江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（7）

内容：必修二＋选择性必修一第1~3章 时间：2025.11.5 2024级高二第一学期数学周测（7） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1.若的方差为，则的方差为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：的方差为， 的方差为． 故选：． 2.在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件(    ) A. 是互斥事件，不是独立事件 B. 不是互斥事件，是独立事件 C. 既是互斥事件，也是独立事件 D. 既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B  【解析】由题意知，所以、不是互斥事件， ，所以与独立，所以与独立． 故选：． 3.如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：连接交于，连接，    因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 又，为的中点， 所以， 所以． 故选：． 4.已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题可得， 因为，即， 则，则， 故双曲线的渐近线方程为． 故选A． 5.已知，且，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为， 所以， 所以． 因为，所以，所以． 则． 6.曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：可化为， 所以曲线为以为圆心，为半径的圆的的部分． 直线过定点， 由图知，当直线经过点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个， ，由直线与圆相切得：，解得：， 则实数的取值范围为：． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7.年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的年名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则(    ) 价格千元      频数 A. 估计名用户购买手机价格的众数为 B. 估计名用户购买手机价格的平均数超过 C. 估计名用户购买手机价格的中位数不超过 D. 估计名用户购买手机价格的分位数不超过 【答案】AB  【解析】【详解】对于，估计名用户购买手机价格的众数为，故 A正确； 对于，平均数为，故 B正确； 对于，中位数为，故 C错误； 对于，名用户购买手机价格的分位数为，故 D错误． 故选：． 8.已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，点是椭圆上任意一点与不重合，，则下列命题中正确的命题是(    ) A. B. 的最大面积为 C. 存在点，使得 D. 的周长最大值是 【答案】ABD  【解析】解：对，由题知，，则， 设，， 则， A正确； 对，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为， B正确； 对，， 则， C错误； 对，由椭圆定义可知，，所以， 又， ， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立， D正确． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9.点到直线：为任意实数的距离的最大值为______． 【答案】  【解析】解：直线：， 可将直线方程变形为， ， 解得，， 由此可得直线系横过点 则到直线的最近距离为，此时直线过． 到直线的最远距离为，． 故答案为：． 10.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】解：连接，如图所示，   ， 根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时，有最小值为，此时， 当点位于正六边形的顶点时，有最大值为，此时， 故，即的取值范围是， 故答案为：． 11.将半径为的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为          ． 【答案】  【解析】解：四个球的球心间的线段长度都是，所以球心构成正四面体，如图， 点在平面的射影为底面三角形的中心，，， 所以上面一个球的球心到桌面的距离为． 故答案为： 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12.已知圆的圆心在直线上，且截轴的弦长为，截轴的弦长为． 求圆的方程； 若一光线从点出发，经直线反射后恰好与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 【答案】解：依题意得： 由，解得 圆的方程为； 设关于直线的对称点为， 由 ， 设过与圆相切的直线为， 当斜率不存在时，：，圆心到直线距离符合条件； 当斜率存在时，设： ，即， 圆心到直线的距离，解得， 则直线的方程为：，即， 所以反射光线所在直线为：或．   13.如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．   求证：平面； 求二面角的平面角的余弦值； 若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】解：证明：在梯形  中，   ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，   平面  平面  ，平面  平面  ，   平面  ，  平面  ． 取  中点  ，连接  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  为二面角的平面角．  ，  ，  ，  ，  ． 当  与  ，  都不重合时，令  ，  ， 延长  交  的延长线于  ，连接  ，   在平面  与平面  的交线上，   在平面  与平面  的交线上，   平面  平面  ， 过  作  交  于  ，连接  ， 由知，  ， 又  ，  平面  ，  ，  平面  ，  平面  ，  ． 又  ，  平面，  ，   平面  ，  ，  ． 在  中，  ，从而在  中，  ，  ，  ，    ，   ．   【注】若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 如果去掉这一条件，答案为 ，    由知： 当  与  重合时，  ； 当  与  重合时，过  作  ，且使  ， 连接  ，  ，则平面  平面  ，   ，  ，  平面，  平面，  ，  平面  ，  平面  ，   ，  ，  ；   【解析】通过证明  结合平面  平面  可证明结论； 取  中点  ，连接  ，  ，通过说明  ，  可得  为二面角的平面角，后由题目条件结合余弦定理可得答案； 当点在点时，由可知答案；当在点时，过作  ，且使  ，连接  ，  ，则由题目条件可得  ；当  与  ，  都不重合时，令  ，延长  交  的延长线于  ，连接  ，过  作  交  于  ，连接  ，通过说明  ，  可得  后综合三种情况可得答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内容：必修二＋选择性必修一第1~3章 时间：2025.11.5 2024级高二第一学期数学周测（7） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1.若的方差为，则的方差为(     ) A. B. C. D. 2.在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件(     ) A. 是互斥事件，不是独立事件 B. 不是互斥事件，是独立事件 C. 既是互斥事件，也是独立事件 D. 既不是互斥事件，也不是独立事件 3.如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，(     ) A. B. C. D. 4.已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为(     ) A. B. C. D. 5.已知，且，则等于(     ) A. B. C. D. 6.曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7.年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的年名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则(     ) 价格千元      频数 A. 估计名用户购买手机价格的众数为 B. 估计名用户购买手机价格的平均数超过 C. 估计名用户购买手机价格的中位数不超过 D. 估计名用户购买手机价格的分位数不超过 8.已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，点是椭圆上任意一点与不重合，，则下列命题中正确的命题是(     ) A. B. 的最大面积为 C. 存在点，使得 D. 的周长最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9.点到直线：为任意实数的距离的最大值为______． 10.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是          ． 11.将半径为的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为______． 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12.已知圆的圆心在直线上，且截轴的弦长为，截轴的弦长为． 求圆的方程； 若一光线从点出发，经直线反射后恰好与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 13.如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．   求证：平面； 求二面角的平面角的余弦值； 若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $