精品解析：山东省德州市乐陵市2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题

2025—2026学年度第一学期期中质量检测八年级 数学试题 一、单项选择题（共10题，共40分） 1. 如图所示图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形两边之和大于第三边 3. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 4. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 下列图形中，是全等图形的是（ ） A. ，，， B. 与 C. ，， D. 与 7. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是线段上一点，、是等边三角形．与交于点，与交于点，与交于点．下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，在中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与，边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（ ）度． A. 30或60 B. 45或60 C. 60 D. 30或45 二、填空题（共6题，共24分） 11. 点关于轴对称点的坐标是______． 12. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是______． 13. 如图，，且，若点，的坐标分别为，，则点的坐标是________． 14. 如图，已知，则的度数为___________． 15. 如图，在中，为的中点，交于点，连接．若，则_________． 16. 如图，已知的面积为18，平分，且于点P，则的面积是____． 三、解答题（共7题，共86分） 17. 一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，求其他两边的长． 18. 如图，，垂足分别为E，F，，求证：． 19. 如图，等腰中，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接并延长，交于点G． （1）求证：； （2）求证：G为的中点． 20. 在中，，，的平分线交于点，如图1． （1）求的度数； （2）作线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点（尺规作图，不写作法） （3）在（2）的条件下，已知，求的长． 21. 小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案： （本题可能用到的知识：直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边的一半） （1）先在池塘外的空地上任取一点，连接，，并分别延长至点，点，使，连接，如图1，求证：； （2）请设计与（1）不同方案，测量，画出图形并直接叙述设计方案； （3）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，，请求出池塘宽度． 22. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别在射线、上． 活动一：如图1所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒． 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答： ；（填“能”或“不能”） （2）设， °． 活动二：如图2所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且． 数学思考： （3）若已经摆放了3根小棒，则 ；（用含的式子表示） （4）若，则最多能放 根小棒． 23. 综合与探究．【问题呈现】（1）如图①，在 和中，，，，连接，，试探究和的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图②，若和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，求的度数； 【拓展运用】（3）如图③，若和均为等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，与交于点，当恰好平分时，试探究与之间的数量关系，请写出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中质量检测八年级 数学试题 一、单项选择题（共10题，共40分） 1. 如图所示图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念，解题的关键是判断图形是否存在一条直线，使直线两旁的部分沿此直线折叠后能完全重合． 根据轴对称图形的定义，逐一分析各选项图形是否存在对称轴． 【详解】轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形 A、图形沿任意直线折叠，两旁部分无法完全重合不是轴对称图形； B、图形存在一条竖直的直线，沿该直线折叠后两旁部分能完全重合是轴对称图形； C、图形沿任意直线折叠，两旁部分无法完全重合不是轴对称图形； D、图形沿任意直线折叠，两旁部分无法完全重合不是轴对称图形． 故选：B． 2. 平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故选：A． 3. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理应用、三角形分类等知识，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．根据三角形内角和定理，结合三角形分类解答即可得到答案． 【详解】解：， 是锐角， 则， 若，，，则是锐角三角形； 若，，，则是直角三角形； 若，，，则是钝角三角形； 综上所述，可以是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形， 故选：D． 4. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作角平分线的尺规作图，先理解题意，观察作图过程得，证明，则，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得， ∴， ∴， 即平分， 故选：B． 5. 如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵的面积是10，若， ∴， ∴， ∴，即点到的距离是4， 故选：C． 6. 下列图形中，是全等图形的是（ ） A. ，，， B. 与 C. ，， D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等图形的定义即可判定． 【详解】能够完全重合的两个平面图形，叫全等图形． 由图可知，与是全等图形． 故选：D． 【点睛】本题考查全等图形的定义，熟知定义并仔细观察图形是解题的关键． 7. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 8. 如图，相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，先证明，得出，即可求出结论． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，点是线段上一点，、是等边三角形．与交于点，与交于点，与交于点．下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是利用等边三角形的边和角的关系证明三角形全等． 证明得，判断①；证明得，结合判断②；利用全等三角形面积相等及角平分线判定定理判断③；证明，得到，通过线段转化分析是否成立判断④． 【详解】解：是等边三角形， ， ， （SAS）， ，故①正确； ， ， 又， ， ， ， 是等边三角形，故②正确； 过点作于于， ， ， ， ， ， ， 平分，故③正确； 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即， 由①知， ， 在和中， ， ， ， ， 故④正确； 综上，①②③④正确，共4个正确， 故选：A． 10. 如图，在中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与，边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（ ）度． A. 30或60 B. 45或60 C. 60 D. 30或45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，，，，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 设， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵ ∴，， ∴， 如图，当时，则， ∵， ∴， 解得， 此时； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 此时； 时，则， 由得，，此方程无解， ∴不成立， 综上所述，或， 故选：． 二、填空题（共6题，共24分） 11. 点关于轴对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标规律，熟练掌握坐标规律是解题的关键．根据关于轴对称的点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是， 故答案为：． 12. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是a，c边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴的度数是． 故答案为：． 13. 如图，，且，若点，的坐标分别为，，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，，可得，，再由，可得，从而得出，可根据全等三角形的判定定理“”证明，则，，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，已知，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，求角的邻补角，根据三角形外角的定义和性质以及邻补角的定义代入求解即可． 【详解】解：， 故答案为： 15. 如图，在中，为的中点，交于点，连接．若，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半，灵活运用上述知识是解题的关键． 根据垂直平分线性质，知，从而求得，利用直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵点为中点，交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8 ． 16. 如图，已知的面积为18，平分，且于点P，则的面积是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，解题的关键在于利用角平分线的性质和垂直的条件．通过延长构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到对应边相等，进而推出，，从而得到． 【详解】如图，延长交于点， 于点， ， 平分， ， 又， ， ， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（共7题，共86分） 17. 一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，求其他两边的长． 【答案】6cm，8cm或7cm，7cm 【解析】 【详解】试题分析：分两种情况进行讨论. 试题解析： 底边长为，则腰长为：，所以另两边的长为 能构成三角形； 腰长为，则底边长为： 底边长为，另一个腰长为 ，能构成三角形. 因此另两边长为或 答：这个等腰三角形的其它两边的长为或 点睛：等腰三角形一定要分类讨论,这个题目就考虑了6是腰或6是底两种情况进行讨论. 18. 如图，，垂足分别为E，F，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴. 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 由得出，再由得，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】略 19. 如图，等腰中，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接并延长，交于点G． （1）求证：； （2）求证：G为的中点． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：根据（1）的结果有：． ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴G为的中点． 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质推出，结合等边三角形的性质，再利用角的和差，即可证明； （2）根据（1）的结论，可得是线段的垂直平分线，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质以及线段垂直平分线的判定是解题的关键． 20. 在中，，，的平分线交于点，如图1． （1）求的度数； （2）作线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点（尺规作图，不写作法） （3）在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求； （3）6 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用直角三角形中角的性质和全等三角形的判定进行推理计算。 （1）利用三角形内角和与角平分线定义求角度； （2）按要求完成尺规作图； （3）由作图知是线段的垂直平分线，求得，再证明，据此求解即可． 【小问1详解】 解：，， ． 平分， ． ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示 ，， ． 平分， ． ． 在中，，， ． ． 由作图可知垂直平分， ，， ． 在和中， ， ， ． 21. 小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案： （本题可能用到的知识：直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边的一半） （1）先在池塘外的空地上任取一点，连接，，并分别延长至点，点，使，连接，如图1，求证：； （2）请设计与（1）不同方案，测量，画出图形并直接叙述设计方案； （3）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，，请求出池塘宽度． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 在池塘外取一点，连接，使得，延长到点使得，，过点作，交延长线于点， 运用角边角可证， 则， ∴测得的长即可求解； （3）池塘宽度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意，运用边角边证明，即可求解； （2）根据全等三角形的性质作图即可； （3）根据题意，延长交于点，由图形可得，则，由直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边的一半得到，再证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴池塘宽度． 22. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别在射线、上． 活动一：如图1所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒． 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答： ；（填“能”或“不能”） （2）设， °． 活动二：如图2所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且． 数学思考： （3）若已经摆放了3根小棒，则 ；（用含的式子表示） （4）若，则最多能放 根小棒． 【答案】（1）能；（2）；（3）；（4）8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键． （1）先根据已知条件小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去． （2）利用等腰直角三角形的性质得到，再由三角形外角的性质得到，由等边对等角得到，据此可得答案； （3）本题需先根据，得出和相等，即可得出的值，同样道理得出、的值； （4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）根据已知条件小棒两端能分别落在两射线上， 小棒能继续摆下去． 故答案为：能； （2），， ， ， ∵， ， ； 故答案为：； （3）， ， ， 同理可得：， ． 故答案为：； （4）由（3）可知，当摆放n根小棒时，， ∵， ∴， ． 即最多能放8根小棒； 故答案为：8． 23. 综合与探究．【问题呈现】（1）如图①，在 和中，，，，连接，，试探究和的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图②，若和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，求的度数； 【拓展运用】（3）如图③，若和均为等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，与交于点，当恰好平分时，试探究与之间的数量关系，请写出证明过程． 【答案】（1）； （2）； （3）解：， 证明：∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）根据等边三角形的性质可得，即可推导，由（1）可知，根据全等三角形的性质可得，由即可确定的度数； （3）根据等腰直角三角形的性质，易得，再结合平分，可得，，进而确定，可推导；然后证明，可得，结合，即可证明． 【详解】解：（1）．证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）∵为等边三角形， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题关键是证明，熟练运用全等三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $