精品解析：浙江省杭州市萧山区城区八校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期九年级期中学情调研 数学调研卷 一．选择题：（共10小题，3×10＝30分） 1. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 明天不会下雨 B. 三点确定一个圆 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 圆中最长的弦是直径 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 3. 如图，，是上的三个点，若，则的度数为（ ）       A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　） A. B. 3 C. 6 D. 7. 如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ） A B. C. D. 8. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 9. 如图，在中，弧，弧，弧，弧的度数之比为，弦，交于点．则的度数是( ) A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的个数( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题：（共6小题，3×6＝18分） 11. 抛物线的开口方向是________．(填“向上”或“向下”） 12. 正十边形一个外角的度数是________． 13. 连续抛一枚质地均匀的硬币四次都是正面朝上，第五次正面朝上的概率是________． 14. 如图，菱形的三个顶点，，在上，对角线，交于点，若的半径是，则图中阴影部分的面积是_______． 15. 已知二次函数，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是________． 16. 如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为________． 三．解答题：（共8小题，8＋8＋8＋8＋8＋10＋10＋12＝72分） 17. 已知二次函数的图像与轴交于两点（点A在点B的左侧），与轴交于点． （1）求三点坐标； （2）求的面积． 18. 如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，是格点三角形（顶点都在方格顶点上的三角形叫做格点三角形） （1）在图1中画出将以点为旋转中心，逆时针旋转得到的图形； （2）求出在旋转的过程中，点所经过的路径的长． 19. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 20. 如图，在中，以为直径的⊙O交边，于点，且为边的中点． （1）求证： （2）若，求． 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元，若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克， （1）现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ （2）若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？ 22. 如图1是中式圆弧形门洞，门洞由圆弧和矩形两部分组成，图2是其示意图，已知矩形的边，．某学习小组用一根长为的笔直竹竿测门洞大小，调整竹竿位置使点Q在边上，点P在圆弧上，且测得．记圆心为点 （1）求圆心O到竹竿的距离的长． （2）求门洞的半径． 23. 已知二次函数（为常数）图象经过， ． （1）求和值． （2）当时，求的取值范围； （3）当时，的最大值和最小值的和为17，求的值． 24. 如图所示，在中，，点是外接圆上的一点，连接AP，BP，CP，且．点为弧上一点（不与，重合），过作垂足为． （1）判断形状，并说明理由； （2）已知 ①求四边形面积的最大值； ②求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期中学情调研 数学调研卷 一．选择题：（共10小题，3×10＝30分） 1. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 明天不会下雨 B. 三点确定一个圆 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 圆中最长的弦是直径 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．必然事件是指一定发生的事件．选项A和C是随机事件，不一定发生；选项B不一定成立，因为三点共线时不能确定圆；选项D是圆的固有属性，必然成立． 【详解】解：在圆中，直径是通过圆心的弦，且所有弦中直径最长，这是圆的基本性质， 选项D是必然事件． 对于其他选项： A：明天可能下雨，也可能不下雨，不是必然事件； B：三点共线时无法确定圆，不是必然事件； C：车辆遇到红灯是随机事件，不是必然事件． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：抛物线的解析式为：， 其顶点坐标为：． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为，此时顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力． 3. 如图，，是上的三个点，若，则的度数为（ ）       A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 4. 一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中有5个白球，即可得． 【详解】解：∵一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中有5个白球， ∴从中任意摸出一个球是白球的概率是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了概率，解题的关键是理解题意，掌握概率公式． 5. 将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答． 主要考查是函数图象的平移，解题的关键是用平移规律直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 【详解】将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为， 故选D． 6. 如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，由正六边形ABCDEF内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ∵正六边形ABCDEF内接于， 是等边三角形， ∵的周长是， 故选： 【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 7. 如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:C． 8. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质．由于二次函数开口向上，对称轴为，点在对称轴上，点和点分别位于对称轴两侧，通过比较横坐标与对称轴的距离或直接计算函数值，可判断大小关系． 【详解】解：二次函数的，开口向上，对称轴为， 点在对称轴上，点和点的横坐标与对称轴的距离分别为和， ∴距离越大函数值越大，故最小，次之，最大，即． 故选：A． 9. 如图，在中，弧，弧，弧，弧的度数之比为，弦，交于点．则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质、圆心角、弧、弦的关系．连接、、、、，如图，先根据圆心角、弧、弦的关系得到，，，的度数之比为，则可计算出，，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形外角性质计算出的度数． 【详解】解：如图，连接、、、、， 弧，弧，弧，弧的度数之比为， ，，，的度数之比为， ，， ，， ． 故选：B． 10. 如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的个数( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，所以①正确，符合题意； ②时，， 即， ， ， ， ，所以②错误，不符合题意； ③当时，， 抛物线的顶点坐标为， 把代入得， ，所以③正确，符合题意； ④当时，， 即， ， ，所以④正确，符合题意． 故选：C． 二．填空题：（共6小题，3×6＝18分） 11. 抛物线的开口方向是________．(填“向上”或“向下”） 【答案】向上 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次项系数的正负可判断抛物线的开口方向． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数，因此开口向上． 故答案为：向上． 12. 正十边形一个外角的度数是________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角．根据正n多边形的外角公式求解即可． 【详解】解：正十边形的一个外角的大小是， 故答案为：． 13. 连续抛一枚质地均匀的硬币四次都是正面朝上，第五次正面朝上的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义．每次抛掷硬币是独立事件，前四次结果不影响第五次，故第五次正面朝上的概率仍为． 【详解】解：因为硬币质地均匀，每次抛掷正面朝上的概率均为，且各次抛掷相互独立． 前四次抛掷的结果已确定，不影响第五次抛掷，所以第五次正面朝上的概率是． 故答案为：． 14. 如图，菱形的三个顶点，，在上，对角线，交于点，若的半径是，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算和菱形的性质，根据四边形是菱形，得，即是等边三角形，根据，所以图中阴影部分的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， 图中阴影部分的面积． 故答案为：． 15. 已知二次函数，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，首先得出的顶点坐标是，设得出即可得到所求抛物线的解析式． 【详解】解：∵的顶点坐标是 设 ∴ 所求解析式为：． 故答案为：． 16. 如图，是内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，翻折变换．设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，进而求出的长，最后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ，， 与是等圆， ， ， ， 点是的中点， ， ， 在中，，， ， ，则 的半径为： 故答案为：． 三．解答题：（共8小题，8＋8＋8＋8＋8＋10＋10＋12＝72分） 17. 已知二次函数的图像与轴交于两点（点A在点B的左侧），与轴交于点． （1）求三点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， ， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，熟练进行计算是解题的关键． （1）根据题意得出求出图象与轴以及轴交点坐标； （2）根据，，的坐标求出，长，即可求出的值． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， 令，即， 解得：， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ，， ∴，， ∴． 18. 如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，是格点三角形（顶点都在方格顶点上的三角形叫做格点三角形） （1）在图1中画出将以点为旋转中心，逆时针旋转得到的图形； （2）求出在旋转的过程中，点所经过的路径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，弧长公式； （1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）利用弧长公式求解． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求， 【小问2详解】 解：点所经过的路径的长为． 19. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 20. 如图，在中，以为直径的⊙O交边，于点，且为边的中点． （1）求证： （2）若，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理；线段垂直平分线的性质和勾股定理，勾股定理，等腰三角形的性质与判定． （1）连接，如图，先根据圆周角定理得到，则垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质得到结论； （2）连接、，如图，先根据圆周角定理得到，再利用勾股定理计算出，接着计算出，接着利用勾股定理计算出，然后根据为边的中点得到的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接 为直径 ， 为的中点 ∴垂直平分， ； 小问2详解】 解：连接，如图， 为直径 ， 在中，，， ， ， ， 在中，， 为边的中点， ． 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元，若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克， （1）现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ （2）若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？ 【答案】（1）每千克应涨价元 （2）应该涨价元，此时每天的最大盈利是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用、二次函数的应用； （1）设每千克应涨价元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设应涨价元，每天的盈利为，列出二次函数解析式，化成顶点式即可判断得解． 【小问1详解】 解：设每千克应涨价元，根据题意得： 解得：（尽快减少库存，舍） 答：每千克应涨价5元 【小问2详解】 设应涨价元，每天的盈利为 ∴应该涨价元，此时每天的最大盈利是元 22. 如图1是中式圆弧形门洞，门洞由圆弧和矩形两部分组成，图2是其示意图，已知矩形的边，．某学习小组用一根长为的笔直竹竿测门洞大小，调整竹竿位置使点Q在边上，点P在圆弧上，且测得．记圆心为点 （1）求圆心O到竹竿的距离的长． （2）求门洞的半径． 【答案】（1）圆心O到竹竿的距离的长为 （2）门洞的半径为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、矩形的性质，熟练掌握以上知识点是关键 （1）作，垂足为G，根据垂径定理和矩形的性质计算即可； （2）先计算出长，再设的半径为，两次利用勾股定理建立关于R方程，解方程即可得到结果． 【小问1详解】 解：如图，作，垂足为G， 是矩形，且， ， 根据题意可知， ， 圆心O到竹竿的距离的长为； 【小问2详解】 解：，， ， 在中，设的半径为 ， 由勾股定理可得， ， 在中，， 解得， 故门洞的半径为 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过， ． （1）求和的值． （2）当时，求的取值范围； （3）当时，的最大值和最小值的和为17，求的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为1或 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的最值，涉及到二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）把点， ，代入二次函数解析式，即可求解； （2）根据二次函数的对称轴和给定的取值范围求出最大值和最小值； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 二次函数（为常数）的图象经过点， ， ∴ 解得 【小问2详解】 由（1）知∶，， 所以该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下， 当时，取得最大值，此时， ∵， ∴当时，取得最小值，此时． ∴ 【小问3详解】 因为， ∴该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，当时，取得最大值，此时， ①当时，时取得最小值，时取得最大值， 令， 解得，(舍去)； ②当时，时取得最小值，时取得最大值， 则（舍去）； ③当时，时取得最小值，时取得最大值， 令， 解得(舍去)，； 综上，值为1或． 24. 如图所示，在中，，点是外接圆上的一点，连接AP，BP，CP，且．点为弧上一点（不与，重合），过作垂足为． （1）判断的形状，并说明理由； （2）已知 ①求四边形面积的最大值； ②求的长． 【答案】（1）的形状为等腰直角三角形，见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）利用圆周角定理和等腰直角三角形的定义解答即可； （2）①利用圆周角定理，勾股定理求得，进而得到的面积，当点为弧的中点时，的面积取得最大值，此时，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得的面积，再利用四边形面积的最大值解答即可； ②作，交的延长线于，证明，得出四边形为正方形，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． 【小问2详解】 ①∵， ∴为外接圆的直径， ∵点是外接圆上的一点， ∴， ∵为弧上一点， ∴当点为弧的中点时，此时点到的距离最大，则的面积取得最大值，此时，为等腰直角三角形， ， ， 当点C在中点时，四边形面积达到最大． ； ②证明：作，交的延长线于，如图， ∵ ∴为直径 ∴ ∵ ∴四边形为矩形 在和中， ∴ ∴， ∴四边形为正方形， ∴ ∵，， ∴， ∵， 即， 解得（负值舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $