精品解析：江苏省盐城市大丰区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年江苏省盐城市大丰区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项是否符合定义． 【详解】解：选项A：中含有分式，不是整式方程，∴ 不是一元二次方程． 选项B：中，未明确（若，则不是二次方程），∴ 不一定是一元二次方程． 选项C：可化为，即，是整式方程且最高次项为2，∴ 是一元二次方程． 选项D：中最高次项为3，∴ 不是一元二次方程． ∴ 正确答案是C． 故选：C． 2. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 4. 某校在计算学生的数学总评成绩时，规定期中考试成绩占，期末考试成绩占，林琳同学的期中数学考试成绩为分，期末数学考试成绩为分，那么他的数学总评成绩是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】D 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法列式计算即可． 【详解】解：他的数学总评成绩是分， 故选：D． 【点睛】本题主要考查加权平均数算法，熟练掌握加权平均数的算法是解题的关键． 5. 如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：时，， 当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：B． 6. 自行车车轮要做成圆形，主要是根据圆的以下哪个特征(　　) A. 圆是轴对称图形 B. 圆是中心对称图形 C. 圆上各点到圆心的距离相等 D. 直径是圆中最长的弦 【答案】C 【解析】 【分析】利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断． 【详解】因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，所以自行车车轮要做成圆形． 故选C． 【点睛】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 7. 如图，点是的内切圆的圆心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内切圆，运用三角形内角和定理得出的度数，再根据点O是的内切圆的圆心，得出，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O是的内切圆的圆心， ∴，分别为，的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接，，设的半径为，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的面积是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接，，设的半径为， ∵正六边形内接于， 是等边三角形， ∴ ∵的面积是， ∴ 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入x2＋3x＋k＝0中，即可求出k的值． 【详解】解：将代入x2＋3x＋k＝0中 可得： 解得 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 10. 已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积是______（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，解题的关键是掌握扇形面积公式． 根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：， 故这个扇形的面积为． 故答案为：． 11. 已知一组数据1，2，4，6，x的众数是2，则这组数据的平均数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据众数的定义，x必须是2，从而确定数据组，再计算平均数． 本题考查了众数、平均数，熟练掌握众数、平均数的定义以及求解方法是解题的关键． 【详解】解：∵数据1，2，4，6，x的众数是2， ∴， ∴这组数据为1，2，4，6，2， 其平均数为， 故答案为：3． 12. 2029年将在长沙举办第十六届全国运动会．为备战此次全运会，江苏省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的10次比赛成绩做了统计：平均成绩均为环，成绩的方差分别是，，，应该选______参加全运会填“甲”、“乙”、“丙”中的一个 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了方差，掌握方差的意义是解题的关键．方差表示的是一组数据的波动大小，方差越小这组数据的波动越小，成绩越稳定，所以三个人的平均成绩相同时要选三个人中方差最小的丙去参加全运会． 【详解】解：∵甲、乙、丙的平均成绩均为9.5环，且，，，其中丙的方差最小， ∴应选丙参加全运会． 故答案为：丙． 13. 若方程的一个根为a，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，掌握其相关知识点是解题的关键．利用方程根的定义，将根代入方程后得到等式，再整体代入代数式求值． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， 即． 代数式， 代入， 得． 故答案为． 14. 如图，AB，CD是的直径，弦，所对的圆心角为40°，则的度数为______． 【答案】70° 【解析】 【分析】连接OE，由弧CE的所对的圆心角度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE，根据平行线的性质即可得到∠AOC的度数． 【详解】解：连接OE，如图， ∵弧CE所对的圆心角度数为40°， ∴∠COE=40°， ∵OC=OE， ∴∠OCE=∠OEC， ∴∠OCE=(180°-40°)÷2=70°， ∵CE//AB， ∴∠AOC=∠OCE=70°， 故答案为：70°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弧与圆心角的关系，平行线的性质，求出∠COE=40°是解题的关键． 15. 如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，等边三角形，由圆周角定理可得 是解答本题的关键. 连接，，则，再证明，可得是等边三角形，即可求解. 【详解】解：如图；连接，，则 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∵的半径为5 ∴ 故答案为：5. 16. 如图，在中，，为边上一动点，为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，交于，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，过点作于点，连接，先求得，，根据圆周角定得出，进而可得，则当时，取得最小值，进而等面积法求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵ ∴ 设，则， ∴ 解得： ∴，则 连接， ∴ ∴ ∴当的半径最短时，取得最小值， ∴当时，取得最小值， 此时 ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）配方法 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及解一元二次方程-配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 则， 解得 18. 如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了圆中的弧、弦之间的关系，根据 ，得出，进而可得，即可得出． 【详解】证明：∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 19. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 【答案】该门洞的半径为． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为， 根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 解得， 答：该门洞的半径为． 20. 已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0． （1）当m＝0时，求方程的实数根． （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）x1＝，x2＝（2）m＜ 【解析】 【分析】（1）令m=0，用公式法求出一元二次方程的根即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可． 【详解】（1）当m=0时，方程为x2+x﹣1=0． △=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴x，∴x1，x2． （2）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即12﹣4×1×（m﹣1）=1﹣4m+4=5﹣4m＞0，∴m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△=b2﹣4ac． 21. （1）小丽家的房前有一块空地，空地上有三棵树A、B、C（如图），小丽想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小丽把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，求花坛的半径长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可． （2）连接，，由圆周角定理得，则可得，即花坛的半径长为． 【详解】解：（1）如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． （2）连接，， ， ， ， 花坛的半径长为． 【点睛】本题主要考查三角形外接圆的知识，以及圆周角定理．利用圆周角与圆心角的关系作出辅助线是解题的关键． 22. 某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降6元，商场平均每天可多售出12件． （1）如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； （2）如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】（1）降价后商场销售这一批衬衫每天盈利1250元 （2）衬衫的单价降了25元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据平均每天可售出20件，每件盈利40元，衬衫的单价每降6元，商场平均每天可多售出12件，列式计算即可； （2）设衬衫的单价降了x元，根据降价后商场销售这批衬衫每天盈利1050元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：当单价降了15元时，每天盈利为元， 答：降价后商场销售这一批衬衫每天盈利1250元； 【小问2详解】 解：设衬衫的单价降了x元， 由题意得：， 整理得：， ，， ∵尽快减少库存． ， 答：衬衫的单价降了25元． 23. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下单位：分： 初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9， 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 高中 8 9 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，从离散程度方差看，______填“初中”或“高中”学生打分更稳定；从集中趋势平均数、中位数、众数看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 【答案】（1）8，8 （2）9 （3）初中，高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高，理由： 初中部打分的方差为0.8，高中部打分的方差为1.8， 从离散程度（方差）看，初中部学生打分更稳定； 故答案为：初中． 高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高，理由如下： 初中部和高中部打分的平均数都是8，但高中部的打分的中位数和众数均高于初中部， 高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高． 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，方差的意义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据高中部平均数即可求解； （3）根据方差的意义以及平均数、中位数、众数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：初中部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数， 故答案为：8，8； 【小问2详解】 解：高中部打分的平均分为8分， 则， 即， ； 【小问3详解】 略 24. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得 （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的周长结果保留 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，利用等腰三角形性质得到，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出，进而得到，从而证明与相切； （2）先根据，，求出，再根据半径相等得到最后根据弧长公式求出的长，加上和的长，得到阴影部分的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， △是等边三角形， ， 的长度， 阴影部分的周长为． 25. 已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键． （1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可； 【小问1详解】 解：由得， ，， 则， 所以①符合题意； 由得， ，， 则， 所以②不符合题意． 故答案为：①； 【小问2详解】 解：由得， ， 因为此方程是“差根方程”， 所以， 解得； 【小问3详解】 解：由题知，不妨令， 因为，的长为， 则 因为、的长是一个“差根方程”的两个实数根， 所以， 则， 所以， 所以， 所以， 同理可得，， 所以，， 则这个差根方程为 26. 【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法．通过构造平面直角坐标系中的数，利用勾股定理将一元二次方程的根转化为圆与x轴交点的横坐标．如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作，若交x轴于点、，则m、n为方程的两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，，，在中，，所以， 化简得：，同理可得：______． 所以m、n为方程的两个实数根． 【运用】 （2）尺规作图；在图2中的x轴上作出以方程两根为横坐标的点M、N，M在N的左边； （3）已知点、，判断以为直径的与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是______． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）相切，理由见解析； （4） 【解析】 【分析】（1）根据题目中给定的解法求解即可； （2）用尺规作图法作出以为直径的圆即可； （3）先根据题意得出方程再根据判别式，得出圆与x轴的位置关系； （4）仿照（1）的过程即可求得． 【详解】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）分别以及两点为圆心，大于的长为半径画弧交于P，Q， 连接交于点G，以G为圆心，为半径画圆，与x轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点M、N即为所画的点，如图2； （3）与x轴相切，理由如下： 由题意得：， ， 方程有两个相等的实数根， 与x轴只有一个交点，即与x轴相切； （4）如图，由勾股定理得，，， 在中，， ， 化简得：， 同理可得：， 、n为方程的两个实数根． 故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，解答本题的关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想． 27. 【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习： 例1矩形的对角线，相交于点，求证：，，，四个点在以点为圆心的同一个圆上. 证明：四边形为矩形， ，，， ， ，，，四个点在以点为圆心，为半径的同一个圆上. 通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“中，，求证：，，三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程. 【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在中，，，是外一点，且，求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，由可知点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________°. 【深入理解】（3）如图4，在四边形中，.求证：. 【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， ， 在中，， ，，三点在以点为圆心，为半径的同一个圆上； （2） （3）证明：， 点，，在以为圆心，为半径的圆上， 可以构造出过，，三点的，然后用图2或图3所示的方法解决. 方法1：如图， ， . 又在中，， 在中， ， . 方法2：延长交于点，连接 则为的直径， 在中，， 又在中，， . （4） 【解析】 【分析】本题考查了圆得相关知识点以及构造辅助圆在解决几何问题中的作用，涉及了圆周角定理、斜中半定理、菱形的性质等知识点，掌握相关结论并加以运用是解题关键． （1）取的中点，连接，根据斜中半定理即可求解； （2）根据圆周角定理可得； （3）由题意可得点，，在以为圆心，为半径的圆上，结合圆周角定理即可求证； （4）根据条件可得点在以为圆心，为直径的圆上，当点为与的交点时，长度取最小值，据此即可求解． 【详解】（1）略 （2）根据圆周角定理可得： 故答案为：； （3）略 （4）解：由折叠性质知， 又是的中点， ， 点在以为圆心，为直径的圆上， 当点为与的交点时，长度取最小值， 过点作的延长线于点， 菱形中，， ， ， 在中，， 在中，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省盐城市大丰区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 2. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 某校在计算学生的数学总评成绩时，规定期中考试成绩占，期末考试成绩占，林琳同学的期中数学考试成绩为分，期末数学考试成绩为分，那么他的数学总评成绩是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 5. 如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 自行车车轮要做成圆形，主要是根据圆的以下哪个特征(　　) A. 圆是轴对称图形 B. 圆是中心对称图形 C. 圆上各点到圆心的距离相等 D. 直径是圆中最长的弦 7. 如图，点是的内切圆的圆心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____． 10. 已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积是______（结果保留）． 11. 已知一组数据1，2，4，6，x的众数是2，则这组数据的平均数是______． 12. 2029年将在长沙举办第十六届全国运动会．为备战此次全运会，江苏省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的10次比赛成绩做了统计：平均成绩均为环，成绩的方差分别是，，，应该选______参加全运会填“甲”、“乙”、“丙”中的一个 13. 若方程的一个根为a，则代数式的值为______． 14. 如图，AB，CD是的直径，弦，所对的圆心角为40°，则的度数为______． 15. 如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 16. 如图，在中，，为边上一动点，为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，交于，连接，则的最小值为__________． 三、解答题：本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）配方法 18. 如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 19. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 20. 已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0． （1）当m＝0时，求方程的实数根． （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 21. （1）小丽家的房前有一块空地，空地上有三棵树A、B、C（如图），小丽想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小丽把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，求花坛的半径长． 22. 某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降6元，商场平均每天可多售出12件． （1）如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； （2）如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ 23. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下单位：分： 初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9， 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 高中 8 9 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，从离散程度方差看，______填“初中”或“高中”学生打分更稳定；从集中趋势平均数、中位数、众数看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 24. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得 （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的周长结果保留 25. 已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 26. 【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法．通过构造平面直角坐标系中的数，利用勾股定理将一元二次方程的根转化为圆与x轴交点的横坐标．如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作，若交x轴于点、，则m、n为方程的两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，，，在中，，所以， 化简得：，同理可得：______． 所以m、n为方程的两个实数根． 【运用】 （2）尺规作图；在图2中的x轴上作出以方程两根为横坐标的点M、N，M在N的左边； （3）已知点、，判断以为直径的与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是______． 27. 【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习： 例1矩形的对角线，相交于点，求证：，，，四个点在以点为圆心的同一个圆上. 证明：四边形为矩形， ，，， ， ，，，四个点在以点为圆心，为半径的同一个圆上. 通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“中，，求证：，，三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程. 【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在中，，，是外一点，且，求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，由可知点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________°. 【深入理解】（3）如图4，在四边形中，.求证：. 【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $