江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（1）

内容：直线与方程、平面向量、三角恒等变换 时间：2025.9.10 2024级高二第一学期数学周测（1） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（     ） A． B． C．或 D．或 3．在中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知三条直线l1：3x＋y＝4，l2：x－y＝0，l3：2x－3my＝4不能构成三角形，则m的取值范围是( ) A． C． 5．已知平面上两点A(x，－x)，B，则AB的最小值为(　　) A．3 B． C．2 D． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．下列说法错误的是（ ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．过，两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 8．已知是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列结论正确的是（     ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．过点P(0，－1)作直线l，使得直线l和连接点A(2，1)，B(1，－2)的线段总有公共点，则直线l的倾斜 角α的取值范围是_____________． 10．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，若l1∥l2，则a的值为 ． 11．已知直线l1：2x＋y－6＝0，l2：x－2y＝0，直线l与l1、l2分别交于B、C两点，若点P(1，2)在线段BC上，且PB＝2PC，则l的方程为 ． 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12．已知向量． (1)若与共线，，求的值； (2)设函数，求的值域． 13．已知直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设ΔAOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 内容：直线与方程、平面向量、三角恒等变换 时间：2025.9.10 2024级高二第一学期数学周测（1） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】B 【解析】设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得到点A ′(a－2，b＋2)， 于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1. 2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上，所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确.故选：D. 3．在中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得D是AB的中点，则，且，又，则， 则直线CD的方程为，即故选：B. 4．已知三条直线l1：3x＋y＝4，l2：x－y＝0，l3：2x－3my＝4不能构成三角形，则m的取值范围是( ) A． C． 【答案】C 【解析】由解得即直线l1与l2的交点为M(1，1)． 因为直线l1：3x＋y＝4，l2：x－y＝0，l3：2x－3my＝4不能构成三角形， 所以l3过点M，或l3与l1或l2平行． 若l3过点M，则2－3m＝4，解得m＝－；若l3∥l1，则＝－3，解得m＝－； 若l3∥l2，则＝1，解得m＝．综上，m的取值范围为．故选C． 5．已知平面上两点A(x，－x)，B，则AB的最小值为(　　) A．3 B． C．2 D． 答案　D 解析　∵AB＝＝≥， 当且仅当x＝时等号成立，∴ABmin＝． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】＝， 则．故选：A 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7． 下列说法错误的是（ ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．过，两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】ACD 【解析】对于A．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故A错误， 对于B．直线的斜率，则，即，则，，故B正确， 对于C．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故C错误， 对于D．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D错误，故选：ACD． 8．已知是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABC 【解析】因为为边的中点，所以， 又，，共线，所以，所以A项正确； 对于B项，因为0，所以，可得， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，所以B项正确； 对于C项，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4，所以C项正确； 对于D项，由得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，所以D项错误．故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．过点P(0，－1)作直线l，使得直线l和连接点A(2,1)，B(1，－2)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________． 【答案】∪ 【解析】如图，当l过点B时，kl＝－1，当l过点A时，kl＝1，所以kl∈[－1,1]， 又k＝tan α(α∈[0，π))，所以α∈∪． 10．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，若l1∥l2，则a的值为 ． 【答案】－1 【解析】 方法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)， 由l1∥l2可得解得a＝－1．综上可知，a＝－1． 方法二：由l1∥l2知即⇒⇒a＝－1． 11．已知直线l1：2x＋y－6＝0，l2：x－2y＝0，直线l与l1、l2分别交于B、C两点，若点P(1，2)在线段BC上，且PB＝2PC，则l的方程为 ． 【答案】7x＋y－9＝0 【解析】由PB＝2PC，得＝2．设B(a，6－2a)，C(2b，b)，则(1－a，2a－4)＝2(2b－1，b－2)， 即 解得 则B(，)，C(，)． 因为kl＝＝－7，所以l的方程为y－2＝－7(x－1)，即7x＋y－9＝0． 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12．已知向量． (1)若与共线，，求的值； (2)设函数，求的值域． 【解析】（1），. 与共线，. ，，即. . （2） . ， 所以当时单调递增，当时单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以函数的值域为. 13．已知直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设ΔAOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【解析】(1)直线l的方程可化为y－2＝k(x＋4)， 根据直线的点斜式方程，可知无论k取何值，直线l总过定点(－4，2)． (2)由题意，直线l：kx－y＋2＋4k＝0，即y＝kx＋4k＋2， 因为直线l不经过第四象限，所以，解得k≥0． (3)由题意知，k＞0，当y＝0时，x＝－，即点A(－，0)， 当x＝0时，y＝4k＋2，即点B(4k＋2，0)，所以OA＝，OB＝4k＋2， 所以ΔAOB的面积S＝OA·OB＝××(4k＋2)＝8k＋＋8， 因为k＞0，所以8k＋＋8≥2＋8＝16，当且仅当8k＝，即k＝时等号成立， 所以Smin＝16，此时，直线l：x－2y＋8＝0． 1 学科网（北京）股份有限公司 $