江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（4）

内容：必修二＋选择性必修一第1~3章 时间：2025.10.15 2024级高二第一学期数学周测（4） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1.直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（ ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 2.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|＝|OF2|＝2|OM|，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3.已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为(　　) A．8　　　　　　　 B．2 C．5 D． 4.在中，内角的对边分别为.若，，且则（    ） A． B． C． D． 5.如图，在棱长为2的正方体中，点在对角线上移动，则三棱锥的体积为（    ）    A． B．8 C． D．4 6.已知椭圆和点，过点且与椭圆相切的直线交轴的负半轴于点，为椭圆的右焦点，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7.高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（    ）    A．学生成绩众数估计为75分 B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13 8.已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的图形面积为 C．若点在曲线上，则 D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9.双曲线过点，，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为 . 10.若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 . 11.过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12.已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 13.已知椭圆C：的离心率为，点在C上. （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 时间：2025.10.15 2024级高二第一学期数学周测（4） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1．直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（    ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 【解析】直线过原点，斜率为，倾斜角为， 依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：， 而圆的圆心为，半径为，于是得圆心在直线l上， 所以直线l与圆相交，过圆心. 故选：A 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|＝|OF2|＝2|OM|，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【解析】　　∵|OA|＝|OF2|＝2|OM|，∴M在椭圆C的短轴上，设椭圆C的左焦点为F1，连接AF1，∵|OA|＝|OF2|，∴|OA|＝·|F1F2|， ∴AF1⊥AF2， 从而△AF1F2∽△OMF2，∴＝＝， 又|AF1|2＋|AF2|2＝(2c)2， ∴|AF1|＝c，|AF2|＝c， 又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴c＝2a，即＝. 故选D. 3．已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为(　　) A．8　　　　　　　B．2 C．5 D． 【解析】：法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．因为圆C经过点(－1，0)和(2，3)，所以所以a＋b－2＝0，① 又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以|a|＝|b|，② 由①②得a＝b＝1，所以圆C的半径为，故选D. 法二：因为圆C经过点M(－1，0)和N(2，3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线y＝－x＋2上，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心C在直线y＝±x上，因为直线y＝－x和直线y＝－x＋2平行，所以圆心C为直线y＝x和直线y＝－x＋2的交点(1，1)，所以圆C的半径为.故选D. 4．在中，内角的对边分别为.若，，且则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，，且 由余弦定理知， ，解得，故选： 5．如图，在棱长为2的正方体中，点在对角线上移动，则三棱锥的体积为（    ）    A． B．8 C． D．4 【解析】令到平面的距离为， ， 因为正方体中，,, 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， , 所以, 因为正方体中平面， 则为三棱锥的高， , 故选：C. 6．已知椭圆和点，过点且与椭圆相切的直线交轴的负半轴于点，为椭圆的右焦点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】    设直线与椭圆的切点为，则切线的方程为． 因为点在直线上，所以， 又因为，即，故，所以． 因为，所以， 所以，所以． 故选：B． 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（    ）    A．学生成绩众数估计为75分 B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13 【解析】由频率分布直方图得，成绩在的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确； 因为，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确； 因为成绩在内的人数为，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为，故C错误； 记从抽取的1名学生为a，从抽取的1名学生为b，从抽取的2名学生为c,d,则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为 ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种， 其中不同组的有ab，ac，ad，bc，bd，共5种， 所以这2人来自不同组的概率为，故D错误； 故选：AB. 8．已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的图形面积为 C．若点在曲线上，则 D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为 【解析】对于A，曲线上任意点有：，该点关于直线的对称点有， 即曲线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上，A正确； 对于B，因点在曲线上，点，也都在曲线上，则曲线关于x轴，y轴对称， 当时，曲线的方程为，表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆(含端点)， 因此，曲线是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图， 所以曲线围成的图形面积是，B正确； 对于C，点在曲线上，则， 则有，即，解得，而，C正确； 对于D，曲线上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线，则，D不正确. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．双曲线过点，，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为________． 【解析】由，得，，则双曲线的方程为， 将点，的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此双曲线的标准方程为. 10．若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【解析】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 故答案为：． 11．过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为 . 【解析】，，，易知、为椭圆的两个焦点， ，    根据椭圆定义， 设，则，即， 则， 当时，取到最小值． 当时，取到最大值． 故的取值范围为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12．已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 【解析】（1）根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得，将其代入， 得，故点的轨迹方程为； （2）设，则， 直线方程是，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值．    13. 已知椭圆C：的离心率为，点在C上. （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点. 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点. 学科网（北京）股份有限公司 $