江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（3）

内容：直线与圆、立体几何、概率与统计、复数 时间：2025.9.24 2024级高二第一学期数学周测（3） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1.已知复数z满足(2＋i)z＝3－4i，则|z|＝（ ） A．2 B． C．5 D．10 【答案】B 2.若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 3．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 4. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 5.“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出与直线平行且到直线的距离为1的直线方程，再求出圆心到这两条直线距离，进而利用直线与圆的位置关系确定范围，最后利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】如图所示： 设与直线平行且到直线的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离，则， 所以“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为”的必要不充分条件，B正确. 故选：B 6.在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离． 故选：A. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7.已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A． |OP|的最小值为 B．|OP|的最大值为 C．|MN|最小值为2 D．|MN|最大值为6 【答案】ABD 【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值. 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内，    所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则, 由于时,所以,故C不正确； 当为直径时，，所以,故D正确； 故选：ABD 8．如图，在正四棱柱中，底面正方形ABCD边长为1，，M为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（   ） A．已知直线l为平面和平面ABCD的交线，则平面内存在直线与l平行 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．直线与平面所成角最大时， 【答案】BCD 【详解】A选项，因为平面，且平面， 所以平面和平面的交线l与平行， 而与平面相交，则平面内不存在直线与平行， 即不存在直线与直线l平行，故A错误； B选项，正四棱柱中，，平面，平面， 则有平面，所以点M到平面的距离为定值， 而三角形的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 选项C，作平面与平面的展开图如图所示，    则的最小值即为展开图中线段的长， 中，，所以，从而， 中，由余弦定理可知，， 从而的最小值为，故C正确； D选项，记M到平面到距离为d，由选项B可知，d为定值， 记直线与平面所成角为， 则，又正弦函数在上单调递增， 则最大时，最大，从而即为最小时，此时， ，则，由，, 有，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9.若直线：与直线：互相垂直，则的值为           . 【答案】0或1 【详解】依题意，，解得或， 10.若样本数据的方差为1，则数据的方差为           . 【答案】9 11.过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为           . 【答案】 【详解】 易知圆C：的圆心为，半径， 又， 所以在圆内，因为，垂足为Q， 由垂径定理可知Q是AB的中点， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 易得此时圆心C与Q重合，不符合题意， 由可得， 设点，则，， 所以， 即， 故点Q的轨迹方程为（除点外）， 圆心到直线的距离为， 则点Q到直线的最大距离为． 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12.如图，在三棱锥中，平面，底面是直角三角形，，是棱的中点，是的重心，是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合直角三角形的性质可得，，再根据线面垂直的判定定理可证得平面； （2）如图作辅助线，利用中位线的性质证得，根据线面平行的判定定理可得平面，同理可证得平面，再根据面面平行的判定定理证得平面平面，最后根据面面平行的性质定理证得平面. 【详解】（1）平面，且平面，， 底面是直角三角形且，， 又平面，平面，， 平面. （2）如图，连结并延长交于点，连结，， 是的重心，为边上的中线，即为的中点， 又有为的中点，， 平面，平面，平面， 同理，是的中点，可得， 平面，平面，平面， 又平面，平面，， 平面平面， 又有平面，平面. 13.已知圆C过，，且圆心C在x轴上. (1)求圆C的周长； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由已知设圆的方程为，代入，，即可求解； （2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可； （3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为， 其周长为； （2）因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为， ①若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线， 综上所述，直线的方程为或； （3）因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， ，，设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 由题可知：，， 故， 又因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 内容：直线与圆、立体几何、概率与统计、复数 时间：2025.9.24 2024级高二第一学期数学周测（3） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1．已知复数z满足(2＋i)z＝3－4i，则|z|＝（ ） A．2 B． C．5 D．10 2．若直线与圆相离，则点（    ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 3．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 5.“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7.已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（    ） A． |OP|的最小值为 B．|OP|的最大值为 C．|MN|最小值为2 D．|MN|最大值为6 8．如图，在正四棱柱中，底面正方形ABCD边长为1，，M为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（   ） A．已知直线l为平面和平面ABCD的交线，则平面内存在直线与l平行 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．直线与平面所成角最大时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9.若直线：与直线：互相垂直，则的值为           . 10.若样本数据的方差为1，则数据的方差为           . 11.过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为           . 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12.如图，在三棱锥中，平面，底面是直角三角形，，是棱的 中点，是的重心，是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 13.已知圆C过点，，且圆心C在x轴上. (1)求圆C的周长； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线 相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $