云南省曲靖市曲靖一中沾益清源高级中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

曲靖一中沾益清源高级中学第三次月考 数学试卷 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 2．不等式的解集为（    ） A．B． C． D． 3．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（　　） A． B． C． D． 5．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 6．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 7．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ）． A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分。） 9．已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若复数满足，则 B．若，则 C．若复数，满足，则或 D．若复数z满足，，则最大值为3 10．已知向量，，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，在方向上的投影向量为 D．当与夹角为锐角时， 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A．当时， B．函数有三个零点 C．若方程有三个解，则实数的取值范围是 D． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知i是虚数单位，则 ． 13．已知函数，则 ． 14．已知函数是奇函数，且存在正数使得函数在上单调递增.若函数在区间上取得最小值时的值有且仅有一个，则的取值范围是 . 四、解答题（本大题共5个小题，其中15题13分，16题跟17题15分，18题跟19题17分，共77分。） 15．已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 16．已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 17．设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．记的内角的对边分别为，已知. (1)求A； (2)若边上的高为2，且的平分线交边于，，求. 19．已知函数（，为自然对数的底数），. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若不等式对，恒成立，求实数的取值范围. 《高三年级月考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B A C A B CD AC 题号 11 答案 BD 5．A 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 11．BD 【详解】对于A选项，设，则，所以， 又函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，即，故A错误； 对于B选项，当时，，所以， 令，解得，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，函数取得极小值， 当时，，又，故函数在仅有一个零点， 当时，，所以函数在没有零点， 所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数， 故函数在上仅有一个零点，又， 故函数在上有3个零点．故B正确； 对于C选项，结合B中所得函数单调性，作出函数的大致图象： 由图可知：若关于的方程有三个解， 则实数的取值范围是，即，故C错误； 对于D选项，由图可知，对，，故D正确． 故选：BD． 12． 13．8 14． 【详解】解：根据题意，函数是奇函数，则该函数过坐标原点. 存在正数使得函数在上单调递增,则可将等效转化为.如图所示： 观察区间，可将其分为和，在图象中前者宽度为后者的二倍.则条件可转化为： 函数在区间上取得最小值时的值有且仅有一个，（其中）， 画出图象，通过绘制关键点发现，当时，满足题意，如图所示： 即，可得 故答案为：. 15．(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 16．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 (2)， 17．(1) (2) 18．(1)； (2). （2）由题可得①， 又因为，是的平分线，所以， 因为，所以，所以由正弦定理得②， 又由余弦定理得③， 所以由①②③计算可得， 所以由即得 . 19．(1) (2) (3). （2）∵有两个零点，∴关于的方程有两个相异实根， ∵，∴，有两个零点即有两个相异实根. 令，则， ∵得，得， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴， 又∵，∴当时，， 当时，，当时，，有两个零点时，实数的取值范围为. （3） ∵，，所以 ∴原命题等价于对一切恒成立， ∴对一切恒成立， 令，∴， 令，， 则，∴在区间上单调递增， 又，， ∴使，即①， 当时，，即在区间上单调递减， 当时，，即在区间上单调递增， ∴ 由①知， ∴， 令，在恒成立， 所以函数在区间上单调递增， ∴即， ∴，∴， ∴实数的取值范围为. 《高三年级月考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B A C A B CD AC 题号 11 答案 BD 5．A 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 11．BD 【详解】对于A选项，设，则，所以， 又函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，即，故A错误； 对于B选项，当时，，所以， 令，解得，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，函数取得极小值， 当时，，又，故函数在仅有一个零点， 当时，，所以函数在没有零点， 所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数， 故函数在上仅有一个零点，又， 故函数在上有3个零点．故B正确； 对于C选项，结合B中所得函数单调性，作出函数的大致图象： 由图可知：若关于的方程有三个解， 则实数的取值范围是，即，故C错误； 对于D选项，由图可知，对，，故D正确． 故选：BD． 12． 13．8 14． 【详解】解：根据题意，函数是奇函数，则该函数过坐标原点. 存在正数使得函数在上单调递增,则可将等效转化为.如图所示： 观察区间，可将其分为和，在图象中前者宽度为后者的二倍.则条件可转化为： 函数在区间上取得最小值时的值有且仅有一个，（其中）， 画出图象，通过绘制关键点发现，当时，满足题意，如图所示： 即，可得 故答案为：. 15．(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 16．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 (2)， 17．(1) (2) 18．(1)； (2). （2）由题可得①， 又因为，是的平分线，所以， 因为，所以，所以由正弦定理得②， 又由余弦定理得③， 所以由①②③计算可得， 所以由即得 . 19．(1) (2) (3). （2）∵有两个零点，∴关于的方程有两个相异实根， ∵，∴，有两个零点即有两个相异实根. 令，则， ∵得，得， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴， 又∵，∴当时，， 当时，，当时，，有两个零点时，实数的取值范围为. （3） ∵，，所以 ∴原命题等价于对一切恒成立， ∴对一切恒成立， 令，∴， 令，， 则，∴在区间上单调递增， 又，， ∴使，即①， 当时，，即在区间上单调递减， 当时，，即在区间上单调递增， ∴ 由①知， ∴， 令，在恒成立， 所以函数在区间上单调递增， ∴即， ∴，∴， ∴实数的取值范围为. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第4页，共4页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $