天津市部分区2025-2026学年九年级上学期期末模拟测试数学试卷

天津市部分区2025～2026上学期九年级数学期末模拟测试 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．4．测试范围：人教版（2012）九年级上册21章~第25章。 第一部分（选择题 共36分） 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列事件中，属于随机事件的是（     ） A．13名同学中至少有两名同学的生日在同一个月 B．在只有白球的盒子里摸到黑球 C．经过交通信号灯的路口遇到红灯 D．太阳从东方升起 2．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 4．由二次函数可知（     ） A．其图象的开口向上 B．其顶点坐标为 C．其图象的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 5．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（       ） A． B． C． D． 6．如图，AB切⊙O于点B，OA与⊙O相交于点C，AC=CO，点D为上任意一点(不与点B、C重合)，则∠BDC等于(       ) A．120° B．130° C．140° D．150 7．若m，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．1 D．3 8．如图，分别与相切于E，F，G三点，且，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，绕点逆时针旋转60°得到（点与点是对应点，点与点是对应点），点是中点，与相交于点，，则的长为（     ）． A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形的边心距（     ）    A． B． C． D．3 12．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x ⋯ 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 3 0 m 3 ⋯ 有以下结论： ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和m； ④当时，x的取值范围是或．其中正确结论的个数是（      ） A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共66分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13．在一个不透明的布袋中装有3个红球，2个白球，5个黄球，它们除了颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为 ． 14．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ． 15．已知圆锥的侧面积是，底面半径是3，则母线长为 ． 16．若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = ． 17．如图，在四边形ABCD中，AC和BD是其对角线，，． （1）BD的长为 ； （2）若，则 ． 18．如图，在每个小正方形边长为的网格中，的顶点，，均在格点上，为边上的一点. （Ⅰ）线段的值为 ; （Ⅱ）在如图所示的网格中，是的角平分线，在上求一点，使的值最小，请用无刻度的直尺，画出和点，并简要说明和点的位置是如何找到的（不要求证明） . 三、解答题（本题共7小题，共66分。解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 20．（本题8分）如图，是等腰三角形中，，以为直径的与相交于点E，与交于点D，点F是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，求DF的长． 21．（本题10分）为了使学生树立正确的劳动观点和劳动态度，养成劳动习惯、掌握必要的劳动技能，常州某校开设了劳动教育课程，桐桐和明明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等． (1)桐桐恰好选中“烹饪”的概率为______； (2)请用画树状图或列表的方法，求两人都选中同一门课程的概率． 22．（本题10分）如图，为的直径，为上的一点，与过点的切线互相垂直，垂足为，交于点． (1)如图①，连接，求证平分； (2)如图②，若，，求的长． 23．（本题10分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每下降元，商场平均每天可多售出件． 如果商场通过销售这批衬衫每天获利元，那么衬衫的单价应下降多少元？ 当每件衬衫的单价下降多少元时，每天通过销售衬衫获得的利润最大？最大利润为多少元？ 24．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知点，点，点A在轴正半轴上，且．绕着点顺时针旋转，得，点A、旋转后的对应点分别为、，记旋转角为． (1)如图1，当恰好在线段上时，请直接写出旋转角的度数和点的坐标； (2)如图2，若，设直线和直线交于点． ①猜测与的位置关系，并说明理由； ②当时，如图3，请直接写出四边形的面积． 25．（本题10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①． （1）求抛物线的解析式； （2）直线AB的函数解析式为　 　，点M的坐标为　 　，cos∠ABO＝　 　； 连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　 　； （3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标； （4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。 《天津市部分区2025～2026第一学期九年级数学期末模拟测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B C B D B D A B C C 1．C 【详解】解：A、13名同学中至少有两名同学的生日在同一个月是必然事件，故A不符合题意； B、在只有白球的盒子里摸到黑球是不能事件，故B不符合题意； C、经过交通信号灯的路口遇到红灯是随机时间，故C符合题意； D、太阳从东方升起是必然事件，故D不符合题意， 故选：C． 2．D 【详解】解：A、不是轴对称图形，故A错误； B、不是轴对称图形，故B错误； C、不是轴对称图形，故C错误； D、是轴对称图形，故D正确． 故选D． 3．B 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 4．C 【详解】解：∵二次函数y=-3（x+4）2-2， ∴图象开口向下，对称轴为直线x=-4，顶点是（-4，-2）， 当x＞3时，y随x的增大而减小， 故选：C． 5．B 【详解】解：∵抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（-1，0）， ∴平移后抛物线的顶点坐标为（1，-4）， ∴平移后抛物线的解析式为y=（x-1）2-4． 故选：B． 6．D 【详解】如图，优弧BC上任取一点E，连接CE，BE， ∵AB切⊙O于点B， ∴∠ABO=90°， ∵AC=OC=OB， ∴， ∴∠A=30°， ∴∠AOB=60°， ∴， ∴∠BDC=180°-∠E=150°， 故选：D． 7．B 【详解】解：由题意得 m+n=-1，mn=-1， ∴=-1-2=-3． 故选B． 8．D 【详解】解：分别与相切于E，F，G三点， 平分，平分， ， 故选：D 9．A 【详解】∵抛物线的对称轴为： ∴当和时，抛物线y值相等，均为 ∵ ∴抛物线的开口朝上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大 ∵ ∴ 故选：A． 10．B 【详解】解：∵绕点逆时针旋转60°得到， ∴，， ∴为等边三角形，则，， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 11．C 【详解】解：连接，，    ∵六边形是正六边形， ∴， ∴是等边三角形， 由题意可知，则垂直平分， ∴， ∴ 故选：C． 12．C 【详解】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线，故②错误； 抛物线的顶点坐标是，有最小值，故抛物线的开口向上，故①正确； 由抛物线关于直线对称知，当时，或，故方程的根为0和2，故③错误； 当时，x的取值范围是或，故④正确， 故选C． 13．/ 【详解】解：依题意，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为． 故答案为：． 14． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．5 【详解】解：∵圆锥的侧面积是，底面半径是3， ∴圆锥的母线长为； 故答案为：5． 16．-1 【详解】关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0 故答案为：-1． 17． 【详解】（1）， ∴． （2）如图，过点C作交延长线于点E． ， ∴是等腰直角三角形． ． ． 18． （Ⅰ） （Ⅱ）如图，取格点、，连接与交于点，连接与交于点. 【详解】（Ⅰ）根据勾股定理得AC=； 故答案为5． （Ⅱ）如图，如图，取格点、，连接与交于点，连接与交于点，则点P即为所求．                        说明：构造边长为5的菱形ABEC，连接AE交BC于M，则AM即为所求的的角平分线，在AB上取点F，使AF=AC=5，则AM垂直平分CF，点C与F关于AM对称，连接DF交AM于点P，则点P即为所求． 19． 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：∵， ， ，． 20． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点F是的中点， ∴， ∴，    ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 21． 【详解】（1）解：∵一共有4门课程，每门课程被选中的可能性相等， ∴桐桐恰好选中“烹饪”的概率为， 故答案为：； （2）解：设分别用A、B、C、D表示“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”这4门课程，列表如下： 由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两人都选中同一门课程的结果数有4种， ∴两人都选中同一门课程的概率为． 22． 【详解】（1）证明：连接， 为的切线， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． ． 平分． （2）解：连接，，两线交于点． 为的直径， ． 由（1）可得，， 四边形为矩形． ，，． ， ． 在中，． ． ． 23． 【详解】（1）设衬衫的单价应下降x元，由题意得： 1200=（20+2x）×（40﹣x） 解得：x=20或10，∴每天可售出（20+2x）=60或40件； 经检验，x=20或10都符合题意． ∵为了扩大销售，增加盈利，∴x应取20元． 答：衬衫的单价应下降20元． （2）w=（40﹣x）（20+2x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250 当x=15时，盈利最多为1250元． 24． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴在中，有：，，， 根据旋转的性质有：，，， ，，， ∴是等边三角形， ∴旋转角， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①理由如下： 在中，，， ∴， 同理， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即； ②作于H点，如图3， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵在①中已证明， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴斜边的高线也是斜边的中线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即所求面积为：． 25． 【详解】解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的解析式为：y＝x2+2x； (2)点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4）， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4； 则∠ABO＝45°，故cos∠ABO＝； 对于y＝x2+2x，函数的对称轴为x＝-2，故点M(-2-2)； OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝AC或AC，， 则或，即或，解得：yP＝2或4， 故点P(-2，2)或(0，4)， 故答案为：y＝x+4；(-2-2)；；(-2，2)或(0，4)； (3)△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小， 点A′（4，0）， 设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则，解得， 故直线A′M的表达式为：， 令x＝0，则y＝，故点Q（0，）； (4)存在，理由如下： 设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0）， ①当AC是边时， 点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O）， 即0 ± 6＝m，0 ± 6＝n，解得：m＝n＝±6， 故点N(6，6)或(-6，-6)； ②当AC是对角线时， 由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0， 解得：m＝-2，n＝6， 故点N(-2，6）； 综上，点N的坐标为(6，6)或(-6，-6)或(-2，6)． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $