专题07 一元二次方程的实际应用 9大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题07 一元二次方程的实际应用 9大高频考点概览 考点01 增长率问题 考点02 销售利润问题 考点03 面积问题 考点04 围墙问题 考点05 循环问题 考点06 传播问题 考点07 数字问题 考点08 几何动点问题 考点09 其他问题 地 城 考点01 增长率问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁辽阳·期末)为了加快数字化城市建设，某地计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)为了促进房地产市场的稳定发展，我国政府今年陆续出台了一系列新的房地产政策．某公司十月份销售商品房20套，新政策出台后，销售量快速上升，截至十二月末该公司累计售出商品房95套，求该公司第四季度商品房销售量的月平均增长率．设该公司第四季度商品房销售量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（   ）． A． B． C． D． 3．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·辽宁丹东东港·期末)某工厂一月份生产总值为20万元，第一季度的生产总值共100万元，如果平均每月的增长率为x，则所列方程是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·辽宁营口·期末)新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·辽宁阜新细河区·期末)某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是（    ） A．300（1+x）=507 B．300（1+x）2=507 C．300（1+x）+300（1+x）2=507 D．300+300（1+x）+300（1+x）2=507 二、填空题 8．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)“绿动电力，与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2023年新能源汽车销售量为900万辆，预计2025年新能源汽车销售量将达到1521万辆．设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则可列方程为 ． 9．(24-25九上·辽宁大连汇文中学·期末)由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，2022年的产量为20万斤，2024年的产量为万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为 ． 三、解答题 10．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)为传承红色文化，弘扬爱国主义精神，某地设立并开放以革命传统，红色文化，党史党规等为主题的教育旅游基地，据统计，基地中的一个纪念馆第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆6080 人次，已知进馆人次的月平均增长率相同． (1)求该纪念馆进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，该纪念馆每月接纳能力不超过5000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该纪念馆是否有能力接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 11．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)“秋风起，蟹脚痒”，随着大闸蟹的大量上市，某大闸蟹销售公司前三个月的月销售利润逐月增长，第1个月的销售利润为20万元，第3个月的销售利润为万元．假设从第1个月到第3个月每月销售销钩利润的平均增长率相同． (1)求从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率； (2)进入第4个月，大闸蟹产量逐渐下降，第4个月的销售利润比第3个月的销售利润下降了，求从第1个月到第4个月的销售利润之和． 12．(24-25九上·辽宁丹东·期末)丹东是一个充满魅力和历史底蕴的红色城市，吸引全国各地游客前来旅游．某旅行社推出“丹东畅游团”，为确保活动更好地展开，现对“畅游团”定价和报名人数进行调研． 素材1 9月份，报名参加“丹东畅游团”活动的人数有4000人，据分析有增长的趋势，预计11月份的报名人数将达到5760人． 素材2 经过研讨，旅行社初步制定方案为： ①每团60人； ②每人团费1000元． 素材3 在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人，但每人团费不低于800元 问题解决 任务1 确定增长率 求从9月份到11月份“丹东畅游团”旅行活动报名人数的平均增长率． 任务2 拟定价格方案 若该旅行社要使平均每个团的总团费为61750元，求下降后每人的团费． 请根据以上素材，完成任务1，2． 13．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递网点，今年八月份完成快递的件数为件，十月份完成快递的件数为件． (1)求该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率； (2)由于十一月份有“双十一”活动，十一月份该网点完成的快递件数比十月份增长了，该网点共有名快递员，求该网点十一月份平均每位快递员投放多少件快递． 14．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)某制药厂将一种药剂价格逐年降低，2022年这种药剂价格为100元，2024年该药剂价格为81元． (1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； (2)若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 15．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期末)某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 16．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)“乒乓球”被称作为我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．在今年第33届巴黎奥运会上，我国囊括了乒乓球各个项目的所有冠军，再次激发起了人们对乒乓球运动的热爱．据统计在奥运会结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 地 城 考点02 销售利润问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁辽阳·期末)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． 销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 2．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量（台）和销售单价（万元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求月销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于32万元，如果该公司想获得250万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？ 3．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期末) 水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利毛利润元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出100千克． (1)若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出多少千克？ (2)若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利多少元？ (3)若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为元，同时又要使顾客觉得价不太贵，则每千克水果应降价多少元？ 4．(24-25九上·辽宁营口·期末)某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元． (1)平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）： (2)商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 5．(24-25九上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢.某商店销售一批吉祥物，每个吉祥物进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30％.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，现商店决定提价销售.设每天销售量为个，销售单价为元.当每个吉祥物销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ 6．(24-25九上·辽宁锦州·期末)体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套． (1)求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？ 7．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)商场统计了某种商品4月份到6月份的销量，该商品4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该商品销售量的月增长率； (2)此种商品的进价为30元/个，测算7月份销售该商品，若售价为40元/个，月销售量为300个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，则商场7月份销售该商品月利润能否达到5000元?如果能，求出每个商品的售价；如果不能，请说明理由． 8．(24-25九上·辽宁阜新实验中学·期末)某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． (1)求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果店销售该种橙子，成本价是元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为元/千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 9．(24-25九上·辽宁朝阳建平县·期末)2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 地 城 考点03 面积问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁鞍山台安县·期末)我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，如果设宽为x步，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一假，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（  ） A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200 C．x(x＋10)＝200 D．2x＋2(x＋10)＝200 二、填空题 4．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为矩形空地面积的一半，设小路的宽为，根据题意可列方程为 ． 5．(24-25上·辽宁沈阳沈北新区·)如图，在一块长，宽为的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，根据题意列方程 ． 三、解答题 6．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图是某地下停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为40米，宽为22米，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为648米²，求车道的宽度（单位：米）． 7．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)某小区有一块长24米，宽10米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为108平方米，人行通道的宽度应是多少米？ 8．(24-25九上·辽宁朝阳建平县·期末)如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示． 素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①②两种长方形纸板，其中． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 裁去角上个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 9．(23-24九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 10．(23-24九上·辽宁抚顺新抚区·期末)数学杨老师与学生学习一元二次方程应用有关面积问题时，他指导学生计划制作一个有盖的长方体盒子．他用一块长，宽的矩形纸板．为了合理使用材料，小凯同学设计了如图的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．    11．(23-24九上·辽宁营口·期末)综合与实践 在数学课上，老师让同学们以“折一个长方体盒子”为主题开展实践活动．如图1，这是一张长为30cm，宽为12cm的矩形硬纸板． (1)如图2，奋进小组把矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)创新小组计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，设计了如图3所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，右侧两个空白部分为矩形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 地 城 考点04 围墙问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)如图，空地上有一段长20米的旧墙，工人师傅想利用旧墙和木栅栏围成一个封闭的长方形菜园，已知木栅栏总长40米，围成的长方形菜园的面积为150平方米，则该长方形菜园中平行于墙的边长为（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 二、解答题 2．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)如图，计划利用一段长为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，其中一边靠墙，墙长是．设花园的宽为 ，面积为． (1)写出与的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)试判断矩形花园面积能否达到?如果能，求出花园的宽；如果不能，请说明理由． 3．(24-25九上·辽宁大连弘文中学·期末)如图，某养殖场在养殖面积扩建中，准备将总长为米的篱笆围成矩形形状的鸡舍，其中一边利用现有的一段米长的围墙，其余三边用篱笆，且在与墙平行的一边上开一个米宽的门．设边长为米，鸡舍面积为平方米． (1)求出与的函数关系式；（写出自变量的取值范围） (2)当鸡舍的面积为平方米时，求出鸡舍的一边的长． 4．(23-24九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，有长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为22米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门，设花圃的宽为x米． (1)若围成的花圃面积为96平方米，求此时的宽； (2)能围成面积为120平方米的花圃吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 5．(23-24九上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，借助一面墙（最长可利用）围成一个矩形花园，在墙上要预留宽的入口（如图中所示），入口不用砌墙，假设有砌长墙的材料且恰好用完，设的长为． (1)填空：砌段墙时，需______长的砌墙材料（用含x的代数式表示）； (2)当矩形花园的面积为时，墙的长为多少米？ 地 城 考点05 循环问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间都比赛一场，共需安排21场比赛．设七年级共有个班，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)元旦将至，九年三班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡2070张，若设九年三班共有x名学生，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·辽宁名校联盟·期末)足球联赛实行主客场的循环赛，即每两个球队都要在主场和客场各踢一场，某个赛季共举行比赛210场．设共有x个队参赛，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝210 B．x（x+1）＝210 C．x（x﹣1）＝210 D．x（x+1）＝210 4．(23-24九上·辽宁抚顺清原县·期末)某班数学兴趣小组的同学互发微信，每两名同学都互相发一条．小明统计全组共互发了72次，设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数 ． 6．(24-25九上·辽宁大连弘文中学·期末)某小组同学，新年时每人互送贺年片一张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组共有 人． 7．(24-25九上·辽宁大连甘井子区博伦中学·期末)要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为 ． 地 城 考点06 传播问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 二、解答题 2．(24-25九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期末)春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 3．(23-24九上·辽宁大连瓦房店·期末)某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人． (1)经过第一轮传染后，共有__________人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案） (2)在每轮传播中，平均一人传染了几个人？ 地 城 考点07 数字问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（  ） A．6 B．7 C．14 D．16 3．(23-24九上·辽宁阜新细河区·期末)一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位上的数字为x，则根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 地 城 考点08 几何动点问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁锦州黑山县·期末)如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 2．(24-25九上·辽宁营口大石桥实验中学·期末)如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 3．(23-24九上·辽宁阜新太平区·期末)如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 地 城 考点09 其他问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁锦州·期末)《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过 秒落回地面．（结果精确到） 三、解答题 4．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区东北育才学校·期末)玉米俗称玉米棒子、苞米，是我国第一大粮食作物，也是全世界公认的“黄金作物”．政府鼓励农民种植玉米，一亩地每年补贴300元．经调查：我省玉米实验田平均亩产量约1300千克，市场销售价为每千克元，除购买种子、播种、施肥、浇水、收割等成本费用外（随种植亩数的变化而变化），种植一亩玉米的净利润达到1360元． (1)求种植一亩玉米的成本需要多少元； (2)某农场现有15亩实验田，计划种植玉米和蔬菜，根据经验调查发现：按2023年种植一亩玉米的成本来计算，以后每多种植1亩，平均每亩的成本会减少20元，2024年农场计划投入3200元的成本种植玉米，问：该农场计划种植几亩玉米？ 5．(24-25九上·辽宁阜新细河区·期末)某旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下收费标准： 旅游人数 收费标准 不超过25人 人均收费1000元 超过25人 每增加1人，人均收费降低20元，但人均收费不低于700元 我市某公司组织员工去该风景区旅游，共支付给旅行社27000元．这个公司这次共有多少人去该风景区旅游？ 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元二次方程的实际应用 9大高频考点概览 考点01 增长率问题 考点02 销售利润问题 考点03 面积问题 考点04 围墙问题 考点05 循环问题 考点06 传播问题 考点07 数字问题 考点08 几何动点问题 考点09 其他问题 地 城 考点01 增长率问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁辽阳·期末)为了加快数字化城市建设，某地计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用该市第三个月新建智能充电桩个数=该市第一个月新建智能充电桩个数×（1+该市新建智能充电桩个数的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x， 根据题意得：． 故选：A． 2．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)为了促进房地产市场的稳定发展，我国政府今年陆续出台了一系列新的房地产政策．某公司十月份销售商品房20套，新政策出台后，销售量快速上升，截至十二月末该公司累计售出商品房95套，求该公司第四季度商品房销售量的月平均增长率．设该公司第四季度商品房销售量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握增长前的量年平均增长率 增长后的量是解题的关键． 设月平均增长率为x，则十一月的销售量为套，十二月的销售量套，根据十二月末该公司累计售出商品房95套，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设月平均增长率为x，则十一月的销售量套，十二月的销售量套，根据题意得： 故选：C． 3．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出形如即可． 【详解】根据题意，得． 故选：B． 4．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出方程即可． 【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题． 5．(24-25九上·辽宁丹东东港·期末)某工厂一月份生产总值为20万元，第一季度的生产总值共100万元，如果平均每月的增长率为x，则所列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平均每月的增长率为x，根据题意，列出方程即可，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】平均每月的增长率为x，由题意可得，， 即， 故选：D． 6．(24-25九上·辽宁营口·期末)新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 设这款新能源汽车的年平均增长率为x，由题意得等量关系初销售量、增长率、末产量的关系列出方程即可解答． 【详解】解：设这款新能源汽车的年平均增长率为x， 由题意，得：． 故选：D． 7．(24-25九上·辽宁阜新细河区·期末)某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是（    ） A．300（1+x）=507 B．300（1+x）2=507 C．300（1+x）+300（1+x）2=507 D．300+300（1+x）+300（1+x）2=507 【答案】B 【分析】根据年利润平均增长率，列出变化增长前后的关系方程式进行求解. 【详解】设这两年的年利润平均增长率为x，列方程为：300（1+x）2=507. 故选B. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是怎么利用年利润平均增长率列式计算. 二、填空题 8．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)“绿动电力，与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2023年新能源汽车销售量为900万辆，预计2025年新能源汽车销售量将达到1521万辆．设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据2023年及2025年新能源汽车年销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得． 故答案为：． 9．(24-25九上·辽宁大连汇文中学·期末)由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，2022年的产量为20万斤，2024年的产量为万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知可知2023年的产量为万斤，在2023年的基础上，可得2024年的产量为万斤，根据2024这年的产量为万斤可列方程． 【详解】解：根据题意可得，． 故答案为：． 三、解答题 10．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区·期末)为传承红色文化，弘扬爱国主义精神，某地设立并开放以革命传统，红色文化，党史党规等为主题的教育旅游基地，据统计，基地中的一个纪念馆第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆6080 人次，已知进馆人次的月平均增长率相同． (1)求该纪念馆进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，该纪念馆每月接纳能力不超过5000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该纪念馆是否有能力接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1) (2)该纪念馆有能力接纳第四个月的进馆人次，理由见解答 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该纪念馆进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，根据到第三个月末累计进馆6080人次，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用第四个月的进馆人次数第一个月的进馆人次数，可求出第四个月的进馆人次数，再将其与4000比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该纪念馆进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该纪念馆进馆人次的月平均增长率为； （2）解：该纪念馆没有能力接纳第四个月的进馆人次，理由如下： 第四个月的进馆人次数为（人次）， ， 该纪念馆有能力接纳第四个月的进馆人次． 11．(24-25九上·辽宁沈阳沈北新区·期末)“秋风起，蟹脚痒”，随着大闸蟹的大量上市，某大闸蟹销售公司前三个月的月销售利润逐月增长，第1个月的销售利润为20万元，第3个月的销售利润为万元．假设从第1个月到第3个月每月销售销钩利润的平均增长率相同． (1)求从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率； (2)进入第4个月，大闸蟹产量逐渐下降，第4个月的销售利润比第3个月的销售利润下降了，求从第1个月到第4个月的销售利润之和． 【答案】(1) (2)从第1个月到第4个月的销售利润之和为万元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为x，则第2个月的销售利润为万元，第3个月的销售利润为万元，据此列出方程求解即可； （2）先求出第2个月和第4个月的利润，再把四个月的利润求和即可得到答案． 【详解】（1）解：设从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为； （2）解： 万元， 答：从第1个月到第4个月的销售利润之和为万元． 12．(24-25九上·辽宁丹东·期末)丹东是一个充满魅力和历史底蕴的红色城市，吸引全国各地游客前来旅游．某旅行社推出“丹东畅游团”，为确保活动更好地展开，现对“畅游团”定价和报名人数进行调研． 素材1 9月份，报名参加“丹东畅游团”活动的人数有4000人，据分析有增长的趋势，预计11月份的报名人数将达到5760人． 素材2 经过研讨，旅行社初步制定方案为： ①每团60人； ②每人团费1000元． 素材3 在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人，但每人团费不低于800元 问题解决 任务1 确定增长率 求从9月份到11月份“丹东畅游团”旅行活动报名人数的平均增长率． 任务2 拟定价格方案 若该旅行社要使平均每个团的总团费为61750元，求下降后每人的团费． 请根据以上素材，完成任务1，2． 【答案】任务一：；任务二：950元 【分析】本题考查了列一元二次方程的应用——增长率问题和购买问题，解应用题的关键是熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，总价与单价和数量的关系，列出方程． 任务一：设这两个月报名人数的月平均增长率为x，列方程，解方程即可求解； 任务二：设每人的团费下调a元，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设这两个月报名人数的月平均增长率为x， 由题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． ∴． 答：这两个月报名人数的月平均增长率为． 任务2：设每人的团费下调a元， 由题意，得． 解得，． 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，， 答：下调后每人的团费为950元． 13．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递网点，今年八月份完成快递的件数为件，十月份完成快递的件数为件． (1)求该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率； (2)由于十一月份有“双十一”活动，十一月份该网点完成的快递件数比十月份增长了，该网点共有名快递员，求该网点十一月份平均每位快递员投放多少件快递． 【答案】(1)该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为 (2)该网点十一月份平均每位快递员投放件快递 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为，利用十月份完成快递的件数八月份完成快递的件数，可列出关于的一元二次方程，求符合实际的解即可； （2）利用该网点十一月份平均每位快递员投放快递的件数该快递网点十月份完成快递的件数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为； （2）解：（件）， 答：该网点十一月份平均每位快递员投放件快递． 14．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)某制药厂将一种药剂价格逐年降低，2022年这种药剂价格为100元，2024年该药剂价格为81元． (1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； (2)若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 【答案】(1)2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； (2)预计2025年该药剂的价格为72.9元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘法的实际应用． （1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为． ， （舍），， 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； （2）解：（元） 答：预计2025年该药剂的价格为72.9元． 15．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期末)某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】（1）10%；（2）是，理由见解析 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据题意直接计算可得出答案． 【详解】解：（1）设平均每次降价的百分率是x， 根据题意得，200(1﹣x)2＝162， 解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%． （2）200(1﹣5%)(1﹣15%)＝161.5＜162 ∴售货员的方案对顾客更优惠． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 16．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)“乒乓球”被称作为我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．在今年第33届巴黎奥运会上，我国囊括了乒乓球各个项目的所有冠军，再次激发起了人们对乒乓球运动的热爱．据统计在奥运会结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】(1)我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为x，利用在奥运会结束后的两个月参加健身运动的人数=在奥运会结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买m套这种健身器材，求出购买100套这种健身器材所需费用，由该值等于24万元，利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合每套售价不得少于1000元，即可确定结论． 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为． （2）解：设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 整理得：，. 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 地 城 考点02 销售利润问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁辽阳·期末)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． 销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元； 【分析】本题为一元二次方程的典型应用，设每斤水果降价x元，则每天多售出200x斤，根据每日利润=每斤利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据每天至少售出260斤，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可确定x的值，此题得解． 【详解】设这种水果每斤的售价降价x元， 则(4－2－x)(100＋200x)＝300.       解得x1＝1，x2＝. 当x＝1时，每天的销量为300斤； 当x＝时，每天的销量为200斤． 因为为保证每天至少售出260斤，所以x2＝不合题意，应舍去． 此时每斤的售价为4－1＝3(元)． 答：销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据每日利润=每斤利润×销售数量，列出关于x的一元二次方程是解题的关键，特别关注销售量与降价幅度有关系. 2．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量（台）和销售单价（万元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求月销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于32万元，如果该公司想获得250万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】(1) (2)30 【分析】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键． （1）根据图像上点坐标，，代入，用待定系数法求出即可． （2）根据总利润单个利润销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 依题意，得，解得 所以与的函数关系式为； （2）解：依题知． 整理方程，得． 解得． ∵此设备的销售单价不得高于32万元， ∴（舍），所以． 答：该设备的销售单价应是30万元． 3．(24-25九上·辽宁丹东凤城·期末) 水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利毛利润元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出100千克． (1)若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出多少千克？ (2)若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利多少元？ (3)若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为元，同时又要使顾客觉得价不太贵，则每千克水果应降价多少元？ 【答案】(1)千克 (2)元 (3)元 【分析】（1）根据每千克售价降低元，每天多售出千克列出算式，即可求解； （2）根据总利润每斤利润销售数量代入数值计算即可求得利润； （3）根据总利润每斤利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意，若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出千克； 答：以每千克盈利元的价钱出售，能卖出千克； （2）解：依题意，元； 答：若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利元 （3）设每千克水果应降价元， 根据题意得＝， 整理得：， 解得：， 使顾客觉得价不太贵， （舍）， 答：每千克水果应降价元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．(24-25九上·辽宁营口·期末)某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元． (1)平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）： (2)商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 【答案】(1) (2)每套纪念品应定价50元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，平均每天的销售量为套， 故答案为：； （2）解：设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：每套纪念品应定价50元． 5．(24-25九上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢.某商店销售一批吉祥物，每个吉祥物进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30％.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，现商店决定提价销售.设每天销售量为个，销售单价为元.当每个吉祥物销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ 【答案】当销售单价为50元时，商店每天获利2400元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设销售单价为元，根据“总利润每个吉祥物利润销售量”列出关于x的方程，解之可得． 【详解】解：当销售单价为元时，商店每天获利2400元， 由题意得 整理得 解得 ∵获利不高于30% ∴ ∴不合题意舍去 ∴ 答：当销售单价为50元时，商店每天获利2400元． 6．(24-25九上·辽宁锦州·期末)体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套． (1)求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？ 【答案】(1) (2)跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为，拿4月份的销售量乘以等于6月份的销售量建立方程求解； （2）设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元，根据每件利润乘以数量得到总利润建立方程求解． 【详解】（1）解：设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元． 7．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)商场统计了某种商品4月份到6月份的销量，该商品4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该商品销售量的月增长率； (2)此种商品的进价为30元/个，测算7月份销售该商品，若售价为40元/个，月销售量为300个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，则商场7月份销售该商品月利润能否达到5000元?如果能，求出每个商品的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)商场7月份销售该商品的月利润不能达到5000元，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该商品销售量的月增长率为，根据6月份销售量4月份销售量建立方程，解方程即可得； （2）设该商品7月份的售价为元/个，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：设该商品销售量的月增长率为， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去） 答：该商品销售量的月增长率为； （2）解：设该商品7月份的售价为元/个， 依题意，得， 整理，得， ，方程无实数根， 答：商场7月份销售该商品的月利润不能达到5000元． 8．(24-25九上·辽宁阜新实验中学·期末)某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． (1)求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果店销售该种橙子，成本价是元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为元/千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 【答案】(1)答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为， (2)答：单价应定为元/千克． 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为，根据题意，列出方程，解出，即可； （2）设单价应定为元/千克，根据题意，列出方程，，解出，即可． 【详解】（1）解：设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为， ∴根据题意，， 解得：，（舍）， 答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为． （2）解：设单价应定为元/千克， 根据题意， ， 整理得：， 解得：，， ∵要让顾客得到实惠， ∴满足题意； 答：单价应定为元/千克． 9．(24-25九上·辽宁朝阳建平县·期末)2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，     根据题意得：，     解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，     根据题意得：，     整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 地 城 考点03 面积问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁鞍山台安县·期末)我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，如果设宽为x步，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设宽为x步，则长为步，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设宽为x步，则长为步， 由题意得，， 故选：D． 2．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一假，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据正方形和圆的面积公式求得总面积，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】根据题意：正方形田的边长与圆形田的直径相等，面积之和为，可得 故选：D． 3．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（  ） A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200 C．x(x＋10)＝200 D．2x＋2(x＋10)＝200 【答案】C 【分析】设长为(x＋10)米，可列方程x(x＋10)＝200． 【详解】解：∵花圃的长比宽多10米，设花圃的宽为x米， ∴长为(x＋10)米． ∵花圃的面积为200， ∴可列方程为x(x＋10)＝200． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何问题，利用“长比宽多10米”用未知数把长和宽表示出来是解题的关键． 二、填空题 4．(24-25九上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为矩形空地面积的一半，设小路的宽为，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据小路的宽度，可得出矩形花坛的长为，宽为，结合矩形花坛所占面积为空地面积的一半，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：小路的宽度为， 矩形花园的长为，宽为． 根据题意得：， 故答案为：． 5．(24-25上·辽宁沈阳沈北新区·)如图，在一块长，宽为的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，根据题意列方程 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把四块草坪拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是米和米，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】解：设小路宽为米，则把四块草坪拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是米和米， 根据题意得：． 故答案为：． 三、解答题 6．(24-25九上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图是某地下停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为40米，宽为22米，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为648米²，求车道的宽度（单位：米）． 【答案】车道的宽度为4米． 【分析】本题主要考查了一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设车道的宽度为米，则停车位所占区域的面积等同于长为米、宽为米的矩形的面积，根据停车位的占地面积为648米，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设车道的宽度为米，则停车位所占区域的面积等同于长为米、宽为米的矩形的面积， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：车道的宽度为4米． 7．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)某小区有一块长24米，宽10米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为108平方米，人行通道的宽度应是多少米？ 【答案】人行道的宽度为2米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系． 人行道的宽度为x米，根据两块绿地的面积之和为108平方米，列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 整理得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：人行通道的宽度是2米． 8．(24-25九上·辽宁朝阳建平县·期末)如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示． 素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①②两种长方形纸板，其中． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 裁去角上个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【答案】目标1：；目标2：（1）；（2）不能，计算见解析 【分析】目标1：根据图2中储物盒放置区域的长为即可求出长方形纸板①四角截去的小正方形的边长，由此再根据几何关系即可求出a； 目标2：（1）设角上截去的四个小正方形边长为，用x表示出储物盒的底面长和宽，根据底面的面积列出方程，解方程求出x即可求得储物盒的高，再根据长方体体积公式即可得到答案； （2）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为．表示出折叠后的储物和长宽高，根据几何关系列出方程组，求解方程组得到x和y的值，从而可求出储物盒的长宽高，与机械狗的长宽高进行比较即可进行判断． 本题考查了长方体的展开图，找准几何关系并列出方程是解题关键． 【详解】目标1： 解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则①中的四角裁去小正方形的边长为， 则收纳盒的宽小正方形的边长． 故答案为：40； 目标2： （1）已知，储物盒底面积为，设角上截去的4个小正方形边长为，， 则， 化为或（舍去）， ∴收纳盒的高为，体积为， 则储物盒的容积为； （2）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为， 折叠后的储物箱如图： 则， 解得， 制作的收纳盒的高为，底面长和宽为、， ∵储物盒的高玩具机械狗的高， 玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 9．(23-24九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 【答案】道路的宽为6米． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．设道路的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得： ， 解得：（舍去）或， 通道的宽为6米； 10．(23-24九上·辽宁抚顺新抚区·期末)数学杨老师与学生学习一元二次方程应用有关面积问题时，他指导学生计划制作一个有盖的长方体盒子．他用一块长，宽的矩形纸板．为了合理使用材料，小凯同学设计了如图的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．    【答案】能折成的有盖盒子，裁去左侧的正方形边长是 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为， 列方程为：，        整理得：， 解得： (不合题意，舍去)          答：能折成的有盖盒子，裁去左侧的正方形边长是． 11．(23-24九上·辽宁营口·期末)综合与实践 在数学课上，老师让同学们以“折一个长方体盒子”为主题开展实践活动．如图1，这是一张长为30cm，宽为12cm的矩形硬纸板． (1)如图2，奋进小组把矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)创新小组计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，设计了如图3所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，右侧两个空白部分为矩形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)剪去的小正方形的边长为3cm (2)能，盒子的体积208cm 【分析】（1）设剪去的小正方形的边长为xcm，根据题意表示出底面的长和底面的宽，利用举行面积公式表示面积列出方程即可； （2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为xcm， 则底面的长为：，底面的宽为：， 则根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为3cm； （2）能；理由如下： 设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形， 依题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴盒子的体积． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解本题的关键． 地 城 考点04 围墙问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁辽阳灯塔第一初级中学·期末)如图，空地上有一段长20米的旧墙，工人师傅想利用旧墙和木栅栏围成一个封闭的长方形菜园，已知木栅栏总长40米，围成的长方形菜园的面积为150平方米，则该长方形菜园中平行于墙的边长为（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设米，则米，根据矩形的面积公式结合矩形菜园的面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入中可求出BC的长，取其小于20的值即可． 【详解】解：如图， 设米，则米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去； 当时，． ∴矩形菜园的边长为10米． 故选：A． 二、解答题 2．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)如图，计划利用一段长为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，其中一边靠墙，墙长是．设花园的宽为 ，面积为． (1)写出与的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)试判断矩形花园面积能否达到?如果能，求出花园的宽；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)矩形花园面积能达到，花园的宽为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题关键是表示出矩形的另外一边，写出与的函数解析式．（1）根据题意可得，再根据可得出与的函数解析式；（2）令，解方程后，再根据，即可作出判断． 【详解】（1）解：由题意得： 所以． （2）当时，． ∴， ∴，． ∴当时，（不符合题意，舍去）． ∴当时，． 答：矩形花园面积能达到，花园的宽为． 3．(24-25九上·辽宁大连弘文中学·期末)如图，某养殖场在养殖面积扩建中，准备将总长为米的篱笆围成矩形形状的鸡舍，其中一边利用现有的一段米长的围墙，其余三边用篱笆，且在与墙平行的一边上开一个米宽的门．设边长为米，鸡舍面积为平方米． (1)求出与的函数关系式；（写出自变量的取值范围） (2)当鸡舍的面积为平方米时，求出鸡舍的一边的长． 【答案】(1)与的函数关系式； (2)鸡舍的一边的长为米． 【分析】（）设边长为米，根据题意可得，由面积公式可得，然后由一边利用现有的一段米长的围墙，得出从而求出即可； （）当平方米时，得出一元二次方程，然后解方程即可； 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确列出二次函数的表达式以及一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设边长为米，鸡舍面积为平方米， ∴， ∴， ∵一边利用现有的一段米长的围墙， ∴，解得：， ∴与的函数关系式； （2）解：当平方米时， ∴，整理得：， ∴， ∴米， 答：鸡舍的一边的长为米． 4．(23-24九上·辽宁阜新细河区·期末)如图，有长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为22米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门，设花圃的宽为x米． (1)若围成的花圃面积为96平方米，求此时的宽； (2)能围成面积为120平方米的花圃吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)宽为8米 (2)不能围成面积为120平方米的花圃 【分析】（1）由篱笆的总长度可得出花圃的长为米，根据花圃面积为96平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的最大可用长度为22米，即可得出结论； （2）不能围成面积为120平方米的花圃，根据花圃面积为120平方米，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，即不能围成面积为120平方米的花圃． 【详解】（1）花圃的宽为米， 花圃的长为米． 依题意得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：此时宽为8米； （2）不能围成面积为120平方米的花圃，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即不能围成面积为120平方米的花圃． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”． 5．(23-24九上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，借助一面墙（最长可利用）围成一个矩形花园，在墙上要预留宽的入口（如图中所示），入口不用砌墙，假设有砌长墙的材料且恰好用完，设的长为． (1)填空：砌段墙时，需______长的砌墙材料（用含x的代数式表示）； (2)当矩形花园的面积为时，墙的长为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据题意：砌段墙用料为米． （2）设矩形花园的长为米，则其段墙用料为米，依题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：的长为，因为入口不用砌墙，所以砌段墙用料为米， ∴段墙用料为 故答案为：． （2）由题意：， ， ，， ∵墙最长可利用， ∴， 答：面积为时，墙的长为米． 地 城 考点05 循环问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间都比赛一场，共需安排21场比赛．设七年级共有个班，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据赛制为每两班之间都比赛一场，共需安排21场比赛，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设七年级共有个班，根据题意得： 故选：B． 2．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)元旦将至，九年三班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡2070张，若设九年三班共有x名学生，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．由题意可知，每个学生都赠送了张贺卡，所有学生共赠送贺卡张，结合题意即可列出方程． 【详解】解：设九年三班共有名学生， 每个学生都赠送了张贺卡， 共赠送贺卡张， 又共赠贺卡张， ， 故选：． 3．(24-25九上·辽宁名校联盟·期末)足球联赛实行主客场的循环赛，即每两个球队都要在主场和客场各踢一场，某个赛季共举行比赛210场．设共有x个队参赛，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝210 B．x（x+1）＝210 C．x（x﹣1）＝210 D．x（x+1）＝210 【答案】C 【分析】设参加比赛的球队共有x支，则每支球队都要与余下的（x﹣1）支球队进行比赛，又每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，故这x支球队一共需要比赛x（x﹣1）场，而这个场次又是210场，据此列出方程． 【详解】解：设参加比赛的球队共有x支，每一个球队都与剩余的（x﹣1）队打球，即共打x（x﹣1）场 ∵每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场， ∴每两支球队相互之间都要比赛两场， 即x（x﹣1）＝210， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是抓住“每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场”列等量关系． 4．(23-24九上·辽宁抚顺清原县·期末)某班数学兴趣小组的同学互发微信，每两名同学都互相发一条．小明统计全组共互发了72次，设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每两名同学都互相发一条，共发了72次，列方程即可． 【详解】由题意得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． 二、填空题 5．(24-25九上·辽宁阜新太平区·期末)某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数 ． 【答案】6 【分析】设八年级有x个班，根据题意列方程，进行解答即可得． 【详解】解：设八年级有x个班， 解得，（舍）， 则八年级有6个班， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程． 6．(24-25九上·辽宁大连弘文中学·期末)某小组同学，新年时每人互送贺年片一张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组共有 人． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设这个小组有x人，根据题意可知每人需要送出张贺年片，再根据全组共送贺年片72张列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个小组有x人，则每人需送出张贺年片， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：9． 7．(24-25九上·辽宁大连甘井子区博伦中学·期末)要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【详解】赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数为场， 已知共比赛90场， 所以． 故答案为：． 地 城 考点06 传播问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， ∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人， ∴， 故选：C． 二、解答题 2．(24-25九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期末)春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 3．(23-24九上·辽宁大连瓦房店·期末)某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人． (1)经过第一轮传染后，共有__________人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案） (2)在每轮传播中，平均一人传染了几个人？ 【答案】(1) (2)在每轮传播中，平均一人传染了11个人 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）有两人最初感染了病毒，则第一轮会新感染人，再加上最初的两人即可得到答案； （2）第一轮会新感染人，再加上第一轮感染后的人数即为第二轮感染后感染病毒的人数，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵最初有两个人感染这种病毒，每轮传染中平均一个传染了x人， ∴经过第一轮传染后，共有人感染了病毒， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：在每轮传播中，平均一人传染了11个人． 地 城 考点07 数字问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜逝世年龄的个位数字为，根据题意列出方程即可． 【详解】设周瑜逝世年龄的个位数字为， 根据题意得，． 故选：B． 2．(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（  ） A．6 B．7 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最大的数为16． 故选：D． 3．(23-24九上·辽宁阜新细河区·期末)一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位上的数字为x，则根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由十位及个位数字间的关系，可得出十位上的数字为，结合个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字为， 十位上的数字为． 根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 地 城 考点08 几何动点问题 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁锦州黑山县·期末)如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 【答案】(1)5秒 (2)从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 【分析】本题主要考查动点问题，一元一次与一元二次方程的应用，勾股定理； （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 2．(24-25九上·辽宁营口大石桥实验中学·期末)如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)不存在某一时刻使得的面积等于 (2)当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案． （2）用含的代数式分别表示图中各线段，在中，利用勾股定理可求出，同理，在中利用勾股定理也可以求出，联合起来，得到关于的一元二次方程，解即可，然后根据实际意义确定的值． 【详解】（1）解：不存在． 设出发秒时的面积等于． ， ， ， ， 原方程无实数根， 即不存在某一时刻使得的面积等于． （2）解：， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ，即， 整理得， 解之得，， 即当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形． 3．(23-24九上·辽宁阜新太平区·期末)如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 【答案】（1）经过2秒或3秒后，的面积等于面积的；（2）经过秒或秒，与相似． 【分析】（1）设经过秒后，的面积等于面积的，用表示、、的长，再根据三角形的面积列式计算即可； （2）分两种情况分别计算，①设经过秒后，推，②设经过秒后，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：（1）设经过秒后，的面积等于面积的， 则，，，， ， 整理得， 解得，， ， 经过2秒或3秒后，的面积等于面积的． （2）①设经过秒后， ， ， 解得， ②设经过秒后， ， ， 解得； 经过秒或秒，与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、一元二次方程应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解法及相似三角形的判定方法，分情况讨论也是解题关键． 地 城 考点09 其他问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁锦州·期末)《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ． 故选：A． 2．(24-25九上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设门高AB为x尺，则门宽BC为（x-6.8）尺，根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：设门高AB为x尺，则门宽BC为（x-6.8）尺，根据勾股定理得： ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 二、填空题 3．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过 秒落回地面．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 根据物体回落到地面，即，求解即可． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍），， 因此物体经过落回地面． 故答案为：． 三、解答题 4．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区东北育才学校·期末)玉米俗称玉米棒子、苞米，是我国第一大粮食作物，也是全世界公认的“黄金作物”．政府鼓励农民种植玉米，一亩地每年补贴300元．经调查：我省玉米实验田平均亩产量约1300千克，市场销售价为每千克元，除购买种子、播种、施肥、浇水、收割等成本费用外（随种植亩数的变化而变化），种植一亩玉米的净利润达到1360元． (1)求种植一亩玉米的成本需要多少元； (2)某农场现有15亩实验田，计划种植玉米和蔬菜，根据经验调查发现：按2023年种植一亩玉米的成本来计算，以后每多种植1亩，平均每亩的成本会减少20元，2024年农场计划投入3200元的成本种植玉米，问：该农场计划种植几亩玉米？ 【答案】(1)种植一亩玉米的成本最高需要500元； (2)该农场计划种植10亩玉米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设种植一亩玉米的成本需要x元，依题意列出方程，求解即可； （2）设该农场计划种植y亩玉米，则每亩的成本为，依题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设种植一亩玉米的成本需要x元，依题意得： ， 解得：， 答：种植一亩玉米的成本最高需要500元； （2）解：设该农场计划种植y亩玉米，则每亩的成本为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该农场计划种植10亩玉米． 5．(24-25九上·辽宁阜新细河区·期末)某旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下收费标准： 旅游人数 收费标准 不超过25人 人均收费1000元 超过25人 每增加1人，人均收费降低20元，但人均收费不低于700元 我市某公司组织员工去该风景区旅游，共支付给旅行社27000元．这个公司这次共有多少人去该风景区旅游？ 【答案】这次共有30名员工去风景区旅游 【分析】本题是对一元二次方程的应用．设这次共有名员工去风景区旅游，先证明且人均费用不可能是700元，再根据每增加1人，人均旅游费用降低20元，且共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，可列出方程求解即可． 【详解】解：设这次共有x名员工去风景区旅游， ∵， ∴， ∵27000不能被700整除， ∴人均费用不可能是700元 由题意得，， 整理得：， 解得或， 当时，人均费用为，符合题意； 当时，人均费用为，不符合题意； ∴， 答：该单位这次共有30名员工去风景区旅游． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $