第3章 圆小结-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

本章小结 大单元思维导图◆ 概念圆、直径、弦、孤等 圆的有关概 垂径定理 念及性质 性质 圆心角定理及推论 圆周角定理及推论 圆的确定 点和圆的位置关系 三角形的外接圆 与例有关的 位置关系 直线和圆位置关系的判定 直线和圆的位置关系 切线的判定和性质 三角形的内切圆 正多边形和圆的关系 正多边形和圆 正多边形的有关计算 孤长公式：l上m迟 180 有关圆的计算 扇形面积公式：S=R=R 360 2 大单元考点训练 考点①圆的有关概念及性质 接CD. 1.有下列说法：①弦是直径：②直径是圆中最 (2)分别以点C,D为圆心，CD长为半径作 长的弦：③劣弧比优弧短：④弦是圆上任意 弧，交PQ于点M,N. 两点之间的部分；⑤圆上任意两点间的连线 (3)连接OM,MN. 是弧.其中正确的有 ( ) 根据以上作图过程及所作图形，有下列结 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 论：①∠COM=∠COD:②MN∥CD: 2.(2025河南模拟)如图，△ABC为⊙O的内 ③MN<3CD:④若∠OCD=2∠MOB,则 接三角形，已知∠CAB=20°，∠CBA=30°， OM=MN.其中正确的是 () 则∠O的度数为 ( A.①② B.③④ A.50° B.80 C.100° D.130 C.①②③ D.①②③④ 4.如图，AB为⊙O的直径，BC=8,AC= 6,CD平分∠ACB,则AD的长为 Q 第2题因 第3题图 3.(2025北京模拟)已知锐角∠AOB,如图」 (1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心， D OC长为半径作PQ,交射线OB于点D,连 第4题图 数学九年级BS版 5.跨化学学科如图，量筒的液 俯视 (2)求证：CF∥AB 面A-C-B呈凹形，近似 D 看成圆弧，读数时视线要与平视道4 液面相切于最低点C(弧中 仰视金E C 点).小温想探究仰视、俯视 第5题图 对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒 上点D的高度为37mm;仰视点C时，记录 量筒上点E的高度为23mm(点E,C,B在 同一直线).若点D在液面圆弧所在圆上， 量筒直径为10mm,则平视点C,点C的高 考点2点、直线与圆的位置关系 度为 mm. 8.如图，∠O=30°，C为OB上 6.如下图，已知等腰三角形ABC, 一点，且OC=4.以点C为 (1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O 圆心，2为半径的⊙C与OA0 C B (保留作图痕迹，不写作法) 第8题图 的位置关系是 () (2)若∠BOC=128°，则∠A的度数为 A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 9.在平面直角坐标系内，点A的坐标是(3,4). 如果⊙A与两坐标轴有且只有3个公共点， 那么⊙A的半径长是 10.如右图，已知⊙O是以AB 7.如右图，在△ABC中，AB 为直径的△ABC的外接 =AC,⊙O是△ABC的外 圆，OD∥BC,交⊙O于点 接圆，连接BO并延长交 D,交AC于点E,连接 ⊙O于点D,连接AD, BD,BD交AC于点F,延 CD.在CD上取一点F,使 长AC到点P,连接PB DF=AD,连接BF,CF,BF与AC交于 (1)若PF=PB,求证：PB是⊙O的切线. 点G. (2)如果AB=10,BC=6,求CE的长度. (1)写出∠ACD与∠ABC的数量关系，并 说明理由 下册第三章 65 考点3切线长定理 14.如图，⊙O是正八边形 11.如图，已知OT是R1△ABO的斜边AB上 ABCDEFGH的外接圆.有 的高线，AO=BO.以O为圆心，OT长为 下列四个结论：①DEF所 半径的圆交OA于点C,过点C作⊙O的 对圆心角的度数为45°： 切线CD,交AB于点D.下列结论中，错误 ②AE=√2DF:③△ODE 第14题图 的是 为等边三角形；④S正人边形ABCDEFGH=AE· A.DC=DT DF.其中正确的是 (填序号). B.AD=√2DT 考点5弧长与扇形面积的计算 C.BD=BO 15.家具厂利用如图所示的直径 D.20C=5AC 为1m的圆形材料加工成一 第11题图 12.(2025邯郸模拟)如下图，在矩形ABCD 种扇形家具部件.已知扇形 中，AB=3,O为边AD上一点，OA=√， 的圆心角∠BAC=90°，则扇 第15题图 以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于 形部件的面积为 点M,恰好与对角线BD相切于点Q,作弦 16.应用意识如下图，扇形AOB从①处无滑动 QP∥AB,QP与AD交于点N. 绕着点A旋转到②处（∠OAO=90°），再 (1)求矩形对角线BD的长. 从②处紧贴直线1运动到③处.已知∠O= (2)求弦QP的长 60°，OA=1(结果保留π). (1)求点O运动的路径长 (2)求点O走过的路径与直线1围成的面积 考点4圆内接正多边形的有关计算 13.(2025上海)已知一个圆与一个角的两边各 有两个公共点，且在两边上截得的两条弦 正好是该圆内接正五边形的两条边，那么 这个角的大小是 数学九年级BS版9.A【解析】如图，作点D关于直线 由勾股定理，得MH=√C+MC=√5. OB的对称点E,连接AE,交OB于 :∠MHR=45°，MR所对的圆心角为90°， 点C,则CD=CE,此时阴影部分周 0 长最小 尿的长度为需×x号-只。 在扇形AOB中，∠AOB=60°，OD 平分∠AOB, 本章小结 ∴∠AOD=∠BOD=30° 1.A2.C 由轴对称的性质可知，∠EOB=∠BOD=30°，OE 3.D【解析】如图，连接MC,ON,DN,MD. OD,∴.∠AOE=90. MC=CD=DN. OA=OD,∴.OA=OE :.MC=CD=DN. .△AOE为等腰直角三角形 ∴∠COM=∠COD=∠DON,故①正确： 0A=1AE=E.D的长为9- :∠MDC为MC所对的圆周角. 6 ∠DMN为DN所对的圆周角， 阴影部分周长的最小值为反+ 6 ∴.∠MDC=∠DMN, .CD∥MN,故②正确； 10.专x一2万【解析】：AB所在圆的圆心为点0，边 MC CD DN.MC CD+ CD与⊙O相切于点E, DN>MN. ∴.OA=OB=OE,OE⊥CD. .MN<3CD,故③正确： :四边形ABCD为矩形，AB∥CD,OE⊥AB. 设∠COD=a,则∠MOB=2a,∠OCD=∠ODC= 2∠MOB=4a. AB-4.'-AF-BF-AB2. 在△OCD中，a+4a+4a=180°， :∠ABE=15°，∴.∠AOE=2∠ABE=30° 解得a=20°，∴.∠MON=60°， OA=OB,OF⊥AB,∴∠AOB=2∠AOF=60°， ∴.OM=MN,故④正确. △AOB是等边三角形，∴OA=AB=, 4.55 ∴OF=VOA-AF=25, 5.(30一2√)【解析】如图，连接 BD,OA,OB,OC,BC.设OC交 ∴.阴影部分的面积=SBoe一S△Mor 30x×4- 360 AB于点G. ×25×2=4 ∠DAB=90°， 平视… 3x-23 .BD是⊙O的直径. 仰视 11.解：(1)，BC经过圆心O, 由垂径定理，得AG=BG, ∴BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90 ∴OG是△BAD的中位线， ∠ACB=35°，∴∠B=90°-35°=55°. ,四边形ABCD为平行四边形， 骺-品- ∴∠D=∠B=55 ∴BC=CE∴.OC为△BDE的中位线， (2)连接AO,CO,如图 :AD与⊙O相切， 0C=2DE=2×(37-23)=7 .AO⊥AD,∴.∠OAD=90° .⊙0的直径为14. 在口ABCD中，BC∥AD :AB=10,∴.AD=14-10=4√6 ∴.∠OEC=∠OAD=90°. .AE=14-46. ∴.OA⊥BC.∴.BE=CE. EF EC 1 ∴OA垂直平分BC,∴AB=AC, CFAB.心EA=EB=2心EF=7-26. .∠ABC=∠ACB=35°， 点F的高度即为点C的高度 ∴.∠AOC=2∠ABC=70°， ∴.点C的高度为7-2√6+23=(30-2√6)mm. 16-20xX6-2g 6.解：(1)如图，⊙0即为所求 1803 (2)116 12.解：(1)如图，连接AM,MH,则 ∠MHP=a,△ADM2△MCH, ∴.AM=MH,∠DAM=∠CMH. :∠AMD+∠DAM=90 ∴.∠AMD+∠CMH=90°， ∴∠AMH=90°，∴△AMH是等腰直角三角形， .∠MHA=45°，即a+B=45 7.解：(1)∠ACD+∠ABC=90°.理由如下： (2):∠MPH=90°， AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. MH为过M,P,H三点的圆的直径 :∠ACB=∠ADB,∴.∠ABC=∠ADB. 26 数学九年级BS版 :BD是⊙O的直径，∴.∠BAD=90° ∴.OA=√20T=2OC. ∠ADB+∠ABD=90°. AC=0A-OC...AC=(-1)0C. :∠ACD=∠ABD,∴.∠ACD+∠ABC=90° 故选项D符合题意. (2)证明：如图，连接AF,DF. 12.解：(1)如图，连接OB :DF=AD∴.DF=AD, :BA,BD与⊙O分别相切于点 ∴BD垂直平分AF, A.Q. .AB=BF. ∴.∠ABQ=2∠ABO. ∠BAF=∠AFB. :四边形ABCD为矩形， :∠ACB=∠AFB=∠ABC, ∴.∠BAO=90° ∴∠BAF=∠ABC ∠CAF=∠CBF, :tam∠AB0=A0-E AB3 ∴.∠BAF-∠CAF=∠ABC-∠CBF, ∴∠ABO=30°.∠ABQ=60°. ∴∠BAC=∠ABF. AB ∠BAC=∠BFC,.∠ABF=∠BFC, ∴BD= cos∠ABQ =6 .AB∥CF (2)∠BAO=90°，QP∥AB. 8.C ∴.∠QND=∠BA0=90°， 9.4或5【解析】如图，当圆心在 即QP⊥AD,∴.QP=2QN (3,4)且与x轴相切时，r=4,此 :BQ,BA都与⊙O相切， 时⊙A与坐标轴有且只有3个 .BQ=AB=3,.DQ=BD-BQ=6-3=3. 公共点：当圆心在(3,4)且经过 :∠ABQ=60°，∠BAO=90° 原点时，r=5,此时⊙A与坐标 0 ∴∠BDA=30,QN=2DQ=2, 3 轴有且只有3个公共点.综上所 述，如果⊙A与两坐标轴有且只有3个公共点，那么⊙A QP=3. 的半径长是4或5. 13.36°或108°【解析】如图，当角的顶点在圆上时，如 10.解：(1)证明：：PF=PB,∴.∠PFB=∠PBF ⊙O交∠ABC的两边，截取的两条弦为AB,BC,此 又：∠DFE=∠PFB,∴.∠DFE=∠PBF. 时∠ABC恰好是正五边形的一个内角， :AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，即AC⊥BC. (5-2)×180° 又：OD∥BC,∴.OD⊥AC. .∠ABC= 5 .在Rt△DEF中，∠D+∠DFE=90°. =108°： 又：OD=OB,∴.∠D=∠DBO. 当角的顶点在圆外部，即⊙O ∴.∠DBO+∠PBF=90°，即∠OBP=90°， 交∠AFC的两边，截取的两条 .PB⊥OB. 弦为AE,CD时， OB是⊙O的半径，∴.PB是⊙O的切线. ∠FED=∠FDE= 360° =72° (2)由(1)知，OD⊥AC,∠ACB=90°，.EC=AE, 5 AC=√VAB-C=8.∴.CE=4. ∴.∠F=180°-2×72°=36 11.D【解析】：OT是半径，OT⊥AB,∴.DT是⊙O的 综上所述，这个角的大小是36或108 切线. 14.②④【解析】如图，连接OF. :DC是⊙O的切线， :∠D0E=∠EOr=360 =45°， .DC=DT,故选项A不符合题意 8 0A=OB,∠AOB=90°，∠A=∠B=45. .∠DOF=90° :DC是切线，∴CD⊥OC, 即DEF所对的圆心角的度数 .∠ACD=90°，∴∠A=∠ADC=45°， 为90°， ∴AC=CD=DT,∴AD=√2CD=√EDT,故选项B 结论①错误： 不符合题意. ∠DOF=90°，OD=OF, 如图，连接OD .OD=OD.OC=OT.DC=DT. 2OD2=DF,∴OD=号DF .△DOC2△DOT(SSS). AE=2OD,∴.AE=√2DF, .∠DOC=∠DOT. 结论②正确： .'OA=OB,OT⊥AB,∠AOB=90° :∠DOE=45°.∴.△ODE不是等边三角形. ∠AOT=∠BOT=45°， ∴，结论③错误： .∠D0T=∠D0C=22.5°， .∠BOD=∠ODB=67.5°， :5NBSOLEF =7 DF OE.StABSAMDER= ∴BD=BO,故选项C不符合题意。 4Sw边BDr=2DF·OE=AE,DF, :△AOT是等腰直角三角形， ,结论④正确. 下册参考答案 综上所述，正确的结论是②④. 专题训练二构造三角函数模型 1 15.m 解决实际问题 1.B 16.解：(1)第一段路径的长为180 2.解：(1)由题意，得AB=36m,AB⊥AH, 60xX1= 第二段路径的长为180=了1 在Rt△ABH中，a∠AB明招， .AH=AB·tan∠ABH≈36X1.5=54(m). 第三段路径的长为 (2)延长AB和NM相交于点D,如图. ∴点0运动的路径长为受+骨+受=号 由题意，得∠BDN=90°，四 边形AHND为矩形， 24 56.3y 2)调政的面积分成三部分S,=0=子S,= ∴.DN=AH=54m. K66° 00 在Rt△BDN中，∠DBN =66°， DN 故点O走过的路径与直线1围成的面积S=S,十S: tan∠DBN=BD=tan66 +s,=吾 ≈2.25，∴.BD=24m .AD=BD+AB=24+36=60(m).在R:△ADM 专题训练 中，∠DAM=24,tam∠DAM= D AD=tan24°≈ 本册专题训练 0.45. 专题训练一锐角三角函数的相关计算 .DM=27m,.MN=DN-DM=54-27=27(m), 1.22A ∴.建筑物MN的高度约为27m. 3.解：过点C作CE⊥AB于点E,如图. 31-5 【解析】由题意，得a一15°=45°，∴a=60°， :∠BAD=45°，∠BDA=90°， .∠B=45°=∠BAD. .AD BD 200 m.AB 受0原赋-后-层-引+日 AD cos∠BAD=200,Em. 1小 ∠BCE=∠B=45°，∴BE=CE :∠ACB=90°-∠DAC=75°， .∠ACE=∠ACB-∠ECB=30° 4解：n月+159=气9是锐角。 AE B+15=60°，B=45°， 设AE=xm,CE=an∠ACE=5xm,BE=AB -AE=(200/2-x)m, ∴原式=尽-445-(-a140r+m5+(号) ∴5x=2002-x,解得x=1006-100√2， =22-4x5-1+1+3 .CE=(300√2-100W6)m. 2 =3. 在Rt△BEC中，BC=5=(600-200m 59 ∴.CD=BC-BD=400-2005≈54(m). 故CD的长度约为54m. 6.解：(1)设AC=xm 4.解：设AB=xm.在Rt△ABC中，：tan∠ACB= 在Rt△ACE中，∠AEC=45”EC=AC tan45°=xm. B.RC三x.在Rt△ABD中，tan≤ADB= 在Rt△ACD中，∠ADC=66,∴.CD tan66≈gxm AB B万BD后D=cB-D， an52-5 4 ED=EC+CD.=182. 20,解得x≈98，.AB的高度约为98m. x=126,AC=126m. 5.解：如图，延长DC交MN于点E. M 故线段AC的长约为126m 由题意可知，DE⊥MN. E (2)由(1)知，CE=AC=126m. 设CE=xm,则DE=(600十x)m. 在Rt△ECB中，∠BEC=31°， 在Rt△ACE中，∠CAE=30°， .∴.BC=CE·tan31°≈126X0.6=75.6(m). AE= CE ∴.AB=AC-BC=126-75.6≈50(m). ==xm. 30 故信号塔AB的高度约为50m. 28 数学九年级BS版