精品解析：四川省南充市嘉陵第一中学2025-2026学年 八年级上期期中考试数学试卷

南充市嘉陵第一中学2025年秋八年级上期期中测试 数学试题（时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（每小题4分，共10题，共40分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（　　） A. B. C. D. 3 7. 已知a，b，c为三边，且满足，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 不能确定 8. 如果多项式是一个完全平方式，则的值是（    ） A. 5 B. 1 C. 1或 D. 1或9 9. 已知，，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 10. 如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 二、填空题（每小题4分，共6题，共24分） 11. 如图，为使人字梯更为巩固，在梯子中间安装一个横向“拉杆”，所根据的数学原理是________． 12. 分解因式：_____． 13. 若分式的值为零，则_______． 14. 如图，，，，求________． 15. 如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 16. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的是（　　） ①；②；③；④． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 分解因式： （1） （2） 19. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 20. 先化简，再求值：其中． 21. 小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． （1）你知道式子中，的值各是多少吗？ （2）请你计算出这道题的正确结果． 22. 将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值． 解：原式． ∵， ∴． ∴当时，的最小值是2 （1）在横线上添加一个常数项，使代数式成为完全平方式； （2）请仿照上面的方法求代数式的最小值； （3）已知的三边a，b，c满足，，．求的周长． 23. 如图，于于F，若， （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 24. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 25. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市嘉陵第一中学2025年秋八年级上期期中测试 数学试题（时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（每小题4分，共10题，共40分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x-1≠0，解得x的范围． 【详解】解：根据题意得：x-1≠0， 解得：x≠1， 故选A． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，平方差公式，积的乘方，分式的乘法，逐项计算即可得出答案． 【详解】解：A. ，计算错误，故选项不符合题意； B. ，计算正确，故选项符合题意； C. ，计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算错误，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此题的关键． 【详解】A、∵D是的中点，∴，但不一定等于，故本选项结论错误，不符合题意； B、∵是的角平分线，∴，本选项结论正确，符合题意； C、∵是的角平分线，不是高线，∴不等于，故本选项结论错误，不符合题意； D、与的关系不能确定，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的判定，根据分子、分母中不含有能约分的式子进行判定即可． 【详解】解：A、，分子、分母中不含有能约分的式子，是最简分式，符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选： A． 5. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 6. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力．运用多项式乘多项式的知识进行求解． 【详解】解： ， 由题意得，， 解得， 故选：A． 7. 已知a，b，c为三边，且满足，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】将已知式子因式分解为，则有或，即可判断三角形的形状． 本题主要考查等腰三角形的判定和因式分解 ，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】， ， ， ， 或， 或， ∴是等腰三角形， 故选：C． 8. 如果多项式是一个完全平方式，则的值是（    ） A. 5 B. 1 C. 1或 D. 1或9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握完全平方式的结构特征． 利用完全平方公式的结构特征，常数项为25，可确定平方根为，再根据一次项系数相等求解． 【详解】∵ = ， 又多项式 是完全平方式， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ． 故选：C． 9. 已知，，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查本题考查指数的运算性质，将原式进行正确地变形是解题的关键． 利用同底数幂除法法则可得，，设，， 则，从而求得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 设，， 则，． ∵， 又， ∴， ∴． ∴． 故选A. 10. 如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共6题，共24分） 11. 如图，为使人字梯更为巩固，在梯子中间安装一个横向“拉杆”，所根据的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性进行解答． 【详解】解：为使人字梯更为巩固，在梯子中间安装一个横向“拉杆”，这是因为三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 13. 若分式的值为零，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键． 直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：分式的值为零，则，解得， 故答案为：． 14. 如图，，，，求________． 【答案】##95度 【解析】 【分析】在中，利用三角形内角和定理求出，再在中，利用三角形内角和即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理，求出． 15. 如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3， ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 16. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的是（　　） ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理：正确掌握相关性质内容是解题的关键． ①根据三角形内角和定理可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断；②当是的中线时，，进而可以进行判断；③作的平分线交于点，可得，证明，，可得，，进而可以判断；④过作，于点，，由③知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，进而可以进行判断． 【详解】解：①在中，， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ②只有当是的中线时，，故②错误； ③如图，作的平分线交于点， 由①得， ， ， ， ，，，， ∴，， ，， ，故③正确； ④过作，于点，， 由③知，为的角平分线， ， ， ，， ，故④正确． 综上所述：正确的有①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是： （1）利用积的乘方法则、单项式的除法法则计算即可； （2）先利用完全平方公式、平方差公式计算，然后去括号合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，包括提取公因式法和公式法（完全平方公式和平方差公式），熟练掌握提取公因式的方法以及完全平方公式和平方差公式的形式是解题的关键． （1）先提取公因式，再看是否能运用完全平方公式继续分解． （2）先将式子变形，使两项有相同公因式，然后提取公因式，最后看是否能用平方差公式进一步分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【答案】 证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【解析】 【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 20. 先化简，再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可．熟练掌握分式的乘除法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 21. 小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． （1）你知道式子中，的值各是多少吗？ （2）请你计算出这道题的正确结果． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式运算，涉及解方程组等知识，将题中文字转化为代数式是解决问题的关键． （1）将题中文字描述转化为数学表达式，利用多项式定义得到求解即可得到答案； （2）将（1）中，代入，再由多项式乘以多项式展开即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意，得， ． ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ． 22. 将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值． 解：原式． ∵， ∴． ∴当时，的最小值是2 （1）在横线上添加一个常数项，使代数式成为完全平方式； （2）请仿照上面的方法求代数式的最小值； （3）已知的三边a，b，c满足，，．求的周长． 【答案】（1）25 （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）根据完全平方式的特点可知当二次项系数为1时，常数项是一次项系数一半的平方，由此即可得到答案； （2）根据题干解题过程进行求解即可； （3）由，，可得，，再化简即可得a，b，c，进而得周长； 【小问1详解】 解：由题意得，常数项为， 故答案为：25； 【小问2详解】 解：原式． ∵， ∴． ∴当时，的最小值是； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的周长为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 23. 如图，于于F，若， （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， 在△BAC和△DAE中， ∵ ， ∴； （2）； （3） 证明：延长BF到G，使得， ∵， ∴， 在△AFB和△AFG中， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在△CGA和△CDA中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解； （3）延长BF到G，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． 25. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】[模型呈现]； [模型应用]； [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于，   由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K字”模型全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】[模型呈现]解：， ． 故答案为：． [模型应用]解：如图2中，    由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：50． [深入探究]略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $