专题08 整式加减的实际应用及规律探究问题 11大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）七年级数学上学期

专题08 整式加减的实际应用及规律探究问题 11大高频考点概览 考点01 列代数式 考点02 代数式的实际意义 考点03 销售问题 考点04 几何图形问题 考点05 数字问题 考点06 日历问题 考点07 数表问题 考点08 行程问题 考点09 分段计价问题 考点10 数字类规律探索 考点11 图形类规律探索 地 城 考点01 列代数式 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁沈阳皇姑区·期末)购买个单价为元的面包和瓶单价为元的饮料，所需钱数为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．(24-25七上·辽宁朝阳北票·期末)近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为m元，现打七折，再优惠n元，那么该手机现在的售价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．(24-25七上·辽宁抚顺东洲区·期末)中国邮政于2024年7月26日正式发行2024-15J《第三十三届奥林匹克运动会》（巴黎奥运会）纪念邮票．其中“游泳”版式的大版邮票由12枚“游泳”邮票组成，形状恰好是一个正方形．如果每枚“游泳”邮票的长为毫米，则每枚“游泳”邮票的宽为（   ） A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米 4．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为．用代数式表示这条跑道的周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区·期末)4月23日是“世界读书日”，学校开展了“读书分享”活动，一本书的总页数为280页，李林看了天，平均每天看12页．则还剩 页没看．（请用含的代数式表示） 6．(24-25七上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，在一个长为，宽为的长方形内剪去两个半径为的扇形，则空白部分的面积为 （用含的整式表示）． 三、解答题 7．(24-25七上·辽宁辽阳·期末)两摞规格都相同的纸杯整齐叠放在茶几上，左边的一摞有3个纸杯，右边一摞有7个纸杯，乐乐同学经过测量画出下图，请你根据乐乐所给的数据信息，解答下列问题： (1)这些纸杯整齐摞在一起时，相邻两个纸杯杯口之间的高度相差_______； (2)若x个纸杯整齐摞放在茶儿上，求这一摞纸杯的顶部距离地面的高度？（用含x的代数式表示） (3)若茶几上有50个纸杯整齐叠放成一摞，乐乐同学从中取走5个纸杯，求余下的纸杯顶部距离地面的高度？ 8．(24-25七上·辽宁丹东·期末)某工厂生产一种零件，现有甲、乙两种型号的车床可以加工，将加工好的零件统一封装成箱后发送给销售商．已知每台甲型车床比每台乙型车床每天多加工10个零件，6台甲型车床一天加工的零件恰好能装满5箱，3台乙型车床一天加工的零件恰好能装满2箱． (1)若每台甲型车床一天生产个零件，则每台乙型车床一天加工________个零件（用含的代数式表示）；若每箱可以装个零件，则每台乙型车床一天加工________个零件；（用含的代数式表示） (2)求每台甲型车床一天可以加工多少个零件？每个包装箱可以装多少个零件？（列一元一次方程解决此问题） 9．(24-25七上·辽宁抚顺新宾县·期末)学校办公楼前有一长为，宽为的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为的圆形区域建一个喷泉，两边是长为，宽为的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示阴影部分的面积；（结果保留） (2)当，，，时，阴影部分的面积是多少？（取3） 10．(23-24七上·辽宁抚顺清原县·期末)9月23日－10月28日在我国杭州举行了第19届亚运会和亚残运会．亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”和亚残运会吉祥物“飞飞”都深受人们的喜爱，玲玲开的网店为了满足消费者的需求，批发了一批吉祥物摆件共个．已知批发了“飞飞”摆件x个，批发宸宸摆件的个数是飞飞摆件的3倍少y个，批发琮琮摆件的个数比宸宸摆件的一半多5个．根据以上信息回答下列问题： (1)“宸宸”摆件批发了________个，“琮琮”摆件批发了________个；（用含的代数式表示） (2)求“莲莲”摆件批发了多少个？（用含的代数式表示） (3)若，求“莲莲”摆件批发的个数． 地 城 考点02 代数式的实际意义 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁沈阳于洪区·期末)下列赋予代数式“”实际意义的例子中，错误的是（   ） A．如果一个篮球的价格是a元，那么表示3个篮球的总价 B．若a表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长 C．某款运动鞋进价为a元，销售这款运动鞋盈利，则销售两双的销售额为元 D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 2．(24-25七上·辽宁营口盖州·期末)为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这次促销方法的是（    ） A．在原价的基础上打八折后再降价15元 B．在原价的基础上打二折后再降价15元 C．在原价的基础上降价15元后再打八折 D．在原价的基础上降价15元后再打二折 3．(24-25七上·辽宁铁岭·期末)我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的．请仔细分析下列赋予实际意义的例子中不正确的是（   ） A．若葡萄的价格是3元/千克，则表示买a千克葡萄的金额 B．若a表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长 C．某校七年级共有3个班，每个班平均有a名女生，则表示七年级女生总数 D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个数 地 城 考点03 销售问题 一、填空题 1．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了60包茶叶，又在乙批发市场以每包n元的价格进了同样的40包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，全部卖完后，这家商店盈利 元；（用含有m、n的式子表示） 二、解答题 2．(24-25七上·辽宁抚顺望花区·期末)某中学准备在网上订购一批某品牌的篮球和跳绳，通过浏览某购物平台后了解到：篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案：已知要购买篮球20个，跳绳 x条． (1)若在甲网店购买，需付款 元；若在乙网店购买，需付款 元；（用含x的代数式表示） (2)若时，请你通过计算说明，此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当购买跳绳为多少条时，两家网店付款相同？ 3．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)甲、乙两家文具用品商店都有“新华牌”的水性笔，且标价都是元/支，但甲，乙两商店的优惠条件不同． 甲商店：若购买不超过10支，则按标价付款；若一次购买10支以上，则超过10支的部分按标价的付款；乙商店：全部按标价的付款．小明需要购买“新华牌”的水性笔x（）支． (1)请用含x的式子分别表示在甲、乙两家商店购买“新华牌”水性笔所需的费用． (2)若小明要购买“新华牌”水性笔40支，你认为甲，乙两商店中，到哪个商店购买比较省钱？请说明理由． (3)求小明购买“新华牌”水性笔多少支时，在甲，乙两商店花费是一样的． 4．(24-25七上·辽宁抚顺东洲区·期末)某学校准备印刷一批证书，现在有两个印刷厂可供选择：甲印刷厂收费方式：收制版费500元，每本印刷费0.5元； 乙印刷厂收费方式：不超过1000本时，每本收印刷费1.5元；超过1000本时，超过部分每本收印刷费0.25元．设该校印刷证书x本． (1)若x不超过1000本，甲印刷厂的收费为 元，乙印刷厂的收费为 元．（用含x 的代数式表示） (2)若x超过1000本，甲印刷厂的收费为 元，乙印刷厂的收费为 元．（用含x 的代数式表示） (3)当印刷证书4000本时，选择哪个印刷厂更节省费用？省了多少元？ (4)印刷多少本证书时，甲、乙两个印刷厂收费相同？ 5．(24-25七上·辽宁抚顺新宾县·期末)某学校七年级4名老师带领本班m名学生参加实践活动．已知该活动基地每张门票的票价为30元．现有A、B两种购票方案可供选择： 方案A：教师全价，学生半价； 方案B：不分教师与学生，师生全部六折优惠． (1)请分别计算两种方案的总费用（请用含m的代数式表示）； (2)当学生数是多少时，两种方案价格一样； (3)当时，请通过计算来说明A、B两种购票方案中哪种更为优惠． 6．(23-24七上·辽宁阜新太平区·期末)某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价的） (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时， 用方案一共收费 元； 用方案二共收费 元； (2)当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 7．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期末)自进入秋季以来，因为天气原因，更多人选择了戴口罩，为了满足市场需求，某厂家生产两种款式的环保口罩，每天共生产个，两种口罩的成本和售价如表： A B 成本（元/个） 5 7 售价（元/个） 8 9 若设每天生产A口罩x个． (1)用含x代数式表示： ①该工厂每天生产B种口罩 个； ②每天生产A种口罩的成本为 元； ③每天生产B种口罩的成本为 元； ④每天生产两种口罩的总成本为 元； (2)用含x的代数式表示该工厂每天获得的总利润，并将所列代数式进行化简（利润售价成本） (3)当时，求该工厂每天获得的总利润． 地 城 考点04 几何图形问题 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期末)某窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知半圆的半径为，长方形的长和宽分别为和．给出下面四个结论： 窗户外围的周长是； 窗户的面积是； ； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）    A． B． C． D． 2．(24-25七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)如图，用四个如图1所示的长为m、宽为n的长方形拼成一个如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的周长与小正方形的周长的差等于 ． 4．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)已知长为a的两个完全相同的大长方形，按照如图所示的方式各放入四个完全一样的小长方形，则图1与图2阴影部分周长之差为 ．（用含a的代数式表示） 三、解答题 5．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)将11张长为b，宽为a的小长方形纸片（如图1），按如图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的值与长方形边长无关时，求a与b的数量关系． 6．(24-25七上·辽宁鞍山·期末)如图，某种形零件尺寸如图，请用代数式表示阴影部分的周长，并计算当，时代数式的值． 7．(24-25七上·辽宁营口盖州·期末)如图，一扇窗户，所有窗框为铝合金材料，其下部是边长相同的四个小正方形，上部是半圆形，已知下部小正方形的边长是a米，窗户半圆部分安装彩色玻璃，四个正方形部分安装透明玻璃（本题中π取3，长度单位为米）． (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米?（用含的代数式表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米?铝合金窗框宽度忽略不计（用含代数式表示） (3)某公司需要购进30扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如下报价： 铝合金（元/米） 彩色玻璃（元/平方米） 透明玻璃（元/平方米） 甲厂商 200 80 不超过100平方米的部分，90元/平方米，超过100平方米的部分，70元/平方米 乙厂商 220 60 80元/平方米，每购1平方米透明玻璃送0.1米铝合金 当时，该公司在哪家厂商购买窗户合算? 8．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)在长方形的内部放置宽为a，周长为18的几个完全相同的小长方形纸片（图中阴影所示），得到长方形和长方形，长方形的周长为，长方形的周长为． (1)如图1，在长方形的内部放置2个小长方形纸片，判断线段之间的等量关系；并直接写出它们的长． (2)如图2，在长方形的内部放置6个小长方形纸片，求的值． 9．(24-25七上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图1是某校操场实物图，图2是操场的示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，最内侧半圆形跑道的半径是米，每条直道的长度都是米． (1)用代数式表示最内侧一圈跑道的长度； (2)当每两条跑道之间的距离为1.22米，如果终点相同，那么第一条跑道和第四条跑道的起跑线应差多少米？（其中，结果保留两位小数） 10．(24-25七上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，学校要利用围墙建一个长方形的自行车存车场，其它三面用护栏围起来，其中与围墙垂直的一边长为米，与围墙平行的一边长比与围墙垂直的一边长多米． (1)求护栏的长度；（用含m，n的代数式表示） (2)若，，每米护栏造价50元，求建此存车场护栏所需的费用． 11．(24-25七上·辽宁阜新实验中学·期末)如图，是一长为米，宽为米的长方形空地，在内部留出两个直径为米的圆形区域建水池，再修建两块为长米，宽为米的长方形休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示绿地（阴影部分）的面积；（结果保留） (2)当，时，绿地（阴影部分）的面积是多少？（取3） 12．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)如图，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为．    (1)这个纸盒的底面积是 ，高是 （用含a、b的代数式表示）； (2)b的部分取值及相应的纸盒容积如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m 72 n ①请通过表格中的数据计算： ， ； ②当b逐渐增大时，猜想纸盒容积的变化情况． 13．(24-25七上·辽宁铁岭铁岭县·期末)如图是某校田径运动场的平面图，最中间是长方形，长为a米，两端为两个半圆形，半径为r米，每条跑道的宽为1.2米，共四个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题：    (1)第2跑道的直道总长为________米，弯道总长为________米，跑道总长度为________米．（结果可用含的式子表示） (2)第3跑道的总长度为________米．（结果可用含的式子表示） (3)若，且要求第1跑道的总长度为200米．（以下问题结果精确到个位，取3.1） ①求r的值； ②操场中心（阴影部分）铺设地砖，跑道和最中间两端的半圆形分别铺设塑胶和人工草坪，若铺设地砖需要50元/平方米，铺设塑胶和人工草坪需要100元/平方米，则学校共需付多少铺设费用？ 14．(24-25七上·辽宁沈阳·期末)对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小； (3)若，，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______． 15．(24-25七上·辽宁大连高新区·期末)某建筑物的地面结构如图所示（图中各图形均为长方形或正方形），请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： (1)用含，的代数式表示阴影面积； (2)图中阴影部分需要铺设地砖，铺地砖每平方米的平均费用为100元，若，，则铺地砖的总费用为多少元？ 16．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区第一初级中学·期末)某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示（单位：m）． (1)用含x的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，π取时，阴影部分的面积约是多少?(精确到0.1) 地 城 考点05 数字问题 一、解答题 1．(24-25七上·辽宁大连中山区·期末)综合与实践 【问题背景】在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…… 这样的自然数能被3整除．一般的，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．我们可以论证这个结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 【拓展探究】小聪在学习完课本上的数学活动后，对数的整除很感兴趣， 于是自己研究了被7整除的数的特征，先从两位数开始研究： 两位数 十位数字 个位数字 10位数字减个位数字的2倍 14 1 4 21 2 1 28 2 8 35 3 5 … … … … 98 9 8 他发现如果一个两位数的十位数字减去个位数字的2倍得到的结果是7的倍数，那么这个两位数就能被7整除． (1)请你仿照问题背景中的代数推理方法验证小聪发现的结论； (2)小聪继续探究发现他得到的结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是7的倍数时，原数能被7整除，并且该结论反之亦成立．请按照小聪推广后的结论解决下列问题： ①判断7938是否能被7整除（要求写出判断过程）； ②若一个正数能被7整除，的最后四位数为3025，求的最小值． 2．(24-25七上·辽宁大连甘井子区·期末)【回顾已有经验】 图片是教科书第106页“活动2自然数被3整除的规律”的一部分． 活动2  自然数被3整除的规律 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为．于是 ． 显然9a能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【发表个性观点】 小明利用学习经验，提出了一个观点：“一个自然数所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除”． （1）请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确． 【尝试理解事实】 小强从数学课外读物中看到了这样一份材料：数字a，b，c组成一个三位数，去掉末位数字c，得到两位数，再用加上c的2倍，所得的和为，若是19的倍数，则原数就被称为“生命数”．实际上，“生命数”也可以是四位数，五位数，…，判断一个数是不是“生命数”，可以仿照上面的程序，如果第三步所得的和太大或心算不易看出是否是19的倍数，就需要继续进行上述“截尾、倍大、相加、验和”的过程，直到能清楚判断为止． （2）请你运用这个方法判断12008是不是“生命数”． 【应用并提出新发现】 （3）请直接判断“在数12008的两个0之间添加1个3或2个3，所得的数都是生命数”是否正确．___（填“正确”或“不正确”） （4）根据以上经验，你可以探索得到一个新的关于“生命数”的结论是______． 3．(24-25七上·辽宁沈阳私立学校联合体·期末)若一个两位数十位、个位上的数字分别为a、b，我们将这个两位数简记为，易知，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． (1)若，求a的值； (2)证明：能被11整除； (3)将一个三位数的中间数字b去掉变为一个两位数，若满足，求b的最大值； (4)一个三位数M，a，b，c分别是数M其中一个数位上的数字，且，，在a，b，c中任选两个数字组成两位数和，若为整数，请直接写出所有满足条件的数M． 4．(23-24七上·辽宁本溪·期末)阅读与思考 下面是小馨同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 一定能整除吗？ 【发现问题】 （1）任意写一个两位数； （2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新的两位数； （3）这个新的两位数与原来两位数的和一定能被整除． 【数学思考】 举例：①，；②，；③▲． 【问题解决】 设一个两位数的十位上的数是，个位上的数是． 根据题意得 ， ∵， ∴这个新的两位数与原来两位数的和能被整除． 任务： (1)仿照例子，将【数学思考】中的③补充完整：__________________． (2)请参照笔记中的分析与解答过程，解答下面的问题： 一个三位数，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，若把它的百位数字与个位数字对调，将得到一个新的三位数．计算原数与新数的差，这个差能被整除吗？为什么？ 地 城 考点06 日历问题 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期末)在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 二、解答题 2．(24-25七上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期末)综合与实践：在学习《整式的加减》时，我们探究了月历中数字之间的关系和变化规律．已知月历中同行的数从左向右依次递增1，同列的数从上向下依次递增7． 探究1：图1是某月的月历，现要探究带阴影的“口”字方框中的4个数（框中圈出的数没有空白）的数量关系，方框可以任意移动；小明是先假设左上角的数为，他通过计算发现斜对角的两个数字之和均为______，从而他得出结论：“口”字方框中的4个数满足斜对角两数之和______（填“相等”或“不相等”）； 探究2：小明又探究了图2中带阴影的十字方框中的5个数（框中圈出的数没有空白）的数量关系，发现当十字框任意移动位置时这5个数之和总是5的倍数，请你通过计算说明他的结论成立的理由； 地 城 考点07 数表问题 一、解答题 1．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 地 城 考点08 行程问题 一、填空题 1．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是，后甲船比乙船多航行 ． 2．(24-25七上·辽宁大连·期末)两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水航行，乙船逆水航行，若船在静水中的速度为v km/h，水流速度为2 km/h，3小时后两船之间的距离是 千米． 3．(23-24七上·辽宁盘锦大洼区大洼区第一初级中学·期末)轮船在静水中的速度为x，水流的速度为y，轮船顺水航行3小时比逆水航行2小时多行驶 千米． 二、解答题 4．(24-25七上·辽宁大连中山区·期末)港珠澳大桥，是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥．一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道上行驶的平均速度为，主桥的全长约．请根据这些数据回答下列问题： (1)若汽车在主桥上行驶的时间为，平均速度，请用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ (2)若汽车通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道所需时间的1.25倍，求港珠澳大桥上这三段路程的和．（用字母只含的代数式表示，结果要化简） 5．(23-24七上·辽宁抚顺清原县·期末)问题情境：随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店3600米的光明小区，2分钟后乙出发向西前往距离商店4800米的幸福小区，甲的平均速度为600米/分，乙的平均速度为400米/分，设骑手甲行驶的时间为分钟． 数学思考： （1）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲离开商店的距离为_____米，骑手乙离开商店的距离为______米（均用含的式子表示）； 问题解决： （2）在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店的距离时，求的值； （3）已知，骑手甲到达光明小区后立即按原路原速返回商店（其中放外卖的时间忽略不计）．在骑手乙送达幸福小区之前，求甲、乙两人之间距离为5000米时的值． 地 城 考点09 分段计价问题 一、解答题 1．(24-25七上·辽宁辽阳·期末)为促进电力资源的优化配置，某地居民用电实施峰谷计费，峰时段为；谷时段为次日．如表为该地某户居民12月份的电费账单的部分信息，设其中的峰时电量为x千瓦时，根据所给信息，解决下列问题． 户主 *** 用电户号 ****** 合计金额 114.9元 合计电量 210千瓦时 抄送周期 2024.12.01-2024.12.31 备注：合计电量=峰时电量+谷时电量 单价（元） 计费数量（千瓦时） 金额（元） 峰时电量 0.59 x ①_______ 谷时电量 0.44 ②_______ ③_______ (1)请将上述电费账单填写完整：（用含x的代数式表示） (2)求该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦时？（请利用方程解决问题） 2．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)我市居民生活用水实行阶梯式计量水价，实施细则如下表所示： 分档水量 年用水量 水价（元/吨） 第1级 180吨以下（含180吨） 5 第2级 吨（含260吨） 7 第3级 260吨以上 9 例：若某用户2020年的用水量为270吨，按三级计算则应交水费为：（元）． (1)如果小丽家2020年的用水量为200吨，求小丽家全年需缴水费多少元？ (2)如果小明家2020年的用水量为a吨，求小明家全年应缴水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） (3)如果全年缴水费2000元，则该年的用水量为多少吨？ 3．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大。某快递公司每件普通物品的收费标准如下表： 寄往市内 寄往市外 首重 续重 首重 续重 元／千克 元／千克 元／千克 元／千克 说明：①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算） 例如：寄往市内一件千克的物品，运费总额为：元．寄往市外一件千克的物品，运费总额为：元． (1)小华同时寄往市内一件千克的物品和市外一件千克的物品，各需付运费多少元？ (2)小彤同时寄往市内和市外同一件千克的物品，已知超过，且的整数部分是，小数部分小于，请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差． (3)某日小华和小彤同时在该快递公司寄物品，小华寄往市外，小彤寄往市内，小彤所寄物品的重量不是整数，小华的运费比小彤的运费多元，物品的重量比小彤多千克，则小华和小彤共需付运费多少元？ 4．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 5．(23-24七上·辽宁盘锦大洼区大洼区第一初级中学·期末)随着出行方式的多样化，某市三种打车方式的收费标准如下：已知三种打车的平均车速均为40千米/小时，如：乘坐8千米，耗时分钟．出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：（元）；高德快车的收费为：（元）． 出租车 滴滴快车 高德快车 3千米以内：10元 路程：元/千米 路程：元/千米 超过3千米的部分：元/千米 时间：元/分钟 时间：元/分钟 (1)如果乘车路程20千米，使用高德快车，需支付的费用是 元； (2)如果乘车路程x（）千米，使用出租车出行，需支付的费用是多少元？使用滴漓快车出行，需交付的费用是多少元？ (3)高德快车和滴滴快车为了竞争客户，分别推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元；高德快车车费半价优惠．若一个乘客通过计算发现乘车路程超过6千米时，使用高德快车比使用滴滴快车出行省20元，求这个乘客的乘车的路程是多少千米？ 地 城 考点10 数字类规律探索 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)观察下列代数式：，，，，根据其中的规律可得第2024个式子是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，的值是（   ） A． B． C．62 D． 3．(24-25七上·辽宁抚顺顺城区·期末)已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25七上·辽宁大连瓦房店·期末)观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，，…，按照上述规律，第2025个单项式是 ． 5．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)观察下列各式：，…．根据你发现的规律回答：的结果的个位数字是 ． 6．(24-25七上·辽宁朝阳建平县·期末)a是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”．如：的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”……，依此类推，则 ． 7．(24-25七上·辽宁铁岭铁岭县·期末)有这样一列代数式：2x，5x2，10x3，17x4，26x5，37x6，…，则第n个的代数式是 ． 8．(24-25七上·辽宁大连中山区·期末)如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如表．由表中数据的规律可知，当克时， 毫米． /克 0 2 4 6 8 /毫米 10 14 18 22 26 三、解答题 9．(24-25七上·辽宁葫芦岛·期末)在数学活动课上，张老师让同学们观察下列算式： 第个：； 第个：； 第个：； … 完成下列问题： (1)请根据上述规律填空：_______； (2)根据上述规律猜想第个算式：_______； (3)； (4)解方程：． 10．(24-25七上·辽宁鞍山·期末)设表示一个两位数，其中是十位上的数字（，且是整数）．例如：当时，表示的两位数是25．观察下列各式并回答问题： 当时， 当时， 当时， … (1)依据上述算式写出当时，_______； (2)归纳出一般表达式，___________； (3)请利用上述方法计算的值． 11．(24-25七上·辽宁阜新实验中学·期末)【实际问题】 一种扑克牌游戏的玩法是游戏者从同一种花色的13张牌中抽出3张，将牌面的数字相加，和大者胜出．（，，的牌面数字分别记为11，12，13） 小明想知道，每次从这13张牌中抽出3张，牌面数字相加的和共有多少种不同结果？ 【归纳探究】 李老师告诉小明，解决这样的问题可以采取将一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法． 如：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数．其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． 【问题初探】 （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． 【问题解决】 （2）从同一种花色的13张牌中抽出3张牌，牌面数字相加的和共有______种不同结果． 【方法归纳】 （3）从1，2，3，4，，（为整数，）这个连续整数中任取3个整数，这3个整数之和共有多少种不同的结果？请写出你的计算过程．（最终结果用含的代数式表示） 【问题拓展】 （4）从4，5，6，，（为整数，且）这若干个连续整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有361种不同的结果，请直接写出的值． 地 城 考点11 图形类规律探索 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁葫芦岛·期末)如图，李明用棋子摆出一组形如小彩旗的图形，按照这种方法摆下去，摆第个图形时需要棋子的枚数是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图，用棋子摆出一组长方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第n个图形需要的棋子数为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·辽宁本溪·期末)下列图形都是按照一定规律组成的：第1个图形中正三角形（三角形三边长都相等）的边长为1，第2个图形中最小的正三角形边长为，第3个图形中最小的正三角形边长为，依照此规律，第6个图形中的最小正三角形的边长是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)如图，从左至右第1个图由1个正六边形，6个正方形和6个等边三角形组成；第二个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成按此规律，第个图中正方形和等边三角形的个数之和为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 5．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图，是一组有规律的图案，第1个图案中有5个四边形，第2个图案中有9个四边形，第3个图案中有13个四边形，…，按此规律，第33个图案中四边形的个数为（    ） A．131 B．132 C．133 D．134 6．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)某校图书馆中1张桌子安排6个座位，按照如图所示的方式将桌子拼在一起，若要安排22个座位，则需要桌子的张数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．10 二、填空题 7．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期末)少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个基础图形组成的有规律的图案：第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，…如图，按此规律排列下去，第2025个图案中的基础图形个数为 个． 8．(24-25七上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，用大小相等的正六边形拼成蜂巢图，拼第1个蜂巢图需要4个正六边形，拼第2个蜂巢图需要7个正六边形…按照这样的方法拼成的第个蜂巢图需要2026个正六边形，则的值为 ． 9．(24-25七上·辽宁抚顺顺城区·期末)如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色，按照这样的规律，第个图案中有 个涂色的小正方形． 10．(24-25七上·辽宁锦州·期末)如图是小明用火柴棒拼摆的图案，第个图案用根火柴棒，第个图案用根火柴棒，第个图案用根火柴棒，，依此规律，第个图案中所用火柴棒的根数为 ． 11．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区第一初级中学·期末)如图，已知圆环的内直径为a厘米，外直径为b厘米，将11个这样的圆环按图中的方式一个接着一个连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度可以表示为 米． 12．(24-25七上·辽宁沈阳于洪区·期末)观察下列图形的构成规律，根据此规律，第10个图形中有 个圆． 13．(24-25七上·辽宁鞍山·期末)观察下列球的排列规律（其中是实心球，是空心球）：从第个球起到第个球止，共有实心球的个数为 ． 14．(24-25七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)某种杯子的高度是15cm，两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图，n个这样的杯子叠放在一起高度是 cm（用含n的式子表示）． 15．(24-25七上·辽宁沈阳·期末)找出图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量是 ． 16．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 17．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期末)如图，用棋子摆成的“”形图，按这样的规律摆下去，第2025个需要 枚棋子． 18．(24-25七上·辽宁丹东·期末)如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则的值为 ． 19．(24-25七上·辽宁抚顺东洲区·期末)如图，数轴上O，A 两点间的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，且n是正整数）处，经过这样n次跳动后的点与点A的距离是 ．（用含n的代数式表示） 三、解答题 20．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期末)毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． (1)图1和图2中的第7个图形，三角形数和正方形数分别为__________； (2)下列自然数中，既是三角形数又是正方形数的是__________（填序号）； ①1；②25；③36；④84. (3)仔细观察，三角形数与正方形数有怎样的联系呢？设第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为，请猜想出之间有何数量关系，并验证这个结论． 21．(24-25七上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)用同样规格的黑白两种颜色的正方形按如图的规律摆下去． (1)用含的代数式填空：摆第个图形需要_______个白色正方形，需要_______个黑色正方形； (2)第个图形中，黑白两种颜色的正方形共有2025个，求的值； (3)设第个图形与第个图形中白色正方形的个数和为，第个图形中黑色正方形的个数为，是否存在？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由． 22．(24-25七上·辽宁铁岭·期末)【探索发现】 如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； ②请根据①的结论计算． 【问题解决】 如图2，第1次分割，把正方形的面积三等分；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…根据以上信息解决问题： （2）计算； 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 整式加减的实际应用及规律探究问题 11大高频考点概览 考点01 列代数式 考点02 代数式的实际意义 考点03 销售问题 考点04 几何图形问题 考点05 数字问题 考点06 日历问题 考点07 数表问题 考点08 行程问题 考点09 分段计价问题 考点10 数字类规律探索 考点11 图形类规律探索 地 城 考点01 列代数式 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁沈阳皇姑区·期末)购买个单价为元的面包和瓶单价为元的饮料，所需钱数为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】求购买个单价为元的面包和瓶单价为元的饮料所需钱数，将个面包和瓶饮料的总价相加即可． 【详解】解：买个面包和瓶饮料所需的钱数：元． 故选D． 【点睛】此题考查列代数式，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来． 2．(24-25七上·辽宁朝阳北票·期末)近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为m元，现打七折，再优惠n元，那么该手机现在的售价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出代数式即可． 【详解】解：由题意可得该手机现在的售价为元； 故选B． 3．(24-25七上·辽宁抚顺东洲区·期末)中国邮政于2024年7月26日正式发行2024-15J《第三十三届奥林匹克运动会》（巴黎奥运会）纪念邮票．其中“游泳”版式的大版邮票由12枚“游泳”邮票组成，形状恰好是一个正方形．如果每枚“游泳”邮票的长为毫米，则每枚“游泳”邮票的宽为（   ） A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米 【答案】A 【分析】此题考查了列代数式，首先求出正方形的边长为，然后根据正方形的边长等于4条宽的长度求解即可． 【详解】解：∵每枚“游泳”邮票的长为毫米，“游泳”版式的大版邮票由12枚“游泳”邮票组成，形状恰好是一个正方形， ∴正方形的边长为， ∴每枚“游泳”邮票的宽为（毫米）． 故选：A． 4．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为．用代数式表示这条跑道的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，根据图形可知这条跑道的周长为两个半圆的周长+两条直道为a的和，两个半圆正好是一个圆，然后列出代数式即可， 【详解】解：由图可得，这条跑道的周长为： 故选：B． 二、填空题 5．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区·期末)4月23日是“世界读书日”，学校开展了“读书分享”活动，一本书的总页数为280页，李林看了天，平均每天看12页．则还剩 页没看．（请用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，解题关键是明确题目中的数量关系，正确列出代数式即可． 【详解】解：一本书的总页数为280页，李林看了天，平均每天看12页．则还剩页没看． 故答案为：． 6．(24-25七上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，在一个长为，宽为的长方形内剪去两个半径为的扇形，则空白部分的面积为 （用含的整式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解题意，熟练掌握圆的面积公式．用长方形面积减去一个半圆的面积，即可得出答案． 【详解】解：阴影部分的面积为： ． 故答案为：． 三、解答题 7．(24-25七上·辽宁辽阳·期末)两摞规格都相同的纸杯整齐叠放在茶几上，左边的一摞有3个纸杯，右边一摞有7个纸杯，乐乐同学经过测量画出下图，请你根据乐乐所给的数据信息，解答下列问题： (1)这些纸杯整齐摞在一起时，相邻两个纸杯杯口之间的高度相差_______； (2)若x个纸杯整齐摞放在茶儿上，求这一摞纸杯的顶部距离地面的高度？（用含x的代数式表示） (3)若茶几上有50个纸杯整齐叠放成一摞，乐乐同学从中取走5个纸杯，求余下的纸杯顶部距离地面的高度？ 【答案】(1)0.6 (2) (3)余下的纸杯顶部距离地面的高度为 【分析】本题主要考查了用代数式表示，代数式求值， （1）先求出4个纸杯杯口的高度，进而得出答案； （2）以3个纸杯的高度为基础，再加上个纸杯杯口的高度，即可用代数式表示； （3）将45代入求值即可． 【详解】（1）解：（）. 故答案为：0.6； （2）解： 答：这一摞杯的顶部距离地面的高度为； （3）解：当时，. 答：余下的纸杯顶部距离地面的高度为． 8．(24-25七上·辽宁丹东·期末)某工厂生产一种零件，现有甲、乙两种型号的车床可以加工，将加工好的零件统一封装成箱后发送给销售商．已知每台甲型车床比每台乙型车床每天多加工10个零件，6台甲型车床一天加工的零件恰好能装满5箱，3台乙型车床一天加工的零件恰好能装满2箱． (1)若每台甲型车床一天生产个零件，则每台乙型车床一天加工________个零件（用含的代数式表示）；若每箱可以装个零件，则每台乙型车床一天加工________个零件；（用含的代数式表示） (2)求每台甲型车床一天可以加工多少个零件？每个包装箱可以装多少个零件？（列一元一次方程解决此问题） 【答案】(1)或；； (2)每台甲型车床一天可以加工50个零件，每个包装箱可以装60个零件． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程． （1）根据每台甲型车床比每台乙型车床每天多加工10个零件可得第一空答案；根据3台乙型车床一天加工的零件恰好能装满2箱可得第二空答案； （2）设每台甲型车床一天可以加工个零件．则每台乙型车床一天可以加工个零件，根据每一箱的数量相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，若每台甲型车床一天生产个零件，则每台乙型车床一天加工个零件； 若每箱可以装个零件，则每台乙型车床一天加工个零件； （2）解：设每台甲型车床一天可以加工个零件．则每台乙型车床一天可以加工个零件，根据题意列方程： ， 解得， （个）， 答：每台甲型车床一天可以加工50个零件，每个包装箱可以装60个零件． 9．(24-25七上·辽宁抚顺新宾县·期末)学校办公楼前有一长为，宽为的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为的圆形区域建一个喷泉，两边是长为，宽为的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示阴影部分的面积；（结果保留） (2)当，，，时，阴影部分的面积是多少？（取3） 【答案】(1) (2)41 【分析】题目主要考查列代数式及求代数式的值，根据图形列出相应代数式是解题关键． （1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆及两个小长方形的面积即可； （2）将已知值代入（1）中代数式即可． 【详解】（1）解：根据题意得，圆的半径为a， ∴； （2）解：当，取3时， ， ∴阴影部分的面积是41． 10．(23-24七上·辽宁抚顺清原县·期末)9月23日－10月28日在我国杭州举行了第19届亚运会和亚残运会．亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”和亚残运会吉祥物“飞飞”都深受人们的喜爱，玲玲开的网店为了满足消费者的需求，批发了一批吉祥物摆件共个．已知批发了“飞飞”摆件x个，批发宸宸摆件的个数是飞飞摆件的3倍少y个，批发琮琮摆件的个数比宸宸摆件的一半多5个．根据以上信息回答下列问题： (1)“宸宸”摆件批发了________个，“琮琮”摆件批发了________个；（用含的代数式表示） (2)求“莲莲”摆件批发了多少个？（用含的代数式表示） (3)若，求“莲莲”摆件批发的个数． 【答案】(1)； (2) (3)525 【分析】本题考查列代数式的实际意义， （1）根据批发“宸宸”摆件的个数是“飞飞”摆件的3倍少y个和批发“琮琮”摆件的个数比“宸宸”摆件的一半多5个，列出代数式，即可解答； （2）批发摆件的总数减去其余批发其余摆件的数量，即为“莲莲”摆件批发的个数； （3）代入求值即可解答； 理解题意，得到等量关系，正确列出代数式是解答的关键． 【详解】（1）解：根据题意，可得批发“宸宸”摆件的个数为个， 批发“琮琮”摆件的个数为个， 故答案为：；； （2）解：， ， ， ， “莲莲”摆件批发个； （3）解：当，原式个， “莲莲”摆件批发525个． 地 城 考点02 代数式的实际意义 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁沈阳于洪区·期末)下列赋予代数式“”实际意义的例子中，错误的是（   ） A．如果一个篮球的价格是a元，那么表示3个篮球的总价 B．若a表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长 C．某款运动鞋进价为a元，销售这款运动鞋盈利，则销售两双的销售额为元 D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式，解题的关键是掌握代数式的书写规范和实际问题中的熟练关系．根据金额单价数量，等边三角形的边长边3，销售额销售价数量，两位数表示十位数 个位数，进行逐个分析即可． 【详解】A．一个篮球的价格是a元，则表示3个篮球的总价， 选项说法正确，不符合题意； B．a表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长， 选项说法正确，不符合题意； C．运动鞋进价为a元，销售这款运动鞋盈利，销售一双销售额为， 则销售两双的销售额为元，选项说法正确，不符合题意； D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字， 则这个两位数表示为，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 2．(24-25七上·辽宁营口盖州·期末)为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这次促销方法的是（    ） A．在原价的基础上打八折后再降价15元 B．在原价的基础上打二折后再降价15元 C．在原价的基础上降价15元后再打八折 D．在原价的基础上降价15元后再打二折 【答案】C 【分析】本题考查代数式的含义，根据式子得到先减去15元，再打折即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 元表示：在原价的基础上减去15元后再打8折． 故选：C． 3．(24-25七上·辽宁铁岭·期末)我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的．请仔细分析下列赋予实际意义的例子中不正确的是（   ） A．若葡萄的价格是3元/千克，则表示买a千克葡萄的金额 B．若a表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长 C．某校七年级共有3个班，每个班平均有a名女生，则表示七年级女生总数 D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个数 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握代数式的书写规范和实际问题中数量间的关系．根据各选项的表述，结合相应的等量关系进行分析即可． 【详解】解：A、若葡萄的价格是3元千克，则表示买千克葡萄的金额，正确，故A不符合题意； B、若表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长，正确，故B不符合题意； C、若某校七年级共有3个班，平均每个班有名女生，表示该校七年级女生总数，正确，故C不符合题意； D、若3和分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数，此选项错误，故D符合题意． 故选：D． 地 城 考点03 销售问题 一、填空题 1．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了60包茶叶，又在乙批发市场以每包n元的价格进了同样的40包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，全部卖完后，这家商店盈利 元；（用含有m、n的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式和整式加减的应用，根据题意得出商家盈利=售价进价，列出代数式即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 二、解答题 2．(24-25七上·辽宁抚顺望花区·期末)某中学准备在网上订购一批某品牌的篮球和跳绳，通过浏览某购物平台后了解到：篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案：已知要购买篮球20个，跳绳 x条． (1)若在甲网店购买，需付款 元；若在乙网店购买，需付款 元；（用含x的代数式表示） (2)若时，请你通过计算说明，此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当购买跳绳为多少条时，两家网店付款相同？ 【答案】(1)； (2)甲 (3)104条 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出在甲、乙两家网店购买所需费用；（2）代入，求出在甲、乙两家网店购买所需费用；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用总价=单价×数量，结合甲、乙两家网店给出的优惠方案，即可用含x的代数式表示出在甲、乙两家网店购买所需费用； （2）代入，可求出在甲、乙两家网店购买所需费用，比较后即可得出结论； （3）根据两家网店付款相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：在甲网店购买，需付款元； 在乙网店购买，需付款元． 故答案为：；； （2）解：当时， 在甲网店购买，需付款（元）； 在乙网店购买，需付款（元）， ∵， ∴在甲网店购买较为合算； （3）解：根据题意得：， 解得：． 答：当购买的跳绳为104条时，两家网店付款相同． 3．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)甲、乙两家文具用品商店都有“新华牌”的水性笔，且标价都是元/支，但甲，乙两商店的优惠条件不同． 甲商店：若购买不超过10支，则按标价付款；若一次购买10支以上，则超过10支的部分按标价的付款；乙商店：全部按标价的付款．小明需要购买“新华牌”的水性笔x（）支． (1)请用含x的式子分别表示在甲、乙两家商店购买“新华牌”水性笔所需的费用． (2)若小明要购买“新华牌”水性笔40支，你认为甲，乙两商店中，到哪个商店购买比较省钱？请说明理由． (3)求小明购买“新华牌”水性笔多少支时，在甲，乙两商店花费是一样的． 【答案】(1)元，元 (2)选择到甲商店购买更省钱，见解析 (3)20 【分析】（1）根据题意，得甲商店购买“新华牌”水性笔所需的费用为元．乙商店购买“新华牌”水性笔所需的费用元．解答即可． （2）把分别代入上面的两个代数式中，计算代数式的值，比较大小，选择即可． （3）根据代数式的值相等，建立方程解答即可． 本题考查了列代数式，求代数式的值，解方程，熟练掌握解方程，求代数式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得甲商店购买“新华牌”水性笔所需的费用为元． 乙商店购买“新华牌”水性笔所需的费用元． （2）解：当时， （元）； （元）， 由， 故选择到甲商店购买更省钱． （3）解：根据题意，得， 解得． 答：购买20支时，到两家商店购买价钱一样多． 4．(24-25七上·辽宁抚顺东洲区·期末)某学校准备印刷一批证书，现在有两个印刷厂可供选择：甲印刷厂收费方式：收制版费500元，每本印刷费0.5元； 乙印刷厂收费方式：不超过1000本时，每本收印刷费1.5元；超过1000本时，超过部分每本收印刷费0.25元．设该校印刷证书x本． (1)若x不超过1000本，甲印刷厂的收费为 元，乙印刷厂的收费为 元．（用含x 的代数式表示） (2)若x超过1000本，甲印刷厂的收费为 元，乙印刷厂的收费为 元．（用含x 的代数式表示） (3)当印刷证书4000本时，选择哪个印刷厂更节省费用？省了多少元？ (4)印刷多少本证书时，甲、乙两个印刷厂收费相同？ 【答案】(1)，1.5x (2)， (3)乙印刷厂；250元 (4)500或3000本 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用： （1）根据甲乙两个印刷厂的收费方式，列出代数式即可； （2）根据甲乙两个印刷厂的收费方式，列出代数式即可； （3）把代入代数式进行求解即可； （4）根据题意，分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，甲印刷厂的收费为元，乙印刷厂的收费为1.5x； 故答案为：，1.5x； （2）由题意，甲印刷厂的收费为元，乙印刷厂的收费为元； 故答案为：，； （3）当时，甲印刷厂所需费用为：元； 乙印刷厂所需费用为：元， ∵， ∴选择乙印刷厂更节省费用，便宜元； 答：选择乙印刷厂更节省费用，便宜250元； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得； 答：印刷500或3000本证书时，甲乙两厂收费相同． 5．(24-25七上·辽宁抚顺新宾县·期末)某学校七年级4名老师带领本班m名学生参加实践活动．已知该活动基地每张门票的票价为30元．现有A、B两种购票方案可供选择： 方案A：教师全价，学生半价； 方案B：不分教师与学生，师生全部六折优惠． (1)请分别计算两种方案的总费用（请用含m的代数式表示）； (2)当学生数是多少时，两种方案价格一样； (3)当时，请通过计算来说明A、B两种购票方案中哪种更为优惠． 【答案】(1)方案A：元；方案B：元 (2)当学生数是16时，两种方案价格一样 (3)A种购票方案更为优惠 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用： （1）根据优惠方式列代数式即可； （2）根据“两种方案价格一样”列一元一次方程，解方程即可； （3）计算出时，两种方案的费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：方案A的总费用为：（元）， 方案B的总费用为：（元）； （2）解：令， 解得， 即当学生数是16时，两种方案价格一样； （3）解：当时，方案A的总费用为：（元）， 方案B的总费用为：（元）， ， 因此A种购票方案更为优惠． 6．(23-24七上·辽宁阜新太平区·期末)某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价的） (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时， 用方案一共收费 元； 用方案二共收费 元； (2)当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 【答案】(1)； (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式和求代数式的值： （1）方案一的收费为：元，方案二收费为：元； （2）把代入两个代数式，进而比较即可． 【详解】（1）解：方案一的收费为：元， 方案二收费为：元； 故答案为：；． （2）解：把代入（元）， 把代入（元）， ∵， ∴方案二省钱． 7．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期末)自进入秋季以来，因为天气原因，更多人选择了戴口罩，为了满足市场需求，某厂家生产两种款式的环保口罩，每天共生产个，两种口罩的成本和售价如表： A B 成本（元/个） 5 7 售价（元/个） 8 9 若设每天生产A口罩x个． (1)用含x代数式表示： ①该工厂每天生产B种口罩 个； ②每天生产A种口罩的成本为 元； ③每天生产B种口罩的成本为 元； ④每天生产两种口罩的总成本为 元； (2)用含x的代数式表示该工厂每天获得的总利润，并将所列代数式进行化简（利润售价成本） (3)当时，求该工厂每天获得的总利润． 【答案】(1)①；②；③；④； (2)，元； (3)（元）． 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是能看懂题意和表格，会去括号和合并同类项． （1）①根据题意，用每天生产两种款式的口罩个数减去A种款式的个数即可； ②根据题意，用生产一个A口罩的成本乘以个数即可得出答案； ③根据题意，用生产一个B口罩的成本乘以个数即可得出答案； ④求每天生产的两种口罩的和即可； （2）根据利润售价成本，得出两种口罩的利润，用生产A种口罩获得的利润加上生产B种口罩获得的利润即可得出答案； （3）把代入（2）中得出的代数式，即可得出答案． 【详解】（1）①∵每天生产两种口罩共个，若设每天生产A口罩x个， ∴该工厂每天生产B种口罩为：个． ②∵生产一个A种口罩的成本是5元， ∴每天生产A种口罩的成本是元． ③∵生产一个B种口罩的成本是7元， ∴每天生产B种口罩的成本是元． ④每天生产两种口罩的总成本为：元． （2）由题意得， （元） 该工厂每天获得的总利润为元． （3）当时，（元） 地 城 考点04 几何图形问题 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期末)某窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知半圆的半径为，长方形的长和宽分别为和．给出下面四个结论： 窗户外围的周长是； 窗户的面积是； ； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形中圆，正方形和长方形边的数量关系及面积公式即可求解． 【详解】根据图形可知：窗户外围的周长是 ，故正确； 窗户的面积是，故错误； 由图形可知：，故正确； 由，和得不出关系，故错误； 故选：． 【点睛】此题考查了列代数式问题，解题的关键熟练掌握正方形和圆的周长及面积求法． 2．(24-25七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式、长方形的面积，能把阴影部分的面积用不同的代数式表示出来是解题的关键．根据图形列出代数式即可． 【详解】解：A、不能表示图中阴影部分面积，符合题意； B、阴影部分的面积等于上面两个小长方形组成的大长方形面积加上下面阴影部分的长方形面积，即，故此选项不符合题意； C、阴影部分的面积等于右边两个小长方形组成的大长方形面积加上左边阴影部分的长方形面积，即，故此选项不符合题意； D.阴影部分的面积等于大长方形的面积减去空白部分长方形的面积，即，故此选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题 3．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)如图，用四个如图1所示的长为m、宽为n的长方形拼成一个如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的周长与小正方形的周长的差等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的周长和列代数式，先得出大正方形的边长为，小正方形的边长为，再分别表示出大正方形和小正方形的周长，再相减即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的周长为，小正方形的边长为， ∴， 故答案为：． 4．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)已知长为a的两个完全相同的大长方形，按照如图所示的方式各放入四个完全一样的小长方形，则图1与图2阴影部分周长之差为 ．（用含a的代数式表示） 【答案】 【分析】设图中大长方形的宽为b，小长方形的长为x，宽为y，由图可知，，，得出，然后分别表示出图1阴影部分周长和图2阴影部分周长，然后求其差，即可得出答案． 【详解】解：设图中大长方形的宽为b，小长方形的长为x，宽为y，由图可知，，， ∴， 图1阴影部分周长为： ， 图2阴影部分的周长为： ， ∴图1与图2阴影部分周长之差为： ． 故答案为：a． 【点睛】本题主要考查了列代数式和整式加减的应用，解题的关键是数形结合，列出图1与图2阴影部分周长． 三、解答题 5．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)将11张长为b，宽为a的小长方形纸片（如图1），按如图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的值与长方形边长无关时，求a与b的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算在几何图形中的应用，利用数形结合的思想正确的表示出是解题的关键； 根据图形，分别求出，，再求出，根据的值与长方形边长无关，即可求得a与b的数量关系． 【详解】解：设， ∴，， ∴ 与长度无关， ∴， ∴， 故答案为：． 6．(24-25七上·辽宁鞍山·期末)如图，某种形零件尺寸如图，请用代数式表示阴影部分的周长，并计算当，时代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了列代数式，代数式的化简求值，整式的加法运算．先根据题意和图中的数据，列出式子，然后计算，再将，，代入原式，计算． 【详解】解：阴影部分的周长是： ． 当，时，原式． 7．(24-25七上·辽宁营口盖州·期末)如图，一扇窗户，所有窗框为铝合金材料，其下部是边长相同的四个小正方形，上部是半圆形，已知下部小正方形的边长是a米，窗户半圆部分安装彩色玻璃，四个正方形部分安装透明玻璃（本题中π取3，长度单位为米）． (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米?（用含的代数式表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米?铝合金窗框宽度忽略不计（用含代数式表示） (3)某公司需要购进30扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如下报价： 铝合金（元/米） 彩色玻璃（元/平方米） 透明玻璃（元/平方米） 甲厂商 200 80 不超过100平方米的部分，90元/平方米，超过100平方米的部分，70元/平方米 乙厂商 220 60 80元/平方米，每购1平方米透明玻璃送0.1米铝合金 当时，该公司在哪家厂商购买窗户合算? 【答案】(1)米 (2) (3)在甲厂购买窗户合算 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，弄清题意，正确列式是解题的关键． （1）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可； （2）按照矩形与半圆的面积的和即为窗框的面积； （3）分别求出甲、乙的费用比较大小即可判断． 【详解】（1）解：米； （2）解：（平方米）； （3）解：当时，30个这样窗户共用铝合金为： （米） 30个共用彩色玻璃为：（平方米）， 30个共用透明玻璃为：（平方米）， 甲费用：（元）， 乙费用：（元）， 因为， ∴在甲厂购买窗户合算． 8．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)在长方形的内部放置宽为a，周长为18的几个完全相同的小长方形纸片（图中阴影所示），得到长方形和长方形，长方形的周长为，长方形的周长为． (1)如图1，在长方形的内部放置2个小长方形纸片，判断线段之间的等量关系；并直接写出它们的长． (2)如图2，在长方形的内部放置6个小长方形纸片，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，关键根据图形的特征找到线段之间的等量关系，再用代入法来解答． （1）根据等线段代换即可得解； （2）把写成与大长方形的宽有关的式子，再进行代入求值即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 所以； 因为小长方形纸片的周长为18， 所以， 即； （2）解：因为长方形的宽为a， 所以， ， ， 所以；； 所以． 9．(24-25七上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图1是某校操场实物图，图2是操场的示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，最内侧半圆形跑道的半径是米，每条直道的长度都是米． (1)用代数式表示最内侧一圈跑道的长度； (2)当每两条跑道之间的距离为1.22米，如果终点相同，那么第一条跑道和第四条跑道的起跑线应差多少米？（其中，结果保留两位小数） 【答案】(1) (2)第一条跑道上的张强与第四条跑道上王海的起跑线相差约22.98米 【分析】本题主要考查列代数式和整式的加减，读懂题意找出数量关系是解答本题的关键． （1）根据圆和矩形的周长公式即可得到结论； （2）根据题意分别求出第一条跑道和第四条跑道的长度，相减即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：最内侧一圈跑道的长度为 （2）解：第一条跑道总长 第四条跑道总长 所以第四条跑道与第一条跑道的差 （米） 答：第一条跑道上与第四条跑道的起跑线相差约22.98米． 10．(24-25七上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，学校要利用围墙建一个长方形的自行车存车场，其它三面用护栏围起来，其中与围墙垂直的一边长为米，与围墙平行的一边长比与围墙垂直的一边长多米． (1)求护栏的长度；（用含m，n的代数式表示） (2)若，，每米护栏造价50元，求建此存车场护栏所需的费用． 【答案】(1)米 (2)5500元 【分析】本题考查了整式加减的实际应用和代数式求值，掌握数形结合找到护栏的长度是由三条边组成是关键． （1）根据护栏的长度与围墙垂直的边长与围墙平行的边长，计算即可； （2）把的值代入（1）中的代数式进行求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：与围墙平行的一边长为：米， ∴护栏的长度为： 米． （2）解：由（1）得护栏的长度为米， 当，，每米护栏造价50元时， 建此存车场护栏所需的费用为： （元）． 11．(24-25七上·辽宁阜新实验中学·期末)如图，是一长为米，宽为米的长方形空地，在内部留出两个直径为米的圆形区域建水池，再修建两块为长米，宽为米的长方形休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示绿地（阴影部分）的面积；（结果保留） (2)当，时，绿地（阴影部分）的面积是多少？（取3） 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，代数式求值： （1）用大长方形面积减去两个空白长方形面积，再减去两个空白圆的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， 平方米 （2）解：当，时，， ∴当，时，绿地（阴影部分）的面积是平方米． 12．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)如图，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为．    (1)这个纸盒的底面积是 ，高是 （用含a、b的代数式表示）； (2)b的部分取值及相应的纸盒容积如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m 72 n ①请通过表格中的数据计算： ， ； ②当b逐渐增大时，猜想纸盒容积的变化情况． 【答案】(1)； (2)①；；②当逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：先随着的增大而增大，后随着的增大而减小， 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，代数式求值： （1）根据正方形的面积公式结合图形进行计算即可； （2）①利用纸盒的容积的公式求出的值，然后把，代入进行计算即可，②通过计算，2，3，4，5，6，7，8，9时，纸盒的容积即可解答； 【详解】（1）解：由题意得，这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：；； （2）解：∵当时，纸盒容积为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：；； ②当时，纸盒容积， 当时，纸盒容积， 当时，纸盒容积， 当时，纸盒容积， 当时，纸盒容积， 当时，纸盒容积， 当时，纸盒容积， 当时，纸盒容积， 当时，纸盒容积， ∴当逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：先随着的增大而增大，后随着的增大而减小. 13．(24-25七上·辽宁铁岭铁岭县·期末)如图是某校田径运动场的平面图，最中间是长方形，长为a米，两端为两个半圆形，半径为r米，每条跑道的宽为1.2米，共四个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题：    (1)第2跑道的直道总长为________米，弯道总长为________米，跑道总长度为________米．（结果可用含的式子表示） (2)第3跑道的总长度为________米．（结果可用含的式子表示） (3)若，且要求第1跑道的总长度为200米．（以下问题结果精确到个位，取3.1） ①求r的值； ②操场中心（阴影部分）铺设地砖，跑道和最中间两端的半圆形分别铺设塑胶和人工草坪，若铺设地砖需要50元/平方米，铺设塑胶和人工草坪需要100元/平方米，则学校共需付多少铺设费用？ 【答案】(1)，， (2) (3)①；②学校共需付这两项铺设费用为元 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，掌握圆的周长与面积公式是解此题的关键． （1）利用长方形与圆的周长公式解答即可； （2）利用长方形与圆的周长公式解答即可； （3）①利用长方形与圆的周长公式列出方程解答即可；②先求出面积，再乘以单价即可得解． 【详解】（1）解：第2跑道的直道总长为米，弯道总长为米，跑道总长度为米； （2）解：第3跑道的总长度为米； （3）解：①由题意可得：， ∵， ∴； ②由题意可得： 铺地砖费用为：（元）， 铺人工草费用为：（元）， ∴（元）， ∴学校共需付这两项铺设费用为元． 14．(24-25七上·辽宁沈阳·期末)对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小； (3)若，，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______． 【答案】(1)，， (2) (3)60 【分析】本题考查了整式化简求值，整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长等于长加宽的和再乘2，即可作答． （2）根据，，列式，再结合，即可作答． （3）根据，，列式由（1）得，再把，代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，长方形A的周长， 长方形B的周长， （2）解：由（1）得，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）得，， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴图1与图2中长方形的周长之和为60． 故答案为：60． 15．(24-25七上·辽宁大连高新区·期末)某建筑物的地面结构如图所示（图中各图形均为长方形或正方形），请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： (1)用含，的代数式表示阴影面积； (2)图中阴影部分需要铺设地砖，铺地砖每平方米的平均费用为100元，若，，则铺地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)铺地砖的总费用为8400元． 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值、整式的加减，利用图示数据表示出相应的长方形的边长是解题的关键． （1）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出四个图形的面积，再相加即可； （2）利用代数式分别表示出两部分阴影面积之和，将，代入计算得出阴影部分的面积，再乘以铺地砖每平方米的平均费用为100元，即可得出结论． 【详解】（1）解：阴影面积的面积为： ； （2）阴影部分的面积为：， 当，时， 阴影部分的面积为：． ∵铺地砖每平方米的平均费用为100元， ∴铺地砖的总费用为：（元）． 答：铺地砖的总费用为8400元． 16．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区第一初级中学·期末)某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示（单位：m）． (1)用含x的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，π取时，阴影部分的面积约是多少?(精确到0.1) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值、圆的面积公式等知识，正确地列出代数式是正确解答的前提． （1）根据阴影部分与其它部分面积之间的关系列出代数式即可； （2）代入数值计算即可． 【详解】（1）解：由图形中各个部分面积之间的关系，得 ． （2）当，取时， ． 地 城 考点05 数字问题 一、解答题 1．(24-25七上·辽宁大连中山区·期末)综合与实践 【问题背景】在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…… 这样的自然数能被3整除．一般的，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．我们可以论证这个结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 【拓展探究】小聪在学习完课本上的数学活动后，对数的整除很感兴趣， 于是自己研究了被7整除的数的特征，先从两位数开始研究： 两位数 十位数字 个位数字 10位数字减个位数字的2倍 14 1 4 21 2 1 28 2 8 35 3 5 … … … … 98 9 8 他发现如果一个两位数的十位数字减去个位数字的2倍得到的结果是7的倍数，那么这个两位数就能被7整除． (1)请你仿照问题背景中的代数推理方法验证小聪发现的结论； (2)小聪继续探究发现他得到的结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是7的倍数时，原数能被7整除，并且该结论反之亦成立．请按照小聪推广后的结论解决下列问题： ①判断7938是否能被7整除（要求写出判断过程）； ②若一个正数能被7整除，的最后四位数为3025，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①7938能被7整除；②的最小值为53025 【分析】本题考查了有理数运算和整式的加减应用： （1）设这个两位数十位数字是，个位数字是，表示出这个两位数，利用整式加减法凑出7的倍数，再根据余下部分是7的倍数即可解答； （2）①根据结论可得，即可判断；②设，根据能被7整除，得到是7的倍数，再将变形为，即可得到是7的倍数，进而求得m的最小值． 【详解】（1）解：设这个两位数十位数字是，个位数字是， 则该两位数是， ， ∵是7的倍数，3不能被7整除， ∴当是7的倍数时，原两位数是7的倍数； （2）解：①∵，显然，777能被7整除 ∴是7的倍数， ∴7938能被7整除； ②设， ∵能被7整除， ∴是7的倍数， 即是7的倍数， ∵， ∴是7的倍数，. ∵是正整数， ∴的最小值为5， ∴的最小值为53025． 2．(24-25七上·辽宁大连甘井子区·期末)【回顾已有经验】 图片是教科书第106页“活动2自然数被3整除的规律”的一部分． 活动2  自然数被3整除的规律 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为．于是 ． 显然9a能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【发表个性观点】 小明利用学习经验，提出了一个观点：“一个自然数所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除”． （1）请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确． 【尝试理解事实】 小强从数学课外读物中看到了这样一份材料：数字a，b，c组成一个三位数，去掉末位数字c，得到两位数，再用加上c的2倍，所得的和为，若是19的倍数，则原数就被称为“生命数”．实际上，“生命数”也可以是四位数，五位数，…，判断一个数是不是“生命数”，可以仿照上面的程序，如果第三步所得的和太大或心算不易看出是否是19的倍数，就需要继续进行上述“截尾、倍大、相加、验和”的过程，直到能清楚判断为止． （2）请你运用这个方法判断12008是不是“生命数”． 【应用并提出新发现】 （3）请直接判断“在数12008的两个0之间添加1个3或2个3，所得的数都是生命数”是否正确．___（填“正确”或“不正确”） （4）根据以上经验，你可以探索得到一个新的关于“生命数”的结论是______． 【答案】（1）正确，见解析；（2）是；（3）正确；（4）见解析 【分析】本题考查了整式加减的应用，有理数混合运算的应用，正确理解“生命数”的含义是解答本题的关键． （1）把变形为即可解答； （2）依次去尾，直至变形为即可解答； （3）添加3后利用去尾法验证即可； （4）利用（3）的结论解答即可． 【详解】（1）设一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c． 则这个三位数 因为99a，9b都能被9整除， 已知能被9整除， 所以能被9整除． （2）， ， ， 所以12008是19的倍数，是“生命数”． （3）正确，理由： 若添加1个3，即120308， 因为， ， ， ， 所以120308是19的倍数，是“生命数”． 当添加2个3时同理可求1203308是19的倍数，是“生命数”． （4）在数12008的两个0之间无论添加多少个3，所得的数都是生命数． 3．(24-25七上·辽宁沈阳私立学校联合体·期末)若一个两位数十位、个位上的数字分别为a、b，我们将这个两位数简记为，易知，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． (1)若，求a的值； (2)证明：能被11整除； (3)将一个三位数的中间数字b去掉变为一个两位数，若满足，求b的最大值； (4)一个三位数M，a，b，c分别是数M其中一个数位上的数字，且，，在a，b，c中任选两个数字组成两位数和，若为整数，请直接写出所有满足条件的数M． 【答案】(1) (2)见解析 (3)b的最大值为9 (4)754，745，547，574，457，475，853，835，583，538，358，385，952，925，592，529，259，295 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的混合运算以及应用等知识． （1）根据题意将十位数和百位数的计算方式展开，得到一个关于a的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）根据百位数的计算方式展开得出，再由a， c都是正整数即可得出是整数，进而可得出能被11整除． （3）将展开得出，由a，b的值可得出b的最大值为9． （4）根据题意可知C的最大值为5，再化简式子得出为5的倍数．故得出b只能取5，然后分别讨论即可得出答案． 【详解】（1）解： 整理得： 解得 （2）证明∶ ∵a， c都是整数， ∴是整数， ∴能被11整除． （3）解∶由 得∶， 整理得∶， ∴b的最大值为9． （4）解：∵， ∴， ∴， ∴C的最大值为5， ∴， ∵为整数， ∴为5的倍数． ∵b为正整数，且， ∴b只能为5． 当取4时，取5，则，此时M为754或745或547或574或457或475． 当c取3时，取5，则，此时M为853或835或583或538或358或385． 当c取2时，取5，则，此时M为952或925或592或529或259或295． 当c取1时，取5，则，不符合题意． 综上：M的值为754，745，547，574，457，475，853，835，583，538，358，385，952，925，592，529，259，295． 4．(23-24七上·辽宁本溪·期末)阅读与思考 下面是小馨同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 一定能整除吗？ 【发现问题】 （1）任意写一个两位数； （2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新的两位数； （3）这个新的两位数与原来两位数的和一定能被整除． 【数学思考】 举例：①，；②，；③▲． 【问题解决】 设一个两位数的十位上的数是，个位上的数是． 根据题意得 ， ∵， ∴这个新的两位数与原来两位数的和能被整除． 任务： (1)仿照例子，将【数学思考】中的③补充完整：__________________． (2)请参照笔记中的分析与解答过程，解答下面的问题： 一个三位数，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，若把它的百位数字与个位数字对调，将得到一个新的三位数．计算原数与新数的差，这个差能被整除吗？为什么？ 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)能被整除，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，整式的加减，两位数和三位数的表示方法， （1）任意再举一个符合条件的例式即可； （2）先表示原数和新数，计算原数与新数的差即可解答； 认真阅读材料的内容并能类比解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，（答案不唯一）； （2）能被11整除． 理由如下： 原数新数 ， ∵， ∴原数与新数的差能被整除． 地 城 考点06 日历问题 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期末)在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7， 任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有： 左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意； 左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意； 右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意； 把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 二、解答题 2．(24-25七上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期末)综合与实践：在学习《整式的加减》时，我们探究了月历中数字之间的关系和变化规律．已知月历中同行的数从左向右依次递增1，同列的数从上向下依次递增7． 探究1：图1是某月的月历，现要探究带阴影的“口”字方框中的4个数（框中圈出的数没有空白）的数量关系，方框可以任意移动；小明是先假设左上角的数为，他通过计算发现斜对角的两个数字之和均为______，从而他得出结论：“口”字方框中的4个数满足斜对角两数之和______（填“相等”或“不相等”）； 探究2：小明又探究了图2中带阴影的十字方框中的5个数（框中圈出的数没有空白）的数量关系，发现当十字框任意移动位置时这5个数之和总是5的倍数，请你通过计算说明他的结论成立的理由； 【答案】探究1：，相等；探究2：理由见解析 【分析】本题考查了整式加减的应用，正确求出阴影中其他的数，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． 探究1：先求出右上角的数、左下角的数、右下角的数，再计算整式的加法即可得； 探究2：设图2中带阴影的十字方框中的正中间的数为，则其他四个数分别为，，，，再计算整式的加减即可得出结论． 【详解】解：探究1：∵小明是先假设左上角的数为， ∴右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为， ∵，， ∴斜对角的两个数字之和均为，“口”字方框中的4个数满足斜对角两数之和相等 故答案为：，相等． 探究2：设图2中带阴影的十字方框中的正中间的数为，则其他四个数分别为，，，， ∴这5个数之和是， ∴当十字框任意移动位置时这5个数之和总是5的倍数． 地 城 考点07 数表问题 一、解答题 1．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 【答案】(1)68 (2)； (3)能等于2025，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键． （1）由可找出a、b、c、d的值，将其相加即可得出结论； （2）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系，将a、b、c、d相加即可得出结论； （3）根据，代入2025求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值能等于2025． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， ∴； 故答案为：68； （2）解：由题意得，，，； ∴， ∴； （3）解：能等于2025，理由如下： ∵， 当时，， ∵405为奇数，，所以2025在第34行第5列， ∴的值能等于2025． 地 城 考点08 行程问题 一、填空题 1．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是，后甲船比乙船多航行 ． 【答案】 【分析】根据顺流速度和逆流速度的公式分别求出甲、乙两船的实际速度，再根据路程公式分别计算出甲、乙两船行驶的路程，最后求出后甲船比乙船多航行的路程．顺流速度等于船在静水中的速度加上水流速度，逆流速度等于船在静水中的速度减去水流速度，路程等于速度乘以时间．本题主要考查了用字母表示数以及整式的加减运算在实际问题中的应用，涉及到顺流速度、逆流速度与船在静水中的速度、水流速度的关系．熟练掌握顺流速度船在静水中的速度水流速度，逆流速度船在静水中的速度水流速度，以及路程速度时间这些知识点是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 2．(24-25七上·辽宁大连·期末)两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水航行，乙船逆水航行，若船在静水中的速度为v km/h，水流速度为2 km/h，3小时后两船之间的距离是 千米． 【答案】 【分析】分别求出顺水速度和逆水速度，再乘以时间即可． 【详解】解：∵船在静水中的速度为v km/h，水流速度为2 km/h， ∴船在顺水中的速度为（v+2） km/h，船在逆水中的速度为（v-2） km/h， 3小时后两船之间的距离是（千米） 故答案为：． 【点睛】本题考查了顺逆流问题，解题关键是明确顺水的速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水的速度=船在静水中的速度-水流速度． 3．(23-24七上·辽宁盘锦大洼区大洼区第一初级中学·期末)轮船在静水中的速度为x，水流的速度为y，轮船顺水航行3小时比逆水航行2小时多行驶 千米． 【答案】/ 【分析】本题考查用代数式表示式，以及整式加减的实际运用，根据顺水航行的速度静水速度水流速度，表示出轮船顺水航行3小时路程，根据逆水航行的速度静水速度水流速度，表示出轮船逆水航行2小时路程，再将其根据题意作差，即可解题． 【详解】解：轮船顺水航行3小时路程为：（）， 轮船逆水航行2小时路程为：（）， 轮船顺水航行3小时比逆水航行2小时多行驶：（）， 故答案为：． 二、解答题 4．(24-25七上·辽宁大连中山区·期末)港珠澳大桥，是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥．一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道上行驶的平均速度为，主桥的全长约．请根据这些数据回答下列问题： (1)若汽车在主桥上行驶的时间为，平均速度，请用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ (2)若汽车通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道所需时间的1.25倍，求港珠澳大桥上这三段路程的和．（用字母只含的代数式表示，结果要化简） 【答案】(1)，与成反比例关系 (2)港珠澳大桥上这三段路程的和是 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用： （1）根据时间等于路程除以速度，列出代数式，根据速度和时间的乘积为定值，得到与成反比例关系； （2）根据路程等于速度乘以时间，结合线段的和差关系，列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． ∴与成反比例关系． （2）根据题意得： ． ， ∴港珠澳大桥上这三段路程的和是． 5．(23-24七上·辽宁抚顺清原县·期末)问题情境：随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店3600米的光明小区，2分钟后乙出发向西前往距离商店4800米的幸福小区，甲的平均速度为600米/分，乙的平均速度为400米/分，设骑手甲行驶的时间为分钟． 数学思考： （1）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲离开商店的距离为_____米，骑手乙离开商店的距离为______米（均用含的式子表示）； 问题解决： （2）在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店的距离时，求的值； （3）已知，骑手甲到达光明小区后立即按原路原速返回商店（其中放外卖的时间忽略不计）．在骑手乙送达幸福小区之前，求甲、乙两人之间距离为5000米时的值． 【答案】（1），：（2）；（3）甲、乙两人之间距离为5000米时，的值为5.8或7． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是正确解答此题的关键． （1）根据“距离速度时间”即可列出骑手甲离开商店A的距离和骑手乙离开商店A的距离； （2）根据“骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离”列方程，解出即可； （3）根据“甲、乙两人之间距离为5000米”列方程，解出即可． 【详解】解：（1）设骑手甲行驶的时间为分钟． 因为甲的平均速度为600米/分， 所以骑手甲离开商店的距离为米： 因为乙的平均速度为400米/分，2分钟后乙出发， 所以骑手乙离开商店的距离为米． 故答案为：，： （2）依题意得， 整理得 则，解得； （3）当甲未达到光明小区前， 则， ，解得， 当甲达到光明小区时，此时 即，甲达到光明小区后返回， 此时甲距离商店的路程为 则， ，解得 所以甲、乙两人之间距离为5000米时，的值为5.8或7． 地 城 考点09 分段计价问题 一、解答题 1．(24-25七上·辽宁辽阳·期末)为促进电力资源的优化配置，某地居民用电实施峰谷计费，峰时段为；谷时段为次日．如表为该地某户居民12月份的电费账单的部分信息，设其中的峰时电量为x千瓦时，根据所给信息，解决下列问题． 户主 *** 用电户号 ****** 合计金额 114.9元 合计电量 210千瓦时 抄送周期 2024.12.01-2024.12.31 备注：合计电量=峰时电量+谷时电量 单价（元） 计费数量（千瓦时） 金额（元） 峰时电量 0.59 x ①_______ 谷时电量 0.44 ②_______ ③_______ (1)请将上述电费账单填写完整：（用含x的代数式表示） (2)求该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦时？（请利用方程解决问题） 【答案】(1)①；②；③ (2)该账单中的峰时电量为150千瓦时，谷时电量为60千瓦时 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的信息即可解得； （2）根据总费用等于峰时费用+谷时费用建立方程求解． 【详解】（1）解：峰时金额为元， 由于总用电210千瓦时， 所以谷时千瓦时， 所以谷时金额元， 故答案为：①，②，③； （2）解：因为该账单中峰时电量为x千瓦时， 根据题意，得 解这个方程得 （千瓦时）． 答：该账单中的峰时电量为150千瓦时，谷时电量为60千瓦时． 2．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)我市居民生活用水实行阶梯式计量水价，实施细则如下表所示： 分档水量 年用水量 水价（元/吨） 第1级 180吨以下（含180吨） 5 第2级 吨（含260吨） 7 第3级 260吨以上 9 例：若某用户2020年的用水量为270吨，按三级计算则应交水费为：（元）． (1)如果小丽家2020年的用水量为200吨，求小丽家全年需缴水费多少元？ (2)如果小明家2020年的用水量为a吨，求小明家全年应缴水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） (3)如果全年缴水费2000元，则该年的用水量为多少吨？ 【答案】(1)小丽家全年需缴水费1040元 (2)小明家全年应缴水费元 (3)该年的用水量为320吨 【分析】（1）根据水价要按两级计算，用每一级的价格乘以每一级的用水量，再把所得的结果相加； （2）根据水价要按三级计算，用每一级的价格乘以每一级的用水量，再把所得的结果相加，最后进行化简即可． （3）先得出全年缴水费2000元，用水量大于260吨，由题意列出方程，进行求解． 此题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， ∴小丽家全年需缴水费1040元； （2）根据题意得：（元）， 答：小明家全年应缴水费元； （3）解：∵用水量为260吨，需缴水费：（元）， ∴全年缴水费2000元，用水量大于260吨， 设该年的用水量为x吨， 根据题意可得：， 解得：， ∴该年的用水量为320吨． 3．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大。某快递公司每件普通物品的收费标准如下表： 寄往市内 寄往市外 首重 续重 首重 续重 元／千克 元／千克 元／千克 元／千克 说明：①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算） 例如：寄往市内一件千克的物品，运费总额为：元．寄往市外一件千克的物品，运费总额为：元． (1)小华同时寄往市内一件千克的物品和市外一件千克的物品，各需付运费多少元？ (2)小彤同时寄往市内和市外同一件千克的物品，已知超过，且的整数部分是，小数部分小于，请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差． (3)某日小华和小彤同时在该快递公司寄物品，小华寄往市外，小彤寄往市内，小彤所寄物品的重量不是整数，小华的运费比小彤的运费多元，物品的重量比小彤多千克，则小华和小彤共需付运费多少元？ 【答案】(1)各需付运费元，元； (2)元； (3)小华和小彤共需付运费元． 【分析】（）根据运费首重价格续重续重运费，结合续重以千克为计重单位(不足千克按千克计算)，即可求解； （）根据运费首重价格续重续重运费，结合续重以千克为计重单位(不足千克按千克计算)，可用含的代数式表示出寄往市外及寄往市内所需运费，作差后即可求解； （）设小彤所寄物品的重量为(为正整数，为小数部分)千克，则小华所寄物品的重量为千克，分和两种情况列方程求解即可； 本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，运用分类讨论并根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，寄往市内一件千克的物品需付运费(元)； 寄往市外一件千克的物品需付运费(元)； 答：各需付运费元，元； （2）解：根据题意得，寄往市内需付运费 元， 寄往市外需付运费 元， ∴元； （3）解：设小彤所寄物品的重量为(为正整数，为小数部分)千克，则小华所寄物品的重量为千克， 当时， 小彤的运费为元， 小华的运费为元， 根据题意得，， 解得(不符合题意，舍去)； 当时， 小彤的运费为元， 小华的运费为元， 根据题意得，， 解得， ∴(元)， 答：小华和小彤共需付运费元． 4．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】(1)52元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 (3)分钟或分钟 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据和当分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费52元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：元； 当时，小明应付车费：元． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里， 小张付费y元，则小王付费元， 根据题意： 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， 行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 5．(23-24七上·辽宁盘锦大洼区大洼区第一初级中学·期末)随着出行方式的多样化，某市三种打车方式的收费标准如下：已知三种打车的平均车速均为40千米/小时，如：乘坐8千米，耗时分钟．出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：（元）；高德快车的收费为：（元）． 出租车 滴滴快车 高德快车 3千米以内：10元 路程：元/千米 路程：元/千米 超过3千米的部分：元/千米 时间：元/分钟 时间：元/分钟 (1)如果乘车路程20千米，使用高德快车，需支付的费用是 元； (2)如果乘车路程x（）千米，使用出租车出行，需支付的费用是多少元？使用滴漓快车出行，需交付的费用是多少元？ (3)高德快车和滴滴快车为了竞争客户，分别推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元；高德快车车费半价优惠．若一个乘客通过计算发现乘车路程超过6千米时，使用高德快车比使用滴滴快车出行省20元，求这个乘客的乘车的路程是多少千米？ 【答案】(1)； (2)使用出租车出行，需支付的费用是元，使用滴漓快车出行，需交付的费用是元； (3)这个乘客的乘车的路程是千米． 【分析】本题考查了列代数式、整式的应用、以及一元一次方程，解题关键是理解题意，正确列出代数式，并能根据题中的等量关系列出方程求解． （1）本题根据速度、路程、时间的关系，算出乘车路程为20千米时所需的时间，再根据高德快车的计费方式，计算即可． （2）本题根据出租车计费规则，可直接算出出租车出行，需支付的费用，再表示出乘车时间，按照滴滴快车计费方式，计算费用，即可解题． （3）设这个乘客的乘车的路程是千米，先表示出乘车时间，分别求出各自的费用，再根据“高德快车比使用滴滴快车出行省20元，”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：（分钟）， （元）， 故答案为：； （2）解：乘车路程x（）千米， 出租车费用为：（元）， 行驶时间为：（分钟）， 滴滴快车出行需支付的费用是：（元）， 答：使用出租车出行，需支付的费用是元，使用滴漓快车出行，需交付的费用是元． （3）解：设这个乘客的乘车的路程是千米， 行驶时间为：（分钟）， 滴滴快车出行需支付的费用是：（元）， 高德快车出行需支付的费用是：（元）， 使用高德快车比使用滴滴快车出行省20元， ，解得， 答：这个乘客的乘车的路程是千米． 地 城 考点10 数字类规律探索 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)观察下列代数式：，，，，根据其中的规律可得第2024个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式的前项是从1开始的连续的奇数，代数式的后项是以x为度数，序号加1为指数的单项式（奇数项为正，偶数项为负），据此规律求解即可． 【详解】解：代数式的前项为1，2，3，4，，n， 代数式的后项为，，，，，， ∴第个式子是代数式：， ∴第个式子是代数式：． 故选：D． 2．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，的值是（   ） A． B． C．62 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数字规律问题，解题的关键是找出数字之间的规律；由题意易得三角形最下面的数字之间的规律为，三角形左边的数字之间的规律为，三角形右边的数字之间的规律为，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知： 三角形最下面的数字分别为，，，，….；所以三角形最下面的数字之间的规律为， 三角形左边的数字分别为，，，，….；所以三角形左边的数字之间的规律为， 三角形右边的数字分别为，，，，….；所以三角形右边的数字之间的规律为， ∴第⑥个三角形中，，，， ∴； 故选A． 3．(24-25七上·辽宁抚顺顺城区·期末)已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键． 根据已知条件求出数列的前几项，找出数列的规律，再根据规律求出的值即可． 【详解】已知，根据（）依次计算： 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 通过观察上述计算结果，可以发现规律： 当为奇数时，；当为偶数时，． 因为2025是奇数，将代入（为奇数）可得： ， 故选：A． 二、填空题 4．(24-25七上·辽宁大连瓦房店·期末)观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，，…，按照上述规律，第2025个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，观察所给单项式，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：∵，，，，，，，…， ∴所以第n个单项式可表示为：， 当时， 第2025个单项式是：． 故答案为：． 5．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)观察下列各式：，…．根据你发现的规律回答：的结果的个位数字是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查尾数的特征，正确得出数字变化规律是解题关键． 根据前6个数的个位数字，寻找规律，利用周期性规律进行求解即可． 【详解】解：根据结果个位数的规律可知，个位数具有周期规律，周期为4， ∴， ∴的结果的个位数字是3． 6．(24-25七上·辽宁朝阳建平县·期末)a是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”．如：的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”……，依此类推，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律变化，分别求出数列的前个数得出该数列每个数为一周期循环，据此可得答案，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵，是的“哈利数”， ∴， 同理：， ， ， ， ∴该数列每个数为一周期循环， ∴， ∴， 故答案为：． 7．(24-25七上·辽宁铁岭铁岭县·期末)有这样一列代数式：2x，5x2，10x3，17x4，26x5，37x6，…，则第n个的代数式是 ． 【答案】(n2+1)xn 【分析】分析题中每个单项式，系数为(n2+1)，含未知数的部分为：xn，则第n项应为：(n2+1)xn． 【详解】由分析得到的规律可知第n项为(n2+1)xn， 故答案为(n2+1)xn． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解此题的关键是找出单项式的变换规律．在找规律时对有变换的部分分开找，例如系数的变换情况和未知量的变换情况分开找． 8．(24-25七上·辽宁大连中山区·期末)如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如表．由表中数据的规律可知，当克时， 毫米． /克 0 2 4 6 8 /毫米 10 14 18 22 26 【答案】 【分析】本题考查找规律，根据题意，结合表格数据，得到当增加时，增加，从而确定与的变化满足规律：，将代入即可得到答案，读懂题意，找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：根据表格数据，当增加时，增加， 与的变化满足规律：， 则当克时，毫米， 故答案为：． 三、解答题 9．(24-25七上·辽宁葫芦岛·期末)在数学活动课上，张老师让同学们观察下列算式： 第个：； 第个：； 第个：； … 完成下列问题： (1)请根据上述规律填空：_______； (2)根据上述规律猜想第个算式：_______； (3)； (4)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了数字类的规律型，有理数的混合运算，分式的加减法，读懂题目信息，观察出规律是解答本题的关键． （1）根据规律即可求解； （2）根据规律即可猜想出第个算式； （3）根据规律即可求解； （4）根据规律即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据上述规律猜想第个算式为， 故答案为：； （3）解：原式 （4）解： ， ， ， ， ． 10．(24-25七上·辽宁鞍山·期末)设表示一个两位数，其中是十位上的数字（，且是整数）．例如：当时，表示的两位数是25．观察下列各式并回答问题： 当时， 当时， 当时， … (1)依据上述算式写出当时，_______； (2)归纳出一般表达式，___________； (3)请利用上述方法计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)21025 【分析】本题主要考查了数字规律、有理数混合运算等知识点，理解数字规律是解答本题的关键． （1）根据已有等式推理即可解答； （2）根据已有等式推理即可； （3）利用（2）得到的规律解答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 11．(24-25七上·辽宁阜新实验中学·期末)【实际问题】 一种扑克牌游戏的玩法是游戏者从同一种花色的13张牌中抽出3张，将牌面的数字相加，和大者胜出．（，，的牌面数字分别记为11，12，13） 小明想知道，每次从这13张牌中抽出3张，牌面数字相加的和共有多少种不同结果？ 【归纳探究】 李老师告诉小明，解决这样的问题可以采取将一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法． 如：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数．其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． 【问题初探】 （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． 【问题解决】 （2）从同一种花色的13张牌中抽出3张牌，牌面数字相加的和共有______种不同结果． 【方法归纳】 （3）从1，2，3，4，，（为整数，）这个连续整数中任取3个整数，这3个整数之和共有多少种不同的结果？请写出你的计算过程．（最终结果用含的代数式表示） 【问题拓展】 （4）从4，5，6，，（为整数，且）这若干个连续整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有361种不同的结果，请直接写出的值． 【答案】（1）7；（2）31；（3）种；（4）80； 【分析】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题是关键． （1）根据归纳探究得出规律：得出最小的和，最大的和，即可得结果． （2）根据归纳探究得出规律：计算即可； （3）根据归纳探究得出规律：列出代数式，化简即可； （4）根据归纳探究得出规律，列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据给出的示例，我们可以得出规律： 当从n个整数中任取2个整数时，最小的和为，最大的和为． ∴对于5个整数，最小和为，最大和为． ∴这5个整数中任取2个整数之和共有种不同的结果． 故答案为：7； （2）从同一种花色的13张牌中抽出3张牌，最小的和为，最大的和为． ∴这13张牌中任取3张牌的和共有1种不同的结果． 故答案为：31； （3）最小的和为，最大的和为． ∴从n个连续整数中任取3个整数之和的不同结果共有种． （4）对于m 个连续整数中任取5个整数的情况，最小和为，最大和为． ∴不同结果的数量为． ∵这些整数之和共有361种不同的结果， ∴ 解得：． 地 城 考点11 图形类规律探索 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁葫芦岛·期末)如图，李明用棋子摆出一组形如小彩旗的图形，按照这种方法摆下去，摆第个图形时需要棋子的枚数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，根据图形变化寻找规律是解题的关键． 根据图形点的个数变化推出变化的规律即可求解． 【详解】解：∵第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， ∴第个图形点的个数为： ， ∴第个图形点的个数为：， 故选：C． 2．(24-25七上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图，用棋子摆出一组长方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第n个图形需要的棋子数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，发现规律是解答本题的关键． 观察前个图形可知每个图形需要的棋子数为序号的2倍多2，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形需要枚棋子； 第2个图形需要枚棋子； 第3个图形需要枚棋子； 第4个图形需要枚棋子； 以此类推， 可知第n个图形需要枚棋子， 故选：A． 3．(24-25七上·辽宁本溪·期末)下列图形都是按照一定规律组成的：第1个图形中正三角形（三角形三边长都相等）的边长为1，第2个图形中最小的正三角形边长为，第3个图形中最小的正三角形边长为，依照此规律，第6个图形中的最小正三角形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律． 根据图形的变化寻找规律即可求解． 【详解】解：第1个图形中正三角形（三角形三边长都相等）的边长为1， 第2个图形中最小的正三角形边长为， 第3个图形中最小的正三角形边长为， 第4个图形中最小的正三角形边长为， 第个图形中最小的正三角形边长为， ∴第6个图形中的最小正三角形的边长是， 故选：C． 4．(24-25七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)如图，从左至右第1个图由1个正六边形，6个正方形和6个等边三角形组成；第二个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成按此规律，第个图中正方形和等边三角形的个数之和为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论． 【详解】∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3； ∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝9×2＋3； ∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝9×3＋3， …， ∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n＋3． 故选A． 【点睛】本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键． 5．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图，是一组有规律的图案，第1个图案中有5个四边形，第2个图案中有9个四边形，第3个图案中有13个四边形，…，按此规律，第33个图案中四边形的个数为（    ） A．131 B．132 C．133 D．134 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形，发现后一个图形比前一个图形多4个四边形，进行求解即可． 【详解】解：观察图形可知：后一个图形比前一个图形多4个四边形， ∴第的图形共有四边形的个数为：， ∴第33个图案中四边形的个数为：； 故选C． 6．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)某校图书馆中1张桌子安排6个座位，按照如图所示的方式将桌子拼在一起，若要安排22个座位，则需要桌子的张数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变化类，解一元一次方程；先计算有1、2、3张桌子时的人数，找到规律，再用方程计算求解． 【详解】解：一张桌子可以安排（人）， 2张桌子可以安排（人）， 3张桌子可以安排（人）， ……， n张桌子可以安排人， ∴， 解得：， 故选：A． 二、填空题 7．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期末)少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个基础图形组成的有规律的图案：第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，…如图，按此规律排列下去，第2025个图案中的基础图形个数为 个． 【答案】6076 【分析】本题考查了图形的规律探究，代数式求值．由题意可推导一般性规律为：第n个图案由个基础图形组成，将代入，计算求解即可． 【详解】 解：由题意知，第1个图案由4个基础图形组成，， 第2个图案由7个基础图形组成，， 第3个图案由10个基础图形组成，， ∴可推导一般性规律为：第n个图案由个基础图形组成， 将代入得， 第2025个图案中的基础图形个数为：， 故答案为：6076． 8．(24-25七上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，用大小相等的正六边形拼成蜂巢图，拼第1个蜂巢图需要4个正六边形，拼第2个蜂巢图需要7个正六边形…按照这样的方法拼成的第个蜂巢图需要2026个正六边形，则的值为 ． 【答案】675 【分析】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形的变化规律得到关系式是解题的关键． 根据图形分析出第1、2、3个图形需要正六边形的个数，由此得到第个图形需要正六边形的个数为，列出方程求解即可． 【详解】解：第1个图形需要正六边形的个数是， 第2个图形需要正六边形的个数是， 第3个图形需要正六边形的个数是， …… ∴第个图形需要正六边形的个数是， ∴，解得， 故答案为：675． 9．(24-25七上·辽宁抚顺顺城区·期末)如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色，按照这样的规律，第个图案中有 个涂色的小正方形． 【答案】1520 【分析】本题考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现涂有阴影的小正方形个数依次增加4是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中涂有阴影的小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第一个图案中有个涂色的小正方形； 第二个图案中有个涂色的小正方形； 第三个图案中有个涂色的小正方形； 第个图案中有个涂色的小正方形； 故第个图案中有个涂色的小正方形； 故答案为：1520 10．(24-25七上·辽宁锦州·期末)如图是小明用火柴棒拼摆的图案，第个图案用根火柴棒，第个图案用根火柴棒，第个图案用根火柴棒，，依此规律，第个图案中所用火柴棒的根数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，观察图形规律，第个图案用根火柴棒，第个图案用根火柴棒，第个图案用根火柴棒，，依此规律，第个图案中所用火柴棒的根数，根据图形的变化寻找规律，总结规律是解题的关键． 【详解】解：第个图案中所用火柴棒的根数为， 第个图案中所用火柴棒的根数为， 第个图案中所用火柴棒的根数为， ， 依此规律，第个图案中所用火柴棒的根数为， 故答案为：． 11．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区第一初级中学·期末)如图，已知圆环的内直径为a厘米，外直径为b厘米，将11个这样的圆环按图中的方式一个接着一个连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度可以表示为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，图形规律探究，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先分别求出将2、3、4个这样的圆环一个接一个环套地连成条锁链拉直后的长度，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由题意，将2个圆环连成条锁链拉直后的长度为厘米， 将3个圆环连成条锁链拉直后的长度为厘米， 将4个圆环连成条锁链拉直后的长度为厘米， …… 将11个圆环连成条锁链拉直后的长度可以表示为厘米， 厘米即为米， 故答案为：． 12．(24-25七上·辽宁沈阳于洪区·期末)观察下列图形的构成规律，根据此规律，第10个图形中有 个圆． 【答案】31 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形得到一般规律是解题关键．观察图形发现第个图形中有个圆，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，第1个图形中有个圆， 第2个图形中有个圆， …… 观察发现，第个图形中有个圆， 则第10个图形中有个圆， 故答案为：31． 13．(24-25七上·辽宁鞍山·期末)观察下列球的排列规律（其中是实心球，是空心球）：从第个球起到第个球止，共有实心球的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的规律探索，找出实心球个数的变化规律是解题得关键．根据图形中得小球，可以发现每个球中有个实心球，可以把个小球看作一组，然后用计算，即可求出从第个球起到第个球止，共有实心球的个数． 【详解】解：根据题意可得，每个球中有个实心球， 所以， 故从第个球起到第个球止，共有实心球个． 故答案为：． 14．(24-25七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)某种杯子的高度是15cm，两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图，n个这样的杯子叠放在一起高度是 cm（用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加3cm，从而可以得到n个杯子叠在一起的高度． 【详解】由图可得， 每增加一个杯子，高度增加3cm， 则n个这样的杯子叠放在一起高度是：15＋3（n−1）＝（3n＋12）cm， 故答案为：（3n＋12）． 【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 15．(24-25七上·辽宁沈阳·期末)找出图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律变化类问题，解决这类问题的基本思路是：仔细地观察图形并正确地找到规律，利用所得的规律解决问题．根据图形找出规律：当为偶数时，第个图形中黑色正方形的数量为个；当为奇数时，第个图形中黑色正方形的数量为个；然后算出第2023个图形中黑色正方形的数量即可． 【详解】解：观察图形可得，当为偶数时，第个图形中黑色正方形的数量为个；当为奇数时，第个图形中黑色正方形的数量为个， 当时，黑色正方形的个数为：（个）． 故答案为： 16．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2025次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为： 17．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期末)如图，用棋子摆成的“”形图，按这样的规律摆下去，第2025个需要 枚棋子． 【答案】6077 【分析】本题是图形规律探索问题，根据图形探索出规律是解题的关键．其规律是第一个有5枚，第二个有8枚，第三个有11枚，第四个有14枚，其规律是每次加3枚，则可得第2025枚所需的棋子数． 【详解】解：第一个有5个， 第二个有（枚）， 第三个有（枚）， 第四个有（枚）， 第n个有枚， 则第2025个所需的棋子数为（枚）． 故答案为：6077 18．(24-25七上·辽宁丹东·期末)如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则的值为 ． 【答案】505 【分析】此题主要考查了代数式，图形的变化规律，以及一元一次方程，根据图形变化规律得出长度的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，再找出长度的规律，然后根据所求得出数字变化规律，再根据规律列出方程求解n的值． 【详解】∵，第1次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时，， 第2次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时， 以此类推，第n次平移后，． ∵的长度为2025， ∴， 解得：， 故答案为：505． 19．(24-25七上·辽宁抚顺东洲区·期末)如图，数轴上O，A 两点间的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，且n是正整数）处，经过这样n次跳动后的点与点A的距离是 ．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，两点间的距离，先根据中点推出，进而求出点与点A的距离即可． 【详解】解：由题意，得：， 依次类推，则：， ∴点与点A的距离为：； 故答案为：． 三、解答题 20．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期末)毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． (1)图1和图2中的第7个图形，三角形数和正方形数分别为__________； (2)下列自然数中，既是三角形数又是正方形数的是__________（填序号）； ①1；②25；③36；④84. (3)仔细观察，三角形数与正方形数有怎样的联系呢？设第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为，请猜想出之间有何数量关系，并验证这个结论． 【答案】(1)28；49 (2)①，③ (3)，见解析 【分析】本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，完全平方公式,正确找出图形的规律是解题的关键． （1）根据题意得出第n个三角形数为，第n个正方形数为，据此可得答案； （2）逐个把数值代入或中且结合为正整数进行计算，    即可作答． （3）分别找出，，再整理的式子，即可作答． 【详解】（1）解：由题意知第n个三角形数为， ∴把代入，得； 第n个正方形数为； ∴把代入，得； 故答案为：； （2）解：依题意，结合图形得出1既是三角形数又是正方形数 依题意，，且为正整数， 此时无解； 依题意， 解得， ∴， ∴36既是三角形数又是正方形数； 依题意，，且为正整数， 此时无解； 故答案为：①，③； （3）解：，过程如下： ∵设第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为， ∴，， ∴， ∵， ∴． 21．(24-25七上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)用同样规格的黑白两种颜色的正方形按如图的规律摆下去． (1)用含的代数式填空：摆第个图形需要_______个白色正方形，需要_______个黑色正方形； (2)第个图形中，黑白两种颜色的正方形共有2025个，求的值； (3)设第个图形与第个图形中白色正方形的个数和为，第个图形中黑色正方形的个数为，是否存在？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)337 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了规律探究； （1）第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：，第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：，第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：，据此找出规律，即可求解； （2）由黑色的正方形白色的正方形2025个，解一元一次方程，即可求解； （3）可得，由，均为正整数进行判断，即可求解； 找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：， 第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：， 第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：， 第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：， 故答案为：，； （2）解：根据题意得，， 解得， 答：的值为337； （3）解：不存在， 理由： 由题意得：， 整理得，， ， ，均为正整数， 为整数， 不成立， 不存在． 22．(24-25七上·辽宁铁岭·期末)【探索发现】 如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； ②请根据①的结论计算． 【问题解决】 如图2，第1次分割，把正方形的面积三等分；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…根据以上信息解决问题： （2）计算； 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的乘方，读懂题意，得出图形的变化规律是解本题的关键． （1）①根据题目规律进行计算即可；②根据①的结论即可求解； （2）分别计算图形中阴影部分的面积以及空白部分的面积，得出第次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是，由此可得答案； （3）根据（2）的方法进行计算即可求解． 【详解】解：（1）①观察图形可知：部分①的面积为：，部分②的面积为，部分③的面积为，部分④的面积为，部分⑤的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； ②观察图形可知： ； （2）根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割， 把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为， 空白部分面积为……， 则第次分割阴影部分的面积和为， 两边同除以2，得， ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $