专题09 图形的相似 13大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题09 图形的相似 13大高频考点概览 考点01 比例的性质 考点02 成比例线段 考点03 平行线分线段成比例 考点04 黄金分割 考点05 相似多边形 考点06 相似三角形的判定 考点07 相似三角形的性质 考点08 相似三角形的判定与性质综合 考点09 相似三角形的动点问题 考点10 相似三角形的实际应用 考点11 图形的位似 考点12 新定义问题 考点13 综合探究问题 地 城 考点01 比例的性质 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期末)已知，下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例里，两个内项之积等于两个外项的积，对每一个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A、与题干不符，故错误，本选项符合题意； B、，正确，本选项不符合题意； C、，正确，本选项不符合题意； D、，正确，本选项不符合题意． 故选：A． 2．(24-25上·辽宁沈阳沈北新区·期末)若，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例的基本性质． 根据比例的基本性质将变形为，即可得到的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 二、填空题 3．(24-25九上·辽宁丹东·期末)已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例性质． 条件式两边加1，化简即得． 【详解】解：∵，，∴． 故答案为：． 4．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期末)已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键； 先求出的值，再根据比例的性质求解即可 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 5．(24-25九上·辽宁铁岭部分学校·期末)若，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，利用了等比性质．根据等比性质，可得答案． 【详解】解：， 由等比性质，得， 所以． 故答案为：6． 6．(24-25九上·辽宁阜新细河区·期末)已知，则 ． 【答案】4 【分析】根据，可设，再代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 7．(24-25九上·辽宁朝阳一中联盟校·期末)已知，则的值等于 ． 【答案】 【分析】根据比的性质，运用特殊值解法，令，，（）代入求值即可． 【详解】解：∵，令，，（） ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比例的性质，求分式的值，令特殊值法求解，掌握比例的运算，代入求值是解题的关键． 8．(24-25九上·辽宁阜新实验中学·期末)若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了比例的性质、分式方程的应用，熟练掌握比例的性质是解题关键．先根据题意可得，再设，则，代入已知等式可得，解方程可得的值，然后进行检验，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 设，则， ∵， ∴， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ∴， 故答案为：5． 9．(23-24九上·辽宁丹东东港·期末)若实数a，b，c满足，则 ． 【答案】2或/或 【分析】本题考查了等比性质，解题的关键是熟练掌握等比性质进行解题，注意掌握分类讨论的思想进行解题． 根据题意，可分为和两种情况进行分析，分别求出m的值即可 【详解】解：根据题意， ∵， 当时，利用等比性质，得 ， ∴； 当时，有， ∴， ∴． 故答案为：2或． 10．(23-24九上·辽宁铁岭第四中学·期末)已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】令连等式的值为k，将a、b、c全部转化为用k表示的形式，进而得出比值． 【详解】令 则a=6k，b=5k，c=4k 则 故答案为：． 【点睛】本题考查连比式的应用，是一类比较常见的题型，需掌握这种解题方法． 11．(23-24九上·辽宁沈阳和平区·期末)已知，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查等比性质的应用，若，，则，由此可解． 【详解】解： ， ，， ， 故答案为：5． 12．(23-24九上·辽宁沈阳辽中区·期末)已知，且， ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了比例的性质，正确设出，构造方程求解是解题的关键． 【详解】解：∵， 设， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 地 城 考点02 成比例线段 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁朝阳建平县·期末)下列各组长度的线段（单位：厘米）中能构成成比例线段的是（    ） A．1，2，3，4 B．2，5，6，8 C．3，6，7，9 D．3，9，6，18 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的定义，理解：“四条线段、、、中，若，则称、、、为比例线段．”是解题的关键． 【详解】解：A.，1，2，3，4不能构成成比例线段，故不符合题意； B.，2，5，6，8不能构成成比例线段，故不符合题意； C.，3，6，7，9不能构成成比例线段，故不符合题意； D.，3，9，6，18能构成成比例线段，故符合题意； 故选：D． 2．(24-25九上·辽宁朝阳一中联盟校·期末)下列命题正确的是（    ） A．已知：线段，则是比例线段 B．方程没有实数根 C．已知点是函数图像上的两点，则 D．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 【答案】B 【分析】本题考查命题真假判断，涉及比例线段定义、一元二次方程判别式、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义等知识，熟记相关定义是解决问题的关键．根据比例线段定义、一元二次方程判别式、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据线段成比例的定义，线段，有，从而不是成比例线段，该命题错误，不符合题意； B、方程，，没有实数根，该命题为真命题，符合题意； C、已知点是函数图像上的两点，结合反比例函数图象的增减性，当时，在每一个象限内，y随x的增大而增大，因此当时，，该命题错误，不符合题意； D、根据多边形相似的定义，各角都对应相等、且各边都对应成比例的两个多边形是相似多边形，该命题错误，不符合题意； 故选：B． 3．(23-24九上·辽宁朝阳建平县·期末)下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、， ∴四条线段不成比例； B、， ∴四条线段不成比例； C、， ∴四条线段成比例； D、， ∴四条线段不成比例． 故选：C． 地 城 考点03 平行线分线段成比例 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，直线，直线，与，，分别交于，，和点，，．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据直线，可得，根据的长度可以求出的长度． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 2．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，推导与之比等于所对应的海拔差之比是解题关键．画出示意图分别求得与、与的海拔差，求比值即可． 【详解】解：经过线段且垂直海平面的平面截面图如下， 其中垂直海平面，垂直于点D，垂直于点E， 则点的海拔为，点的海拔为，点的海拔为， ∴，，， 图可知与的海拔差为， 与的海拔差为， ∵， 则． 故选：B． 3．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图，在中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接利用平分线分线段成比例定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 4．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ，即， 解得：， 故选：C． 5．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，已知，，那么下列结论正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE=BD：DF=1：2，然后利用比例性质对各选项进行判断． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ∴AC：CE=BD：DF=1：2， 即CE=2AC， ∴AC：CE=1：3，CE：EA=2：3． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 6．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【详解】解：过点D作，交于H， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期末)如图，在中，点分别在边上，且．若，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例．先求出的长，根据平行线分线段成比例得到即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D 8．(24-25九上·辽宁朝阳建平县·期末)如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，熟练平行线分线段成比例列方程是解题的关键．由直线，可得，再代入数据解方程即可． 【详解】解： 直线， ， ，，， 故选：A． 9．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期末)如图，直线，，则的长为（    ） A．6 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 10．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)如图，，AF与BE交于点G，若，，，则的值为（　　）    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解定理的意思． 二、填空题 11．(24-25九上·辽宁大连嘉汇集团·期末)如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    【答案】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】，   ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 地 城 考点04 黄金分割 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁丹东·期末)“黄金格”是当代书法大师启功先生独创的习字格，深受众多书法爱好者的喜爱．如图，正方形是黄金习字格的边框，正方形每条边上的格点（端点除外）都是这条线段的黄金分割点，若，则长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，可求得． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 解得，． 故选：C． 2．(24-25九上·辽宁阜新实验中学·期末)如图，等腰直角中，，是的中线，以D为圆心，为半径画弧，交于点E．以B为圆心，为半径画弧，交于点M，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割、勾股定理等知识，正确求出各条线段的长度是解题关键．设，则，利用勾股定理求出，从而可得的长，然后逐项判断即可得． 【详解】解：设， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 由作图可知，， ∴． A、，，则此项不成立，不符合题意； B、，，则此项不成立，不符合题意； C、，，则此项不成立，不符合题意； D、，，则此项成立，符合题意； 故选：D． 3．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，是线段的两个黄金分割点， 线段的长为， ， ， ， 四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故选：C． 4．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期末)下列命题正确的是（    ） A．顺次连接矩形四边的中点得到菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．两边成比例及一角相等的两个三角形相似 D．若点P是线段的黄金分割点，则 【答案】A 【分析】根据菱形的判定定理、矩形的判定定理、相似三角形的判定定理、黄金分割的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．顺次连接矩形四边的中点得到菱形，故该命题正确，符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题错误，不符合题意； C．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故该命题错误，不符合题意； D．若点P是线段的黄金分割点，则或，故该命题错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，涉及菱形的判定定理、矩形的判定定理、相似三角形的判定定理、黄金分割的定义，解本题的关键在熟练掌握相关的定理、定义． 5．(23-24九上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，它泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高，则玩偶嘴巴到脚的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行列式计算即可解答． 【详解】解：由题意得玩偶嘴巴到脚的距离为： 故选：A． 6．(23-24九上·辽宁丹东·期末)黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 7．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期末)如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，则之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割点，黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，这样的点为黄金分割点，其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解，掌握黄金分割点的定义是解题的关键． 【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则， ，解方程得，， 点是靠近点的黄金分割点，则， ，之间的距离为， 故答案为：． 地 城 考点05 相似多边形 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)如图，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例． 先由折叠可得，再根据矩形DMNC与矩形ABCD相似得出矩形对应边的比例式，求出AB的长即可． 【详解】解：由折叠可得， ∵矩形， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴． 故选：A． 2．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们对应边上的高之比为（    ） A． B．1 ∶2 C．1∶4 D．1 ∶8 【答案】B 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可． 【详解】解：两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的相似比是1 ∶2， 对应边上的高之比等于相似比，即1 ∶2， 故选：B． 3．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图，四边形四边形，，，，，则和的度数分别为（   ）． A．3.5和 B．7和 C．3.5和 D．7和 【答案】A 【分析】此题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得出，，进而解答即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴ 故选：A． 4．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期末)把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则矩形和矩形它们的相似比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形面积的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵把矩形对折，折痕为， ∴矩形和矩形面积的比等于， ∴矩形和矩形它们的相似比为． 故选A． 5．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期末)如图，一张矩形报纸的长，宽，E、F分别是，的中点，将这张报纸沿着直线对折后，矩形与矩形相似，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，, ,根据矩形与矩形相似，可得矩形的长与宽之比等于矩形的长与宽之比，列比例式求解即可． 本题主要考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，, , ∵矩形的长与宽之比等于矩形的长与宽之比，即, 得， ∴， ∴． 故选：D． 6．(23-24九上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列说法正确的是（    ） A．等边三角形都是相似三角形 B．矩形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似多边形的各边对应成比例、各角对应相等是解题的关键． 根据各边对应成比例、各角对应相等的多边形是相似多边形逐项判断即可解答． 【详解】解：A、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故符合题意； B、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故不符合题意； C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故不符合题意； D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故不符合题意． 故选：． 7．(23-24九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 8．(23-24九上·辽宁沈阳浑南区·期末)国旗上大、小五角星的边长比是5：3，若大五角星的面积为50，则小五角星的面积为（　　） A．9 B．18 C．25 D．30 【答案】B 【分析】设小五角星的面积为x，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方列式计算即可． 【详解】解：设小五角星的面积为x， ∵国旗上大、小五角星相似， ∴=， 解得，x=18， 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 9．(23-24九上·辽宁沈阳康平县·期末)下列说法正确的是（　　） A．所有的菱形都相似 B．所有矩形都相似 C．所有正方形都相似 D．所有等腰三角形都相似 【答案】C 【分析】根据矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质和相似多边形的定义逐项分析即可． 【详解】A、所有的菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误； B、所有的矩形对应角相等但对应边的比不一定相等，故错误； C、所有的正方形都相似，正确； D、所有的等腰梯三角形形不一定都相似，错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备． 地 城 考点06 相似三角形的判定 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，在中，点D、E分别在边、上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是相似三角形判定定理的应用． 结合相似三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：A． ，，，故A选项正确，不符合题意； B． ，，，故B选项正确，不符合题意； C． ，，又，，故C选项正确，不符合题意； D． ，而与不一定相等，不能使和相似，故D选项正确，符合题意； 故答案为：D． 2．(24-25九上·辽宁朝阳一中联盟校·期末)中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：①，，可证，故①符合题意； ②，，可证，故②符合题意； ③，，可证，故③符合题意； ④，，不能证明，故④不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键． 3．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)如图，在等边三角形中，点，分别在，上，且，则下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定与性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 故选项A、B、D正确， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，涉及了等边三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 4．(24-25九上·辽宁辽阳·期末)如图，点E为外一点，与交于点F，点D在线段上，连接，，，若，则图中的相似三角形共有（   ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先利用三边对应成比例得到，得到，，从而得到，又由，得到，则，又，得到，，，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴图中的相似三角形共有4对， 故选：B． 5．(24-25九上·辽宁大连弘文中学·期末)如图，已知，那么添加一个条件后，依然无法判定∽（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形的判定依次判断可求解； 【详解】解：， ， 、若，且，可判定，故选项不符合题意； 、若，且，可判定，故选项不符合题意； 、若，且，可判定，故选项不符合题意； 、若，且，无法判定，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键． 6．(24-25九上·辽宁铁岭部分学校·期末)如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D． 【答案】D 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、∵AB2=AD•AC， ∴ ，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键. 7．(23-24九上·辽宁阜新细河区·期末)已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别，，，则△ABC与△DEF(   ) A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判定是否相似 【答案】A 【分析】求出三组对应边的比，看是否相等即可判断两三角形是否相似． 【详解】解：∵， ∴△ABC与△DEF一定相似． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题关键是掌握相似三角形的判定定理之一：有三组对应边的比相等的两个三角形相似． 8．(23-24九上·辽宁沈阳康平县·期末)如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可． 【详解】∵是公共角， ∴再加上或都可以证明，故A，B可证明， C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能证明． ∵， 若再添加，即，可证明，故D可证明． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 地 城 考点07 相似三角形的性质 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．1： 【答案】B 【分析】由相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比． 【详解】相似△ABC与△DEF的相似比为1：3 △ABC与△DEF的面积比为1：9 故答案为B 2．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)已知，其相似比为，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似的平方解答． 【详解】解：，其相似比为，则与的面积之比为 故选：D． 3．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，，下列结论错误的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的性质对A选项、B选项、C选项进行判断；先利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质对D选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴，所以A选项不符合题意； ，所以B选项符合题意； ∵， ∴， ∴平分，所以C选项不符合题意； ∵， ∴， ∴，所以D选项不符合题意． 故选：B． 4．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期末)如图，在中，点B，C分别在边，上，，，其中，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．由可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，最后代入即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 5．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，点G，O，A，N在同一条直线上，若，则长为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可． 【详解】解：∵12个相似的直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 故选：B． 6．(24-25九上·辽宁丹东·期末)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上，过点A的另一条直线分别与点B、C所在横线的交点为点D，E，则与的面积比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形．熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 设点A到的距离分别为d，h，根据，得，得． 【详解】解：设点A到的距离分别为d，h， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图，在中，点D，E分别在上，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的性质是解题关键．先证明，则，再根据相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ， ， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 8．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∴， ∴与的面积比为； 故选：B． 二、填空题 9．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期末)如图，与交于点，且．若，则 ．    【答案】/0.5 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 10．(24-25九上·辽宁本溪·期末)如图，在中，点E为边上的中点，连接交于点O，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，先证明得到，进而得到，，求得，利用平行四边形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 11．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】解：当时，如图，有，连接， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴； 当时，如图，有， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，余角性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 12．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AD与BC相交于点E,则的值等于 ． 【答案】． 【详解】试题分析：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵在Rt△ACB中∠B=45°，∴AB=AC，∵在Rt△ACD中，∠D=30°，∴CD==AC，∴=．故答案为． 考点：相似三角形的判定与性质． 13．(23-24九上·辽宁大连普兰店区·期末)在中，，，，点是边上一个动点，当 时，与相似． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，直接利用或，分别得出答案． 【详解】解：，，， ． 当时， ， ， 解得：； 当时， 则， ， 解得：， 综上所述：当或6时，与相似． 故答案为：或6． 14．(23-24九上·辽宁葫芦岛兴城·期末)如图，中，，，，射线，点D在射线上运动，，垂足为点E，若与相似，则的长为 ．    【答案】或1 【分析】根据题意若与相似，则或，当时，得出四边形是矩形，当时，则得出，进而解直角三角形，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 若与相似，则或 当时， ∴ 又则 ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是矩形， ∴， 当时，则 ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 中，，，， ∴ ∴ 在中， 综上所述，的长为：或1 故答案为：或1． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与解直角三角形，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 三、解答题 15．(24-25九上·辽宁大连嘉汇集团·期末)如图，在中，，是的平分线，交于点．    (1)在斜边上求作点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图-作垂线，相似三角形的性质，勾股定理， （1）按要求作过点D的垂线，交于点，即可解答； （2）利用相似三角形的性质，求得的长，再利用勾股定理即可解答，根据中边的对应作出正确的图形，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）如图，点即为所求；    （2）∵， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中． 地 城 考点08 相似三角形的判定与性质综合 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区东北育才学校·期末)如图，在平行四边形ABCD中，，，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，，垂足为G，，则的周长为（   ） A．8 B．9.5 C．10 D．5 【答案】A 【分析】在□ABCD中，由已知条件可得△ADF是等腰三角形，；同理△ABE也是等腰三角形，可知，所以；在△ABG中，，，，由勾股定理可得，又因为△ABE是等腰三角形，，所以，所以△ABE的周长等于16，又由□ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8． 【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，，，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴，， ∴， ∴，∴， ∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE也是等腰三角形， ，， ∴， ∴在△ABG中，，，， 可得：， 又∵，， ∴， ∴△ABE的周长等于16， 又∵四边形ABCD为平行四边形，∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2， ∴△CEF的周长为8． 故选：A 【点睛】本题主要综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查． 2．(24-25九上·辽宁铁岭部分学校·期末)如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质．根据D、E分别是边的中点得到，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 3．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，．则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质． 由作法得：垂直平分，，再由线段垂直平分线的性质，可得，可得到，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再证得，设，则，根据，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分，， ∴，，故A选项正确，不符合题意； ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 4．(24-25九上·辽宁辽阳·期末)如图，已知，三条对应边，，在同一条直线上，连接，分别交，，于点P，Q，K，若，则图中三个阴影部分的面积之和为（   ） A．8 B．10 C．11 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是根据相似三角形的判定与性质找到线段间的关系．根据全等三角形对应角相等，可以证明，再根据全等三角形对应边相等，然后利用相似三角形的判定与性质求出，，所以，设的边为，边上的高为，表示出的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积． 【详解】解：， ，，， ， ∴，， ，， ，， 又，，， ， 设的边为，边上的高为， 则，整理得， ， ， ， 三个阴影部分面积的和为：． 故选：D． 二、填空题 5．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)如图，已知，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 6．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)如图，点、分别位于边、上，与交于点．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，过点D作，交于点H，利用相似三角形的判定与性质得，设，则，由已知条件求得，，再利用相似三角形的判定与性质和比例的性质解答即可得出结论． 【详解】解：过点D作，交于点H，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)如图，点分别在的边上，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交边于点，再分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线分别交于点，若，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了基本作图—角平分线，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用基本作图得到平分，再证明，则利用相似三角形的性质得到，所以，从而得到，即可解答． 【详解】解：由作法得平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．(24-25九上·辽宁辽阳·期末)如图，矩形中，，，的直角顶点P在的延长线上且，E在边上，，EF与边交于点M，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识．作交的延长线于点，交的延长线于点，由，，，得，可证明，则，求得，由，得，求得，再证明四边形是矩形，则，，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，交的延长线于点， 四边形是矩形，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， 故答案为：． 9．(24-25九上·辽宁鞍山海城西部集团·期末)如图，在等边三角形中，点D，点E分别为边上一点，连接，将沿折叠，点A恰好落在边的点F处，若，且的面积，则的面积 ． 【答案】4.5 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 先证明，再根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：在等边三角形中，有， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：4.5． 10．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，在中，，，以C为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，射线交于点D，点F在线段上，且，则 （用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】过点F作，交于点，交于点．根据尺规作图，得出平分，根据等腰直角三角形性质得出，根据，得出，设，则，根据平分，得出，证明是等腰直角三角形，勾股定理得出，再证明为等腰直角三角形，得出，证明，，根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：过点F作，交于点，交于点． 根据尺规作图，得出平分， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 设，则， ∵平分， ， ∵，平分 ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，尺规作角平分线，三角形内角和定理，平行线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 11．(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程；根据作图可得，进而得出，得出；根据等角对等边可得，，设，，证明，进而根据相似三角形的性质得出关系式，解得，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， 又∵ ∴ ∴ ∵在中， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 设，，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 故答案为：． 三、解答题 12．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且． (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【答案】(1)， (2)125 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得出，，，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 四边形的面积为48， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 13．(24-25九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)的长是 (2)的长是 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）证明，得，所以，进而可得答案； （2）由，得，根据，由相似三角形的性质得，而，则，进而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长是． 14．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图，在中，，是边的三等分点，点，在边上，． (1)若，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】由是的三等分点，则，然后证明，再根据相似三角形的性质即可求解； （）由，是的三等分点，则，证明，再根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵，是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴． 15．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，点E是矩形中边上一点，将沿着翻折，点C恰好落在上的点F处． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． （1）由矩形的性质可知，，由折叠的性质可知，，进而推出，即可证明相似； （2）由矩形和折叠的性质可知，，再由勾股定理，得出，进而得出，然后；利用相似三角形的性质，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质，可知， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴，即， 解得：． 16．(24-25九上·辽宁铁岭部分学校·期末)如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角： （1）由等边对等角，得，结合，即可作答； （2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵ ∴ ∵， ∴ 解得 17．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)菱形中，对角线，相交于点O，E为边中点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质得出，进而利用相似三角形的判定与性质得出比例解答即可； （2）根据菱形的性质得出，进而利用线段的关系解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴． ∴． （2）解：由（1）得：， ∵， ∴， ∴ ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴的长为2． 18．(24-25九上·辽宁丹东东港·期末)已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证：△BEC∽△BCH； （2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解． (2) 由BE2=AB•AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解． 【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB． ∵DF=BE， ∴△CDF≌△CBE(SAS)， ∴∠DCF=∠BCE． ∵CDBH， ∴∠H=∠DCF， ∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B， ∴△BEC∽△BCH． (2)∵BE2=AB•AE， ∴=， ∵AGBC， ∴=， ∴=， ∵DF=BE，BC=AB， ∴BE=AG=DF， 即AG=DF． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区东北育才学校·期末)【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）见解析；（2）AD＝；（3）5﹣2 【分析】（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 20．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)阅读并回答问题． 数学课上，老师“以等腰直角三角形为背景探究旋转变换下的相似图形”为题和同学们展开了一节探究活动课． 【初步感知，发现相似】 （1）具体过程是：将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，则，相似比为1，或者说． 展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，则与的关系是：__________． 【感悟方法，尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：． 【迁移拓展，解决问题】 （3）如图4，在等腰直角三角形中，，点E为边上一点，，若，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得，，，从而求，，即可得出结论； （2）连接．先证明，得到，从而可证明，得到，即可得出结论． （3）过点A作交的延长线于点M．由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得，，再证明，得到，代入即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：连接． ∵四边形是正方形． ， 是等腰直角三角形 又 ； （3）过点A作交的延长线于点M． 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形，且 在中， 解得：（负值舍去） ， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)已知：在 中，E是边上动点，连接，F为直线上方一点，连接，． 问题探究： （1）如图1，当 为正方形时，若，请直接写出的值； （2）如图2，当 为矩形时，若求的值； 应用拓展： （3）如图3，当 为菱形时， 交于点G，且 求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）在上截取，连接，利用正方形性质证明，再利用解三角形求出，继而得到答案； （2）在上截取，连接，利用矩形性质得，再证明，再利用勾股定理得即可求出； （3）在上截取，连接，过点作于点，过点作于点，证明，再利用菱形性质及解三角形列式即可得到答案． 【详解】解：（1）当 为正方形时，若，则的值为，理由如下： 在上截取，连接，如图： ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）在上截取，连接，如图： ， ∵ 为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）在上截取，连接，过点作于点，过点作于点， ， ∵，， ∴， 同理， ∴，， ∵ 为菱形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形判定及性质，正方形性质，菱形性质，平行四边形性质，解三角形相关计算，等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，勾股定理等． 地 城 考点09 相似三角形的动点问题 一、填空题 1．(24-25九上·辽宁朝阳建平县·期末)如图，在中，，．动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过 秒时与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 设经过t秒时，与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t秒时，与相似， 则，，， ∵， ∴当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：； 故答案为：或． 2．(23-24九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动如果点P、Q分别从点A、B同时出发问经过 秒时，与相似． 【答案】1或2.5 【分析】设经过t秒后，与相似，根据路程公式可得，，，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可． 【详解】解：设经过t秒后，与相似，则有，，， 当时，有， 即， 解得， 当时，有，即， 解得， 所以，经过或时，与相似． 故答案为：1或2.5 【点睛】此题考查相似三角形的判定，本题综合了路程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来． 二、解答题 3．(24-25九上·辽宁沈阳沈阳虹桥初级中学·期末)如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长；（用含t的代数式表示） (2)连接，当与相似时，求t的值； (3)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】(1) (2)的值为或1 (3)1或 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （3）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； （2）解：由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，， 即：，解得：； 当时，， 即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； （3）解：由题意可得：， ∵，，，， ∴， ∵矩形， ∴， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴， 解得：或（不符合题意舍去） 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 4．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期末)综合与探究如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，设运动时间为t秒． (1)求证：； (2)当时，求点E的坐标； (3)在运动的过程中，是否存在以P，O，E为顶点的三角形与ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)或 【分析】（1）根据四边形OABC是矩形，可得出角相等即可得出相似； （2）由相似三角形的性质求出 ，得出 即可求出点E的坐标； （3）本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出t的值，即可得出P点的坐标． 【详解】（1）∵四边形OABC是矩形， ∴， ∵ ∴ ∴ ， ∴， （2）当时，， 过点E作的垂线，垂足为H，如图1所示： 则四边形是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴点E的坐标是； （3）存在，理由如下： ∵， ， ∴， ∵ ， ∴ ∴， ∴， ∴， 当点P在点O上方时，如图2所示： 若时，， ∵， ∴， 解得： ， （舍去）， ∴， ∴P的坐标为， 当点P在点O下方时，如图3所示： ①若， 则，， 解得： ， （舍去）， ， P的坐标为， ②若， 则 ，， 整理得：， 该方程无解 ∴这种情况不成立， 综上所述，存在以为顶点的三角形与△ABE相似，P的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，在解题时要根据已知条件再结合图形是解题的关键，注意分类讨论． 5．(23-24九上·辽宁大连甘井子区·期末)如图，在中，，，点P由点A出发，沿方向向终点B匀速移动，速度为；同时点Q由点C出发，沿方向向终点A匀速移动，速度为．当点P或点Q有一点到达终点时，另一点也停止运动．几秒时，以，，顶点的三角形与相似？ 【答案】2.4秒或秒 【分析】本题考查了三角形的动点问题，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 设秒后，以，，为顶点的三角形与相似，分两种情况：和，分别讨论，根据相似三角形的性质即可求出相对应的时间即可． 【详解】设t秒后，以，，为顶点的三角形与相似． 由题意知，，， 当点与点重合时，；点与点重合时，， 故当时，点与点停止运动； ， 当两个三角形相似时，分两种情况： ①当时， 则， 即， 解得； ②当时， 即， 即， 解得； 综上所述：2．4秒或秒时，以，，为顶点的三角形与相似． 6．(23-24九上·辽宁阜新太平区·期末)如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 【答案】（1）经过2秒或3秒后，的面积等于面积的；（2）经过秒或秒，与相似． 【分析】（1）设经过秒后，的面积等于面积的，用表示、、的长，再根据三角形的面积列式计算即可； （2）分两种情况分别计算，①设经过秒后，推，②设经过秒后，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：（1）设经过秒后，的面积等于面积的， 则，，，， ， 整理得， 解得，， ， 经过2秒或3秒后，的面积等于面积的． （2）①设经过秒后， ， ， 解得， ②设经过秒后， ， ， 解得； 经过秒或秒，与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、一元二次方程应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解法及相似三角形的判定方法，分情况讨论也是解题关键． 7．(24-25九上·辽宁大连汇文中学·期末)如图，平面直角坐标中，点、、坐标分别是、、，点从点出发（不含点），沿轴正半轴运动，点从点与点同时出发，当点运动到原点时，、停止运动，过点作轴交于，连接，设运动时间为个单位/秒，、运动速度均为2个单位/秒． (1)当时，求的值； (2)求在运动过程中，与的重叠部分与运动时间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，函数关系式的建立，矩形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． （1），得到，即，则，四边形为矩形， 则，即，即可求解； （2）分三种情况讨论：当时， 当时， 当时，利用相似三角形 示出相关边长，继而可求解函数关系式． 【详解】（1）解：如图， 轴，而， ， ∴， ，即， ∴， 当时，则， 四边形为矩形， 则，即， 解得； （2）解：当时，如图： ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 解得，， 则； 当时，如图， ； 当时，如图： ， ∴，而 ， ， 解得， 则． 综上所述：． 8．(24-25九上·辽宁鞍山台安县·期末)如图，在中，，，．点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点C运动；点Q从点C出发，沿以每秒2个单位的速度向终点A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止．点P、Q同时出发，设点P的运动时间为t秒． 求： (1)用含t的代数式表示的长； (2)当t为何值时，； (3)当时，求的长． 【答案】(1) (2)当时， (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、列代数式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）先求出的长，然后用的长度减去的长度，即可求出的长度； （2）由勾股定理求出，证明得出，求出，再由得出，求解即可； （3）当时，，作于，证明，得出，，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可得出． 【详解】（1）解：点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ， ， ； （2）解：如图， 在中，，，， ， ， ， ， ， ，即， ， 点从点出发，沿以每秒2个单位的速度向终点运动， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，； （3）解：如图，当时，，作于， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， 同理可得， ， ． 9．(24-25九上·辽宁大连博伦中学·期末)中，于D，，，点E沿射线方向一直运动，将点E绕点D逆时针旋转得到点F（F在射线上），点G与点E关于点D成中心对称（点G在射线上），连接得到． (1)求的长； (2)在点E的运动过程中，设，与的重叠部分面积为S，求S与x的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形及二次函数与图形动点问题，相似三角形的性质与判定． （1）解直角三角形求出，即可解决问题； （2）分三种情形：①如图1中，当时，重叠部分是；②如图2中，当时，重叠部分是四边形；③当时，重叠部分是；分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解： ， ， ，，， ，， ； （2）∵将点绕点逆时针旋转得到点（在射线上），点与点关于点成中心对称（点在射线上）， ∴ ∴是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形， ①如图1中，当时，重叠部分是，； ②如图2中，当时，重叠部分是四边形； 作交的延长线于，作于， ∴，则， ∵，， ∴ ∴，， ∴， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ； ③当时，重叠部分是，， 综上所述，． 地 城 考点10 相似三角形的实际应用 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁锦州·期末)一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：延长交于Q，连接，由题意可知：，则，根据平行线等分线段定理可得；设，则，再通过证明、解答即可． 【详解】解∶如图：延长交于Q，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故选D． 2．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在，两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即，，三点共线，，，三点共线）．已知电线杆，之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，则这条河的宽度为（   ） A．25米 B．30米 C．45米 D．50米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用．延长交于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得解． 【详解】解：延长交于点，如解图所示． ，， ， 依题意，米，米． 设这条河的宽度为米． ， ． ， 即， 解得． 这条河的宽度为30米． 故选：B． 3．(24-25九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 【详解】解：由题可知，， ∴, ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等． 4．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，，拉杆， ，米，则两梯杆跨度、之间距离为（    ） A．2米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴， 即两梯杆跨度、之间距离为米， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5．(24-25九上·辽宁锦州·期末)如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径，若，且测得，则零件的厚度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意可得，进而可得，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．(24-25九上·辽宁阜新实验中学·期末)手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，如图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁米，爸爸拿的光源与小明手的距离为米，如图．在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应（   ） A．增加米 B．增加米 C．增加米 D．减少米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，根据题意，作出图形，利用相似三角形的性质，构造方程，进行解答，即可．令点为光源，为小明的手，为小狗手影，根据相似三角形的判定和性质，则，得到，设，则，根据题意，，则，计算得到答案，即可． 【详解】解：点为光源，为小明的手，为小狗手影， ∴， 作交于点，延长交于点，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小明的手与光源的距离为：（米）． 故选：B． ， 7．(24-25九上·辽宁鞍山海城西部集团·期末)我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸(1尺＝10寸)，问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为(　　) A．12尺 B．56尺5寸 C．57尺5寸 D．62尺5寸 【答案】C 【分析】根据平行证△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的性质即可求AD的长，最后减去AB的长即可得到井深． 【详解】∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴AB：AD＝BC：DE， 即5：AD＝0.4：5， 解得AD＝62.5， BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.解题的关键是得到△ABC∽△ADE． 二、填空题 8．(24-25九上·辽宁丹东·期末)如图，某一时刻阳光透过窗户照射到室内，在地面上留下3米宽的亮区，已知窗户下端到地面的距离米，亮区到窗户下端墙脚的距离米，那么窗户高为 米． 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．根据光沿直线传播的道理可知，则，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答． 【详解】解：太阳光是平行光线， ， 即 米， 故答案为：2． 9．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图，为了测量一栋楼的高度，曲杰同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如图曲杰的身高为1.65米，他估计自己眼睛距离地面的距离为1.6米，同时测得米，米，则楼高为 米． 【答案】22 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：根据题意， ∵，（反射角等于入射角）， ∴， ∴，即， ∴． 所以这栋大楼高为22米． 故答案为：22． 10．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)土圭之法是在平台中央竖立一根木杆．观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短．冬至日影最长．这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长．发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等．测得第一时刻的影长为1.5尺，第二时刻的影长为24尺．则木杆的高度是 尺．    【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：， （尺）， 答：木杆的高度是6尺， 故答案为：6 11．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定；先根据正方形的性质得出 ，再根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设正方形是灭一面城墙的长度为里， 正方形的中心为， 里， ， ， 即 解得：，或不合题意，舍去， ， 故答案为：． 三、解答题 12．(24-25九上·辽宁丹东东港·期末)如图，小刚家窗外有一堵围墙，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点射进房间的地板处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点射进房间的地板处．小刚测得窗子距地面的高度，窗高，并测得，．求围墙的高度．（图中、、三点在同一条直线上） 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，分式方程的运用，理解题意，掌握相似三角形的判定方法得到，由相似三角形性质列分式方程求解是解题的关键． 如图延长至点，可得，设，由题意可证，得到，则，且，，，代入计算即可求解． 【详解】解：如图延长至点， ， ， ，， ， 又， ， ， 设， ，， ， ， ， ， ，且，，， 则， 解得， 经检验是原方程的解， 答：围墙的高度是． 13．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和标杆等工具，测量了学校旗杆的高度，具体操作如下：如图，将皮尺的一端与旗杆底部重合，另一端往外拉伸，沿着皮尺从内到外依次确定标杆和某位同学的位置．当同学的眼睛，标杆的上端，旗杆的上端处于同一直线上时，记录此时标杆和同学在皮尺上所对应的刻度．若测得，，，，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】过点F作于点G，交于点H，证明列比例解答即可． 本题考查了矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点F作于点G，交于点H， ∵， ∴于点H， ∴四边形，，都是矩形， ∴，， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故旗杆的高度为． 14．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，线段是某公园的一圆形桌面的主视图，线段是在路灯下的影子，线段表示旁边一圆形凳子的主视图． (1)请你在图中标出路灯O的位置，并画出的影子（不写作法，保留画图痕迹）； (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子的长为，求路灯O与地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．也考查了相似三角形的判定与性质． （1）延长、，它们的交点即为路灯O的位置，然后再连接、，并延长交地面于P、Q点，则为的影子； （2）作交于E，如图，，，，证明，利用相似比计算出即可得到路灯O与地面的距离． 【详解】（1）解：如图，延长、，它们的交点为O点，再连接、，并延长交地面于P、Q点，则为的影子，所以即为所求； （2）解：作交于E，交于F，如图，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：路灯O与地面的距离为． 15．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期末)【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树，和灯柱如图所示，在灯柱上有一盏路灯，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定榕树在地面上的影子； ②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)已知榕树在路灯下的影子为，请画出榕树在路灯下的影子 (2)如图，若榕树的高度为米，其离路灯的距离为6米，两棵榕树的影长、均为4米，两棵树之间的距离为6米，求榕树的高度； 【答案】(1)图见解析； (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意找到路灯的位置，连接并延长与水平线的交点即为所求； （2）分别证、根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可 【详解】（1）解：如图所示即为所求， 延长于点，找到路灯的位置，连接并延长，交射线于点，即为榕树在路灯下的影子 （2） ， ， ，， 即， 解得：， ， ∴，即， 解得： ， 答：榕树的高度为米． 16．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)如图，某学校数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E，C，A三点共线，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽． 【答案】河宽为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意先证明，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得的长． 【详解】解：由题意可知，，， ， 又， ∴， ，   ，，，，    解得，， 答：河宽为米． 17．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以为支点，当端上放置重物时，端着地，端到地面的距离是；当工人用力按压端，直至点着地落到时，端的重物被送到处，此时重物到地面的距离为90，求支点到地面的距离． ． 【答案】支点P到地面的距离为 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确运用相似三角形的性质是解题的关键． 证明，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， 根据题意得，， ， ， ， ， 解得． 答：支点P到地面的距离为． 18．(24-25九上·辽宁朝阳建平县·期末)在一个阳光明媚的上午，数学兴趣小组的同学想测量如图所示的地面上一座古塔的高度，他们发现古塔的影子一部分落在地面上，一部分落在旁边的斜坡上，斜坡与地面的夹角，站在水平地面上身高米的丽丽测得她在地面上的影长为米，同一时刻同学们测得古塔落在地上的影长为1米，落在斜坡上的影长为4米，于是同学们很快利用数学知识算出了古塔的高度，请你帮他们完整的写出求古塔高度的计算过程． 【答案】米，过程见解析 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的应用，含30度的直角三角形，矩形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，，垂足分别为、，在中，利用勾股定理求得和，从而得到长度，接着证明四边形是矩形，得到，最后根据同一时刻物高与影长成正比，得到，从而求得，最后得到长度． 【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为、 在中， ， ， ，， 四边形是矩形 ， 同一时刻站在水平地面上身高米的丽丽在地面上的影长为米 答：古塔的高为米． 19．(24-25九上·辽宁铁岭部分学校·期末)如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度． 【答案】16米 【分析】过C作CE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x，则，求出x即可解决问题． 【详解】解：过C作CE⊥AB于E， ∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°， ∴四边形CDBE为矩形， ∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2， 设AE＝x， ∴， 解得：x＝14， ∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 地 城 考点11 图形的位似 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)如图，在平面直角坐标系中，有两点，以原点O为位似中心，相似比为，把线段缩小，则对应点的坐标分别是（   ） A． B． C．或；或 D．或；或 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质．分两种情况进行讨论，的坐标分别乘以，即可求解． 【详解】解：依题意，原点O为位似中心，相似比为，把线段缩小， 则对应点的坐标分别是或；或 故选：C． 2．(24-25九上·辽宁沈阳于洪区·期末)如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴与的面积比为：， 故选：D． 3．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意； B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意； C、①和④是位似图形，则此项不符合题意； D、②和④是位似图形，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键． 4．(24-25九上·辽宁沈阳大东区·期末)如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的判定和性质、相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据图形位似的性质可得，则可得的值，同理可得两个四边形其余三条对应边的比值，即可解题． 【详解】解：四边形与四边形位似， ， ， ， ， ， 同理可得，，，， 四边形与四边形相似， 四边形与四边形的周长比是， 故选：B． 5．(24-25九上·辽宁鞍山海城东部集团·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换；根据位似图形的性质，将点的横纵坐标乘以即可求解． 【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为2，把放大，点A的坐标为， ∴点的对应点的坐标为或，即或， 故选：D． 6．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（    ） A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9 【答案】A 【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心． ∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2， ∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 7．(24-25九上·辽宁辽阳·期末)如图，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了求位似图形对诮点坐标，注意掌握关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或． 以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以或． 【详解】解：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小， 点的对应点的坐标是：或，即或． 故选：D． 8．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)如图，的两个顶点B、C均在第一象限，以点为位似中心，在y轴左侧作的位似图形，与的位似比为1：2若点C的纵坐标是m，则其对应点E的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点C的纵坐标为m，然后表示出AC、EA的纵坐标的距离，再根据位似比列式计算即可； 【详解】设点C的纵坐标为m，则A、C间的纵坐标的长度为， ∵△ABC放大到原来的2倍得到△ADE， ∴E、A间的纵坐标的长度为, ∴点E的纵坐标为； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了位似变换，坐标与图形的性质，准确分析计算是解题的关键． 二、填空题 9．(24-25九上·辽宁丹东·期末)在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 ． 【答案】（-2，1）或（2，-1）． 【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案． 【详解】解：∵顶点E的坐标是（-4，2），以原点O为位似中心相似比为1：2将△EFO缩小得到它的位似图形△E′F′O， ∴点E′的坐标是：（×（-4），×2），[- ×（-4），- ×2]， 即（-2，1）或（2，-1）． 故答案为（-2，1）或（2，-1）． 【点睛】本题考查位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k得出是解题的关键． 10．(24-25九上·辽宁丹东东港·期末)如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则的坐标是 ．（结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意得出，则，，得出，即可求解． 【详解】如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵与的相似比为 ∴ ∵，， ∴， ∴， ， ∴ ∴ 故答案为： 11．(24-25九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系的第二象限内，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或成为解题的关键 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，点Q坐标为， ∴点P的坐标为，即． 故答案为：． 12．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，小明用灯泡O照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，矩形硬纸片的面积为，则矩形影子的面积为 ．    【答案】100 【分析】此题主要考查了位似四边形．熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．根据矩形与矩形位似，证明，得到，得到，根据纸片的面积为，即得． 【详解】∵， ∴， ∴， 由题意，与位似， ∴， ∵， ∴． 故答案为：100． 13．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期末)如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点、的对应点分别为点，点的坐标分别为，若点的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据位似比等于相似比，原点O为位似中心，利用B、的横纵坐标之比等于、的坐标之比即可求得答案． 【详解】点B、的坐标分别为，若点A的坐标为， 设点的坐标为， 则， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似比等于相似比，求位似图形对应的坐标，理解位似比等于相似比是解题的关键． 14．(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期末)三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】（2，4）或（-2，-4）/（-2，-4）或（2，4）． 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小， ∴点B的对应点B′的坐标为（3×，6×）或（3×（-），6×（-）），即（2，4）或（-2，-4）， 故答案为：（2，4）或（-2，-4）． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 三、解答题 15．(24-25九上·辽宁锦州·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为； (2)在（1）的条件下， ①写出点的对称点的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①点；②点 【分析】本题主要考查作图—位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）由图可得点的坐标，根据位似的性质得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图1，即为所求 图1 （2）解：①由图可得，点， ②由题意得，点． 16．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图，在平面直角坐标中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)以点O为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出，并写出点，，的坐标； (2)在第一象限内将以点O为位似中心放大到原来的2倍得到，画出，并写出点，，的坐标． 【答案】(1)见解析，，， (2)见解析，，， 【分析】此题主要考查了旋转变换、位似变换． （1）利用旋转的性质画出点A、B、C的对应点，，的位置，即可得到，再写出点，，的坐标； （2）直接利用位似图形的性质作出，即可得出点，，的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，    其中，，，； （2）解：如图所示，，，． 17．(24-25九上·辽宁朝阳建平县·期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，-2)、B(4，-1)、C(3，-3)． (1)画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2∶1，并写出点B1的对应点B2的坐标____________； (3)若△A1B1C1内部任意一点P1 的坐标为(a-5，b+3)，直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是____________．    【答案】(1)B1(-1，2) (2)B2(-2，4) (3)P2(2a -10，2b+6) 【分析】（1）先按要求画出平移后所得△A1B1C1，再对照图形写出点B1的坐标即可； （2）连接OA1，并延长到点A2，使OA2=2OA1可得点A2，用同样的方法画出点B2、C2，再顺次连接三点即可得到△A2B2C2，对照图形写出点B2的坐标即可； （3）由△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1可知点P2的坐标是点P1坐标的2倍，由此可得到点P2的坐标； 【详解】（1）如下图所示，△A1B1C1为所求三角形，B1的坐标为：(-1，2)； （2）如下图所示，△A2B2C2为所求三角形，B2的坐标为：(-2，4)；    （3）由题意可知△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1 ∴当点P1的坐标为(a-5，b+3)时，对应点P2的坐标为：(2a -10，2b+6)． 地 城 考点12 新定义综合问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)在数学课堂上，刘老师定义了一个新概念如下：经过多边形某一边的中点，且平分该图形周长的直线叫这个多边形在该边上的“平衡线”，其中与多边形边的两个交点间的线段（含两个交点） 叫做该边上的“平衡线段”，如图（1） 为四边形，边上的中点，且平分四边形周长，则称直线 为四边形 ，边上平衡线，称线段为边上的平衡线段． (1)如图 （2） 中，， ①直接写出，边上的平衡线段长为 ； ②求出中，边上的平衡线段的值． (2)如图（3）为中边上的“平衡线段”，于交 于，为中点． ①判断：与的数量关系，并证明； ②若，求的值（用含的式子表示） ． 【答案】(1)①；② (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）①根据题意得到是等腰三角形，由“平衡线”的定义得到，取线段边的中点，连接，则为边边上的平衡线段，由等腰三角形的性质（三线合一）得到，，在中，由勾股定理即可求解； ②如图，取线段的中点，在线段上取一点，连接，为中边上的“平衡线段”，过点作于点，则，且，可证，得到，，由“平衡线段”的定义得到，则，在中，由勾股定理即可求解； （2）①设，由为中点，得到，，由为中边上的“平衡线段”，得到，根据中位线的定义和性质得到，由此即可求解； ②延长至，使得，根据中位线的判定和性质得到，则=, 设，则，，，所以，根据“平衡线段”的定义得到∴， ，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵在中，， ∴是等腰三角形， 根据经过多边形某一边的中点，且平分该图形周长的直线叫这个多边形在该边上的“平衡线”， ∴如图所示，取线段边的中点，连接， ∴为边边上的平衡线段， ∴，， 在中，， 故答案为：8； ②如图，取线段的中点，在线段上取一点，连接，为中边上的“平衡线段”，过点作于点， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点，即， ∴，， ∵为中边上的“平衡线段”， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：①， 证明：设， ∵为中点， ∴，， ∵为中边上的“平衡线段”， ∴， ∴， ∵为中点，为中点， ∴； ②延长至，使得， ∵为中边上的“平衡线段”， ∴为中点，且为中点， ∴， ∴=, ∵，设， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为中边上的“平衡线段”， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义，等腰三角形的性质，中位线的判定和性质，平行线截线段成比例等知识的综合运用，理解新定义，掌握中位线的判定和性质，平行线截线段成比例的计算方法是解题的关键． 2．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形． 例如：如图1，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形． 【初步理解】 （1）如图2，为等边三角形，点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接，． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （2）如图3，四边形为单直邻等四边形，，连接，若，，作，且，连接并延长交于点，交于点M．求的值； 【解决问题】 （3）如图4，射线于点C，，，点在射线上，，点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形，的分平分线交于点P，请直接写出的长________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）4或2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）可证得，从而得出，从而得出，从而得出结论； （2）作于G，作于H，可证得，从而，，进而得出，根据，从而得出，从而，故，进而得出，不妨设，则，根据勾股定理得出的值，进而求得的值，进一步得出结果； （3）作于Q，设和交于点G，解直角三角形得出和的值，进而得出的值；当点A在下方时，求得的值，进而得出的值，进而得出的值，进而得出的值，当点A在上方时，同样得出结果． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点E在的平分线上， ∴， ∵绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为单直邻等四边形； （2）如图1， 作于G，作于H， ∵四边形为单直邻等四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）作于Q，设和交于点G， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点A在下方时， ， ∵四边形为单直邻等四边形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点A在上方时（图中）， ， 同理可得，， 综上所述：或2， 故答案为：4或2． 地 城 考点13 综合探究问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁鞍山海城西部集团·期末)【问题初探】 在数学活动课上，张老师给出如下问题：“如图1，在中，是的角平分线，求证：”，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点C作的平行线交的延长线于点E，运用等腰三角形和相似等知识解决问题． ②如图3，小强同学从“是的角平分线”给出了另一种解题思路：在上截取，连接，过点C作的平行线交的延长线于点G，也是利用相似等知识解决问题． （1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程． 【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对应边的比．为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，提出下面问题，请你解答． （2）如图4，若的外角平分线交的延长线于点D，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在四边形中，，，，平分，求的长． 【答案】（1）小丽同学的解题思路；证明见解析（2）证明见解析（3） 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）小丽同学，由平行线分线段成比例得到，再证即可；小强同学，证明，则，得到，，则，，即可得到结论； （2）过点D作交于点M，则，，，由比例的性质得到，证明，即可得到结论； （3）延长交的延长线于点F，求出，，，进一步得到，．过点E作于点G，证明是等腰直角三角形，，则，，求得，即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：小丽同学， ∵， ∴，； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 小强同学， 在上截取，连接，过点C作的平行线交的延长线于点G， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． （2）证明：如图4，过点D作交于点M， ∴，，， ∴，则； ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图5，延长交的延长线于点F， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，． ∴ 过点E作于点G， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得， ∴． 2．(24-25九上·辽宁阜新实验中学·期末)如图，在正方形中，P为对角线上任意一点，以为斜边在的左侧构造等腰直角．求证：点E在线段的垂直平分线上． 小亮的思路是： 如图1，连接交于点O，再通过构造相似三角形来解决这个问题． 小颖的思路是： 如图2，过点E作的垂线，N为垂足，交于点O，再通过构造全等三角形来解决这个问题： 请回答下列问题： (1)①如图1，与的数量关系是_________； ②如图2，与相等的角是________； (2)请你选择其中一种思路，写出完整的证明过程； (3)连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接．若正方形的边长为4，的长为，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①由正方形的性质和等腰直角三角形的性质得到，据此可证明；②根据垂线的定义和三角形内角和定理得到，再由平角的定义得到，则； （2）小亮的思路：连接，证明，则可证明，得到，则垂直平分，即点E在线段的垂直平分线上；小颖的思路，过点P作于H，证明，得到；再证明，得到；则可证明，进而得到垂直平分，即点E在线段的垂直平分线上； （3）连接交于O，连接，证明，得到，则；由勾股定理得，则；根据，得到，则；过点F作交延长线与H，则，求出，则，利用勾股定理得到，则，最后根据列式求解即可． 【详解】（1）解①∵四边形是正方形， ∴， ∵是以为斜边得到等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴ ∵是以为斜边得到等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：选择小亮的思路，证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵是以为斜边得到等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， 又∵， ∴垂直平分， ∴点E在线段的垂直平分线上； 选择小颖的思路，证明如下： 如图所示，过点P作于H， ∵， ∴， ∵∵是以为斜边得到等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴点E在线段的垂直平分线上； （3）解；如图所示，连接交于O，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，； 由（2）的结论可知， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 由（2）可知， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点F作交延长线与H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 3．(24-25九上·辽宁锦州·期末)某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，是边上一点，连接，于点，交于点．求证：； 【延伸应用】 （2）如图2，在菱形中，是边上一点，连接，是上一点，的延长线交于点，且，（1）中结论是否仍然成立，请说明理由； 【类比迁移】 （3）如图3，在矩形中，，，是的中点，是上一点，交于点，交于点，连接，交于点．若，求． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3） 【分析】（1）证明，即可证明； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，利用等积法求得，再证明，即可证明； （3）过点作交于点，连接，，证明，推出，设，则，，在中，利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】证明：（1）如图，四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）成立 如图，过点作于点，过点作交延长线于点． ． 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作交于点，连接，， 四边形是矩形， ，． ， ． ． ， ． ． ． 是中点， ． ，， ． ． 设，则，， 在中，， ． ． ， ，，． ，， ． ，即． ， ， ，， 即． ． ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 专题09图形的相似 ☆13大高频考点概览 考点01比例的性质 考点02成比例线段 考点03平行线分线段成比例 考点04黄金分割 考点05相似多边形 考点06相似三角形的判定 考点07相似三角形的性质 考点08相似三角形的判定与性质综合 考点09相似三角形的动点问题 考点10相似三角形的实际应用 考点11图形的位似 考点12新定义问题 考点13综合探究问题 考点01 比例的性质 一、单选题 1,(24-25九上辽宁沈阳于洪区期末)已知=(x≠0，y≠0)，下列变形 A.3x=4y B.= c.= D. 2.2425上辽宁沈阳洗北新区期末若“，=系则的值为〈) A.-9 B. c. D 1/42 让教与学更高效 错误的是() 4x=3y 2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 3.(2425九上辽宁丹东期末)已知哈=3则=一· 4.(2425九上辽宁沈阳铁西区期未)已知品=贸=克则m=一。 5.(2425九上辽宁铁岭部分学校期末)若号==号=2，且b+d+f=3,则a+c+e= 6.(Q425九上辽宁阜新细河区期末)已知后=手则8台= 7.24-25九上辽宁朝阳一中联盟校期末)已知=子，则的值等于 8.Q425九上辽宁卓新实验中学期末)若=多则=一 9.(23-24九上辽宁丹东东港期末)若实数a,b,c满足告=告==m,则m= 10.(23-24九上辽宁铁岭第四中学期末)已知=名=名≠0，则t的值为 1.(Q3-24九上辽宁沈阳和平区期末)已知哈=后=5，若b+d≠0，则8+后=一 12.(23-24九上辽宁沈阳辽中区期末)已知后=号=≠0，且a+b-2c=3,b+c=_ 考点02 成比例线段 一、单选题 1.(24-25九上·辽宁朝阳建平县期末)下列各组长度的线段（单位：厘米）中能构成成比例线段的是() A.1,2,3,4B.2,5,6,8 C.3,6,7,9 D.3,9,6,18 2.(24-25九上·辽宁朝阳一中联盟校·期末)下列命题正确的是() A.已知：线段a=1cm,b=2cm,c=3cm,d=4cm,则a,b,c,d是比例线段 B.方程x2-2x+2=0没有实数根 C.己知点A(-1,y),B(-2y2)是函数y=-图像上的两点，则y2>y D.角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 3,(23-24九上·辽宁朝阳建平县·期末)下列四条线段成比例的是() A.a=4,b=6,c=5,d=10 B.a=V2,b=3,c=2,d=V3 C.a=2,b=V5,c=V15,d=23 D.a=12,b=8,c=15,d=11 目目 考点03 平行线分线段成比例 2/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一、单选题 1.(24-25九上辽宁沈阳和平区·期末)如图，直线l1l2Il3,直线a,b与l1,l2,l3分别交于A,B,C和点D, E,F.若AB:BC=23,EF=9,则DE的长是() a b B F A.4 B.5 C.6 D.12 2.(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若 某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数 值范围内)，若A,B,C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为(） 500A 400 300 200 A.月 B.3 c. D.2 3.(Q425九上辽宁指锦大注区期末)如图，在△ABC中，EDIAC,且=克则船的值为() B A.月 B. c.3 D. 4.(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若AB IICD II EF,AC=39 cm,器=景，则cE的长为() 3/42 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C G H 图① 图② A.13cm B.26cm C.65cm D.104cm 5.(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，己知AB//CD/EF,BD:DF=1:2,那么下列结论正确的是 (). A B D E F A.AC:AE=1:3 B.CE:EA=1:3 C.CD:EF =1:2 D.AB:CD=1:2 6.(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区期末)如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长 交BC于点E,若BF:FD=3:1,BC=10,则CE的长为() F B E A.3 B.4 C.5 D.号 7.(24-25九上·辽宁沈阳铁西区·期末)如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC边上，且DEIBC.若AB=6, AD=4,则的值为() 4/42 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9 D B A.月 B. C.3 D.2 8.(24-25九上辽宁朝阳建平县期末如图，直线l1Il2Il3,直线AC和DF被l1,l2,l3所截，如果AB=3,BC=5, EF=4,那么DE的长是() D A.号 B.号 C. D.号 9.(24-25九上·辽宁沈阳第七中学·期末)如图，直线allbllc,AB=3,BC=2,DE=4,则EF的长为() D B A.6 B.8 C.4 D.8 10.(24-25九上辽宁辽阳灯塔第一初级中学期末如图，AB‖CD‖EF,AF与BE交于点G,若AG=2,DG=1, DF=5,则2的值为() D A. B.目 C. D.1 二、填空题 5/42 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(24-25九上·辽宁大连嘉汇集团·期末)如图，直线AD,BC交于点O,AB II EF‖CD.若A0=2,OF=1, FD=2.则25的值为， B 目目 考点04 黄金分割 一、单选题 1.(24-25九上·辽宁丹东·期末)“黄金格”是当代书法大师启功先生独创的习字格，深受众多书法爱好者的喜 爱，如图，正方形ABCD是黄金习字格的边框，正方形每条边上的格点（端点除外）都是这条线段的黄金分 割点，若AB=10mm,则AF长为()mm E B A.155-5B.6 C.5V5-5 D.8 2.(24-25九上·辽宁阜新实验中学期末)如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BD是△ABC的 中线，以D为圆心，AD为半径画弧，交BD于点E.以B为圆心，BE为半径画弧，交AB于点M,则下列等 式成立的是() D E B A M A.=照 B.= c.E=器 D.= 6/42 6学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按 照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔 画至少要穿过两个黄金分割点才美观.若正方形黄金格”的边长为2cm,四个黄金分割点组成的正方形的边 长为() 左线右线 上线 黄金分割 下线 A.(V5-1)cmB.(3-⑤cm c.(2√5-4)cm D.(6-2W5cm 4.(2425九上·辽宁丹东凤城期末)下列命题正确的是() A.顺次连接矩形四边的中点得到菱形B.对角线相等的四边形是矩形 C.两边成比例及一角相等的两个三角形相似D.若点P是线段AB的黄金分割点，则PA=5,AB 5.(23-24九上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，它泛着 可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高6cm,则玩偶嘴巴到脚的距离是() A.(3V5-3)cmB.5-1cm C.3-5cm 3 D.(9-3V5)cm 3 6,(23-24九上·辽宁丹东·期末)黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美 心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品.在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个 有着最美比例的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB>BC,若AC=16cm,那么AB的长为()cm A.24-8V5 B.48-165 C.8V5-8 D.165-16 二、填空题 7/42 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25九上·辽宁沈阳第七中学期末)如图，乐器上的一根琴弦AB=50cm,两个端点A、B固定在乐器板 面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C、D之间的距离 为 D 目目 考点05 相似多边形 一、单选题 1.(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似， 己知AB=4,则AD的长为() M D 1 A.4V2 B.22 C.3√2 D.82 2.(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们对应边上的高之比为() A.1:V2 B.1:2 C.1:4 D.18 3.(24-25九上辽宁盘锦兴隆台区期末)如图，四边形ABCD一四边形A'BCD',AD=3,CD=7,AD =1.5,∠C=57°，则CD'和∠C的度数分别为()· D A.3.5和57°B.7和57° C.3.5和75° D.7和75 4.(24-25九上·辽宁丹东凤城期末)把矩形ABCD对折，折痕为MN,如果矩形DMNC和矩形ABCD相似，则 矩形DMNC和矩形ABCD它们的相似比为() 8/42 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M D N A.② B.2 C.2 D.2 5.(24-25九上·辽宁沈阳第七中学期末)如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a,宽BC=b,E、F分别是 AB,CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD与矩形ABCD相似，则a:b等于() F b E A.V3:1 B.1V2 C.1V3 D.V2:1 6.(23-24九上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列说法正确的是() A.等边三角形都是相似三角形 B.矩形都是相似图形 C.各边对应成比例的多边形是相似多边形D,边长相等的菱形都相似 7.(23-24九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠： 使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE;使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF,若矩 形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1,则CD的长为() D H G E B A.V2-1 B.5-1 C.V2+1 D.V5+1 8.(23-24九上·辽宁沈阳浑南区·期末)国旗上大、小五角星的边长比是5：3，若大五角星的面积为50，则 小五角星的面积为() A.9 B.18 C.25 D.30 9.(23-24九上·辽宁沈阳康平县期末)下列说法正确的是() A.所有的菱形都相似 B,所有矩形都相似 9/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.所有正方形都相似 D,所有等腰三角形都相似 目目 考点06 相似三角形的判定 一、单选题 1.(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能 判断△ABC一△AED的是() D E B A.∠AED=∠B B.∠ADE=∠C c怨-治 D.2=能 2.(24-25九上·辽宁朝阳一中联盟校·期末)△ABC中，P为AB上的一点.下列四个条件①∠ACP=∠B:② LAPC=∠ACB:③%=总：④是=等，其中能判断△APC-△ACB的有（） A B A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ 3,(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)如图，在等边三角形ABC中，点E,F分别在AC,BC上，且 AE·AC=AP·AF,则下列不正确的是() C A.△AEP~△AFCB.△ABF~△BCEC.△ABP~△PAED.△PBF~△CBE 4.(24-25九上辽宁辽阳期末)如图，点E为△ABC外一点，BE与AC交于点F,点D在线段BE上，连接 10/42