第一章 二次函数 习题课件 2025-2026学年湘教版数学九年级下册

该初中数学课件系统梳理了二次函数的概念、表达式、性质及实际应用，通过基础辨析题如二次函数定义判断、系数确定，结合文物回归游客增长、矩形菜园面积等现实情境题，构建“概念-推理-应用”的知识网络，体现知识点间的逻辑关联。 其亮点在于融入数学眼光、数学思维与数学语言的核心素养培养，如通过文物回归游客增长率问题引导学生从现实中抽象数量关系，借助动点问题中函数表达式的推导发展推理能力，设置基础选择、中档解答、综合探究等分层题型，满足个性化复习需求，助力学生巩固知识，为教师提供系统高效的单元复习资源。

第1章 二次函数 *1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(1，－1)，(2，－4)，(0，4)三点，那么它的对称轴是直线(　　) A．x＝－3 B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝3 返回 D 2 2．已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … －4 －2 0 3 5 … y … －24 －8 0 －3 －15 … 3 则下列关于这个二次函数的结论正确的是(　　) A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y随x的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 4 ∵y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小．故B选项不符合题意．令y＝0，得－x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(2，0)．易知抛物线的顶点坐标为(1，1)，∴抛物线经过第一、三、四象限．故C选项不符合题意．∵二次函数的表达式为y＝－(x－1)2＋1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.故D选项符合题意． 【答案】D 返回 返回 B 7 4. 据科学计算，“长征二号”F运载火箭在点火后第一秒通过的路程为2 km，第二秒时共通过了6 km的路程，第三秒时共通过了12 km的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面240 km的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是(　　) A．10 s B．13 s C．15 s D．20 s 8 ∴y＝x2＋x.当y＝240时，x2＋x＝240，解得x＝15或x＝－16(不合题意，舍去)，∴这一过程需要的时间大约是15 s．故选C. 【答案】C 返回 5. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(2，0)，B(－1，0)，且与y轴交于点C.若OC＝2，则y的取值范围是____________． 返回 11 6．已知直线y＝－x＋5与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，顶点为P. (1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标； 12 (2)若将该二次函数的图象先向右平移m个单位，再向下平移m个单位(m>0)，平移后的抛物线过点C(2，3)，求m的值． 14 返回 根据题意，得平移后的抛物线的表达式为 y＝－(x－2－m)2＋9－m， 将点C(2，3)的坐标代入上式，得 －(2－2－m)2＋9－m＝3，解得m1＝－3，m2＝2. 又∵m＞0，∴m＝2. 15 7. 某中学校本课程“物理与数学”学习小组对一款热水器的工作电路展开研究，如图①，将滑动变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出滑动变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象， 16 如图②所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则滑动变阻器R消耗的电功率P最大为(　　) A．160 W B．180 W C．200 W D．220 W 17 ∵－55＜0，∴当I＝2 A时，P取最大值为220 W． ∴滑动变阻器R消耗的电功率P最大为220 W．故选D. 【答案】D 返回 20 【点拨】易知二次函数的开口越小，|a|值越大．分以下两种情况：当a>0时，如图①，建立平面直角坐标系．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)，B(2，0)，C(1，－3)或A(－1，0)， D(3，0)，C(1，－3)．易得过 A(－1，0)，B(2，0)，C(1，－3) 三点的抛物线的开口最小． 则抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－2)，将点C(1，－3)的坐标代入，得－3＝－2a，解得a＝；当a<0时，如图②，建立平面直角坐标系， 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 经过B(2，0)，D(3，0)，C(1， －3)三点，则抛物线的表达式 为y＝a(x－3)(x－2)， 返回 【答案】A 9．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，C，则抛物线的顶点坐标为________． (－1，4) 24 25 返回 26 (0，－m) 27 28 返回 11．如图，已知抛物线y1＝x2＋bx＋c与x轴交于两点O(0，0)，A(2，0)，若抛物线y2＝x2－8x＋t与抛物线y1＝x2＋bx＋c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y2于点M，N(M，N均不与点C重合)， 设点M的横坐标为m，点N的横坐 标为n，则|m－n|＝________. 6 32 33 34 返回 35 12. 龙的英文不再翻译为dragon，而是loong.在中国，龙的形象非常正面，与西方巨型魔怪的龙不同，中国的龙不仅是尊贵的，还是友好和善的．我们不妨定义：在平面直角坐标系中，满足横坐标与纵坐标之和为5的点叫作“loong点”，根据“loong点”的定义，解答下列问题： 36 (1)判断下列各函数图象上是否存在“loong点”，若存在，在“(　　)”里打“√”；若不存在，在“(　　)”打“×”． ①y＝3x (　　)； ②y＝x＋1 (　　)； ③y＝－x2＋x (　　)． √ √ × 37 (2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，请判断该图象上的“loong点”的个数，并求出相应的“loong点”的坐标． 40 (3)在(2)的条件下，选取该二次函数图象上两个“loong点”，分别记为点M，N，请问该二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使得△MPN的面积为5？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 43 44 45 46 返回 47 【点拨】由题知，解得 ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x.∵a＝－1＜0， ∴抛物线的开口向下．故A选项不符合题意． 3. 我们将图象顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若“互异二次函数”的对称轴为直线x＝1且图象经过点(－1，0)，则这个“互异二次函数”的二次项系数是(　　) A. B. C．1 D．－1 【点拨】设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，由题可得二次函数的图象过点(1，2)，(2，6)，(3，12)， ∴ 解得 y≥－或y≤ 【解】直线y＝－x＋5，当y＝0时，－x＋5＝0，解得x＝5；当x＝0时，y＝5，∴A(5，0)，B(0，5)．将点A(5，0)，B(0，5)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x＋5.∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴抛物线顶点P的坐标为(2，9)． 【点拨】设抛物线的表达式为P＝aI2＋bI，把点(1，165)，(4，0)的坐标分别代入上式，得解得∴抛物线的表达式为P＝－55I2＋220I＝－55(I－2)2＋220. 8．如图，在5×6的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过其中的3个格点，则|a|的最大值为(　　) A. B.1 C. D. 将点C(1，－3)的坐标代入，得－3＝2a，解得a＝－.综上，|a|的最大值为.故选A. 【点拨】∵在Rt△AOB中，OA＝1，∴A(1，0)．∵tan∠BAO＝＝3，∴OB＝3.∴B(0，3)．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°得到的，∴△DOC≌△AOB.∴OC＝OB＝3.∴C(－3，0)． 把点A，B，C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得 解得 ∴y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.∴抛物线的顶点坐标为(－1，4)． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－(x＋m)2＋m2－m的顶点为A，与y轴交于点B，则点B的坐标为________(用含m的代数式表示)； 若作AC⊥AB，且∠ABC＝∠ABO (C，O在AB的两侧)，设点C的 坐标为(x，y)，则y关于x的函数 关系式为________________． y＝x2＋x－4 【点拨】∵抛物线y＝－(x＋m)2＋m2－m的顶点为A，与y轴交于点B，∴点A， 点B(0，－m)．如图，延长CA，交y轴 于点D，过点A作x轴的平行线，交 y轴于点N，作CM⊥NA于点M. 在△ABC和△ABD中， ∴△ABC≌△ABD.∴AC＝AD. 易知∠AMC＝ ∠AND＝90°.又∵∠MAC＝∠NAD，AC＝AD， ∴△AMC≌△AND.∴AM＝AN.易知AM＝AN＝m， ON＝m2－m，OB＝m. ∴BN＝m＋＝m2.∵∠ABN＝90°－∠BAN，∠CAM＝90°－∠BAN，∴∠ABN＝∠CAM.又∵∠ANB＝∠CMA＝90°，∴△ABN∽△CAM.∴＝， 即＝. ∴CM＝4.∴点C的坐标为. ∴x＝－2m，y＝m2－m－4.∴m＝－x. ∴y＝·－－4＝x2＋x－4. ∴y关于x的函数关系式为y＝x2＋x－4. 【点拨】∵抛物线y1＝x2＋bx＋c与x轴交于两点O(0，0)，A(2，0)，∴解得 ∴y1＝x2－2x＝(x－1)2－1.联立 解得 ∴点C的坐标为(t，t2－t)．∵点M的横坐标为m，且点M在y1＝x2－2x上，∴点M的坐标为(m，m2－2m)．设直线CM的表达式为yCM＝rx＋s，把点C和点M的坐标分别代入上式，得 解得 ∴直线CM的表达式为yCM＝x－tm，与y2＝x2－8x＋t联立，得x－tm＝x2－8x＋t，整理，得x2－x＋t＝0，则xC＋xN＝m＋t＋6，即t＋n＝m＋t＋6，∴n－m＝6.∴|m－n|＝6. 【点拨】(1)∵x＋y＝5，∴y＝5－x.①将y＝5－x代入y＝3x，得5－x＝3x，解得x＝，∴y＝5－x＝5－＝.∴y＝3x的图象上存在“loong点”，其坐标为；②将y＝5－x代入y＝x＋1，得5－x＝x＋1，解得x＝2，∴y＝5－x＝5－2＝3.∴y＝x＋1的图象上存在“loong点”，其坐标为(2，3)； ③将y＝5－x代入y＝－x2＋x，得5－x＝－x2＋x，整理，得x2－2x＋5＝0.∵(－2)2－4×1×5＝4－20＝－16<0，∴x2－2x＋5＝0无实数解．∴y＝－x2＋x的图象上不存在“loong点”． 【解】由题图可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点(－3，0)，(5，0)，(0，6)，将(－3，0)，(5，0)，(0，6)分别代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 得 解得∴y＝－x2＋x＋6. ∵x＋y＝5，∴y＝5－x.将y＝5－x代入y＝－x2＋x＋6， 得5－x＝－x2＋x＋6，解得x＝－或x＝5， ∴y＝5－x＝5－＝或y＝5－x＝5－5＝0. ∴该二次函数的图象上有2个“loong点”，其坐标分别为，(5，0)． 【解】该二次函数图象的对称轴上存在点P，使得△MPN的面积为5.由(2)可知，该二次函数的图象上有2个“loong点”，其坐标分别为，(5，0)， 如图，不妨设M， N(5，0)． 设抛物线的对称轴交直线MN于点Q， 易知抛物线y＝－x2＋x＋6的对称轴为直线 x＝－＝－＝1. 设直线MN的表达式为y＝kx＋m， 将点M，N(5，0)的坐标分别代入 y＝kx＋m，得 解得 ∴直线MN的表达式为y＝－x＋5. 在y＝－x＋5中，令x＝1，则y＝4， ∴Q(1，4)．设P(1，t)，则PQ＝|t－4|. ∵△MPN的面积为5，∴S△MPN＝PQ·(xN－xM)＝5，即|t－4|×＝5.∴|t－4|＝，解得t＝或t＝. ∴点P的坐标为或. $ 第1章 二次函数 1．2 二次函数的图象与性质 第2课时 二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质 返回 A 1. 小湘用软件绘制抛物线y＝－0.3x2时，将“－0.3”按成了“0.3”，和原图象相比，发生改变的是(　　) A．开口方向　　 B．开口大小 C．对称轴　　 D．顶点坐标 2 3 返回 C 4 返回 A 5 4. 当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象可能是(　　) D 返回 6 5. 已知(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝(a＋1)x2的图象上的两点，且当0<x1<x2时，有y1>y2，试写出不等式ax＜a的一个解x＝______________. 返回 2(答案不唯一) 7 6．如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，则阴影部分的面积是________． 8 8 返回 【点拨】∵函数y＝2x2与y＝－2x2的图象关于x轴对称，∴阴影部分的面积是正方形面积的一半．∵正方形的边长为4，∴正方形的面积为16.∴阴影部分的面积是8. 7．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且函数图象开口向下． (1)求k的值，并画出它的图象； 10 (2)该图象的顶点坐标是________，若点(a，－9)在其图象上，则a的值是________； (0，0) ±3 11 (3)如果点P(m，n)是此二次函数的图象上的一点，若－2≤m≤1，求n的取值范围． 【解】∵点P(m，n)是此二次函数的图象上的一点，且－2≤m≤1，∴当m＝－2时，n＝－(－2)2＝－4； 当m＝1时，n＝－12＝－1； 当m＝0时，n取最大值，为0. ∴当－2≤m≤1时，－4≤n≤0. 返回 12 8. 定义新运算：a⊗b＝ 例如：4⊗5＝4×52，4⊗(－5)＝－4×(－5)2，则函数y＝2⊗x的图象大致为(　　) D 返回 13 14 返回 【答案】 B 15 10．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)交于A，B两点，且点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3， 16 则以下结论中，正确的有(　　) ①抛物线y＝ax2(a≠0)的图象的顶点一定是原点； ②当x>0时，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而减小； ③AB的长度可以等于5； ④△OAB有可能成为等边三角形； ⑤当－2<x<3时，ax2－kx>b. A．①② B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤ 17 【点拨】①抛物线y＝ax2(a≠0)的顶点坐标为(0，0)，故①说法正确；②由题图可知，k<0，a<0，二次函数图象的顶点坐标为(0，0)，所以当x>0时，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而减小，故②说法正确；③由点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，故③说法错误； 18 ④当△OAB为等边三角形时，有OA＝OB，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，故④说法错误；⑤由ax2－kx>b，可知ax2>kx＋b，结合交点A，B的横坐标可判断当直线y＝kx＋b(k≠0)的图象在抛物线y＝ax2(a≠0)的下方时，x的取值范围为－2<x<3，故⑤说法正确．综上，正确的结论有①②⑤. 返回 【答案】 B 19 20 返回 21 12. (1)已知四个点的坐标分别为A(－4，2)，B(－3，1)，C(－1，1)，D(－2，2)，若抛物线y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为___________________． 22 (2)已知△ABC的三个顶点坐标为A(－1，－1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，将△ABC向右平移m(m>0)个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在二次函数y＝－2x2的图象上，则m的值为________． 1或2或3 24 【点拨】∵△ABC的三个顶点坐标为A(－1，－1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，∴AB边的中点的坐标为(－1，1)，BC边的中点的坐标为(－2，0)，AC边的中点的坐标为(－2，－2)．∵将△ABC向右平移m(m>0)个单位，∴AB边的中点平移后的坐标为(－1＋m，1)，BC边的中点平移后的坐标为(－2＋m，0)，AC边的中点平移后的坐标为(－2＋m，－2)． 25 ∵二次函数y＝－2x2的图象在x轴及其下方，点(－1＋m，1)在x轴的上方，∴AB边的中点平移后不可能在二次函数y＝－2x2的图象上．把(－2＋m，0)代入 y＝－2x2，得－2(－2＋m)2＝0，解得m1＝m2＝2.把(－2＋m，－2)代入y＝－2x2，得－2(－2＋m)2＝ －2，解得m3＝1，m4＝3，综上，m的值为1或2或3. 返回 26 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx－3(k≠0)与抛物线y＝－x2相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点B关于y轴的对称点为B′. (1)当k＝2时，A，B的坐标分别为 ___________________； (－3，－9)，(1，－1) 27 (2)连接OA，OB，AB′，BB′，若△B′AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值； 28 (3)试探究直线AB′是否经过某一定点．若是，请直接写出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【解】是．直线AB′一定经过定点(0，3)． 返回 33 2．下列说法错误的是(　　) A．在二次函数y＝－5x2中，当x＝0时，y有最大值，最大值是0 B．在二次函数y＝－x2中，当x＞0时，y随x的增大而减小 2．下列说法错误的是(　　) C．在三条抛物线y＝2x2，y＝－0.5x2，y＝－x2中，y＝2x2的图象开口最大，y＝－x2的图象开口最小 D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点 3．已知点A(－1，y1)，B(－，y2)，C(－2，y3)在二次函数y＝－x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y3>y2>y1 D．y2>y1>y3 【解】根据题意，得 解得k＝－3.∴二次函数的表达式为y＝－x2，其图象如图所示． 9．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y＝－2与二次函数y＝－x2，y＝ax2的图象分别交于点A，B和点C，D，若CD＝2AB，则a＝(　　) A．－4 B．－ C．－2 D．－ 【点拨】设直线y＝－2与y轴交于点E.∵直线y＝－2与二次函数y＝－x2的图象交于A，B两点，当y＝－2时，－x2＝－2，解得x＝±，∴A(－，－2)，B(，－2)． ∴AB＝2.又∵CD＝2AB，∴CD＝4.由二次函数图象的对称性可得CE＝DE＝2.∴D(2，－2)．将点D的坐标代入y＝ax2，得8a＝－2，解得a＝－. 11. 如图，分别过点Pi(i，0)(i＝1，2，…，2 025)作x轴的垂线，交直线y＝x于点Ai，交抛物线y＝－x2(x＞0)于点Bi，则＋＋…＋的值为________． 【点拨】∵过点Pi(i，0)(i＝1，2，…，2 025)作x轴的垂线，交直线y＝x于点Ai，交抛物线y＝－x2(x＞0)于点Bi，∴Ai(i，i)，Bi(i，－i2)．∴AiBi＝i＋i2.∴＝＝＝－.∴＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝. a>1或0<a<或a<0 【点拨】①当a<0时，恒成立；②当a>0时，将点C(－1，1)的坐标代入y＝ax2，得a＝1，将点B(－3，1)的坐标代入y＝ax2，得a＝，将点A(－4，2)的坐标代入y＝ax2，得a＝.∵抛物线y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，∴a>1或0<a<.综上，a的取值范围为a>1或0<a<或a<0. 【解】∵A，B是抛物线y＝－x2的图象上的两点， ∴设A(m，－m2)，B(n，－n2)(m≠n)，则B′(－n，－n2)． 设直线y＝kx－3与y轴的交点为D，则点D(0，－3)，∴OD＝3.根据题意，得 整理，得x2＋kx－3＝0， 易知m，n是x2＋kx－3＝0的两个根， ∴m＋n＝－k，mn＝－3. 当k＞0时，如图①，易知S△OAB＝OD·(n－m)＝×(n－m)，S△B′AB＝BB′·(yB′－yA)＝×2n×(－n2＋m2)． 又∵S△OAB＝S△B′AB， ∴×(n－m)＝×2n×(－n2＋m2)＝×2n×(m＋n)(m－n)．∴3＝－2n×(m＋n)＝2nk.∴2nk＝－mn. 又∵n≠0，∴m＝－2k.∴n＝k.∴－2k×k＝－3， 解得k＝或k＝－(舍去)，∴k＝； 当k＜0时，如图②，易知S△OAB＝OD·(n－m)＝ ×(n－m)，S△B′AB＝BB′·(yA－yB′)＝×2n×(n2－m2)， ∴×(n－m)＝×2n×(n2－m2)＝×2n×(n＋m)(n－m)．∴3＝2n×(m＋n)＝－2nk.∴－2nk＝－mn. 又∵n≠0，∴m＝2k.∴n＝－3k.∴2k×(－3k)＝－3， 解得k＝－或k＝(舍去)，∴k＝－. 综上所述，k的值为或－. $ 第1章 二次函数 1．2 二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质 对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有(　　) ①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)；⑤图象不经过第二、三象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 返回 C 2 2．如图，小芳在坐标系内画出了y＝a(x＋3)2的图象，则她所选择的坐标原点是(　　)  A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 C 返回 3 3．若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是(　　) A．(m，n＋1) B．(m＋1，n) C．(m，n－1) D．(m－1，n) 返回 D 4 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是(　　) B 返回 5 返回 b<c<a 6 返回 6. 三名同学分别说出了一个二次函数的一些特征： 小明：函数图象的顶点在x轴上； 小智：当自变量取1，3时，函数值相等； 小文：函数有最大值． 请你写出一个符合上述条件的二次函数表达式：_______________________． y＝－(x－2)2(答案不唯一) 7 7．把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2.若抛物线y＝a(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线y＝－3(x－h)2的顶点是M. 8 (1)求a，h的值； 【解】∵抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2， ∴a＝－3，4－6＝h，∴h＝－2. 9 (2)求S△MAB的值． 返回 10 8．已知a>0，现有函数y1＝a(x－1)2，y2＝a(x－2)2，y3＝a(x－3)2.直线x＝m与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A(m，c1)，B(m，c2)，C(m，c3)，下列说法正确的是(　　) A．若m<1，则c2<c3<c1 B．若1<m<2，则c1<c2<c3 C．若2<m<3，则c3<c2<c1 D．若m>3，则c3<c2<c1 11 【点拨】如图所示．A.由图象可知，当m<1时，c1<c2<c3，故选项错误，不符合题意；B.由图象可知，当1<m<2时，c1<c2<c3不一定成立，故选项错误，不符合题意； 返回 C.由图象可知，当2<m<3时，c3<c2<c1不一定成立，故选项错误，不符合题意；D.由图象可知，当m>3时，c3<c2<c1，故选项正确，符合题意．故选D. 【答案】 D 14 15 返回 【答案】 D 16 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于C，D两点，若点A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED 的面积为________．(用含a的 式子表示) 8a 17 返回 18 19 20 返回 21 12. 如图，点P1，P2，…，Pn在抛物线y＝a(x－1)2的图象上，点Q0，Q1，Q2，…，Qn在抛物线的对称轴上．若△P1Q0Q1，△P2Q1Q2，…，△PnQn－1Qn 都为等边三角形(点Q0是抛物线的顶 点)且Q0Q1＝2，则P2 026的坐标为 __________________． 22 【点拨】如图，分别过点P1，P2作P1M1⊥Q0Q1 ，P2M2⊥Q1Q2.∵点Q0，Q1，Q2，…，Qn在抛物线y＝a(x－1)2的对称轴上，且对称轴为直线x＝1，∴点Q0，Q1，Q2，…，Qn的横坐标为1. 23 24 返回 25 13. 如图，已知抛物线y＝(x－2)2，P是抛物线对称轴上的一个动点，直线x＝t分别与直线y＝x及抛物线交于点A，B，若△ABP是等腰直角三角形，则t＝__________________________. 返回 14. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M(1，0)，直线y＝x＋m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为(3，4)，B点在y轴上． (1)求m的值及这个二次函数的表达式． 【解】设这个二次函数的表达式为y＝a(x－1)2. ∵点A(3，4)在抛物线上，∴4＝a(3－1)2，解得a＝1. ∴这个二次函数的表达式为y＝(x－1)2. ∵点A(3，4)也在直线y＝x＋m上，∴4＝3＋m， 解得m＝1. (2)连接BM，AM，求△MAB的面积． (3)若P(a，0)是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D，E两点． ①当0＜a＜3时，求线段DE长度的最大值． ②若直线AB与抛物线的对称轴交于点N，问是否存在一点P，使以M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】存在一点P，使以M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形． ∵M(1，0)，∴把x＝1代入y＝x＋1，得y＝2. ∴N(1，2)．∴MN＝2. 要使以M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形，则DE＝MN＝2， 易知DE＝|－a2＋3a|，∴2＝|－a2＋3a|， 返回 5．[2025长沙岳麓区期末]若A(－4，a)，B(－2，b)，C(1，c)为二次函数y＝(x＋1)2的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是____________(用“<”连接)． 【解】∵抛物线y＝－3(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B，∴点A(4，0)，B(0，－48)．∵抛物线y＝－3(x＋2)2的顶点是M，∴M(－2，0)．∴S△MAB＝×|4－(－2)|×|－48|＝144. 9．[2025常德期末]已知二次函数y＝－(x－h)2，当自变量x的值满足1≤x≤3 时，与其对应的函数值y的最大值为－2，则常数h的值为(　　) A．1或3 B．－1或1 C．3或5 D．－1或5 【点拨】由y＝－(x－h)2得函数图象开口向下，对称轴为直线x＝h.由题意得，当1≤h≤3时，y的最大值为0，故h<1或h>3.当h<1时，在1≤x≤3中，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y的最大值为－2.∴－(1－h)2＝－2，解得h＝－1或h＝3(舍去)； 当h>3时，在1≤x≤3中，y随x的增大而增大，∴当x＝3时，y的最大值为－2.∴－(3－h)2＝－2，解得h＝1(舍去)或h＝5.综上，常数h的值为－1或5. 【点拨】∵抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，CD∥x轴且经过点B，∴BD＝BC＝2.∴DC＝4.∵y＝a(x－2)2＝ax2－4ax＋4a，∴E(0，4a)．∴S四边形ACED＝S△ACD＋S△CDE＝DC·4a＝×4×4a＝8a. 11．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，连接AB.若函数y＝(x－h)2的图象与线段AB有交点，则h 的取值范围是____________． －≤h≤ 【点拨】易知函数y＝(x－h)2的图象的对称轴为直线x＝h，点A，B所在的直线为y＝2.在y＝(x－h)2中，令y＝2，则(x－h)2＝2，解得x1＝h－2，x2＝h＋2.当x2＝－时，h＝－；当x2＝时，h＝，即当－≤h≤时，抛物线右半部分(x>h)与线段AB有交点．当x1＝－时，h＝； 当x1＝时，h＝，即当≤h≤时，抛物线左半部分(x<h)与线段AB有交点．∴当－≤h≤时，该函数的图象与线段AB有交点． (2 026＋1，2 0262) ∵Q0Q1＝2，∴易得Q0M1＝Q0Q1＝1，M1P1＝，∴P1(1＋，1)．∵P1(1＋，1)在抛物线y＝a(x－1)2上，∴1＝3a，解得a＝.∴抛物线的表达式为y＝(x－1)2. 设Q1Q2＝m，∴易得Q1M2＝，M2P2＝m.∴P2(m＋1，m＋2)．∴m＋2＝，解得m＝－2(舍去)或m＝4. ∴P2(2＋1，4)．同理可得，P3(3＋1，9)，P4(4＋1，16)，…，∴Pn(n＋1，n2)．∴P2 026(2 026＋1，2 0262)． 0或3或2±或3±或 【点拨】由 得或 根据等腰直角三角形的性质可知，当AB＝|xP－xA|或AB＝2|xP－xA|时，△PAB 是等腰直角三角形． ①当t≤1时，(t－2)2－t＝2－t或(t－2)2－t＝2(2－t)，解得t＝2－或t＝0； ②当1<t≤2时，t－(t－2)2＝2－t或t－(t－2)2＝2(2－t)，解得t＝3－或t＝；③当2<t≤4时，t－(t－2)2＝t－2或t－(t－2)2＝2(t－2)，解得t＝2＋或t＝3；④当t>4时，(t－2)2－t＝t－2或(t－2)2－t＝2(t－2)，解得t＝3＋或t＝.综上所述，满足条件的t的值为0或3或2±或3±或. 【解】由(1)知直线AB的表达式为y＝x＋1，∴B(0，1)． 过点A作AH⊥x轴于点H，∴易得S△MAB＝S梯形ABOH－S△BOM－S△AMH＝－×1×1－×2×4＝－－4＝3. 【解】已知点P的坐标为(a，0)，则易知点E的坐标为(a，a2－2a＋1)，点D的坐标为(a，a＋1)，∴DE＝yD－yE＝a＋1－(a2－2a＋1)＝－a2＋3a＝－＋(0＜a＜3)．∴线段DE长度的最大值是. 解得a1＝2，a2＝1，a3＝，a4＝. ∵当a2＝1时，点P与点M重合，∴a2＝1(舍去)． ∴点P的坐标是(2，0)或或. $ 第1章 二次函数 1．5 二次函数的应用 2 【点拨】∵AB∥x轴，CH⊥AB且CH＝1 cm，BD＝ 2 cm，且B，D关于y轴对称，∴点B的坐标为(－1，1)，点D的坐标为(1，1)．∵AB∥x轴，最低点C在x轴上，∴A，B关于直线CH对称．又∵AB＝4 cm，∴易得左边抛物线的顶点C的坐标为(－3，0)．∴右边抛物线的顶点F的坐标为(3，0)． 返回 【答案】 B 2. 某水利工程公司开挖的池塘，蓄水之后截面呈抛物线形，如图所示，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m)． 5 返回 【答案】 C 3. “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为P，AB＝2 m，BP＝9 m，水嘴高AD＝5 m，则水柱落 地点C到水嘴所在墙的距离AC 是________m. 5 10 【点拨】∵以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．由题意知D(0，5)，P(2，9)．∵水柱的最高点为P(2，9)，∴设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋9.把点D(0，5)的坐标代入，得4a＝－4，∴a＝－1.∴抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋9.当y＝0时，－(x－2)2＋9＝0，解得x＝5或x＝－1(不合题意，舍去)，∴水柱落地点C到水嘴所在墙的距离AC是5 m. 返回 4. 在数学的学习过程中，同学们要善于用数学的眼光观察世界，你会发现生活中处处有数学；善于用数学的思维思考世界，你就能探索现实世界的奥秘．比如，一棵生长的幼苗可以近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 12 小明同学在观察研究幼苗叶片生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2－4mx－20m＋5图象的一部分，如图①，该二次函数图象经过坐标系的原点，已知直线PD与水平线的夹角为45°， 13 三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图②，则此时幼苗叶子的长度QD′为________，幼苗叶子的最大宽度为________． 14 返回 5．如图①是一座抛物线形拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分(如图②)，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3， 点B在抛物线上，点B到 对称轴的距离是1. 21 (1)求抛物线的表达式； 22 (2)如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标； 23 【解】∵点B到对称轴的距离是1， ∴将x＝1代入y＝－x2＋9， 得y＝－1＋9＝8.∴B(1，8)． 如图，作点B关于y轴的对称点B′(－1，8)，连接AB′，交y轴于点P，则点P即为所求． 24 (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝－x2＋2bx＋b－1(b＞0)，当4≤x≤6时，函数y的值总大于或等于9.请直接写出b的取值范围． 26 返回 29 设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到点A时，S是关于t的二次函数，如图②. 30 【答案】 B 返回 7．九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10 m长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案(如图)，则最佳方案是________．(填序号) ③ 36 返回 8．九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m，班长买来可切断的围栏 16 m，准备利用已有围墙，围出一块 封闭的矩形菜地，则该菜地的最大 面积是______m2. 46.4 40 【点拨】要使该矩形菜地面积最大，则要利用AO和OC构成矩形，设矩形菜地在射线OA上的一边长为 x m，矩形菜地的面积为S m2.当x≤8时，如图①， 返回 当x＞8时，如图②，则矩形菜地的周长为16＋6.6＋5＝27.6(m)，则在射线OC上的一边长为(13.8－x) m，∴S＝x·(13.8－x)＝－x2＋13.8x＝－(x－6.9)2＋47.61.∵－1＜0，∴当x≥6.9时，S 随x的增大而减小．∴当x＞8时， S的值均小于46.4.综上，该菜地的 最大面积是46.4 m2. 44 (1)求点B的坐标． 45 (2)将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′.设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S. 46 ①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； 47 49 51 返回 10. 衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，深受人们喜爱．某特产批发店以30元/箱的价格购进了一批衡山红脆桃，根据市场调查发现：售价定为58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱，每天的利润w(元)与每箱降价x(元)之间的函数表达式为_________________________． w＝－60x2＋1 080x＋16 800 返回 53 11. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举行，是继北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，此次冬运会吉祥物“滨滨”和“妮妮”的名称合起来寓意着“哈尔滨欢迎您”．某商场购进一批价格为40元/件的冬运会吉祥物礼盒，要求售价不超过55元/件．若每月销售量y(件)与售价x(元/件)之间满足的函数关系是y＝－10x＋800，则销售冬运会吉祥物礼盒每月可获得的最大利润为____________． 3 750元 返回 54 12．商场购进一批儿童智力玩具，调查发现该玩具的月销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间满足一次函数关系，销售单价与月销售量、月销售利润w(元)的对应值如下表： 销售单价x/(元/个) 30 35 40 45 月销售量y/个 230 180 130 m 月销售利润w/元 2 300 2 700 2 600 2 000 55 当销售单价定为________元/个时，月销售利润最大．由于生产玩具成本增加，商场购进玩具的价格提高n元/个(0＜n≤7，n为整数)，商场规定每件玩具的销售单价不能低于40元/个，该商场在今后的销售中，月销售量与销售单价的函数关系不变．若月销售利润最大是2 340元，则n的值是________． 36.5 2 56 57 返回 59 (1)求m关于t的函数表达式． (2)哪一天的销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠a元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3 600元以维持各种开支，求a的最大值(结果精确到0.01)． 返回 1. 一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示(1 cm对应一个单位长度)，AB∥x轴，AB＝4 cm，最低点C，F在x轴上，CH⊥AB且CH＝1 cm，BD＝2 cm.则轮廓线DFE所在抛物线对应的表达式为(　　) A．y＝(x＋3)2 B．y＝(x－3)2 C．y＝(x－4)2 D．y＝－(x－4)2 设右边抛物线的表达式为y＝a(x－3)2，把D(1，1)的坐标代入，得1＝a×(1－3)2，解得a＝.∴轮廓线DFE所在抛物线对应的表达式为y＝(x－3)2.故选B. 某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为(　　) A．AB＝24 m B．池底所在抛物线的表达式为y＝－x2－5 C．池塘最深处到水面CD的距离为3.2 m D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的 【点拨】AB＝15－(－15)＝30(m)，故A错误．设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，将A(－15，0)，B(15，0)，P(0，－5)的坐标分别代入，得 解得∴抛物线的表达式为y＝x2－5，故B错误． 将x＝－12代入y＝x2－5，得y＝×(－12)2－5＝－1.8，∴池塘最深处点P到水面CD的距离为－1.8－(－5)＝3.2(m)，故C正确． ∵池塘中水面的宽度减少为原来的一半，∴将x＝6代入 y＝x2－5，得y＝×62－5＝－4.2.∴池塘最深处点P到水面的距离为－4.2－(－5)＝0.8(m)．∵＝，∴池塘最深处到水面的距离减少为原来的，故D错误． 3 【点拨】∵二次函数y＝mx2－4mx－20m＋5的图象过原点，∴－20m＋5＝0.∴m＝.∴二次函数为y＝x2－x＝(x－2)2－1.∴D(2，－1)．∵直线PD与x轴成45°角，∴设直线PD的表达式为y＝－x＋b，把点D(2，－1)的坐标代入，得－1＝－2＋b，解得b＝1，∴直线PD的表达式为y＝－x＋1. 联立 解得或 ∴P(－2，3)，同理可求出直线OP的表达式为y＝－x，∴D′(2，3)．把D′(2，3)的坐标代入y＝mx2－4mx－20m＋5，∴4m－8m－20m＋5＝3，解得m＝.∴抛物线的表达式为y＝x2－x＋. 联立 解得x1＝－4，x2＝－10.∵幼苗是越长越张开，∴x2＝－10不合题意，舍去．∴Q(－4，6)． 如图，作QH⊥PD′交D′P的延长线于点H，∴QD′ ＝＝3.设直线QD′的表达式为y＝kx＋b2，把点Q(－4，6)和D′(2，3)的坐标代入， 得 解得 ∴直线QD′的表达式为y＝－x＋4.作MN⊥x轴交抛物线QD′Q′和直线QD′分别于点N，M，作NT⊥QD′于点T，∴MN＝yM－yN＝－x＋4－＝－(x＋1)2＋. ∴MN最大＝.此时，∵MN∥QH，∴∠D′QH＝∠NMT.∵∠QHD′＝∠MTN，∴△MNT∽△QD′H.∴NT∶MN＝D′H∶QD′＝6∶3，∴NT＝.∴叶片的最大宽度为×2＝. 【解】∵抛物线的对称轴与y轴重合，∴设抛物线的表达式为y＝ax2＋k.∵OC＝9，OA＝3，∴C(0，9)，A(3，0)． 将点C(0，9)，A(3，0)的坐标分别代入表达式，得解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋9. 设直线AB′的表达式为y＝mx＋n， 将A(3，0)，B′(－1，8)的坐标分别代入y＝mx＋n， 得解得 ∴直线AB′的表达式为y＝－2x＋6. 当x＝0时，y＝6，∴点P的坐标为(0，6)． 【解】b≥. 【点拨】由题意得新抛物线的对称轴是直线x＝＝b.∵－1＜0，∴抛物线开口向下．∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大，反之抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的y值越小．当0＜b＜5，4≤x≤6时，y的最小值在x＝6处取得，最小值为－62＋2×6b＋b－1＝13b－37， 由题意得13b－37≥9，解得b≥，∴≤b<5；当b≥5，4≤x≤6时，y的最小值在x＝4处取得，最小值为－42＋2×4b＋b－1＝9b－17，由题意得9b－17≥9，解得b≥，∴b≥5.综上所述，b的取值范围为b≥. 6．[2025眉山]如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，CD＝，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF. 在3个时刻t1，t2，t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时，S＝2t2－16t＋34；③AD＝4； ④t1＋t2＝4.其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【点拨】由题图②可知，当点P运动到B点时，S＝ DP2＝6，在Rt△PCD中，由勾股定理得DP2＝DC2＋BC2，∴BC2＋()2＝6，∴BC＝2或BC＝－2(舍去)．∵动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，∴当t＝1时，点P的运动路程为1，即此时点P在BC上， ∴此时CP＝1，在Rt△PCD中，由勾股定理得DP＝＝＝，∴S＝DP2＝3，故①正确；当点P在AB上时，由题图②可知，对应的二次函数图象的顶点坐标为(4，2)，∴可设S关于t的函数表达式为S＝a(t－4)2＋2，把(2，6)代入S＝a(t－4)2＋2中，得6＝a(2－4)2＋2，解得a＝1， ∴S关于t的函数表达式为S＝(t－4)2＋2＝t2－8t＋18，故②错误；在S＝t2－8t＋18中，当S＝t2－8t＋18＝18时，解得t＝8或t＝0(舍去)，∴AB＝8－2＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝4，∴AD＝AC－CD＝4－＝3，故③错误； 当点P在BC上时，CP＝t.∵∠C＝90°，CD＝，∴DP2＝CP2＋CD2＝t2＋2.∴S＝DP2＝t2＋2(0≤t<2)．易知当0≤t≤4时，其图象关于直线t＝2对称，当2<S<6时，存在3个时刻t1，t2，t3(t1<t2<3)对应的正方形DPEF的面积均相等，∴＝2.∴t1＋t2＝4，故④正确．综上所述，正确的有2个． 【点拨】方案①：设矩形菜园面积为S m2.如图，设 AD＝x m，则AB＝(10－2x)m，∴S＝x(10－2x)＝ －2x2＋10x＝－2＋.∵－2＜0， ∴当x＝时，菜园有最大面积， 且最大面积为 m2； 方案②：如图，过点B作BH⊥AC于点H，则BH≤ AB＝5 m．∵S△ABC＝AC·BH， ∴当BH＝5 m时，△ABC的面积最大， 为×5×5＝(m2)，即菜园的最大面积 为 m2； 方案③：半圆形的半径为 m， ∴此时菜园面积＝＝(m2)＞ m2. 则在射线OC上的一边长为＝(m)，则S＝x·＝－x2＋9.8x＝－(x－9.8)2＋48.02. ∵－＜0，∴当x≤9.8时，S随x的增大而增大．∴当 x＝8时，S有最大值，最大值为46.4； 9．[2025娄底月考]如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A(4，0)，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E，点C在y轴的正半轴上，点D在 第二象限，射线DC经过点B. 【解】如图①，过点B作BH⊥OA，垂足为H.由点A(4，0)，得OA＝4.∵BO＝BA，∠OBA＝90°，∴OH＝BH＝OA＝ ×4＝2.∴点B的坐标为(2，2)． 【解】由点E得OE＝，由平移的性质知∠O′E′D′＝90°，O′E′＝OE＝. ∴OE′＝OO′－O′E′＝t－，∠FE′O＝90°.∵BO＝BA， ∠OBA＝90°，∴∠BOA＝45°.∴∠OFE′＝90°－∠BOA＝45°. ∴∠FOE′＝∠OFE′.∴FE′＝OE′＝t－.∴S△FOE′＝OE′·FE′＝.∴S＝S△OAB－S△FOE′＝×4×2－，即S＝ －t2＋t－. ②当≤t≤时，求S的取值范围(直接写出结果即可)． 【解】S的取值范围为≤S≤. 【点拨】当4≤t≤时，由①知S＝－t2＋t－＝ －＋4，∴当t＝时，S有最小值为，当t＝4时，S有最大值为，∴此时≤S≤； 当<t<4时，如图②， 令O′C′与AB交于点M，D′E′与OB交于点N，∴易得S＝S△OAB－S△OE′N－S△O′AM＝4－－(4－t)2＝－t2＋t－＝－＋，∵－1<0，∴当t＝时，S有最大值为，当t＝或4时，S＝，∴<S≤； 当≤t≤时，如图③，令O′C′与AB交于点Q，∴易得 S＝S△OAB－S△O′AQ＝4－(4－t)2＝－(t－4)2＋4，∵－<0，∴当t＝时，S有最小值为， 当t＝时，S有最大值为. ∴≤S≤.综上，S的取值范围为≤S≤. 【点拨】设y＝kx＋b(k≠0)．由题意得解得 ∴y与x的函数表达式为y＝－10x＋530. 易知该商场购进玩具的价格为20元/个，由题意得w＝(x－20)·y＝(x－20)(－10x＋530)＝－10x2＋730x－10 600＝－10(x－36.5)2＋2 722.5. ∵－10<0，∴当x＝36.5时，w有最大值，为2 722.5.∴当销售单价定为36.5元/个时，月销售利润最大．由题意得w＝(－10x＋530)(x－20－n)＝－10(x－53)(x－20－n)，函数图象的对称轴为直线x＝＝.∵0<n≤7，n为整数，∴<≤40. ∵－10<0，∴在对称轴的右侧，w随x的增大而减小．∵x≥40，则函数在x＝40时取得最大值，∴根据题意可知，x＝40时，2 340＝(－400＋530)(40－20－n)，解得n＝2. 13．公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价y1(元/千克)和成本价y2(元/千克)关于时间t(天)的函数表达式分别为y1＝－t＋60(0<t≤40，且t为整数)；y2＝ 未来 40天的日销售量m(千克)关于时间t的 函数关系如图所示． 【解】设0<t≤30时，m关于t的表达式为m＝k1t＋b1， ∵点(0，120)，(30，180)在函数图象上， ∴解得∴m＝2t＋120(0<t≤30)； 设30<t≤40时的表达式为m＝k2t＋b2， ∵点(40，220)，(30，180)在函数图象上，∴解得∴m＝4t＋60(30<t≤40)． 综上，m关于t的函数关系式为m＝ 【解】设日销售利润为w1元，根据题意， 当0<t≤30时，w1＝(y1－y2)m＝(2t＋120)， 整理得w1＝－(t－60)2＋4 800.∵－<0且0<t≤30， ∴当t＝30时，w1取最大值，为4 500； 当30<t≤40时，w1＝(y1－y2)m＝(4t＋60)， 整理得w1＝－2＋4 512.5. ∵－2<0且30<t≤40，t为正整数， ∴当t＝33或32时，w1取最大值，为4 512.综上，第32天或33天的销售利润最大，最大利润为4 512元． 【解】设扣除捐赠后日销售利润为w2元．由题意可得 w2＝(y1－y2－a)(4t＋60)＝(4t＋60)， 整理得w2＝－2t2＋(130－4a)t－60a＋2 400. 该二次函数图象的对称轴为直线t＝＝32.5－a<32.5. ∵－2＜0，30<t≤40， ∴当t＝40时，w2取得最小值，为－220a＋4 400， ∴－220a＋4 400≥3 600 解得a≤≈3.64.∴a的最大值约为3.64. $ 第1章 二次函数 1．2 二次函数的图象与性质 第4课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 1．[2025岳阳模拟]关于二次函数y＝(x＋1)2－2的图象，下列结论中正确的是(　　) A．对称轴为直线x＝1 B．与y轴交于点(0，－2) C．与x轴没有交点 D．当x<－1时，y随x的增大而减小 2 【点拨】 A.对称轴为直线x＝－1，原说法错误，故该选项不符合题意；B.令x＝0，则y＝(x＋1)2－2＝－1，故与y轴交于点(0，－1)，原说法错误，故该选项不符合题意；C.抛物线y＝(x＋1)2－2的顶点为(－1，－2)，且开口向上，∴抛物线y＝(x＋1)2－2与x轴有两个交点，原说法错误，故该选项不符合题意； 返回 D.∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，∴当x<－1时，y随x的增大而减小，原说法正确，故该选项符合题意．故选D. 【答案】 D 2．[2025威海]已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y2>y1>y3 D．y3>y2>y1 C 返回 5 3．抛物线y＝(x－a)2＋a－1的顶点一定不在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 返回 B 6 4．已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，且点A在点B的左侧，则下列选项正确的是(　　) A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c D 返回 7 5. 已知某二次函数y＝a(x－h)2＋k的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为__________，其函数表达式为______________． 返回 －1≤x≤5 y＝(x－2)2－9　 8 6．[2025怀化期末]将抛物线y＝(x＋3)2向下平移1个单位，再向右平移________个单位后，得到的新抛物线经过原点． 2或4 9 返回 【点拨】抛物线y＝(x＋3)2向下平移1个单位后的表达式为y＝(x＋3)2－1，设抛物线向右平移h个单位后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的表达式为y＝(x＋3－h)2－1.∵新抛物线经过原点，∴(3－h)2－1＝0，解得h＝2或4. 7. 已知二次函数y＝a(x－1)2－a(a≠0)，当－1≤x≤4时，y的最小值为－4，则a的值为________． 返回 11 8．如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－x)2上，且在对称轴的右侧． (1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值，并求出a的值； 【解】抛物线C的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4.当y＝3时，3＝4－(6－x)2，解得x＝5或x＝7.∵点P在对称轴的右侧，∴a＝7. 12 (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数表达式恰好为y＝－(x－3)2.求点P′移动的最短路程． 13 返回 返回 B 15 16 17 返回 【答案】 D ①③ 19 20 返回 22 12．如图，已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在二次函数 y＝a(x－2)2－1(a>0)的图象上，且 x2－x1＝3. 23 (1)若二次函数的图象经过点(3，1)． ①求这个二次函数的表达式； 【解】∵二次函数y＝a(x－2)2 －1(a>0)的图象经过点(3，1)，∴1＝a－1，解得a＝2. ∴这个二次函数的表达式为y＝2(x－2)2－1. 24 ②若y1＝y2，求顶点到直线MN的距离． 25 (2)当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，请直接写出a的取值范围． 26 27 28 返回 29 13. 在平面直角坐标系中，规定：抛物线y＝a(x－h)2＋k的关联直线为y＝a(x－h)＋k. 例如：抛物线y＝2(x＋1)2－3的关联直线为y＝2(x＋1)－3，即y＝2x－1. 30 (1)如图，对于抛物线y＝－(x－1)2＋3. ①该抛物线的顶点坐标为________，关联直线为____________，该抛物线与其关联直线的交点坐标为________和________； (1，3) y＝－x＋4 (1，3) (2，2) 31 ②点P是抛物线y＝－(x－1)2＋3上一点，过点P的直线PQ垂直于x轴，交抛物线y＝－(x－1)2＋3的关联直线于点Q.设点P的横坐标为m，线段PQ的长度为d(d＞0)，求当d随m的增大而减小时，d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； 32 【解】如图所示，设该抛物线与其关联直线的交点分别为E，F，易知E(1，3)，F(2，2)． 由题意得P(m，－m2＋2m＋2)， Q(m，－m＋4)． 当m＜1时，d＝－m＋4－(－m2＋ 2m＋2)＝m2－3m＋2，此时d随 m的增大而减小； (2)顶点在第一象限的抛物线y＝－a(x－1)2＋4a与其关联直线交于点A，B(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C，直线AB与x轴交于点D，连接AC，BC. ①求△BCD的面积(用含a的代数式表示)； 【解】抛物线y＝－a(x－1)2＋4a的关联直线为y＝－a(x－1)＋4a＝－ax＋5a， 35 ②当△ABC为钝角三角形时，求a的取值范围． 37 返回 38 －或4 【解】∵平移后的抛物线的表达式为y＝－(x－3)2，∴平移后的顶点坐标为(3，0)．∵平移前抛物线的顶点坐标为(6，4)，∴点P′移动的最短路程为＝5. 9．如图，点A(m，5)，B(n，2)是抛物线C1：y＝(x－2)2＋1上的两点，将该抛物线向左平移，得到抛物线C2：y＝(x＋1)2＋1，点A，B的对应点分别为点A′，B′，则曲线段AB扫过的阴影部分的面积为(　　) A．6 B．9 C．12 D．15 10. 如图，抛物线y＝(x－h)2＋k的顶点在△AOB的边OA所在的直线上运动，△AOB的顶点A的坐标为(－2，1)，点B的坐标为(0，2)，若抛物线与△AOB的边AB，OA都有公共点，则h的取值范围是(　　) A．－≤h≤ B．－2≤h≤0 C．－1≤h≤ D．－2≤h≤ 【点拨】∵点A 的坐标为(－2，1)，∴易得直线OA的表达式为y＝－x.∵抛物线y＝(x－h)2＋k的顶点为(h，k)，且在直线OA上，∴k＝－h.∴抛物线对应的函数表达式为y＝(x－h)2－h. 当抛物线经过点O(0，0)时，将点O(0，0)的坐标代入y＝(x－h)2－h，得h2－h＝0，解得h1＝0，h2＝； 当抛物线经过点A(－2，1)时，将点A (－2，1)的坐标代入y＝(x－h)2－h，得(－2－h)2－h＝1，整理，得2h2＋7h＋6＝0，解得h1＝－2，h2＝－. 综上所述，h的取值范围是－2≤h≤. 11．[2025天津四十五中月考]如图，抛物线y1＝(x＋1)2＋1与y2＝a(x－4)2－3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点，则下列结论：①a＝；②若连接AE，则AC＝AE； ③若连接AD，BD，则△ABD是等 腰直角三角形；④当x>1时，y1>y2. 其中正确的结论有________．(填序号) 【点拨】∵抛物线y1＝(x＋1)2＋1与y2＝a(x－4)2－3交于点A(1，3)，∴3＝a(1－4)2－3，解得a＝，故①正确；当y＝3时，有3＝(x－4)2－3，解得x1＝1，x2＝7，∴点C的坐标为(7，3)．∴AC＝7－1＝6.∵E是抛物线y2＝(x－4)2－3的顶点，∴E(4，－3)．∴AE＝＝3≠6，即AE≠AC，故②错误； 当y＝3时，3＝(x＋1)2＋1，解得x1＝1，x2＝－3，∴B(－3，3)，∴AB＝4.∵点D是抛物线y1＝(x＋1)2＋1的顶点，∴D(－1，1)．∴AD＝＝2，BD＝＝2.∴AD2＋BD2＝AB2，AD＝BD.∴△ABD是等腰直角三角形，故③正确； 联立解得或 ∴两条抛物线的交点为(1，3)和(37，723)，由图象可知当1<x<37时，y1>y2，故④错误．故正确的结论有①③. 【解】由①知，抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x＝2.又∵y1＝y2，∴点M(x1，y1)，N(x2，y2)关于抛物线的对称轴对称．∴＝2.又∵x2－x1＝3，∴x1＝，x2＝.当x＝时，y＝2－1＝.∴当y1＝y2时，顶点到直线MN的距离为＋1＝. 【解】a的取值范围为<a≤. 【点拨】已知点M，N在对称轴的异侧，对称轴为直线x＝2.分两种情况讨论： 1 若y1≥y2，则x2>2，且2－x1≥x2－2. 又∵x2－x1＝3，∴－1<x1≤.∵函数的最大值为y1＝a(x1－2)2－1，最小值为－1， ∴y1－(－1)＝1，即a(x1－2)2－1－(－1)＝1， 解得a＝. ∵－1<x1≤，∴≤(x1－2)2<9.∴<a≤. ②若y1<y2，同理可得<x1<2.∵函数的最大值为y2＝a(x2－2)2－1＝a(x1＋1)2－1，最小值为－1， ∴y2－(－1)＝1，即a(x1＋1)2－1－(－1)＝1， 解得a＝.∵<x1<2，∴<(x1＋1)2<9.∴<a<.综上所述，a的取值范围为<a≤. 当1＜m＜2时，d＝－m2＋2m＋2－(－m＋4)＝ －m2＋3m－2，∴当2>m≥时，d随m的增大而减小； 当m>2时，易得d随m的增大而增大． 综上所述，当m＜1时，d＝m2－3m＋2； 当≤m＜2时，d＝－m2＋3m－2. 联立解得或 ∴A(1，4a)，B(2，3a)．当y＝0时，－a(x－1)2＋4a＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴易知C(－1，0)．当y＝0时，－ax＋5a＝0，解得x＝5，∴D(5，0)．易得a>0， ∴S△BCD＝×[5－(－1)]×3a＝9a. 【解】易知AC2＝22＋16a2，BC2＝32＋9a2，AB2＝12＋a2，且a>0. 当AC2＋AB2＜BC2时，∠BAC为钝角， 即22＋16a2＋12＋a2＜32＋9a2，解得－<a<. 又∵a>0，∴0<a<； 当BC2＋AB2＜AC2时，∠ABC为钝角，即32＋9a2＋12＋a2＜22＋16a2，解得a＞1或a<－1(不合题意，舍去)．易知∠ACB不可能为钝角． 综上所述，a的取值范围为0＜a<或a＞1. $ 第1章 二次函数 1．2 二次函数的图象与性质 第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 返回 A 1．[2025邵阳月考]将抛物线y＝－2x2－4x向上平移5个单位后，所得新抛物线的顶点式是(　　) A．y＝－2(x＋1)2＋7 B．y＝－2(x－1)2＋7 C．y＝－2(x＋1)2－7 D．y＝－2(x－1)2－7 2 3 【答案】 C 返回 3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的一次函数y＝ax＋bc的图象一定不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7 【答案】 B 返回 4．已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　　) A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2 C 返回 9 10 【点拨】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，∴a<0，b>0，c>0.∴abc<0.故①符合题意；∵顶点P的坐标为(1，n)，∴n＝a＋b＋c且函数的最大值为n.∵当x＝m时，y＝am2＋bm＋c，∴a＋b＋c≥am2＋bm＋c.∴am2＋bm－a－b≤0，故②不符合题意； 【答案】 D 返回 返回 6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2＋4x－1不动，把x轴向下平移3个单位，y轴向左平移1个单位，那么在新坐标系下抛物线的表达式为____________． y＝2x2 16 7．若A(m－1，y1)，B(m，y2)，C(m＋2，y3)为抛物线y＝ax2－2ax＋4(a>0)上的三点，且总有y1>y3>y2，则m的取值范围是________． 返回 17 8. 家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y(单位：m3)与旋钮的旋转角度x(单位：度，0<x≤90)之间近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了家用燃气灶烧开一壶水旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据．根据函数关系和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能为(　　) A．32度 B．41度 C．58度 D．75度 18 【点拨】由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图上数据描点连线，补全图可得如图， 返回 【答案】 B 9．[2025天津益中学校月考]将二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m＋1配成顶点式后，发现其图象顶点的纵坐标比横坐标大． 21 22 【点拨】将y＝x2－2mx＋m2＋m＋1配成顶点式为y＝(x－m)2＋m＋1，∴此二次函数图象的顶点坐标是(m，m＋1)，此二次函数的图象开口 向上，开口大小一定，易知此 二次函数图象的顶点在直线y＝ x＋1上运动(假设图象自左向右 移)，如图①， 如图②，当二次函数图象与矩形最后一次相交时，二次函数图象的顶点为矩形与y轴的交点，即点(0，1)， 返回 【答案】 B 10. 如图，点P是抛物线y＝－x2＋2x＋3上第一象限内一动点，A(0，3)，B(3，0)，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AB于F，H两点，过点P作AB的垂线，垂足为G. 27 29 返回 【答案】 D 返回 32 12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2bx－4经过点(－1，m)． (1)已知点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，其中x1＜x2.若m＞0且2x1＋2x2≤5，试比较y1与y2的大小关系，并说明理由； 33 37 38 返回 40 13．[2025苏州]如图，二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，作直线BC，M(m，y1)，N(m＋2，y2)为二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象上的两点． (1)求直线BC对应的函数表达式； 【解】在y＝－x2＋2x＋3中，令x＝0，则y＝3， ∴点C的坐标为(0，3)． 令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0.解得x＝－1，或x＝3， ∴点B的坐标为(3，0)． (2)试判断是否存在实数m，使得y1＋2y2＝10.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； 【解】不存在实数m，使得y1＋2y2＝10，理由如下： ∵M(m，y1)，N(m＋2，y2)为二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象上的两点，∴y1＝－m2＋2m＋3， y2＝－(m＋2)2＋2(m＋2)＋3＝－m2－2m＋3. (3)已知P是二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象上的一点(不与点M，N重合)，且点P的横坐标为1－m，作△MNP.若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1∶4，请直接写出所有满足条件的m的值． 【点拨】如图，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′，作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′，则MM′∥NN′.当x＝1－m时，y＝－(1－m)2＋2(1－m)＋3＝－m2＋4.∴点P的坐标为(1－m，－m2＋4)． 返回 2．关于二次函数y＝x2＋x＋3，下列结论中正确的是(　　) A．其图象的对称轴是直线x＝ B．当x>2时，y随x的增大而减小 C．若点A(m，n)是抛物线上的点，则点B(－m－1，n)也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后，图象经过点(1，24) 【点拨】由二次函数y＝x2＋x＋3，得对称轴为直线 x＝－＝－，故A选项错误，不符合题意；∵a＝1>0，∴抛物线开口向上．∴在直线x＝－的右侧，y随x的增大而增大．∴当x>2时，y随x的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； ∵点A(m，n)是抛物线上的点，∴m2＋m＋3＝n.当x＝－m－1时，y＝(－m－1)2＋(－m－1)＋3＝m2＋m＋3＝n.∴点B(－m－1，n)也是抛物线上的点，故C选项正确，符合题意； 二次函数y＝x2＋x＋3＝＋的图象先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到y＝＋的图象，当x＝1时，y＝＋＝25≠24，∴点(1，24)不在y＝＋的图象上，故D选项错误，不符合题意． 【点拨】∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0.∵二次函数的图象与y轴交于负半轴，∴c＜0.∵对称轴在y轴左侧，∴－＜0.又∵a＞0，∴b＞0.∴bc＜0.∴一次函数y＝ax＋bc的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 5． [2025烟台]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点A位于(－2，0)和(－1，0)之间，顶点P的坐标为(1，n)．下列结论：①abc<0；②对于任意实数m，都有am2＋bm－a－b≥0；③3b<2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则n＝－.其中所有正确结论的 序号是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．①③ ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点A位于(－2，0)和(－1，0)之间，对称轴为直线x＝1，∴－＝1，a－b＋c>0，∴a＝－b.∴－b－b＋c>0.∴3b<2c.故③符合题意； 如图，设对称轴与x轴交于点H.∵△PAB为等边三角形，∴∠PAB＝∠PBA＝60°.易知PH⊥AB，HA＝HB，∴PH＝tan 60°·AH＝tan 60°·HB. 记点A，B的横坐标分别为x1，x2， ∴n＝(x2－1)＝(1－x1)． ∴2n＝(x2－x1)． 当y＝ax2＋bx＋c＝0时，有x1＋x2＝－＝2，x1x2＝，∴x2－x1＝＝.∴n＝·＝·＝＝－. ∵n＝a＋b＋c＝c－a，∴c－a＝－.∴a(a－c)＝3.∴n＝－＝－.故④符合题意．综上，所有正确结论的序号是①③④. 0<m< 当y＝0.150时，抛物线上一点的横坐标为72，设另一点的横坐标为p，则p＞0，∴抛物线的对称轴为直线x＝＞＝36. ∴抛物线的对称轴在直线x＝36和直线x＝54之间．∴旋钮的旋转角度在36度和54度之间时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气，故旋钮的旋转角度可能为41度． 如图，在矩形ABCD中，点A(－1，1)，点D(2，1)，当二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m＋1的图象与矩形ABCD有交点时，m的取值范围是(　　) A．－2≤m≤0 B.≤m≤0 C．－2≤m≤2 D.≤m≤2 当二次函数的图象与矩形第一次相交时，二次函数图象经过点A(－1，1)，此时m取最小值，将点A(－1，1)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋m＋1，得1＋2m＋m2＋m＋1＝1，解得m1＝，m2＝(不符合题意，舍去)，∴m的最小值是； 此时m取最大值，将点(0，1)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋m＋1，得m2＋m＋1＝1，解得m1＝0，m2＝－1(不合题意，舍去)，∴m的最大值是0.综上，≤m≤0. 下列说法正确的是(　　) A．GH的最大值为 B．FG的最大值为 C．PF的最大值为2 D．△PFG周长的最大值为 【点拨】设直线AB的表达式为y＝kx＋b，则 解得 ∴直线AB的表达式为y＝－x＋3.设P(m，－m2＋2m＋3)，则点H的坐标为(m，－m＋3)，∴PH＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m.配方，得PH＝－＋，∴当m＝时，PH有最大值. ∵A(0，3)，B(3，0)，∴OA＝OB＝3.∴∠ABO＝∠BAO＝45°.∵PH∥y轴，PF∥x轴，∴∠PHF＝∠BAO＝45°，∠PFH＝∠ABO＝45°.∴∠PHF＝∠PFH，∠FPH＝90°.∴PH＝PF.∴PF的最大值为.故选项C错误．∵PG⊥FH，∴易得GH＝FG＝PG.∴PG＋FG＝FH.∵易得 GH＝PH，∴FG＝PH.∴GH，FG的最大值均为 ×＝.故选项A，B错误． ∵由勾股定理易得FH＝PH，∴△PFG的周长为 PF＋PG＋FG＝PH＋FH＝(＋1)PH.∴当PH的值最大时，△PFG的周长最大．∴△PFG周长的最大值为(＋1)×＝.故选项D正确． 11. 对于一个二次函数y＝a(x－m)2＋k(a，m，k是常数)中存在一点W(x0，y0)，使得x0－m＝y0－k≠0，则称2|x0－m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝－x2－x－2的“开口大小”为________． 【解】y1＞y2.理由如下： ∵抛物线y＝x2－2bx－4经过点(－1，m)， ∴m＝1＋2b－4＝2b－3. ∵m＞0，∴2b－3＞0，解得b＞. ∵y＝x2－2bx－4＝(x－b)2－4－b2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝b＞. ∵2x1＋2x2≤5，∴≤.∴＜b. 又∵x1＜x2，∴点(x1，y1)到对称轴的距离大于点(x2，y2)到对称轴的距离． 又∵抛物线的开口向上，∴y1＞y2. (2)若b＝0，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线y＝kx＋交于A，B两点，直线与y轴交于点C，E为AC的中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接AF，CF.求证：CF2＝CE. 【证明】若b＝0，则y＝x2－4， 将抛物线y＝x2－4向上平移4个单位得到新抛物线y＝x2－4＋4＝x2. ∵抛物线y＝x2与直线y＝kx＋交于点A， ∴设点A的坐标为A(n，n2)． 将x＝0代入y＝kx＋，得y＝，∴C. ∵E为AC的中点，∴E. ∵EF⊥x轴于点F，∴F. ∴CF2＝＋＝＋， CE＝＝(＋)＝＋.∴CF2＝CE. 设直线BC对应的函数表达式为y＝kx＋b， 将点B(3，0)，C(0，3)的坐标代入得 解得 ∴直线BC对应的函数表达式为y＝－x＋3. ∴y1＋2y2＝－m2＋2m＋3＋2(－m2－2m＋3)＝－3m2－2m＋9，配方，得y1＋2y2＝－3＋9. ∴当m＝－时，y1＋2y2有最大值，最大值为9. ∵9<10，∴不存在实数m，使得y1＋2y2＝10. 【解】m＝或m＝. ∵点N的坐标为(m＋2，－m2－2m＋3)，∴点Q的坐标为(m＋2，－m2＋4)，点H的坐标为(m＋2，0)，点N′的坐标为(m＋2，－m＋1)． ∴NQ＝PQ＝|2m＋1|，BH＝HN′＝|m－1|.∴∠PNQ＝∠BN′H＝45°.∴PN∥BC.∴△MDE∽△MNP.∴＝＝.∴MD＝MN，即MD＝ND. ∵MM′∥NN′.∴△MM′D∽△NN′D，∴＝＝1，即MM′＝NN′.∵点M的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，∴点M′的坐标为(m，－m＋3)．∴|m2－3m|＝|－m2－m＋2|，即m2－m－1＝0或－4m＝－2.解得m＝或m＝或m＝(此时P与M重合，舍去)．故m＝或m＝. $ 第1章 二次函数 1．1 二次函数 返回 C 2 2．关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是(　　) A．y是x的二次函数 B．二次项系数是－10 C．一次项是100 D．常数项是20 000 C 返回 3 3．[2025长沙岳麓区模拟]下列函数关系中，是二次函数的是(　　) A．生产100吨钢材，工作效率x和工作时间y之间的关系 B．当速度为100 km/h时，汽车行驶的距离s与时间t之间的关系 C．长方形的周长一定时，长方形的长y与宽x之间的关系 D．高为14 m的圆柱形储油罐的体积为y m3，底面圆的半径为x m 返回 D 4 4. 2025年5月18日，子弹库帛书《五行令》《攻守占》两件文物回到祖国，子弹库帛书于1942年在湖南省长沙市出土，是迄今发现的中国最早的帛书，对于学术史、思想史研究具有不可替代的价值．各地博物馆也因此迎来一波游览热潮．数据显示某博物馆5月第2周接待游客3.5万人，若平均每周的增长率为x，则5月第4周的游客人数y(万人)关于x的函数表达式是(　　) A．y＝3.5(1＋x) B．y＝3.5(1＋2x) C．y＝3.5(1＋x)2 D．y＝3.5x2 C 返回 5 5．[2025常德期末]若关于x的二次函数y＝(k－2)·xk2－2k＋2＋kx＋1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a＋b＋c＝________. －1 6 【点拨】∵函数y＝(k－2)xk2－2k＋2＋kx＋1是关于x的二次函数，∴k－2≠0，k2－2k＋2＝2，解得k＝0.∴y＝－2x2＋1.∴a＝－2，b＝0，c＝1.∴a＋b＋c＝－2＋0＋1＝－1. 返回 返回 6. 如图是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是________． 11 8 7. 已知一块边长为30 m的正方形草地． (1)如图①，先将正方形草地的一条边减少x m(0＜x＜10)，再将另一边增加x m，设变化后的草地的面积为S m2，则S________(填“是”或“不是”) 关于x的函数． 是 9 (2)如图②，将正方形草地的相邻两边各增加x m，设扩充后的草地的面积为y m2. ①写出y与x之间的函数关系式； ②当x＝5时，求y的值． 【解】根据题意，得y＝(30＋x)2. 返回 当x＝5时，y＝(30＋5)2＝1 225. 10  8. 某网络主播代销某品牌的电子产品，销售中发现每件售价为99元时，日销售量为200件，当电子产品的单价每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元． 11 D 返回 12 返回 13 10. 如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AB靠墙，且AB的长不超过21 m，E，F分别为边AB，CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF，FC上分别留出两个宽为1 m的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度 是43 m，当矩形菜园ABCD的 面积为150 m2时，BC的长为 ________m. 10 14 【点拨】∵四边形ABCD是矩形，E，F分别为边AB，CD的中点，∴AD＝EF＝BC，AB＝CD.∵篱笆的长度是43 m，∴AD＋BC＋EF＋CD＝(43＋2) m．∴3AD＋CD＝45 m．∵AB的长不超过21 m，∴3AD≥(45－21)m.∴AD≥8 m．设AD＝BC＝EF＝x m，则CD＝AB＝43－3x＋2＝(45－3x) m，∴S矩形ABCD＝AD·CD＝[x(45－3x)] m2.当x(45－3x)＝150时，解得x1＝5，x2＝10.又∵AD≥8 m，∴x＝10.∴BC的长为10 m. 返回 15 11．随着居民收入的持续增长，某数学兴趣小组统计了某村农户老王2020－2024年的年度纯收入如表． 年度/年 2020 2021 2022 2023 2024 年度纯收入/万元 2.5 4.5 7.5 11.5 16.5 16 若记2020年为第1年，在平面直角坐标系中分别用点A(1，2.5)，B(2，4.5)，C(3，7.5)，D(4，11.5)，E(5，16.5)表示农户老王2020－2024年的年度纯收入的变化情况，如图所示．拟用下列三个函数中的 一个模拟农户老王从2020年开始的年度纯 收入变化趋势，以便估算农户老王2025年 的年度纯收入． 17 (1)你认为选用函数________(填序号)模拟最合理(不必说明理由)，并求出相应的函数表达式； ③ (2)农户老王准备在2025年底购买一台价值22万元的农机设备，根据(1)中你选择的函数表达式，预测农户老王2025年的年度纯收入能否满足购买农机设备的资金需求． 【解】由(1)得y＝0.5x2＋0.5x＋1.5. 当x＝6时，y＝0.5×36＋0.5×6＋1.5＝22.5. ∵22.5>22，∴农户老王2025年的年度纯收入能满足购买农机设备的资金需求． 返回 20 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点E在边AD上，点P从点C出发，沿CB运动，点Q从点A出发，沿折线AE—EC运动．它们同时出发，运动速度都是1 cm/s，当点P运动到点B时，两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s，△BPQ的面积为S cm2.已知当点Q到达点E时，S＝24. (1)AE＝________cm， CE＝________cm； 4 10 21 (2)求S关于t的函数表达式，并直接写出自变量t的取值范围． 22 23 返回 24 1．下列函数中，一定是二次函数的有(　　) ①y＝－2x2；②y＝x(1－x)；③y＝； ④y＝(2＋x)(2－x)＋x2；⑤y＝ax2＋bx＋c；⑥y＝5x3－3x2. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 设每件电子产品的售价为x(元)，主播每天的利润为w(元)，则w与x之间的函数关系式为(　　) A．w＝(99－x)[200＋10(x－50)] B．w＝(x－50)[200＋10(99－x)] C．w＝(x－50)(200＋×10) D．w＝(x－50)(200＋×10) 9．二次函数y＝(x－1)mx＋(x＋1)nx＋(m≠－n)的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则将其化为一般形式为__________________，当x＝0时，y＝______.当y＝时，x＝________. y＝x2－x＋ 1或－ ①y＝(m>0)；②y＝kx＋b(k>0)； ③y＝ax2＋0.5x＋c(a>0)． 【解】把A(1，2.5)，B(2，4.5)的坐标代入y＝ax2＋0.5x＋c(a>0)，得解得 ∴y＝0.5x2＋0.5x＋1.5.经检验，点C(3，7.5)，D(4，11.5)，E(5，16.5)也满足上述函数表达式，故函数表达式为y＝0.5x2＋0.5x＋1.5. 【解】分两种情况： ①如图①，当0≤t≤4时，过点Q作QF⊥BC于点F， 易得四边形ABFQ为矩形，∴QF＝AB＝6 cm. ∵BC＝12 cm，PC＝t cm，∴BP＝(12－t)cm. ∴S＝BP·QF＝(12－t)×6＝－3t＋36； ②如图②，当4<t≤12时，过点Q作QM⊥BC于点M，∴∠QMC＝90°.∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，CD＝AB＝6 cm，∠D＝90°. ∴∠DEC＝∠QCM，∠D＝∠QMC. ∴△QMC∽△CDE.∴＝. ∵CQ＝(14－t)cm，CD＝6 cm，EC＝10 cm， ∴＝.∴QM＝(14－t)cm.∴S＝BP·QM＝×(12－t)×(14－t)＝t2－t＋. 综上所述，S＝ $ 第1章 二次函数 1．4 二次函数与一元二次方程的联系 返回 B 1．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－2＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，则二次函数y＝2(x＋m－3)2－2的图象的对称轴为(　　) A．直线x＝－4 B．直线x＝4 C．直线x＝1 D．直线x＝－1 2 2．下表是二次函数y＝x2－4x＋c的自变量x与函数值y的若干组对应值： 则下面是关于x的方程x2－4x＋c＝0的一个近似根(精确到0.1)的是(　　) A．3.0　 B．3.1 C．3.2 D．3.3 C 返回 x … 0.7 0.8 0.9 1.0 … y … 0.30 0.05 －0.18 －0.39 … 3 返回 D 4 5 【点拨】∵二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴的一个交点为(1，0)，易得对称轴为直线x＝－1，∴二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴的另一个交点为(－3，0)．∴方程ax2＋2ax＋c＝0(a≠0)的解为x1＝1，x2＝－3. 【答案】C 返回 5. 已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)，则x1，x2，x3，x4的大小关系为___________．(用“<”连接) 返回 x1<x3<x4<x2 8 1，0，－1，2 9 返回 7. 我们规定形如y＝|ax2＋bx＋c|(a>0)的函数叫作“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”y＝|x2－4x＋3|的图象， 12 根据图象，给出以下结论：①图象关于直线x＝2对称；②关于x的不等式|x2－4x＋3|>0的解集是x<1或x>3； ③当k<1时，关于x的方程|x2－4x＋3|＝k有四个实数解； ④当x<1时，函数y＝|ax2＋bx＋c|(a>0)的y值随x值的增大而减小．其中正确的是________．(填序号) ① 13 【点拨】根据函数的特征可知图象关于直线x＝2对称，故①正确，符合题意；由“元宝型函数”y＝|x2－4x＋3|的图象可知，当x≠1且x≠3时，图象位于x轴上方，∴关于x的不等式|x2－4x＋3|>0的解集是x≠1且x≠3，故②错误，不符合题意；当x＝2时，y＝|x2－4x＋3|＝1，由题图可得，当0<k<1时，关于x的方程|x2－4x＋3|＝k有四个实数解，故③错误，不符合题意； 返回 由题图可知，函数y＝|ax2＋bx＋c|(a>0)的y值随x值的变化情况取决于函数在x<1时的增减性，并不一定是当x<1时，y值随x值的增大而减小，故④错误，不符合题意．综上所述，正确的是①. 8．已知抛物线y＝x2－(m＋n)x＋4m经过定点(4，8)，且当x取任意实数时，y的值始终为正数，则m 的取值范围为________________． 16 返回 9. 现定义：对于一个数a，我们把{a}称为a的“邻一数”，若a≥0，则{a}＝a－1；若a＜0，则{a}＝a＋1.例如：{1}＝1－1＝0，{－0.5}＝－0.5＋1＝0.5.已知函数y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}，当直线y＝x＋b与该函数的图象有4个交点时，b的取值范围是(　　) A．4≤b＜5 B．4＜b＜5 C．4≤b≤5 D．b＞4 18 【点拨】由题知y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}＝－x2－3＋1＋3(|x|＋3－1)＝－x2＋3|x|＋4， 其图象如图． 当x＞0时，y＝－x2＋3x＋4， 令x＝0，则y＝4， 19 返回 ∴当直线y＝x＋b过点(0，4)时，与函数y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}的图象有3个交点．令x＋b＝－x2＋3x＋4，即x2－2x－4＋b＝0，当直线y＝x＋b与抛物线y＝－x2＋3x＋4有1个公共点时，(－2)2－4(－4＋b)＝0，解得b＝5.由图象可得当4<b<5时，直线y＝x＋b与函数y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}的图象有4个交点． 【答案】B 20 10．[2025武汉江夏区月考]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(－2，0)．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p(p＜0)有整数解，则p的值有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 21 【点拨】如图，∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴为直线x＝2，∴易知抛物线始终与x轴交于点(－2，0)与(6，0)．若关于x的一元二次方 程ax2＋bx＋c＝p(p<0)有整数解， 即直线y＝p(p<0)与抛物线y＝ ax2＋bx＋c有交点． 22 返回 ∴在－2<x<6中，x为整数的有x＝－1，0，1，2，3，4，5.又∵x＝－1与x＝5，x＝0与x＝4，x＝1与x＝3关于直线x＝2对称，当x＝2时，直线y＝p恰好过抛物线顶点，∴p的值有4个． 【答案】C 23 11．[2025遂宁]如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，与y轴的交点坐标是(0，m)，且2<m<3. 24 25 26 27 28 【答案】C 返回 29 12．已知抛物线C：y＝ax2－6ax＋5a(a为常数，a≠0)． (1)求证：不论a为何值，抛物线C与x轴总有两个不同的公共点； 【证明】由题意，得对于方程ax2－6ax＋5a＝0(a≠0)， Δ＝(－6a)2－4a×5a＝16a2＞0，∴不论a为何值，抛物线C与x轴总有两个不同的公共点． 30 (2)设抛物线C交x轴于点A，B，交y轴于点D，若△ABD的面积为20，求a的值； 【解】对于y＝ax2－6ax＋5a， 令y＝0，得ax2－6ax＋5a＝0，解得x＝1或x＝5. 令x＝0，得y＝5a， ∴点A，B，D的坐标分别为(1，0)，(5，0)，(0，5a)．∴AB＝4. 31 (3)设点E(2，4)，F(3，4)，若抛物线C与线段EF只有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 返回 33 13．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示，输入x的值为－2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6. 34 (1)直接写出k，a，b的值． 【解】k＝1，a＝1，b＝－2. 35 (2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图②. 36 Ⅰ.当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． x≤0或x≥1 【点拨】∵k＝1，a＝1，b＝－2，∴一次函数的表达式为y＝x＋3，二次函数的表达式为y＝x2－2x＋3.当x>0时，y＝x2－2x＋3的图象的对称轴为直线x＝1，开口向上，∴当x≥1时，y随x的增大而增大；当x≤0时，y＝x＋3，其中k＝1>0，∴当x≤0时，y随x的增大而增大．综上，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为x≤0或x≥1. 37 Ⅱ.若关于x的方程ax2＋bx＋3－t＝0(t为实数)，在0<x<4时无解，求t的取值范围． 【解】易知该问题可转化为抛物线 y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0<x<4时无交点．∵对于y＝x2－2x＋3，当 x＝1时，y＝2.∴该抛物线的顶点坐标为(1，2)，如图． 38 ∴当t＝2时，抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0<x<4时正好有一个交点．∴当t<2时，抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0<x<4时没有交点．∵当x＝4时，y＝16－8＋3＝11，∴当t≥11时，抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0<x<4时没有交点．∴当t<2或t≥11时，抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝t在0<x<4时没有交点，即当t<2或t≥11时，关于x的方程ax2＋bx＋3－t＝0(t为实数)，在0<x<4时无解． Ⅲ.若在函数图象上有点P，Q(P与Q不重合)．P的横坐标为m，Q的横坐标为－m＋1.小明对P，Q之间(含P，Q两点)的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化时，直接写出m的取值范围． 【解】－1≤m≤0或1≤m≤2. 返回 40 3．[2025长沙雨花区模拟]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点A(0，2)，其对称轴是直线x＝，则不等式ax2＋bx＋c≤2的解集是(　　) A．x≤0 B．x≤－1或x≥2 C．0≤x≤1 D．x≤0或x≥1 4． 如图，二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴相交于点(1，0)，则方程cx2＋2ax＋a＝0的根为(　　) A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－ D．x1＝－1，x2＝ 方程两边同除以x2可得a＋2a·＋c＝0，设＝t，可得ct2＋2at＋a＝0，∴t1＝1，t2＝－.由上可得，方程cx2＋2ax＋a＝0的两个根为x1＝1，x2＝－.故选C. 6． 已知关于x的函数y＝(m－1)x2＋2x＋m的图象与坐标轴有且只有两个交点，则m＝______________. 【点拨】①当m－1＝0，即m＝1时，函数为y＝2x＋1，与坐标轴有两个交点；②当m－1≠0时，若m＝0，则函数为y＝－x2＋2x，函数图象经过坐标原点，与坐标轴有两个交点；若m≠0，顶点在x轴上，则函数图象与坐标轴有两个交点，此时b2－4ac＝(2)2－4m(m－1)＝0，即m2－m－2＝0，解得m1＝－1，m2＝2. 综上所述，函数图象与坐标轴有且只有两个交点时，m＝1，0，－1，2. 6－4<m<6＋4 【点拨】将(4，8)代入抛物线的表达式，得8＝16－(m＋n)×4＋4m, 解得n＝2.∴y＝x2－(m＋n)x＋4m＝x2－mx－2x＋4m.又∵当x取任意实数时，y的值始终为正数，∴(－m－2)2－16m＝m2－12m＋4<0，解得6－4<m<6＋4. 有下列结论：①abc<0；②9a－3b＋c>0；③<y最大值<；④关于x的一元二次方程ax2＋(b－1)x＋c－2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，且n<x1<n＋1<x2<n＋2<x3<n＋3，当y1<y3<y2时，n的取值范围为－<n<0.其中正确的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【点拨】根据题图可得抛物线开口向下，则a<0.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴－＝1.∴b＝－2a>0.∵抛物线与y轴的交点坐标是(0，m)，∴c＝m.又∵2<m<3，∴c>0.∴abc<0，故①正确；∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x＝1，∴另一个交点坐标为(－2，0)．∴当x＝－3时，y＝9a－3b＋c<0，故②错误； ∵(－2，0)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，∴4a－2b＋c＝0.又∵b＝－2a，∴4a＋4a＋c＝0.∴8a＋c＝0，即c＝－8a.∵2<m<3，即2<c<3，∴2<－8a<3.∴2×<－8a×<3×，即<－9a<.∵当x＝1时，y取得最大值，最大值为a＋b＋c＝a－2a－8a＝－9a，∴y最大值＝－9a.∴<y最大值<，故③正确； ∵ax2＋(b－1)x＋c－2＝0，b＝－2a，c＝－8a，∴ax2＋(－2a－1)x－8a－2＝0.∵Δ＝(－2a－1)2＋4a(8a＋2)＝36a2＋12a＋1.对称轴为直线a＝－＝－.∴当a<－时，Δ的值随a的增大而减小，又∵2<－8a<3，∴－<a<－.∵当a＝－时，Δ＝36×＋12×＋1＝>0，∴当－<a<－时，Δ>0恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c－2＝0必有两个不相等实根，故④正确； ∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，且n<x1<n＋1<x2<n＋2<x3<n＋3, ∴2n＋1<x1＋x2<2n＋3，2n＋3<x2＋x3<2n＋5，2n＋2<x1＋x3<2n＋4.∵存在y1<y3<y2，∴<1，>1，<1，即<1，>1，<1，解得－<n<0，故⑤正确．综上，正确的有①③④⑤，共4个． ∵△ABD的面积为AB×|yD|＝×4×5|a|＝20，∴a＝±2. 【解】a的取值范围为－≤a≤－1. $ 第1章 二次函数 1．2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质 返回 A 1. 下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是(　　) A．y有最大值 B．图象的对称轴是y轴 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．图象的顶点是原点 2 2．若点(－1，y1)，(0，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　) A．y3>y2>y1 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2 D 返回 3 返回 C 4 ①③② 5 返回 【解】这个函数图象的另一部分如图所示． 7 (2)判断点(－2，－4)是否在这个函数图象上； 【解】当x＝－2时，y＝2≠－4， ∴点(－2，－4)不在这个函数图象上． 8 (3)求当y＝4时对应的函数图象在第一象限的点的坐标． 返回 9 6. 若(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线y＝ax2(a>0)上两个不同的点，则(|x1|－|x2|)(y1－y2)为(　　) A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 10 【点拨】 ∵(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线y＝ax2(a>0)上两个不同的点，∴x1≠x2，y1＝ax12，y2＝ax22.∴(|x1|－|x2|)·(y1－y2)＝a(|x1|－|x2|)(x1＋x2)(x1－x2)．当x1>0，x2>0时，原式＝a(x1－x2)(x1＋x2)(x1－x2)＝a(x1＋x2)(x1－x2)2.∵a>0，x1＋x2>0，(x1－x2)2>0，∴原式>0；当x1＝0，x2>0时，原式＝ax23>0；当x1＝0，x2<0时，原式＝－ax23>0. 当x1<0，x2<0时，原式＝a(x2－x1)(x1＋x2)(x1－x2)．∵a>0，x1＋x2<0，(x2－x1)(x1－x2)<0，∴原式>0；当x1>0，x2<0时，原式＝a(x1＋x2)(x1＋x2)(x1－x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)2.∵a>0，x1－x2>0，(x1＋x2)2≥0， 返回 ∴原式≥0.当x1>0，x2＝0时，原式＝ax13>0；当x1<0，x2＝0时，原式＝－ax13>0.当x1<0，x2>0时，原式＝a(－x1－x2)(x1＋x2)(x1－x2)＝－a(x1－x2)(x1＋x2)2.∵－a<0，x1－x2<0，(x1＋x2)2≥0，∴原式≥0.综上，(|x1|－|x2|)(y1－y2)为非负数．故选D. 【答案】 D 2≤m≤4 7. 若直线y＝m(m为常数)与函数 的图象恒有两个不同的交点，则常数m的取值范围是________． 14 返回 8. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图①，已知菱形ABCD的顶点B，C，D在二次函数y＝x2的图象上，且AD⊥y轴，则菱形的边长为_______． 16 (2)如图②，已知正方形ABCD的顶点B，D在二次函数y＝x2的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究n－m是否为定值． 18 【解】当B，D在y轴的右侧时，过点B作BF⊥y轴于点F，过点D作DE⊥y轴于点E，如图． ∵点B，D的横坐标分别为m，n， 正方形ABCD的顶点B，D在二次 函数y＝x2的图象上，∴B(m，m2)， D(n，n2)． ∴BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2. 返回 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AD＝AB. ∴∠FAB＝90°－∠EAD＝∠EDA. 又∵∠AFB＝∠DEA＝90°，∴△ABF≌△DAE. ∴BF＝AE＝m，AF＝DE＝n. ∴m＝n2－n－m2.∴m＋n＝(n－m)(n＋m)． ∵点B，D在y轴的右侧，∴m＋n≠0. ∴n－m＝1；当B，D在y轴的左侧时， 同理可得n－m＝1.∴n－m为定值． 3． 已知矩形的长为2x cm，宽为x cm，面积为y cm2，下列图象能表示y与x之间的函数关系的是(　　) 4. 如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数表达式依次是________．(填序号) 【点拨】抛物线y＝ax2(a>0)的开口大小与a有关，a的值越大，开口越小．∵3>>，∴抛物线y＝x2的开口最大，抛物线y＝3x2的开口最小． 5．已知二次函数y＝x2，解答下列问题： (1)根据已知的部分图象(如图)画出这个函数图象的另一部分(直接在网格中作图即可)； 【解】当y＝4时，4＝x2，解得x＝±2，∴当y＝4时对应的函数图象在第一象限的点的坐标为(2，4)． 【点拨】分段函数y＝的图象如图．若要使直线y＝m(m为常数)与函数y＝ 的图象恒有两个不同的交点，则常数m 的取值范围为2≤m≤4. 【点拨】设BC交y轴于点E，菱形的边长为2a，则AB＝BC＝AD＝2a.易知B，C关于y轴对称，∴BE＝CE＝a，∴B(－a，a2)，AE＝＝a.∴OE＝a2.∴OA＝OE＋AE＝a2＋a.∴易得D(2a，a2＋a)．把D(2a，a2＋a)的坐标代入y＝x2，得a2＋a＝4a2， 解得a＝或a＝0(舍去)，∴菱形的边长为. $