2026年吉林省长春市中考数学复习专题（第14题）-不定项选择

中考复习专题不定项选择 类型一、圆 1.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=4,∠CBA=30,动点D在线段AB上且 不与AB重合，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F.给 出下面四个结论： ①金的长度为行： ②∠F=30°； ③CE=CF: ④线段EF的最小值为4 上述结论中，正确的结论的序号有一· D 2.如图，△ABC内接于⊙0，AB是O0的直径，弦CD=CB,CE1AB于点E,连接BD 交CE于点PF,交AC于G.若CD=45,AC=85,则下列说法正确的有一 ①∠ACB=90°： ②CF=BF: ③△ABG的面积为65： ④BD=16· D B 试卷第5页，共8页 3.如图，AB是⊙O的直径，AD是一条弦，延长AD至点C,使DC=AD,连结BC,过点 D作DE⊥BC,垂足为点E.给出下面五个结论： ①AB+BC: ②DE是O0的切线： ③∠ADE>90°+∠A: ④当DE‖AB时，若AB=4,则阴影部分图形的面积为π-2： ⑤当CE:EB=2:1时，△DEC与△ABC的面积比为2：5· 上述结论中，正确结论的序号有」 4.如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径，弦CD1AB,垂足为点E, ∠CAB的平分线AF交CD于点P、交BC于点Q、交OO于点F,连结BD、CF.给出下面 五个结论： ①∠ACD=∠ABD: ②CP=CQ: ③CP=PQ: ④当CF‖AB时，若AC=4,则阴影部分图形的面积为8π-65： ⑤当c=-3c时，△ACE与△BCE的面积比为1：9， 上述结论中，正确结论的序号有一， 试卷第6页，共8页 4 P 5.如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是O0f的直径，CD⊥AB,垂足为点D,∠ACD 的平分线交AB于点E,交O0于点F,给出下面五个结论： ①∠FAB=∠FCB: ②EB=EC: ③FA=FE: ④当点g与点0重合时，若AB=6,则阴影部分的面积为g元9： ⑤当AB:BE=2:1时，△AEF与△BCE的面积比3：1， 上述结论中，正确结论的序号有」 6.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，AB为大圆的直径，交小圆于C,D两点（点C靠近 点A),大圆的弦AE与小圆相切于点P,连结CP、DP,给出下面五个结论： ①AP=EP; ②∠APC=∠ADP; ③AP2=ACCD: ④当金=2金时，若AB=8,则阴影部分的面积和为3π-25： 试卷第5页，共8页 ⑤连结ED、EB,当PCIED时，△EPD与△EBD面积相等.上述结论中，正确结论的 序号有 B 7.如图，AB是半圆的直径，点C是的中点，点D是半圆内一点，且CD=专AC,射线 AD交半圆于点B,连结CB.给出下面五个结论： ①当点E不与点C重合时，∠CAE=∠CBE: ②△CAD≌△CBE: ③∠CEA=45°； ④当点D落在线段BC上时，若AC=3,则DE=: ⑤当∠CAE最大时， ta∠CAE=9 上述结论中，正确结论的序号有」 类型二、四边形 8.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=2:点E在对角线AC上，过点E作FG⊥AC, 分别交边AB、CD于点F、G,连结AGCF. 试卷第6页，共8页 给出下面四个结论： ①器=射 ②FG的长为3； 3 ③四边形AFCG的面积为13； ④当四边形AFCG为轴对称图形时，CG=号·上述结论中，正确结论的序号有一· 9.如图，在平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作E0⊥BD,交BC的 延长线于点B,交CD于点F,若点F为OE的中点且∠DBC=45°，给出下面四个结论： ①DE=BE: ②DE⊥BE: ③CE=EF; ④BC:CE=3:2: ⑤SABDE=2SABm 上述结论中，正确的序号有 IO.如图，点E在正方形ABCD外，连接AE、BE、DE,过点A作AE的垂线交DE于点F ·若AE=AF=4√2，BF=10,则下列结论： ①△AFD兰△AEB: ②EB⊥ED: ③点B到直线AE的距离为4W2: ④S4r+S4F=40.其中正确的结论是一·（填写所有正确结论的序号） 试卷第5页，共8页 D F 11.如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC上一动点（不与点B,C重合），过点E 作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F,交CD于点G,连接AF,有下列结论： ①AE=EF ②cF=V2BE ③∠DAF=∠CEF ④△CEF面积的最大值为若 ⑤连接DP,当AP+DP最小时cP=,上述结论中，正确结论的序号有一 A 12.如图，在菱形ABCD中，AB=3,∠BAD=60°，点E在边AD上，且AE=2DE,连 结CE交对角线BD于点F,连结AF,给出以下四个结论： ①BD=3; ②△ABF≌△CBF: ③AF:EF=3:2 ④△ABF的面积是△CDF的面积的9倍； 试卷第6页，共8页 ⑤tan∠CPB=231 上述结论中，正确结论的序号有 D B 13.如图，在菱形ABCD中，AB=3,∠ABC=60°，点0为AC中点，点E、F分别在线 段AB、AC上，且AE=CF,BF、CE交于点G,延长BF交边AD(或边CD)于点H.给 出下面五个结论： ①CG=FH: ②∠BGE=60； ③当AE=1时，BG:GH=4:3: ④当AE=2时，四边形CFHD的面积是25： ⑤点0与点G距离的最小值为匹-5 B 上述结论中，正确结论的序号有·（诸填写序号） 14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0·点E在线段OA上. 连接BE,作CP⊥BE于点F,交OB于点P,给出下面四个结论： ①∠0CP=∠0BE: ②0E=0P: 试卷第5页，共8页 ③当CE=CB时，BP=EF; ④点A与点F之间的距离的最小值为25-2 上述结论中，正确结论的序号有 D B 类型三、三角形 15.如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，AD=BE,且AD⊥BE,垂足为F ,G为DC的中点，连接DE、EG·给出下面5个结论： ①△AFB≌△AFE: ②∠EBD=∠BED: ③FD=BE: ④△BED△BCE: ⑤tan∠C=号：上述结论中，结论正确的序号有 16.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC,垂足为E,BFI‖AC交ED的延长线于点 F,若BC恰好平分LABF,AE=2BF,给出下列五个结论： ①EF=2DE: ②4BF2+4DB2=BC2 ③AE+BF=BC: 试卷第6页，共8页 ④若△CDE的面积为S,则四边形ABFE的面积为5S; ⑤an∠DBF=2·上述结论中，正确结论的序号有一 D y B 试卷第5页，共8页 中考复习专题-不定项选择 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、圆 1．如图，点在以为直径的半圆上，，，动点在线段上且不与、重合，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．给出下面四个结论：①的长度为；②；③；④线段的最小值为．上述结论中，正确的结论的序号有 ． 【答案】①③ 【分析】①连接，根据圆周角定理及弧长公式求解即可判定； ②根据点在线段上运动，连接，当时，可判断； ③由点与点关于对称可得，再根据即可证到； ④根据“点到直线之间，垂线段最短”可得时最小，由于，求出的最小值就可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴的长度为，故①正确； 连接，当时，如图所示． ∵是直径， ∴ ∴ ∵和关于对称 ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴故②不正确； 连接，如图所示． ∵点与点关于对称， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴．故结论③正确． ④当时，取最小值， ∵是半圆的直径， ∴． ∵，， ∴，，． ∵，， ∴． 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得： 点在线段上运动时，的最小值为． ∵， ∴． ∴线段的最小值为．故④错误。 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、圆周角定理、轴对称的性质、垂线段最短等知识，关键是根据轴对称的性质和直角三角形的性质进行分析． 2．如图，内接于，是的直径，弦于点，连接交于点，交于．若，，则下列说法正确的有 ．①；②；③的面积为；④． 【答案】①②④ 【分析】连接交于点，由是的直径，得，可判断①正确；由于点，得，由弦，得，则，而，所以，则，可判断②正确；根据，则，求得，所以，可判断③错误；由，得，得，求得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点， ∵是的直径， ∴，故①正确； ∵于点， ∴， ∵弦， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵交的延长线于点， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】此题重点考查直径所对的圆周角是直角、垂径定理、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等腰三角形的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 3．如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连结，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①； ②是的切线； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②④ 【分析】连接，根据是的直径，得出，根据已知可得垂直平分，即可判断①，根据中位线的性质即可判断②，根据等边对等角可得，进而判断③；根据平行线的性质可得，进而得出是等腰直角三角形，再根据扇形面积减去的面积即可判断④；根据已知可得，进而得出与的面积比为，即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径 ∴ 又∵， ∴垂直平分 ∴故①错误； ∵分别为的中点， ∴ ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；故②正确 ∵，即， 又 ∴ ∴，故③错误， 当时， ∴ ∴， ∵，则是等腰直角三角形， 又， ∴，故④正确 ∵ ∴ 当时， ∴与的面积比为 ∴与的面积比为，故⑤错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，中位线的性质，切线的判定，三角形的面积，扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．如图，是的外接圆，是的直径，弦，垂足为点，的平分线交于点、交于点、交于点，连结、．给出下面五个结论： ①； ②； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】由，可得，可得①符合题意；证明，可得，可得②符合题意；若，为等边三角形，可得与题干条件不相符，可得③不符合题意；由，可得，如图，连接，可得，，进一步可得阴影部分图形的面积为，可得④符合题意；由，可得，，，设，再进一步可得⑤不符合题意． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵为直径， ∴， ∴， ∵弦， ∴，， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； 若， ∴为等边三角形， ∴，，与题干条件不相符，故③不符合题意； ∵， ∴， ∴， 如图，连接，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴阴影部分图形的面积为，故④符合题意； ∵， ∴，，， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴与的面积比为；故⑤不符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理的应用，等腰三角形的判定与现在，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．如图，是的外接圆，是的直径，，垂足为点，的平分线交于点，交于点．给出下面五个结论： ①；②；③； ④当点与点重合时，若，则阴影部分的面积为； ⑤当时，与的面积比． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①③⑤ 【分析】根据同弧所对的圆周角相等即可判断①；由直径所对的圆周角是直角结合即可判断②；由和结合角平分线的概念得到，然后等量代换即可判断③；首先证明出是等边三角形，得到，然后利用割补法即可求出阴影部分的面积，进而判断④；如图所示，过点F作交于点G，设，得到，，，勾股定理表示出，然后利用等面积法表示出，勾股定理表示出，，然后证明出，得到，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴，故①正确； ∵不是直径 ∴ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴，故②错误； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵的平分线交于点 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； 当点与点重合时， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴阴影部分的面积，故④错误； 如图所示，过点F作交于点G ∵ ∴ ∴设 ∴ ∵当时， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴当时，与的面积比，故⑤正确； 综上所述，正确结论的序号有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 【点睛】此题考查了直径的性质，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．如图，以点为圆心的两个同心圆中，为大圆的直径，交小圆于两点（点靠近点），大圆的弦与小圆相切于点，连结．给出下面五个结论：①；②；③；④当时，若，则阴影部分的面积和为；⑤连结，当时，与面积相等．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②⑤ 【分析】题目主要考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质及中位线的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 根据题意，利用垂径定理及切线的性质即可判断①；利用切线的性质及各角之间的关系判断②；利用相似三角形的判定和性质判断③；利用圆周角定理及等边三角形的判定和性质，中位线的性质定理判断④；结合图形之间的面积关系即可判断⑤． 【详解】解：连接，如图所示： ∵大圆的弦与小圆相切于点， ∴，，故①正确，符合题意； ∴， ∵是小圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴，即，故③错误，不符合题意； 当时，则， 连接， ∴， ∴，为等边三角形， ∵点P、O为中点， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和为：，故④错误，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴面积，面积， ∵面积， 面积， ∴面积面积， 故⑤正确，符合题意； 综上可得：正确的结论是①②⑤， 故答案为：①②⑤． 7．如图，是半圆的直径，点是的中点，点是半圆内一点，且，射线交半圆于点，连结．给出下面五个结论： ①当点不与点重合时，； ②； ③； ④当点落在线段上时，若，则； ⑤当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】根据同弧所对的圆周角相等即可判断①；根据题意无法证明；由直径得到，由弧弦的关系得到，得到，进而判断③；如图所示，当点落在线段上时，勾股定理求出，求出，证明出，得到，代数求出，进而判断④；根据题意得到当时，最大，设，则，勾股定理表示出，然后利用正切的定义求解即可判断⑤． 【详解】解：∵ ∴，故①正确； 根据题意无法证明，故②错误； ∵是半圆的直径 ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴，故③正确； 如图所示，当点落在线段上时， ∵， ∴， ∵是半圆的直径 ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确； ∵ ∴当时，最大 设，则 ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确结论的序号有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，求角的正切值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、四边形 8．如图，在矩形中，，．点在对角线上，过点作，分别交边、于点、，连结、． 给出下面四个结论：①；②的长为；③四边形的面积为；④当四边形为轴对称图形时，．上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①③④ 【分析】作于点，利用勾股定理求得，证明，求得；；四边形的面积；当四边形为轴对称图形时，四边形为菱形，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点， ∵在矩形中，，， ∴，，， 四边形和都是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，，故②不正确； ，故①正确； ∵，，， ∴四边形的面积为，故③正确； 当四边形为轴对称图形时，四边形为菱形， ∴， 设则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得，∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 9．如图，在平行四边形的对角线相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若点为的中点且，给出下面四个结论： ①；②；③；④；⑤．上述结论中，正确的序号有 ． 【答案】①②⑤ 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 据平行四边形的性质得，则是线段的垂直平分线，进而得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；根据是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；过点F作于点E，设，先求出，证明是等腰直角三角形，可求出，证明相似得，据此可对结论③④进行判断，分别求出，进而可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③④过点F作于点E，如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，故③④错误； ⑤， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②⑤ 10．如图，点E在正方形外，连接、、，过点A作的垂线交于点F．若，，则下列结论：①；②；③点B到直线的距离为；④．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）    【答案】①②④ 【分析】由正方形的性质可知，，得出，结合题意可得出，即证明，从而可用“”证明，故①正确；根据等腰直角三角形的性质得出，结合全等的性质可得，进而即可求出，故②正确；过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离．根据勾股定理可求出，从而可求出．又易证为等腰直角三角形，即得出，故③正确；由全等的性质可得，即得出，结合三角形的面积公式即可求出，故④正确． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离．   ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识．熟练掌握上述知识，并能够正确作出辅助线是解题关键． 11．如图，正方形的边长为1，点E是边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论：①②③④面积的最大值为⑤连接，当最小时，上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①② 【分析】本题考查了正方形的性质，垂直、角平分线的定义，三角形全等等知识点，观察图形的变化规律，可以利用全等，判断；；同时也可判断；用的长表示的面积，用函数知识判断最大值．作点D关于的对称点M，连接交于点P，连接，先证明点M在线段的延长线上，求出，根据知最小值为，得出此时，故可求出答案． 【详解】解：连接，过E作交于H；过F作于I，如图． ∵四边形为正方形； ∴． ∵； ∴． 又∵， ∴； ∴； ∴． ∴； ∴．； ∵平分正方形外角， ∴； ∴； ∴． ∵， ∴； ∵， ∴； ∴． ∴． ∴，①正确． ∴； ∴． ∵平分正方形外角， ∴； ∴； ∴，②正确． ∵， ∴， ∴； 即，③不正确． 设，则； ∴面积：，最大值为，④不符合题意． 如图，作点关于的对称点M，连接交于点P，连接， ∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵点D关于 的对称点M， ∴， ∴点M在线段的延长线上， ∴， ∵， ∴当且仅当点F与点P重合时最小，最小值为的长， 过点作于点，则，， ∴， ∴， 由于，所以 ∴， ∴当最小时，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②， 故答案为：①②． 12．如图，在菱形中，，，点在边上，且，连结交对角线于点，连结．给出以下四个结论： ①； ②； ③； ④的面积是的面积的9倍； ⑤． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②⑤ 【分析】利用菱形的性质得到，，结合推出是等边三角形，可判断①；利用全等三角形的判定证明，可判断②；利用全等三角形的性质得到，通过证明得到，得出，可判断③；由得到，再利用全等三角形的性质可判断④；连接交于点，利用相似三角形和菱形的性质求出、的长，在中利用正切的定义求出，可判断⑤，即可得出答案． 【详解】解：菱形， ，， ， 是等边三角形， ，故①正确； ，，， ，故②正确； ， ，， ， 解得：， ， ， ， ，故③错误； ， ，， ， ， ，故④错误； 连接交于点，如图所示： ，， ， 解得：， 菱形， ，， ，， ， 在中，， ，故⑤正确； 综上所述，正确结论的序号有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、求角的正切值，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 13．如图，在菱形中，，，点为中点，点、分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面五个结论： ①；②；③当时，； ④当时，四边形的面积是；⑤点与点距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 ．（诸填写序号） 【答案】②③⑤ 【分析】证明得出，进而根据三角形的外角的性质可得，即可判断②，证明，得出不一定成立，故①不正确，证明求得，进而判断③，过点作于，过点于，求得，证明得出，，则四边形的面积是，即可判断④，以为边向下作等边三角形，得出四边形是的内接四边形，即在上运动，当在线段上时，最小，进而得出点与点距离的最小值为，进而判断⑤ ． 【详解】四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵ ∴， 在和中， ， ， ∴ ∴，故②正确 ∵， ∴ 又 ∴ ∴不一定成立，故①不正确 如图 ∵， ∴， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ∵ ∴，故③正确； 过点作于，过点于， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积是，故④不正确 如图，以为边向下作等边三角形， ∵，， ∴四边形是的内接四边形，即在上运动，当在线段上时，最小， 过点作，则， ∴， ∴ ∴点与点距离的最小值为，故⑤正确， 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 14．如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、三角形 15．如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为，为的中点，连接、．给出下面个结论：①；②；③；④；⑤．上述结论中，结论正确的序号有 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，锐角三角函数等，利用可证，即可判定①；由全等三角形的性质得到，即得是的垂直平分线，得到，即可判定②；利用三角形中位线的性质可得，，即可判定③；设，则，可得，，进而得到，即可得，即可判定④；过点作于，利用得到，进而可得，即得到，最后根据正切的定义得到，即可判定⑤，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，故②正确； ③∵是中线， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，故③正确； ④设，则， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴和不会相似，故④错误； ⑤过点作于，则， ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，结论正确的序号有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 16．如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分，，给出下列五个结论：①；②；③；④若的面积为，则四边形的面积为；⑤．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是熟悉上述知识点，并能熟练运用求解．根据角平分线的意义，可得，再根据平行线的性质，可得，从而可得，利用证明，从而可判断①；利用勾股定理即可判断②；利用全等三角形的性质得，可判断③；先利用全等三角形的性质，可得出，再利用等底同高的两个三角形面积相等，可得出，利用，可证得，从而可得出，再根据的面积为，可求出，从而可判断④；先证明，列出比例式，求出，即可求得，从而可判断⑤． 【详解】解：∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴（）， ∴，，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定等于，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②⑤． 试卷第10页，共29页 试卷第11页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $