培优05 常用相似三角形模型（7大题型）（专项训练）数学北师大版九年级上册

培优05 常用相似三角形模型（7大题型） 题型1 A字模型的应用  A字模型核心是有一条公共边或底边，且存在一组平行线或共顶角的两个三角形。解题时，首先识别图形中是否包含基本的“A”字结构（正A或斜A）。若题中无明确平行线，常需通过证明同位角或内错角相等来得到平行关系，从而应用“平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似”这一定理。它是解决比例线段问题最基础的模型。 1．如图，在中，，，，则（   ） A．15 B．20 C．25 D．45 2．如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 3．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 4．如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是 ． 5．如图，在中，为的对角线，请用尺规作图法在的延长线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 6．在中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围． 7．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 8．如图：在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 9．如图，已知的三边长cm，cm，cm，点D在边上，且cm，动点P从A点出发沿方向以的速度向B点匀速运动，设运动时间为t． (1)当点P在线段上时，_________（用含t的代数式表示），当点P在上时，________________；（用含t的代数式表示） (2)在点P运动的过程中，若直线截得的三角形与相似，求t的值． 10． 中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 11．如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G． （1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG； （2）当α≠60°时， ①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG； ②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长． 题型2 8字模型 8字模型特征是两个三角形像一个“8”字一样对顶相交。应用关键在于熟练运用对顶角相等这一条件。在复杂的图形中，往往需要从重叠部分中抽象出基本的8字结构。这个模型是证明线段乘积式（如ad=bc） 或求线段比的利器，通过相似得到比例式后交叉相乘即可。 13．如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 15．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ． 16．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 17．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，=_______． (2)如图②，在线段上找一点，使． 18．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 19．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在中，点O在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决问题（如图2） 请回答：　　　　　，　　　　　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 题型3 K字型模型  K字型是一条直线上存在三个相等的角，且它们所对的边是公共边或平行的模型。其核心在于，一旦识别出“一线三等角”，即可利用三角形内角和导出另一组对应角相等，从而证明相似。它尤其适用于直角坐标系中的动点问题或矩形、正方形背景的题目，是连接几何与代数的重要桥梁。 20．.如图，矩形的边上有一点P，且，，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接，则 ． 21．如图，在正方形中，点，分别在边和上，，垂足为，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 22．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为 23．如图所示，在中，，，E，D分别是，上的点，且．求证：． 24．如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)证明：； (2)若，，，则点A到直线的距离为______． 25．正方形中，是边上一点，连接，过点作，垂足为点，且，连接． (1)求证：． (2)设直线交于点．连接，若，求证：． 26．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 27．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 28．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 29．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转． (1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； (2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积； (3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长． 30．（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 题型4 十字架模型  十字架模型特指在正方形或矩形中，存在两条互相垂直的线段的结构。应用此模型，首要步骤是证明包含垂直关系的两个直角三角形相似（通常通过“直角相等”加“一组锐角互余”推导出另一组锐角相等）。该模型结论直接：垂直线段与图形对应边成比例，常用于快速计算边长。 31．如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作于点，交边于点，，则线段的长为 ． 32．（1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且，则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，．求． 33．（1）如图1，在正方形中，点E、F分别为和的中点，连接，相交于点G，若，则的长为______． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别在边上，且，连接，点M为线段上一动点，过点M作，分别交于点H、G，若等分矩形的面积，求的长． （3）如图3，在正方形中，M为上一点，且，E，F分别为上的动点，且，若，直接写出的最小值． 34．综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 35．小滨类比全等三角形的性质与判定的学习方法，自学相似三角形的性质与判定，下面是他学习相似三角形的学习笔记： 1.相似三角形的表示方法：与相似，记为． 2.相似三角形的判定：两个角分别相等的两个三角形相似． 如图，∵，，∴． 3.相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例：如图，，则．       【问题背景】如图①，在正方形中，点E，F分别为，上的点，连接． (1)【问题解决】 连接EF，若，，则中填的角可以是：______（填一个即可）； (2)【知识迁移】如图①，在（1）的条件下，求证：； 小滨证明方法如下，请补全证明过程： 证明：在正方形中，，∴，______． 又∵，∴______，∴______，______； 在和中，，∴． (3)【拓展延伸】如图②，连接，交对角线于点G，若点E为中点，，判断线段与的数量关系，并说明理由． 36．数学活动课上，李志刚老师给出如下问题： 【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：； 【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形． （1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程； 【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题： （2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值； 【学以致用】 （3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值． 37．某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 题型5 子母模型  子母模型的最经经典代表是直角三角形斜边上的高所构成的经典图形，它将原三角形分成的两个小三角形彼此相似，且都与原三角形相似。应用此模型必须满足两个条件：①是直角三角形；②作出了斜边上的高。其衍生出的射影定理（如：直角边的平方等于其射影乘以斜边）是求线段长度的强大工具，应熟记于心。 38．如图，在中，，，平分，若，则长度为（    ） A． B． C． D． 39．如图，在中，，，，点E是上的一点，连接，，则的值为（　 　） A． B． C． D． 40．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 41．如图，在中，于，求证：． 42．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 43．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 44．如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 45．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 46．小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图①，在中，D、E分别是边、上的点，且，易证． 【探究】如图②，在中，点D与点B重合，且 （1）求证：； （2）如图③，当时，则图中共有_____组相似三角形，线段、、的数量关系为______． 【应用】（3）如图④，在中，作于点D，作于点E、作于点F．若，，则的值为______． 47．如图，在中，点在边上，． (1)图中相似的三角形有______对． (2)自习课上聪聪在完成课本页这道习题时作出如下猜想：若，其余条件不变，那么与肯定会存在某种函数关系式，请你求出这种函数关系式． (3)明明在聪聪猜想的基础上又作出如下猜想：若，只要与满足某种关系，（）中的函数关系式仍然成立．你同意明明的观点吗？如果你同意请直接写出与所满足的关系；若不同意；请说明理由． 题型6 旋转模型 旋转模型指两个三角形绕同一顶点旋转一定角度后构成，且通常有一组相等的角（旋转角）作为公共角。解题时，首先要识别出图形是由旋转变换得到的，这通常意味着两组对应边分别相等且夹角相等。在证明相似时，常需先通过边的比例关系证明一对三角形相似，再利用旋转角相等来证明另一对三角形相似，是综合性较强的模型。 48．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 49．已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且． (1)点D与点B重合时， ①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ； ②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由； (2)BD＝2CD时， ①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度； ②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值． 50．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 51．【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 52．已知，，直线与直线相交于点． (1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； (2)如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； (3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 53．如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 54．如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． (1)观察、猜想 观察图1，猜想 ， (2)探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围 55．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 56．如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长．    57．在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. (1)观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． 58．如图1所示，矩形中，点E，F分别为边,的中点，将绕点A逆时针旋转，直线、相交于点P． (1)若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置上，则线段与的位置关系是 　 　，数量关系是 　 　． (2)若，将绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请写出正确结论 (3)若，，将旋转至时，请直接写出的长． 题型7 内接矩形模型  勾股数问题解题策略 策略： 验证等式 ，且 a,b,c为正整数； 利用公式 生成。 关键：检查是否互素或含公约数，排除非本原解（如6,8,10需约分）． 59．如图，在中，是高，矩形的一边在边上，另两个顶点、分别在边、上，与相交于点．若，，，则 ．    60．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 61．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 ． 62．定义：在中，点D和点E分别在边、边上，且，点D、点E之间的距离与直线与直线间的距离之比称为关于的横纵比．已知，在中，，边上的高长为3，关于的横纵比为，求的长． 63．如图，中，，高， 矩形的两个顶点E、F在上， 另两个顶点G、H分别在上， 且， 求四边形的面积． 64．有一块三角形的余料，要把它加工成矩形的零件，已知：，高，矩形的边在边上，G、H分别在、上，设的长为、的长为． (1)写出y与x的函数关系式． (2)当x取多少时，是正方形？ 65．阅读应用： 将生活中的问题抽象为数学问题的数学思想叫做建模思想．解决几何问题时，构建平面直角坐标系，利用坐标将图形的线段或角用数或式子表示，再根据相关几何关系、数量关系就可以利用代数方法解决几何问题，这就是平面几何解析思想，也是几何问题代数化的一种常用的转化思想． 生活现象： 如图1，在一直角边分别为20米、40米的直角三角形草地上修建正方形花坛，要求正方形与直角三角形的直角顶点重合，有一个直角顶点在斜边上，问：应怎样修建？ 【数学问题】 （1）如图2，以O为原点，射线分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，，，求直线的函数解析式． 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，P为边上任意一点，过点P作，作，垂足分别为C，D，设点P的横坐标为t，那么可以用t表示出，当四边形是正方形时，请求出的长． 【初步应用】 （3）如图3，在中，，当四边形是正方形时，______．（第3问不写解答过程） 培优综合练 66．如图2，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图2的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图3）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 67．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 68．阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 69．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 70．在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．    (1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长． 71．【问题背景】（1）已知D、E分别是的边和边上的点， 且， 则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ；并加以证明． 【迁移应用】（2）如图3， 在中，， D、E， M分别是中点， 连接和． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，直接旋转过程中写出线段和的始终存在的位置和数量关系： ； ② 把绕着点 A 逆时针方向旋转到如图5，连接和，取中点 N，连接， 若，求的长． 【创新应用】（3）如图6，是直角三角形，，将绕着点 A旋转， 连接， F是上一点， 连接，请直接写出的最小值． 试卷第2页，共143页 28 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优05 常用相似三角形模型（7大题型） 题型1 A字模型的应用  A字模型核心是有一条公共边或底边，且存在一组平行线或共顶角的两个三角形。解题时，首先识别图形中是否包含基本的“A”字结构（正A或斜A）。若题中无明确平行线，常需通过证明同位角或内错角相等来得到平行关系，从而应用“平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似”这一定理。它是解决比例线段问题最基础的模型。 1．如图，在中，，，，则（   ） A．15 B．20 C．25 D．45 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 根据平行线的性质证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，延长到点G，使，连接，首先求出，，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，延长到点G，使，连接 ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵E是中线的中点 ∴， ∵， ∴ ∴ ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形和全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 3．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 【答案】2 【分析】过作垂直于点，过作交于点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用，求出的长，最后得出答案．本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 【详解】解：如图：过作垂直于点，过作交于点， 在中，， ， 又， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 故答案为：2． 4．如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是 ． 【答案】5 【分析】AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接AG，又因点F是DC上是一动点，由三角形的边与边关系，只有当点F在直线AG上时，最小，由平行四边形CEFG可知时，可求的最小值 【详解】解：如图所示：过点C作，且，连接FG， 设，则, 当点A、F、G三点共线时，的最值小， ∵，且， ∴四边形CEFG是平行四边形； ∴，， 又∵点A、F、G三点共线， ∴， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵， ∴四边形AECF是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 又∵，，则， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得， ，所以 ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴，即最小值是5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定． 5．如图，在中，为的对角线，请用尺规作图法在的延长线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【分析】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，相似三角形的判定，以为边，作，交延长线于点，则点即为所求，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：以为边，作，交延长线于点，则点即为所求，如图： ∵，， ∴． 6．在中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围． 【答案】 【分析】作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x，首先结合相似三角形的判定与性质推出和的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可． 【详解】解：如图所示，作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵点D在AB上，， ∴，， ∴抛物线的开口向下，且当时，取得最大值为， 当和时，均有， 综上分析，的取值范围是． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判定与性质推出相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键． 7．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 【答案】 【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出， 即可得出答案； 【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H． 因为． 所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以． 所以， 所以． 解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为M为AD的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以，所以． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，且， 所以． 解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H． 在中， 因为M为AD的中点，， 所以N为AH的中点，即． 在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即， 所以． 所以． 8．如图：在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列式计算即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． 9．如图，已知的三边长cm，cm，cm，点D在边上，且cm，动点P从A点出发沿方向以的速度向B点匀速运动，设运动时间为t． (1)当点P在线段上时，_________（用含t的代数式表示），当点P在上时，________________；（用含t的代数式表示） (2)在点P运动的过程中，若直线截得的三角形与相似，求t的值． 【答案】(1)，； (2)或或3或 【分析】本题为图形上动点问题，考查了相似三角形判定等知识，注意分类讨论是解题关键﹒ （1）根据题意即可用含t的代数式表示出，； （2）分点在上时，和点在上时，，两种情况讨论，每种情况分别讨论相似，即可求出t的值﹒ 【详解】（1）解：当点P在线段上时，，（用含t的代数式表示），当点P在上时，； 故答案为：，； （2）解：当点在上时，， ①如图1， 当时， ∵， ∴， 此时， 解得：； ②如图2， 若时， ∵， ∴， 此时， 解得：； 当点在上时，， ③如图3， 若时， ∵， ∴， 此时 解得：； ④如图4， 若时， ∵， ∴， 此时， 解得﹒ 综上可知：或或3或． 10． 中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或 【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案； （2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围； （3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm， ∵AC=20cm， ∴CP=（20-4t）cm， 在Rt△CPQ中， ， 即； ∴秒或秒 （2）由题意得，，则， 因此的面积为； （3）分两种情况： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得． 因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 11．如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②7 【分析】（1）证明，即可由相似三角形的性质得出结论； （2）①先证明，得，从面可得，则，根据ABP，则，然后根据，则，即可求解； ②过点作交于点，连接，证明，得，则，再证明，则，然后证明，得，则，从而得，则，求得，则，由求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(1)知， ∴，， ∴， ∴，即 ∵ ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作交于点，连接 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行线间的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G． （1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG； （2）当α≠60°时， ①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG； ②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长． 【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②EG的长为或． 【分析】（1）AD＝AC，∠ADC＝60°，可证△ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，可得∠HAD=∠B=60°=∠GCD，由∠GDH=∠CDA=60°，可证∠HAD =∠CDG，即可证△ADH≌△CDG（ASA）； （2）①根据AD＝AC，∠ADC＝α，可得∠ACD=∠ADC＝α，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，可得∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，由∠GDH=α=∠ADC，可得∠ADH =∠CDG即可； ②根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证△AGE∽△CGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=，根据勾股定理CN=，由GM∥CN，再证△AMG∽△ANC，可求,，EM=AE-AM=，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，由AE∥CD，△GAE∽△GCD，可求GA=6，由GM∥CN，可证△GMA∽△CNA，可得，，EM=AE-AM=3-，根据勾股定理EG=． 【详解】（1）证明：∵AD＝AC，∠ADC＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC， ∴∠HAD=∠B=60°=∠GCD， ∵∠GDH=∠CDA=60°， ∴∠HDA+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60°， ∴∠HDA =∠CDG， 在△ADH和△CDG中 △ADH≌△CDG（ASA）； （2）①证明：∵AD＝AC，∠ADC＝α， ∴∠ACD=∠ADC＝α， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠HAD=∠ADC=α=∠GCD， ∵∠GDH=α=∠ADC， ∴∠ADH+∠ADG=∠CDG+∠ADG=α， ∴∠ADH =∠CDG， ∴△ADH∽△CDG； ②解：当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M， ∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12， ∴∠EAG=∠DCG，∠AEG=∠CDG， ∴△AGE∽△CGD， ∴， ∴， ∵AD=AC=12， ∴AG+CG=AG+3AG=4AG=12， ∴AG=3， ∴CG=AC-AG=12-3=9， ∵AC=AD=BC，CN⊥AB， ∴AN=BN=， 在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=， ∴GM∥CN， ∴△AMG∽△ANC， ∴， ∴,， ∴EM=AE-AM=， 在Rt△MGE中，根据勾股定理EG=， 当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M， ∵AE∥CD， ∴∠GAE=∠GCD，∠GEA=∠GDC， ∴△GAE∽△GCD， ∴， ∴， ∵AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12, ∴GA=6， ∵AC=AD=BC，CN⊥AB， ∴AN=BN=， 在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=， ∵CN⊥AB， GM⊥AE， ∴GM∥CN， ∴△GMA∽△CNA， ∴， ∴，， ∴EM=AE-AM=3-， 在Rt△GME中，根据勾股定理EG=， ∴综合EG的长为或． 【点睛】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键． 题型2 8字模型 8字模型特征是两个三角形像一个“8”字一样对顶相交。应用关键在于熟练运用对顶角相等这一条件。在复杂的图形中，往往需要从重叠部分中抽象出基本的8字结构。这个模型是证明线段乘积式（如ad=bc） 或求线段比的利器，通过相似得到比例式后交叉相乘即可。 13．如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行线的性质和相似三角形的判定可知，从而得到，即可求得的长． 【详解】解： ， ，， 故选：A． 14．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 15．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得，，从而可得，，然后证明8字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 16．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式． 17．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，=_______． (2)如图②，在线段上找一点，使． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意易知，，，然后问题可求解； （2）同（1）的方法构造相似三角形，根据相似三角形的性质与判定可直接进行作图． 【详解】（1）解：由图可知：，，， ； 故答案为： ； （2）线段上找一点，使，所作图形如下： 18．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 19．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在中，点O在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决问题（如图2） 请回答：　　　　　，　　　　　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 【答案】（1）75，；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边可得出即可求解； （2）过点B作交AC于点E，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，再在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）如图2中，过点B作，交的延长线于点D， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵∠，， ∴， ∴； 故答案为：75， ． 在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 （2）如图3中，过点B作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在中， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 题型3 K字型模型  K字型是一条直线上存在三个相等的角，且它们所对的边是公共边或平行的模型。其核心在于，一旦识别出“一线三等角”，即可利用三角形内角和导出另一组对应角相等，从而证明相似。它尤其适用于直角坐标系中的动点问题或矩形、正方形背景的题目，是连接几何与代数的重要桥梁。 20．.如图，矩形的边上有一点P，且，，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线． 过点E作于点M，证明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点M， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 21．如图，在正方形中，点，分别在边和上，，垂足为，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键．设，证明，可得，利用勾股定理求出，然后证明，对应边成比例得，求出，进而可以解决问题． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ，， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 22．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为 【答案】 【分析】根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式 【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°， AB=6、AD=4，AE=x、DF=y， 即 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23．如图所示，在中，，，E，D分别是，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形相似的判定，等腰直角三角形的性质，三角形外角的定义及性质，由等腰直角三角形的性质可得，由三角形外角的定义及性质可得，结合即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：，， ， ， 即， ， ， ． 24．如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)证明：； (2)若，，，则点A到直线的距离为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证得是解题的关键， （1）由四边形是矩形，得到，由得出，由同角的余角可得出，进而即可得解； （2）根据勾股定理得到，通过，得到，列方程求解即可得到结果； 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ，即， 点到直线的距离， 故答案为：． 25．正方形中，是边上一点，连接，过点作，垂足为点，且，连接． (1)求证：． (2)设直线交于点．连接，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）过点作，垂足为点，证明，再证是等腰直角三角形即可； （2）证明，由边成比例可得，再由即可得证． 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、勾股定理等，是关于三角形的综合题． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为点． ∵四边形是正方形， 在与中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴由勾股定理可知， ∴． 26．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段之间数量关系：，理由见解析． 【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ， ， ． （2）解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． （3）解：线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 27．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 28．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 29．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转． (1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； (2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积； (3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3)4 【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再证得PE＝PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE＝PC来实现； （2）由（1）不难得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积； （3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP＝x，则CP＝6﹣x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可． 【详解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°， 因此直角三角形PEB中，， ∴∠BPE＝30°， ∵∠EPF＝60°， ∴FP⊥BC， 在△BEP和△CPF中， ， ∴△BEP≌△CPF， ∴EP＝PF， ∵∠EPF＝60°， ∴△EPF是等边三角形． （2）过E作EH⊥BC于H， 由（1）可知：FP⊥BC，， 在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°， ∵∠PFE＝60°， ∴∠GFC＝90°， 直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4， ∴GC＝2CF＝8， ∴GB＝GC﹣BC＝2， 直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4， ∴PE＝2，BE＝2， ∴EH＝BE•PE÷BP＝， ∴S△GBE＝； （3）∵在BPE中，∠B＝60°， ∴∠BEP+∠BPE＝120°， ∵∠EPF＝60°， ∴∠BPE+∠FPC＝120°， ∴∠BEP＝∠FPC， 又∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CFP， ∴， 设BP＝x，则CP＝6﹣x． ∴＝， 解得：x＝2或4． 当x＝2时，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2， 过E作EH⊥BC于H， 则EH＝BE•sin∠B＝2，BH＝2， ∴PH＝0， 即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x＝2不合题意，舍去； 当x＝4时，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4， 则△BEP是等边三角形， ∴PE＝4． 故PE＝4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用． 30．（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【答案】（1），（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解； （2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解； （3）延长到点P使，连接，过点C作，利用等腰三角形三线合一和解三角形求出，再证明，得即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为， （2）如图，过点作垂足为H， 同理（1）得：， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴，解得：， ∴，，， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴四边形的面积=． （3）延长到点P使，连接，过点C作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵且， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，（不合题意舍去） ∴ 【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似． 题型4 十字架模型  十字架模型特指在正方形或矩形中，存在两条互相垂直的线段的结构。应用此模型，首要步骤是证明包含垂直关系的两个直角三角形相似（通常通过“直角相等”加“一组锐角互余”推导出另一组锐角相等）。该模型结论直接：垂直线段与图形对应边成比例，常用于快速计算边长。 31．如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作于点，交边于点，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，，先证明，得到，，证明为等腰直角三角形，从而可证明，设，则根据勾股定理列方程并求解，得到，进而求出、、的长，勾股定理求出的长，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ，即垂直平分， ， 设， ，， ， ，， 在中，，即， 解得， ， ，， ，， ， ，， ， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 32．（1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且，则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，．求． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定： （1）根据正方形的性质得到证明三角形全等即可； （2）过点作于点，利用勾股定理和正方形的性质证明四边形是矩形，进而证明出，再求出比例即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）过点作于点， 四边形是矩形，且，， ，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 33．（1）如图1，在正方形中，点E、F分别为和的中点，连接，相交于点G，若，则的长为______． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别在边上，且，连接，点M为线段上一动点，过点M作，分别交于点H、G，若等分矩形的面积，求的长． （3）如图3，在正方形中，M为上一点，且，E，F分别为上的动点，且，若，直接写出的最小值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）证，推出，得到；再证，即可求解； （2）根据，可推出；作，证，得到，即可求解； （3）延长至点，使得，作，连接交于点，作，证，得到，即；，即；再证，推出；根据， 得四边形是平行四边形，推出；得出结论， 故：当三点共线时，有最小值；据此即可求解； 【详解】解：（1）由题意得：， ∵点E、F分别为和的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∴； （2）∵， 又∵等分矩形的面积， ∴， ∴， ∴； 作，如图所示： 则四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴； ∴， ∴； （3）延长至点，使得，作，连接交于点，作，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，， ∴； ∵， ∴； ∴，即；，即； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴；； ∴， 故：当三点共线时，有最小值； 作，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是作辅助线构造最小值的图形． 34．综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 35．小滨类比全等三角形的性质与判定的学习方法，自学相似三角形的性质与判定，下面是他学习相似三角形的学习笔记： 1.相似三角形的表示方法：与相似，记为． 2.相似三角形的判定：两个角分别相等的两个三角形相似． 如图，∵，，∴． 3.相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例：如图，，则．       【问题背景】如图①，在正方形中，点E，F分别为，上的点，连接． (1)【问题解决】 连接EF，若，，则中填的角可以是：______（填一个即可）； (2)【知识迁移】如图①，在（1）的条件下，求证：； 小滨证明方法如下，请补全证明过程： 证明：在正方形中，，∴，______． 又∵，∴______，∴______，______； 在和中，，∴． (3)【拓展延伸】如图②，连接，交对角线于点G，若点E为中点，，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，，， (3)线段与的数量关系为，理由见解析． 【分析】（1）由，结合已知求解即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，补全证明过程即可； （3）由正方形的性质，结合已知可证明，可得，由同角的余角相等，结合对顶角相等，可证明，对应边成比例，结合正方形的性质，即可得线段与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）证明：在正方形中，， ∴，． 又∵， ∴， ∴，； 在和中，， ∴． 故答案为：，，，． （3）解：线段与的数量关系为，理由： 与的交点记为， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段与的数量关系为． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，对顶角相等，三角形相似的判定和性质． 36．数学活动课上，李志刚老师给出如下问题： 【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：； 【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形． （1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程； 【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题： （2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值； 【学以致用】 （3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）将线段沿平移至，交于点K，证明，即可解答； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至，证明，可得，从而得到．在上截取，连接，可证明，，，再结合，可得到，即可求解； （3）将线段沿平移至，可证得，可得到，从而得到，将线段沿平移至MN，连接，，则，根据勾股定理可得，从而得到的最小值为．再结合四边形为平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：（1）将线段沿平移至，交于点K． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至． ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）将线段沿平移至． ∵， ∴． ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 将线段沿平移至MN，连接，，则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴的最小值为． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等知识；熟练掌握平移的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 37．某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）如图②，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，同（1）可得，证明，则，； （3）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（2）可知，，即，计算求解即可； （4）如图④，延长到，过作于，由（2）可知，，即，解得，由勾股定理得，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，结合勾股定理即可解得，即，再证明，则，计算求解的值，进而可得点到直线的距离． 【详解】（1）解：由题意知，， 又∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图②，过作交于，过作交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形、均为平行四边形， ∴，， 同（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由矩形的性质可得， 由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得， ∴的长． （4）解：如图④，延长到，过作于， 由（2）可知，，即，解得， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，，，， 设：，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型5 子母模型  子母模型的最经经典代表是直角三角形斜边上的高所构成的经典图形，它将原三角形分成的两个小三角形彼此相似，且都与原三角形相似。应用此模型必须满足两个条件：①是直角三角形；②作出了斜边上的高。其衍生出的射影定理（如：直角边的平方等于其射影乘以斜边）是求线段长度的强大工具，应熟记于心。 38．如图，在中，，，平分，若，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和列式计算得，运用角平分线的定义得，整理得，，再证明，代入数值到，解方程，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴．， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 即（负值已舍去）， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形外角性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质，公式法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 39．如图，在中，，，，点E是上的一点，连接，，则的值为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作，易得为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而得到的长，根据同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：作，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故选A． 40．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴． ∵AC=，AD=1， ∴， ∴AB=3， ∴BD=AB-AD=3-1=2． 故答案为2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键． 41．如图，在中，于，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 42．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 43．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 44．如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)的长是 (2)的长是 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）证明，得，所以，进而可得答案； （2）由，得，根据，由相似三角形的性质得，而，则，进而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长是． 45．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）AD=． 【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论； （2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD． 【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=AD•AB． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C， 又∵∠BFE=∠A， ∴∠BFE=∠C， 又∵∠FBE=∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2=BE•BC， ∴BC===， ∴AD=． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 46．小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图①，在中，D、E分别是边、上的点，且，易证． 【探究】如图②，在中，点D与点B重合，且 （1）求证：； （2）如图③，当时，则图中共有_____组相似三角形，线段、、的数量关系为______． 【应用】（3）如图④，在中，作于点D，作于点E、作于点F．若，，则的值为______． 【答案】（1）见解析（2）图中共有3组相似三角形， 线段、、的数量关系为（3） 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握并运用相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似可依次证得，，，再根据相似三角形的性质可得，即可得解； （3）根据（2）中的结论可得，，即可得解． 【详解】解：（1）解：，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 图中共有3组相似三角形， 线段、、的数量关系为． （3）解：由（2）可知，，， ， ． 47．如图，在中，点在边上，． (1)图中相似的三角形有______对． (2)自习课上聪聪在完成课本页这道习题时作出如下猜想：若，其余条件不变，那么与肯定会存在某种函数关系式，请你求出这种函数关系式． (3)明明在聪聪猜想的基础上又作出如下猜想：若，只要与满足某种关系，（）中的函数关系式仍然成立．你同意明明的观点吗？如果你同意请直接写出与所满足的关系；若不同意；请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)同意， 【分析】（）根据相似三角形的判定判断即可； （）根据相似三角形的性质解答即可； （）利用相似三角形的性质及三角形的外角性质和内角和定理解答即可求解； 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似的三角形有对， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：同意，，理由如下： ∵， ∴， ∴， 当时，则有， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即． 题型6 旋转模型 旋转模型指两个三角形绕同一顶点旋转一定角度后构成，且通常有一组相等的角（旋转角）作为公共角。解题时，首先要识别出图形是由旋转变换得到的，这通常意味着两组对应边分别相等且夹角相等。在证明相似时，常需先通过边的比例关系证明一对三角形相似，再利用旋转角相等来证明另一对三角形相似，是综合性较强的模型。 48．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；45°；（2）①见解析；② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、以及旋转变换的性质，． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解. 【详解】（1）；； 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 49．已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且． (1)点D与点B重合时， ①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ； ②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由； (2)BD＝2CD时， ①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度； ②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值． 【答案】(1)①AE＝FC；AE⊥FC；②AE＝2CF，AE⊥CF，见解析 (2)①6；② 【分析】（1）①如图1中，结论：AE＝FC；AE⊥FC；证明可得结论． ②如图2中，结论：AE＝2CF，AE⊥CF，证明△ABE∽△CBF可得结论． （2）①如图3中，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，首先证明DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，再证明△EDT≌△FDC（SAS），推出S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，构建方程求出m即可解决问题． ②如图4，连接DM，CM，根点M作于K，交AC于J，证明，推出点是在DC的垂直平分线MK上，当时，MN的值最小． 【详解】（1）解：（1）① 　AE＝FC　， 　AE⊥FC　； 理由：由题意知BA＝BC，BE=BE，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：AE＝FC，AE⊥FC． ②AE＝2CF，AE⊥CF， 理由如下： ∵，， ∴△ABE∽△CBF， ∴，∠A＝∠BCF， ∴AE＝2CF， ∵∠A+∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠ACB＝90°， ∴AE⊥CF； （2）①如图3，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T， 由题意知AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∵DT∥AB，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC， ∵DH⊥CT，∴HT＝HC， ∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m， ∴DT∥AB，∴， ∴AT＝4m， ∵AE＝2，∴ET＝4m﹣2， ∵DE＝DF，DT＝DC，∠EDF＝∠TDC＝90°， ∴∠EDT＝∠FDC，∴△EDT≌△FDC（SAS）， ∴S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC， ∴， 解得m＝2或﹣（舍去）， ∴CF＝ET＝4m﹣2＝6； ②如图4，连接DM，CM，根点M作于K，交AC于J， 同法可证：， ∵， ∴， ∴点M是在DC的垂直平分线MK上，DC的长度不会变化， 当时，MN的值最小， 由题意：AB=10，BC=5，，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， MN的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握双子型基本模型是解题的关键． 50．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 51．【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 【答案】（1），；（2），；（3）或 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解； （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数； （3）分点在直线的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比设未知数，在中利用勾股定理构造方程即可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，设与交于点F， ∵， ∴， ∵， ， ∴； （2）解：如下图，在和中，设与交于点， ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）①如下图所示，点C在线段上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ， ②如下图，当点C在线段延长线上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 52．已知，，直线与直线相交于点． (1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； (2)如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； (3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)或或 【分析】（1）由等边三角形的性质及相似三角形的性质得是等边三角形，由判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）①(ⅰ)如图，当点D，N重合时，由直角三角形的特征得，由相似三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；(ⅱ)当点D，N不重合时，同理可求； ②在上取一点H，使得，连接，由①中的(ⅱ)同理可求； （3）取的中点，连接，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等边三角形的性质可求，①当时，此时与重合，（ⅰ）点在线段上， 由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得 ，即可求解；（ⅱ）点在线段延长线上，同理可求； ②当时，（ⅰ）当点在的内部时，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作交于，设，由相似三角形的性质及直角三角形的特征、勾股定理得，，由勾股定理得，可得，，，从而求出，由三角形面积可求，再由勾股定理求出，，求出，，即可求解；（ⅱ）当点在的外部时，同理可求：，，即可求解． 【详解】（1）证明：， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， 在和中， ， ()， ． （2）解：①(ⅰ)如图，当点D，N重合时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 在中，， ， ， ， ， 当点D，N重合时，； (ⅱ) 如图，当点D，N不重合时， 在上取一点H，使得，连接； 由(ⅰ)同理可证：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ； 在中， 同理可求：， 当点D，N不重合时， ． 综上，． ②如图：在上取一点H，使得，连接， 由①中的(ⅱ)同理可证，， ∴，， ， 如图，过作交于， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故； （3）解：如图，取的中点，连接， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ①如图，当时，此时与重合， （ⅰ）点在线段上，如图， ， ， ， ； （ⅱ）点在线段延长线上，如图， 由（ⅰ）同理可证：； ②当时， （ⅰ）如图，当点在的内部时， 如图，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作于， 设， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ，， ， ， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； （ⅱ）如图，当点在的外部时， 连接，在上取一点H，使得，连接，过作交于，过作交于， 设， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的判定及性质等；相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定就性质，等边三角形的判定及性质，能根据题意构建相似三角形及根据点的不同位置进行分类讨论，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 53．如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 【答案】（1）①；②40°；（2），；（3）或 【分析】（1）①由推出，利用边角边即可证与全等，即可求出结果；②先证出与相等，分别加，，结果仍相等，即可得到； （2）证明与相似即可求出的值，再通过相似三角形对应角相等及三角形内角和定理即可证出的度数为； （3）分点点E在线段和线段延长线两种情况讨论，作于H，连接，由角直角三角形得，由勾股定理得，在中，，则，另一种情况同理可求解． 【详解】解：（1）①， ， ， 又，， ， ， ②设与交于点， 由①知，， ， ，， ， 故答案为：①；②； （2）中，，． ∴ 同理得： ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，， 在中，． （3）如图3-1中，作于H，连接， 在中，∵，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 在中，， ∴， 同（2）可证明：， ∴， ∴， 如图3-2中，连接，作于H， 同法可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，点A、D之间的距离为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 54．如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． (1)观察、猜想 观察图1，猜想 ， (2)探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围 【答案】(1)，90 (2)（1）中的结论还成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行得，则，由平行得到，则，由三角形中位线定理得到，故，，再根据平行导角即可； （2）由角正切得到，证明，则，由三角形中位线得到，，再根据平行和相似三角形的性质导角即可； （3）由题意可知，，则，由于是的中位线，则，继而可求取值范围． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵点F、G、H分别是的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴, 故答案为：，90； （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下： 证明：如图2， 在中，， ∴， 在中，∴， ∴ 又， ∴ ∴ ∴ ∵是的中位线， ∴． 同理可得， ∴ ∵是的中位线， ∴， ∴ ∵， 由于，有， 由得： ∴； （3）解：由题意可知，， ∴，即 ∴绕点C旋转时，当D点落在边上时，AD最小值为6；当点D落在延长线上时，最大值为14， ∵是的中位线，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度较大，综合性强，熟练掌握知识点和基本图形是解题的关键． 55．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）变式探究：， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 56．如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证即可求证； （2）利用全等三角形的性质可得的度数；在上取点F，使，根据（1）中证明过程可证，即可求解； （3）过点Q作于G，设，根据重心的性质可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都为等边三角形， ∴ ∴， 即， ∴ （2）解：∵； ∴， 设交于O， ∵， ∴； 如图①在上取点F，使，    同（1）可得 ∴为等边三角形， ∴； （3）解：    如图②，过点Q作于G，设， ∵点Q、R分别是等边和等边的重心， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题以“手拉手”全等三角形模型为背景，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推理是解题关键． 57．在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. (1)观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． 【答案】(1)1，； (2)，，理由见解析 【分析】(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得，如图①中，设直线与直线交于点I，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果； (2)首先根据等腰直角三角形的性质，可证得 ，可证得，即可证得，如图②中，设直线交于G，交于点H，再利用相似三角形的性质及角的关系，即可求得结果． 【详解】（1）解：，，，， 与都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ，， ； 设与的延长线交于点I，如图①， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为； （2）解：，直线与直线相交所成的较小角的度数为， 理由如下： ，， ，， 同理可得：，， ， . ， 即， ， ，， 设交于点G，交于点H，如图②， ， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为． 【点睛】本题考查的是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题． 58．如图1所示，矩形中，点E，F分别为边,的中点，将绕点A逆时针旋转，直线、相交于点P． (1)若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置上，则线段与的位置关系是 　 　，数量关系是 　 　． (2)若，将绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请写出正确结论 (3)若，，将旋转至时，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)结论不完全成立．线段与的位置关系是，数量关系是 (3)或 【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）证明，利用相似三角形的性质可得结论； （3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：线段与的位置关系是，数量关系是． 理由：四边形是矩形，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ． （2）解：结论不完全成立．线段与的位置关系是，数量关系是． ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ． （3）解：如图，当点P在的延长线上时， 在中，，， ， ， ， ， ， ，，， 四边形AEPF是矩形， ， ； 如图，当点P在线段上时，， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形，学会用分类讨论的思想思考问题． 题型7 内接矩形模型  勾股数问题解题策略 策略： 验证等式 ，且 a,b,c为正整数； 利用公式 生成。 关键：检查是否互素或含公约数，排除非本原解（如6,8,10需约分）． 59．如图，在中，是高，矩形的一边在边上，另两个顶点、分别在边、上，与相交于点．若，，，则 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 通过设的长度为未知数，利用矩形性质得到与平行，从而证明与相似，再根据相似三角形的性质列出比例式求解． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵是高，， ∴是的高，，则． ∵， ∴，即． 解． 故答案为：．    60．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【答案】 【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，设高AM交GF于H点， ∵四边形DEFG为正方形， ∴GF∥DE，即：GF∥BC， ∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC， ∴， 设正方形的边长为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键． 61．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 ． 【答案】140 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质． 根据相似三角形的判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度 【详解】解：如图， ∵ ，． ∴， 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得 ， ， 解得． 灯泡离地面的高度为； 故答案为：140． 62．定义：在中，点D和点E分别在边、边上，且，点D、点E之间的距离与直线与直线间的距离之比称为关于的横纵比．已知，在中，，边上的高长为3，关于的横纵比为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，理解横纵比的定义是解题的关键． 根据题意作出图形，由平行可得，列出比例式，设，，代入数值求解即可． 【详解】解：如图， ， ，， ， 相似三角形的高的比等于相似比， ， 关于的横纵比为， 设，， ， ， 解得， ． 63．如图，中，，高， 矩形的两个顶点E、F在上， 另两个顶点G、H分别在上， 且， 求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，明确相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．设，证明，根据性质得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】解：∵， 设． ∵四边形 是矩形，中，高， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴， 则四边形的面积． 答：四边形 的面积为． 64．有一块三角形的余料，要把它加工成矩形的零件，已知：，高，矩形的边在边上，G、H分别在、上，设的长为、的长为． (1)写出y与x的函数关系式． (2)当x取多少时，是正方形？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是正方形 【分析】本题考查了求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质综合，根据正方形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解； （2）根据y与x的函数关系式为及正方形的性质，得到关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵，高，的长为、的长为，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴； （2）由（1）可知，y与x的函数关系式为； ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴ 解得：． 答：当时，四边形是正方形． 65．阅读应用： 将生活中的问题抽象为数学问题的数学思想叫做建模思想．解决几何问题时，构建平面直角坐标系，利用坐标将图形的线段或角用数或式子表示，再根据相关几何关系、数量关系就可以利用代数方法解决几何问题，这就是平面几何解析思想，也是几何问题代数化的一种常用的转化思想． 生活现象： 如图1，在一直角边分别为20米、40米的直角三角形草地上修建正方形花坛，要求正方形与直角三角形的直角顶点重合，有一个直角顶点在斜边上，问：应怎样修建？ 【数学问题】 （1）如图2，以O为原点，射线分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，，，求直线的函数解析式． 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，P为边上任意一点，过点P作，作，垂足分别为C，D，设点P的横坐标为t，那么可以用t表示出，当四边形是正方形时，请求出的长． 【初步应用】 （3）如图3，在中，，当四边形是正方形时，______．（第3问不写解答过程） 【答案】（1）  （2）  （3） 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据得到，则，当四边形是正方形时得，列式求解即可； （3）根据题意得到是等腰三角形，如图所示，过点作于点，交于点，在中，运用勾股定理得到，四边形是矩形，设，则，证明，由此列式求解即可． 【详解】解：（1）以O为原点，射线分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）∵直线的解析式为，设点P的横坐标为t， ∴， ∵， ∴， 当四边形是正方形时，， ∴， 解得，，即； （3）∵， ∴，是等腰三角形， 如图所示，过点作于点，交于点， ∴， 在中，， 当四边形是正方形时，， ∴， ∴， 同理，，且， ∴四边形是矩形， ∴设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，待定系数法求解析式，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 培优综合练 66．如图2，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图2的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图3）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理． （1）根据已知可证，进而得到，求出，即可求出的值； （2）①证明，推出，结合，得到，利用三角形内角和定理即可解答；②由①，推出，进而求出，，利用勾股定理求出，结合，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②由①， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴． 67．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质． （1）根据平行四边形性质证明，然后利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）根据（1）中结论求出，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 68．阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 69．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 70．在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．    (1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)； (2)相似，证明见解析； (3)或． 【分析】（1）四边形是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，； （2）分别延长、交于点P，四边形是矩形，，，，四边形、四边形、四边形都是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，，，，，点G是的中点，，，，，； （3）由（2）可知，，，由折叠的性质可知，，，，，分情况讨论，①当点E在上时，，，，②当点E在的延长线上时，，，． 【详解】（1）解：与相似 证明：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ； （2）解：， 理由：如图，分别延长、交于点P，    ∵四边形是矩形， ， ， ， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ，，点G是的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）可知，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ①当点E在上时，如图，    ， ， ， ②当点E在的延长线上时，如图，    ， ， ． 综上所述，的长为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，相似的性质和判定，三角函数等知识点，属于压轴题，难度较大，熟练掌握相关性质定理和分类讨论思想是解题的关键． 71．【问题背景】（1）已知D、E分别是的边和边上的点， 且， 则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ；并加以证明． 【迁移应用】（2）如图3， 在中，， D、E， M分别是中点， 连接和． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，直接旋转过程中写出线段和的始终存在的位置和数量关系： ； ② 把绕着点 A 逆时针方向旋转到如图5，连接和，取中点 N，连接， 若，求的长． 【创新应用】（3）如图6，是直角三角形，，将绕着点 A旋转， 连接， F是上一点， 连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1），证明见解析（2）①，；②（3） 【分析】（1）根据相似的性质，得到，进而得到，利用两边对应成比例，夹角相等，得到即可； （2）①求出，中点推出，延长与相交于点，与相交于点，证明再证明，得到，得到；②证明求出的长，中位线定理求出的长； （3）过点作，过点作，连接，三线合一结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的长，证明求出的长，根据三角形的三边关系求出的最小值即可． 【详解】解：（1），证明如下： ， 又，， ∴ ． （2）①如图，在中，， ， ∵D、E， M分别是中点， ∴， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ，， ∴， 又， ， ， ， ， ，即：． 故答案为：；． ②如图，连接， ，， ∴， 又， ， ， ∴， 又∵M是的中点，N是的中点， ； （3）如图，过点作，过点作，连接， ，， ， 又 ， ， ， ， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线的判定与性质等，解答本题的关键在于会添加合适的辅助线，利用平行线的性质求解，是一道综合性较强的压轴题． 试卷第2页，共143页 1 / 140 学科网（北京）股份有限公司 $