四川省成都市石室中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

成都石室中学2025-2026学年度上期高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 2. 是方程表示椭圆的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在四面体中，点G是的重心，设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长等于2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为3 7. 已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（ ） A. 面积的最大值为6 B. 的最小值为 C. M的轨迹方程为 D. 的最小值为8 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 元素，，，，其中则下列说法正确的是（ ） A. 中元素个数不定 B. N表示在x轴、y轴上的截距相等的直线时，直线方程为或 C. ，点，则直线： D. 中有两个元素，分别记为，，线段ST中点的轨迹长度为 10. 已知复数z在复平面上对应的点为M，且满足，则（ ） A. B. M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆 C. M到直线的距离的最大值为 D. 一组斜率为的平行线和椭圆相交时，直线被椭圆截得的线段的中点都在直线上 11. 已知球O是棱长为2的正方体的内切球，M是的中点，N是的中点，P是球O的球面上任意一点，正方体表面上动点Q满足，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积的最大值为 B. Q的轨迹长度为 C. 若，则动点P的轨迹长度为 D. 若，则为定角 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则________． 13. 已知圆，椭圆，点M，N分别在圆和椭圆上，则线段长度的最小值为_____. 14. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，，若动点在内及边上运动，使得，则三棱锥的体积最大值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率. 16. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值． 条件①：；条件②：；条件③：平面平面 17. 如图，已知圆，点，P为圆A上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点M （1）过点B的直线m被圆A截得的弦长为，求直线m的方程； （2）求动点M的轨迹方程； （3）设（2）中曲线为C，直线l：与曲线C交于E，F两点，求的面积． 18. 在平行六面体中，，，，． （1）以为空间的一个基底，求平面的一个法向量； （2）求点到平面的距离； （3）动点P满足，且，，当时，求直线与平面所成角的取值范围； 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切． （1）求C的方程； （2）若经过点且倾斜角为的直线n与椭圆C交于M，N两点（其中点M在x轴上方）如图①．将平面沿x轴折叠，使M点折至的位置，且轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图②．求折叠前的周长与折叠后的周长之差的绝对值； （3）直线与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且PQ平分，设直线OP的斜率为（O为坐标原点），判断是否为定值,并说明理由． 成都石室中学2025-2026学年度上期高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】0.1 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1），平均值为1.73； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）证明：选①②：由，，，易知：， 又，，面，则面； 选①③：由，，，易知：. 又面面，面面，面， ∴平面. 选②③：若平面平面，两平面的交线为，且在正方形中， ，所以平面，又平面，故， 所以②③为重复条件，故不符合题意. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 为定值，且，理由如下： 因为直线过定点，则直线与椭圆必相交， 设， 联立方程，消去y得， 则， 由题意可知直线AP，BP的斜率互为相反数， 则， 即， 可得 ， 则， 即， 化简得， 又因为在椭圆上，则，即， 可得， 即， 又因为不在直线， 则，即， 所以为定值，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $