：； （2）求证：． 25. 如图，是的直径，点C，D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点F． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 26. 如图，是的直径，且，D为上一动点（不与点B、C重合）过点C作的切线交延长线于点A，E为中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 27. 如图1，抛物线与轴交于A，B（点A在点B左侧），与轴相交于C．且，抛物线的顶点为M． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为直线下方抛物线上一动点，连接交于E，求的最大值． （3）如图2，直线与抛物线交于P，Q两点，点P关于直线的对称点为，直线与直线交点于点R，求证：的长为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $