精品解析：山东省泰安市博文中学2025-2026学年上学期12月份阶段性检测九年级数学试卷

山东省泰安市博文中学2025-2026学年12月份阶段性检测九年级上 一、单选题 1. 为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 4. 一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（ ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如，都是“平衡点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，BD、AC相交于点D，，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，是的直径，与相交于点D，，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，连接．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（） A. B. C. D. 14. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A. B. C. D. 15. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）．正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 16. 如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 17. 在中，若，则________． 18. 当时，二次函数有最大值m，最小值n，则的值为__________ 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接．若点E为的中点，则的面积为______． 20. 图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，，若分米，分米，，则______分米． 21. 如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论①，②，③，④四边形为菱形，其中一定正确的是________．（请将正确结论的序号填在横线上）． 22. 如图，排球运动员站在点处练习发球，球从点正上方的处发出，其运行的高度与水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断：①球运行的最大高度是；②球不会过球网；③球会过球网且不会出界；④球会过球网且会出界．其中正确的是___________．（填写序号） 三、解答题 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集为_______； （3）连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 24. 小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（，，，），根据图中信息，解答下列问题： （1）这项被调查的总人数是多少人？ （2）补全条形统计图； （3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率． 25. 某文具店销售一款进价为元/个的篮球，经统计发现，当销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的函数关系． （1）求与的函数关系式； （2）若文具店计划销售该款篮球每日获利元，且尽可能让利于顾客，求该款篮球的销售单价应定为多少元？ （3）该款篮球销售单价定为多少元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 26. 下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内容． 项目主题 测量立柱的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 测量说明 太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且 测量数据 的长 的长 斜坡的坡角的度数 请你借助小明的测量数据，求立柱的高度（结果精确到，参考数据：，，） 27. 如图，在中，，平分交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 28. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积． （3）在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省泰安市博文中学2025-2026学年12月份阶段性检测九年级上 一、单选题 1. 为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》分别记为，画树状图如下： ∴共有6 种等可能的结果，其中恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果有 2 种， ∴选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为， 故选：B． 2. 一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，即可解答． 【详解】解：根据主视图是从正面看：能看到一个长方形，中间看不到的部分，用两条虚线表示， 故选：C． 3. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵反比例函数中，，∴图象位于第二、四象限；且在每个象限内，y随x的增大而增大． 对于A：当时，，∴点不在图象上，故不正确； 对于B：∵，∴图象在第二、四象限，不在第一、三象限，故不正确； 对于C：∵图象在第二、四象限，∴当时，y随x的增大而增大，不是减小，故不正确； 对于D：∵图象在第二、四象限，∴当时， y随x的增大而增大，故正确． 故选D． 4. 一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积求法以及由三视图判断几何体的形状，要注意圆锥的侧面积的计算公式是．根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥．根据已知条件可得圆锥底面半径和母线长，即可求得圆锥的侧面积． 【详解】解：∵一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆， ∴这个几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为2， 因此圆锥的侧面积为． 故选：B． 5. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 6. 已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（ ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与直线的交点问题，关键是把方程的解转化为抛物线与直线的交点问题． 先把一元二次方程的根的情况转化为直线与抛物线的交点问题，再根据抛物线的最大值为，然后结合图形分类讨论即可． 【详解】解：， ， 观察图象得：该函数的最大值为， 当时，， 直线与抛物线没有公共点， 方程无实数根，故甲说法正确； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故乙说法错误； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故丙说法正确； 说法正确的有甲、丙，共2个， 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如，都是“平衡点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，由“平衡点”定义，点满足横纵坐标相等，代入函数解析式得到方程，根据有且只有一个“平衡点”可得判别式为零，求出c的值，进而得到函数解析式，化为顶点式确定顶点坐标．根据二次函数性质，在给定范围上最小值为、最大值为1，确定m的取值范围． 【详解】设点为函数的“平衡点”， 代入得，， 整理得，， ∵有且只有一个“平衡点”， ∴， 解得，， ∴函数 ∴顶点坐标为，开口向下， 当时，， 解得，或， ∵ 当时，函数最小值为，最大值为1， ∴ 最大值1在处取得，故； 最小值在或处取得， ∴ m的取值范围是． 故选：C． 8. 如图，中，，BD、AC相交于点D，，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，可得，可得，由，可求出的长，再由，可得，由此在中可分别求出和的长，进而可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点， 则， ，， ，， ， ， ， ， 又∵， ， ∴，， ，， ， ∴在中，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等相关知识，看到面积或特殊角作垂线是常见的解题思路，也是解题关键． 9. 如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的计算，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．先根据直角三角形的性质，求出、和的关系，再根据，求出和的关系，最后根据正切函数的定义即可求出的值． 【详解】解：在中，，， ，． ， ， ， 即的值为． 故选：A． 10. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即可得到答案． 【详解】解：当时，设 将，两点代入得， 解得， 于是， 当时，， 当时，设，将代入得：， 于是， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题． 故选：C． 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了“菱形的性质”“反比例函数上的点坐标特征”“坐标系中两点之间的距离”，通过图形性质找到点坐标之间的关系是解题关键． 根据点A在反比例函数上，利用横坐标得到点A的坐标，再计算得到的值，根据菱形的性质，推出，，从而得到点B的坐标． 【详解】解：代入，得， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 由题意，得在x轴上， ∴轴， ， ∴．   故选：B ． 12. 如图，是的直径，与相交于点D，，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，连接．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的一半，垂径定理，直径所对的圆周角为，等腰三角形的性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 由垂径定理，得到，，故①③正确，证明，故②正确，推导出，得到，继而证明，得到，则，故④正确，即可解答． 【详解】解：∵是的直径，与相交于点D，， ∴， ∴，故①③正确， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，①②③④全部正确． 故选D． 13. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动， ∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒． 由题意得，当0≤t≤2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t，BQ=2t， ，为开口向上的抛物线的一部分． 当2＜t≤4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t，AP上的高为4， ，为直线（一次函数）的一部分． 观察所给图象，符合条件的为选项D．故选D． 14. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，结合一次函数和二次函数的图象性质，从系数的符号，特殊点、对称轴等方面逐项分析即可． 【详解】解：A、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数：开口向上，说明，的符号矛盾，A选项错误； B、选项一次函数从左到右上升，说明，二次函数对称轴：因为，但图中抛物线对称轴在轴左侧，矛盾，B选项错误； C、选项一次函数从左到右上升，说明，与x轴交点为，符合一次函数的性质，二次函数开口向上，说明，对称轴，与图中抛物线对称轴在轴右侧一致，判别式：，若且抛物线与轴有两个交点，则，，即，是合理的，所有性质均一致，C选项正确； D、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数开口向下，说明，一次函数与轴交点应为，但图中直线与轴交点不是，矛盾，D选项错误． 故选：C． 15. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）．正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数图象与二次函数系数之间的关系是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：开口方向向下，与轴交于正半轴， 即，， 由图象可知：二次函数的对称轴在轴的正半轴， ， ∴ ∵， ， ，故选项①正确； ②观察函数，得出对称轴为直线， 则， ∴， ∴， 故选项②正确； ③观察函数，得出当时，函数值为正数，即函数值大于0， ∵对称轴为直线， ∴由二次函数的对称性知，当时，函数值大于0， 即，故选项③正确； ④观察函数，得出当时，函数值为负数，即函数值小于0， ∵对称轴为直线， ∴由二次函数的对称性知，当时，函数值小于0，， ∵， ∴把代入得，得，故选项④正确； ⑤观察函数，当时，的值最大．此时， 而当时，， ∴， 故， 即，故选项⑤错误． 故①②③④符合题意． 故选：C． 16. 如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取格点，连额吉，不妨设小菱形的边长为1，先证明是的中位线，得到，接着利用菱形的性质，证明为等腰三角形，为等边三角形，接着证明为直角，过点作于点，利用勾股定理求得，最后求得答案． 【详解】解：取格点，连接，设小菱形的边长为1，如图所示： ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵菱形的一个内角为， ∴， ∵， ∴， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 二、填空题 17. 在中，若，则________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴ 故答案为：． 18. 当时，二次函数有最大值m，最小值n，则的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时，二次函数有最大值m，最小值n， ∴，， ∴， 故答案为：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接．若点E为的中点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，设点坐标根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键． 设，根据题意表示出点，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图像经过矩形的顶点， 设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为，代入反比例函数解析式得， 点横坐标为， 点横坐标为代入反比例函数解析式，， ， ， 故答案为：． 20. 图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，，若分米，分米，，则______分米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，合理的构造直角三角形进行求解是解题的关键． 延长交l于点G，易得，则，设为，则，，那么可得的余弦值，根据的余弦值列出方程求得x的值，即可求得的长即可． 【详解】解：延长交l于点G， ，，， ， ，， ， ， ， ， 设为，则， ， ， 分米，分米， ， 解得：， 分米， 故答案为：． 21. 如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论①，②，③，④四边形为菱形，其中一定正确的是________．（请将正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质，根据全等三角形的判定定理证明，证明即可证明四边形为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，如图： 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，故①结论正确； ∵ ∴， ， ， ∴四边形为菱形，故④结论正确； ∵， ， ∵四边形为菱形， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， 故②结论正确； 设， ∴， ∴， ∴， ∴与不一定相等，故③结论不一定正确； 综上所述：正确结论有①②④． 故答案为：①②④． 22. 如图，排球运动员站在点处练习发球，球从点正上方的处发出，其运行的高度与水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断：①球运行的最大高度是；②球不会过球网；③球会过球网且不会出界；④球会过球网且会出界．其中正确的是___________．（填写序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，理解题意根据题意列式是解题的关键； 根据顶点式的特点可知，排球运行的最大高度为，由此即可判断①；求出当时，的值，再与进行比较，即可判断②；求出当时，的值，再与比较，即可判断③、④． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故①正确； ∵在中，当时，， ∴球会过球网，故②错误； ∵在中，当时，， ∴球会过球网且会出界，故③错误；④正确； 故答案为：①④． 三、解答题 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集为_______； （3）连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，根据三角形面积计算公式可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴交于点， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， ∵， ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 24. 小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（，，，），根据图中信息，解答下列问题： （1）这项被调查的总人数是多少人？ （2）补全条形统计图； （3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率． 【答案】（1）50人 （2）如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查了树状图、条形统计图的综合运用，熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用B的人数除以其所占的百分比则可得出总人数； （2）用总人数减去其他三组的人数即可得出C组的人数，补全条形图即可； （3）利用树状图的方法列举出所有可能的情况，然后找出选中甲的情况数，结合概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由B组人数19人，占比， ∴总人数：（人）． 【小问2详解】 解：∵A组15人，B组19人，D组4人， ∴C组人数：（人）． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 总共有12种等可能结果，其中包含甲的有6种， ∴概率为． 25. 某文具店销售一款进价为元/个的篮球，经统计发现，当销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的函数关系． （1）求与的函数关系式； （2）若文具店计划销售该款篮球每日获利元，且尽可能让利于顾客，求该款篮球的销售单价应定为多少元？ （3）该款篮球销售单价定为多少元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该款篮球的销售单价应定60元 （3）该款篮球销售单价定为元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是多800元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题． （1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式； （2）设当天玩具的销售单价是元，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求出答案； （3）设文具店所获日销售利润为，根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案． 【小问1详解】 解：由图可知，设一次函数的解析式为， 把点和点代入，得 ，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设该款篮球的销售单价应定为元，根据题意得， ， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴该款篮球的销售单价应定60元； 【小问3详解】 解：设文具店所获日销售利润为，根据题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为800； ∴该款篮球销售单价定为元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是800元． 26. 下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内容． 项目主题 测量立柱的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 测量说明 太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且 测量数据 的长 的长 斜坡的坡角的度数 请你借助小明的测量数据，求立柱的高度（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 本题过点D作于G，于H，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，进而求出，根据正切的定义求出，进而求出； 【详解】解：如图，过点D作于G，于H， ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 答：立柱的高度约为； 27. 如图，在中，，平分交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定、平行线的判定与性质、勾股定理的应用、矩形的判定与性质和垂径定理的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）连接，由，则，再根据角平分线的定义得，从而有，证明进而即可求证； （2）连接交于点，连接，则可证明四边形都是矩形，设的半径为r，结合垂径定理和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， 在中，由， 可得， 解得， ∴的半径为． 28. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积． （3）在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），最大面积 （3）存在，，，， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件将点B、C代入抛物线中，解得抛物线的解析式； （2）先求出点A的坐标和直线的解析式，设点P的坐标为，把的面积转化为，得到关于x的新的二次函数表达式，根据二次函数的性质，求出面积最大值，进而得到P点坐标； （3）设，，分两种情况讨论： ①当点P在x轴上方：过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标； ②当点P在x轴下方（或）：过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标，综上所述，得到所有满足条件的P点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A与关于直线对称， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为， 如图，过点P作轴交于点D，则点D的坐标为， ∴， ∴， 对于二次函数，其中，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， ∵对称轴为， ∴当时，有最大值为， 将代入得：， 即当点P坐标为时，的面积最大，最大面积为． 【小问3详解】 解：设，， ①当点P在x轴上方时，， 过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），，（舍）， ∴，； ②当点P在x轴下方时，或， 如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），（舍），， ∴，， 综上所述，点P的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，包括求抛物线解析式、求抛物线对称轴及最值等，利用三角形面积公式的和差关系求解，全等三角形的判定与性质及绝对值方程的求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $