江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（6 ）

内容：必修二＋选择性必修一第1~3章 时间：2025.10.29 2024级高二第一学期数学周测（6） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1．甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（    ）. A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2 【答案】C 【详解】由题意可知甲不能解决该难题的概率为1-0.4=0.6,乙不能解决出该难题的概率为1-0.5=0.5， 故该难题被解决出的概率为，故选：C 2.一圆锥侧面积是其底面积的倍，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角大小为(      ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设母线长为，底面半径为， 底面周长，底面面积，侧面面积， 侧面积是底面积的倍，，，．故选：． 3．若动点分别在直线和上移动，则中点到原点距离的最小值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点一定在直线，即，∴到原点的最小值为. 4．(2020全国1理 3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ) A． B． C． D． 答案：C 解析:如图，设PO⊥平面ABCD，CD的中点为E，连结OE，PE．设PE＝h1，CD＝a， 则ah1＝h－，所以4h－2ah1－a2＝0，即4()2－2－1＝0，由＞0，所以＝． 5．一束光线从点射出，经x轴反射后与圆相交于B、C两点，且，则反射光线所在直线的斜率为( ) A．或 B．或 C．或 D．或 答案：C 解析：圆的方程可化为．(x－3)2+(y－2)2=2 易知关于x轴对称的点为． 如图所示，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k， 其方程为，即， ∵|BC|=2， ∴圆心(3，2)到直线的距离为， 即，化简得，解得或．故选C． 6．在平面直角坐标系中，双曲线的左焦点为F，A，B分别为双曲线C左右支上一点，直线AF的斜率为，若四边形OFAB是平行四边形，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】四边形是平行四边形，不妨设，分别在第二象限、第一象限， 因为是平行四边形，所以，因此， 当时，， 因为的斜率为，所以， 而，所以（），所以有，故选：D． 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是( ) A．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝－15＋8i B．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上 C．复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z1·＝z2· D．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z＝z 【答案】AC 【解析】A．设z＝a＋bi，a，b∈R，则z＋|z|＝a＋＋bi＝2＋8i，所以a＋＝2，b＝8，解得a＝－15，所以选项A正确； B．|z－i|＝，则复数z对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，选项B错误； 对任意复数z，z·＝|z|2，故选项C正确； D．z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z＝1≠z＝－1，故选项D错误．故选AC． 8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M、N两点，设线段AB的中点为P，则下列说法中正确的是( ) A．若抛物线上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y2＝8x B．·＝－ C．若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN的最小值为 D．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线AB的斜率为± 【答案】BCD 【解析】抛物线的焦点为，，准线方程为， 对于A，若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3，由抛物线的定义可得，解得，则抛物线的方程为，故A错误； 对于B，可设，，，，直线的方程为，与抛物线联立，消去，可得，可得，则，故B正确； 对于C，抛物线的焦点到准线的距离为，则该抛物线的方程为， (法一)设直线的方程为，设，，，， 联立可得，△，， 所以，，到轴的距离为， 所以，当且仅当时，取得等号，故D正确； (法二)作PH⊥y轴，交y轴于H，交准线于Q，则Q为切点，所以PH＝xP，PM＝PQ＝xP＋1， 所以sin∠PMN＝＝＝1－，当AB⊥x轴时，xP取得最小值1，此时sin∠PMN取得最小值，故C正确； 对于D，(法一)由抛物线的定义可得 ，解得，则直线的斜率为，故D正确． (法二)设AB的倾斜角为α，则|AF|·|BF|＝·＝＝4p2，解得sinα＝±，则α＝或，所以直线AB的斜率为±，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．(2012全国理)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝ ． 答案：3 解析：因为|2a－b|＝，平方得4a2－4a·b＋b2＝10， 即|b|2－2|b|－6＝0，解得|b|＝3或－(舍)． 10．（24-25高一下·四川宜宾·期末）已知，，则 ． 【答案】 【详解】由可得， 由可得，即， 联立解得；所以． 11．(2008江苏卷) 满足条件AB＝2，AC＝BC的△ABC的面积的最大值是 ． 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12．已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)与双曲线－＝1的一条渐近线交于O，P两点，且点P的横坐标为3． (1)求抛物线E的标准方程； (2)设直线l过点Q(4，0)，且与抛物线E交于A，B两点(A在x轴上方，且|AQ|＞|BQ|)，若△AOB的面积为16，求的值． 解：(1)因为－＝1的渐近线方程为y＝±x， 又点P的横坐标为3，所以P(3，±2)， 代入y2＝2px，得p＝2， 所以抛物线E的标准方程为y2＝4x． (2)因为A在x轴上方，且|AQ|＞|BQ|，所以l的斜率存在且大于0， (法一)设l：x＝my＋4(m＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得y2－4my－16＝0(**)， 显然Δ＞0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16． 因为SΔAOB＝SΔAOQ＋SΔBOQ＝OQ·|y1－y2|＝2＝8＝16， 所以m2＝4，又m＞0，所以m＝2． 将m＝2代入(**)，得y2－8y－16＝0，解得y1＝4＋4，y2＝4－4， 所以＝＝＝3＋2． (法二)设l：y＝k(x－4)(k＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由，得k2x2－(8k2＋4)x＋16k2＝0(*)， 显然Δ＞0，则x1＋x2＝，x1x2＝16． 因为S△AOB＝AB·dO－AB＝·|x1－x2|·＝2|k|· ＝2|k|·＝8·＝8＝16， 所以k2＝，又k＞0，所以k＝． 将k＝代入(*)，得x2－24x＋16＝0，解得x1＝12＋8，x2＝12－8， 所以＝＝＝3＋2． 13．如图所示，已知点F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1的两个焦点，椭圆C2：＋y2＝λ经过点F1、F2，点P是椭圆C2上异于F1、F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A、B和C、D．设AB、CD的斜率分别为k1、k2． (1)求证：k1·k2为定值； (2)求|AB|·|CD|的最大值． 【解析】(1)∵F1(－1，0)、F2(1，0)，将F1、F2的坐标代入C2的方程，得λ＝， 设P(x0，y0)，则k1·k2＝·＝， 又点P是椭圆C2上的点，故＋y＝，则y＝， 所以k1·k2＝＝＝－(定值)； (2)直线PF1的方程为y＝k1(x＋1)( k1≠0)， 由，得(1＋2k12)x2＋4k12x＋2k12－2＝0， 显然Δ＞0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝． 由(1)知k1·k2＝－，即k2＝－，同理可得|CD|＝， ∴|AB|·|CD|＝＝＝4(1＋)＝4(1＋) ≤4(1＋)＝， 当且仅当k1＝±时等号成立，故|AB|·|CD|的最大值等于． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 内容：必修二＋选择性必修一第1~3章 时间：2025.10.29 2024级高二第一学期数学周测（6） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1．甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为(      ) A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2 2．一圆锥侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角大小为(      ) A． B． C． D． 3．若动点分别在直线和上移动，则中点到原点距离的最小值为(      ) A． B． C． D． 4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ) A． B． C． D． 5．一束光线从点射出，经x轴反射后与圆相交于B、C两点，且，则反射光线所在直线的斜率为( ) A．或 B．或 C．或 D．或 6．在平面直角坐标系中，双曲线的左焦点为F，A，B分别为双曲线C左右支上一点，直线AF的斜率为，若四边形OFAB是平行四边形，则双曲线C的离心率为(      ) A． B． C． D． 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是( ) A．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝－15＋8i B．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上 C．复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z1·＝z2· D．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z＝z 8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M、N两点，设线段AB的中点为P，则下列说法中正确的是( ) A．若抛物线上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y2＝8x B．·＝－ C．若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN的最小值为 D．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线AB的斜率为± 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝ ． 10．已知，，则 ． 11．满足条件AB＝2，AC＝BC的△ABC的面积的最大值是 ． 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12．已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)与双曲线－＝1的一条渐近线交于O，P两点，且点P的横坐标为3． (1)求抛物线E的标准方程； (2)设直线l过点Q(4，0)，且与抛物线E交于A，B两点(A在x轴上方，且|AQ|＞|BQ|)，若△AOB的面积为16，求的值． 13．如图所示，已知点F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1的两个焦点，椭圆C2：＋y2＝λ经过点F1、F2，点P是椭圆C2上异于F1、F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A、B和C、D．设AB、CD的斜率分别为k1、k2． (1)求证：k1·k2为定值； (2)求|AB|·|CD|的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $