专题 5.7 二元一次方程组全章复习（7个考点19类题型 ）- 2025-2026学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.7 二元一次方程组全章复习（7大考点19类题型 ） 目录 一.基础篇 1 考点一：二元一次方程（组）定义 1 【★题型1】二元一次方程（组）定义 1 【★题型2】利用二元一次方程（组）定义求参数 3 考点二：二元一次方程组的解法 5 【★题型3】二元一次方程组的解法辨析 5 【★题型4】二元一次方程组的解法——代入法 7 【★题型5】二元一次方程组的解法——加减法 9 考点三：列二元一次方程组 11 【★题型6】列二元一次方程组 11 考点四：二元一次方程组与一次函数 13 【★题型7】待定系数法求一次函数解析式 13 【★题型8】两直线交点与二元一次方程组的解 14 二培优篇 17 考点五：二元一次方程组的特殊解法 17 【★★题型9】整体思想解二元一次方程组 17 【★题型10】构造二元一次方程组求解 19 【★题型11】二元一次方程组的错解复原求解 22 【★题型12】二元一次方程组的同解原理 24 考点六：二元一次方程组的应用 27 【★★题型13】工程问题与行程问题 27 【★★题型14】营销与利润问题 29 【★★题型15】古代问题 32 【★★题型16】分配与方案问题 34 考点七：一次函数与二元一次方程组 36 【★★题型17】一次函数与面积问题 36 【★★题型18】一次函数与几何问题 41 【★★题型19】一次函数与最大利润问题 46 一.基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 考点一：二元一次方程（组）定义 【★题型1】二元一次方程（组）定义 【例题 1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程．根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程），逐一判断各选项，即可作答． 解：A、的次数为二次，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C、是二元一次方程，故该选项符合题意； D、只有一个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义． 根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是一次方程），逐一判断各选项． 解：选项A中第一个方程含有项，为二次方程，不符合一次方程定义； 选项B中第一个方程左边为二次，不符合一次方程定义； 选项C中含有三个未知数a、b、c，不符合两个未知数的定义； 选项D中只含两个未知数m、n，且每个方程均为一次方程； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·四川乐山·期中）写出一个以为解的二元一次方程组： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查构造二元一次方程组，根据二元一次方程组的解，进行构造即可． 解：由题意，可以构造的方程组为： ； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（25-26八年级上·山东济南·期中）已知方程是二元一次方程，则“”可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，方程是二元一次方程，需满足两个条件：有两个未知数，且每个未知项的次数均为． 解：∵ 方程 是二元一次方程， 方程必须含有两个不同的未知数，且每个未知项的次数为 A选项：若为 ，则方程为 ，即 ，只含一个未知数，是一元一次方程，故A选项不符合题意； B选项：若为 ，则方程为 ，含两个未知数 和 ，且未知项的次数均为，是二元一次方程，故B选项符合题意； C选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是二元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：B． 【★题型2】利用二元一次方程（组）定义求参数 【例题2】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（　　） A．4，1 B．5，1 C．3， D．5，2 【答案】B 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意把代入②中，得到，把，代入①中，计算即可． 解： ， 把代入②中，得， 解得， 把，代入①中，得， ∴被遮盖的两个数分别为5，1． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将代入方程组求出的值，再代入计算即可得． 解：∵是关于的二元一次方程组的一组解， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数求值等，解题的关键是掌握二元一次方程的解的定义． 根据二元一次方程的解表示出，通过变形代入求值即可． 解：将代入得，， ∴， 即，代入得， ， 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·月考）方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程叫二元一次方程，根据定义可得：，，，求出、，即可解答． 解：方程是关于x，y的二元一次方程， ，，， 解得，， 或． 故答案为：或． 考点二：二元一次方程组的解法 【★题型3】二元一次方程组的解法辨析 【例题3】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）把方程组中的方程①或方程②改写成用含x的式子表示y的形式，下列改写正确的是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】B 【分析】此题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 把x看作已知数求出y即可． 解：方程①：， ∴，故A错误，B正确； 方程②：， ，故C，D错误． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·河北邢台·期末）把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，解题的关键是将看作已知数求出即可． 解：， 解得：． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将① B．要消去，可以将①② C．要消去，可以将①② D．要消去，可以将①② 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．利用加减消元法判断即可． 解：利用加减消元法解方程组， 要消元y，可以将①②； 要消去x，可以将①②， 故选C． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去y，可以将 B．要消去y，可以将 C．要消去x，可以将 D．要消去x，可以将 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．观察方程组中x与y的系数特点，利用加减消元法判断即可． 解：A、①②，的系数为，无法消去，故A选项不正确； B、，的系数为，可以消去，故B选项正确； C、①②，的系数为，无法消去，故C选项不正确； D、①②，的系数为，无法消去，故D选项不正确． 故选：B． 【★题型4】二元一次方程组的解法——代入法 【例题4】（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将代入求出，再将代入求解即可； （2）将变形为，将代入求出，再将代入求解即可． 解：（1）解：将代入， 得解得 ， 将代入，   得 方程的解为 （2）解：将乘以2得到， 移项得 将代入， 得， 所以， 将代入得 方程的解为 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法，是解题的关键． （1）由①得③，再把③代入②求出，最后把代入③得出，即可得出答案； （2）由②得③，将③代入①求出，将代入②求出，即可得出答案． 解：（1）解：， 由①得：③， 将③代入②得：， 解得：． 将代入③得：， 所以原方程组的解是； （2）解：， 由②得：③， 将③代入①得：， 解得， 将代入②得：， 所以原方程组的解是． 【变式2】（23-24七年级下·浙江台州·期末）解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法是解决问题的关键． （1）利用代入消元法解答即可； （2）利用代入消元法解答即可． 解：（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 所以原方程组的解为； （2）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 【★题型5】二元一次方程组的解法——加减法 【例题5】（24-25八年级上·四川成都·期中）解方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键； （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 解：（1）解：， ，得：，解得； 把代入①，得，解得； 故； （2）， ，得，解得； 把代入①，得，解得； 故． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）用加减法解下列方程组． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟记加减消元法解二元一次方程组方法步骤是解决问题的关键． （1）由加减消元法求解即可得到答案； （2）由加减消元法求解即可得到答案． 解：（1）解：， 由①②得， 解得； 把代入①得， 解得； 原方程组的解为； （2）解：， 由①②得， 解得； 把代入①得， 解得， 原方程组的解为． 【变式2】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用加减消元法求出解即可； （2）利用加减消元法求出解即可． 解：（1）解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． （2）解： 得：， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 考点三：列二元一次方程组 【★题型6】列二元一次方程组 【例题6】（23-24七年级下·海南海口·期末）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何”题目大意是：甲、乙两人各带着若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键．根据题意，甲得到乙一半钱后共有50元，即；乙得到甲三分之二钱后共有50元，即，据此即可解答． 解：设甲、乙两人持钱的数量分别为，， 依题意得，， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·四川·期中）小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小刚乘车的路程和步行的路程分别为x和y，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找准等量关系是解题的关键． 根据总路程为可得；根据总时间为2小时，利用时间=路程/速度，可得乘车时间与步行时间之和为2． 解：∵ 总路程为， ∴ ； ∵ 总时间为，且时间=路程速度， ∴ 乘车时间，步行时间， ∴， 故方程组正确为． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期末）2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据面包总数为1000份，灾民人数为300位，列方程组即可． 解：设成人有x人，小孩有y人， 由题意可得，， 故选：A． 考点四：二元一次方程组与一次函数 【★题型7】待定系数法求一次函数解析式 【例题7】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数的图象经过点和，求这个函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，设一次函数解析式为，把点和点代入即可求出k、b的值，进而得出函数解析式． 解：设一次函数解析式为， 把点和点代入得： ， 解得， ∴一次函数解析式为． 【变式1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）已知一次函数的图象经过点和点，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．运用待定系数法求解，设这个一次函数的解析式为，将点和点代入，求出k，b的值，即可解答． 解：设这个一次函数的解析式为， ∵该函数图象经过点和点， ∴，解得， ∴这个一次函数的解析式为． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数中，当时，；当时，，求一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解一次函数的解析式，根据题意设一次函数的表达式为，利用待定系数法求解函数的解析式即可． 解：设一次函数的表达式为， 当时，，当时，， ，解得 一次函数解析式为：． 【★题型8】两直线交点与二元一次方程组的解 【例题8】（24-25八年级上·广东茂名·期末）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线分别交y轴，x轴于A，B两点，直线分别交y轴，x轴于C，D两点，直线，相交于P点． （1）方程组的解是______； （2）求直线，与x轴围成的三角形面积； 【答案】（1）；（2）直线，与x轴围成的三角形面积为 【分析】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键， （1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出A、C两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得. 解：（1）解：∵直线与直线相交于点， ∴方程组的解是； （2）解：当时，， 解得：， ， 当时，， 解得：， ， ， ∴直线，与x轴围成的三角形面积． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，求两条直线的交点坐标，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．分别求出直线经过点和点时对应的值，即可得出答案． 解：把代入得：， ∴， 联立， 解得 ∴点的坐标为， 当直线经过点，则， 解得， 当直线经过点，则， 解得：， ∵直线与线段有交点， ∴的取值范围为或． 故选：D． 二培优篇 考点五：二元一次方程组的特殊解法 【★★题型9】整体思想解二元一次方程组 【例题9】（25-26七年级上·全国·课后作业）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． （1）按照小云的方法，求出的值； （2）老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查解二元一次方程组， （1）联立①③得：，求出方程组的解即可； （2）由得：，将③整体代入计算即可求出的值． 解：（1）解：联立①③得：， 由整理得，解得 将代入③得：， 解得：， ． （2）解：， 由得：， 则， ∵ ∴ 则， ． 【变式1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，得，根据得到，即可求出﹒ 解： 得， ∵， ∴， 解得﹒ 故答案为：2 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代入”法解方程组 （2）已知满足方程组，求的值． 【答案】（1）；（2）17 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）将方程②变形，得，利用整体代入法进行求解即可； （2）利用加减消元法，消去，整体思想，求出的值即可． 解：（1）解： 将方程②变形，得， 即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得， 方程组的解为 （2） ，得，即， ． 【★题型10】构造二元一次方程组求解 【例题10】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据二元一次方程要求两个未知项的指数均为，因此需使的指数，的指数，解方程组即可． 解： 方程是二元一次方程， 的指数，的指数， 解方程组， 可得：． 故选：A． 【变式1】（2020九年级·全国·竞赛）已知m，n是有理数，且，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，能够结合有理数加减后仍是有理数这一性质列出二元一次方程组是解题关键． 化简题目中方程可得，根据m，n是有理数，可知，列方程求解即可求出m，n的值． 解： ， ， ， m，n是有理数， ， 解得． 故答案为：；． 【变式2】（24-25八年级上·安徽宿州·月考）若点关于轴的对称点为点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系的点关于x轴对称的点的特点，“关于x轴对称，横同纵反”，还考查了二元一次方程组的解法，灵活掌握运用这些知识点是解题的关键． 根据题意可知点P和点关于轴对称，“横同纵反”，可以得到关于a和b的方程组，解出a和b，可求得点P的坐标． 解：∵点和点关于轴对称， ∴， 解得， ∴点P的坐标为， ∴点P的坐标为， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）在等式中，当时，；当时，． （1）求k、b的值； （2）当时，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程．解题关键是掌握消元的思想． （1）将x与y的两对值代入等式得到关于k与b的方程组，求出方程组的解即可得到k与b的值． （2）由（1）中结果可得x，y的关系式，把代入解方程即得x值． 解：（1）解：∵中，当时，；当时，， ∴， 解得：， （2）解：由（1）知，， ∴， ∴当时，， 解得． 【★题型11】二元一次方程组的错解复原求解 【例题11】（25-26八年级上·广东深圳·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组的错解复原问题，根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此求出a、b的值，再利用加减消元法解原方程组即可得到答案． 解：∵甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得， ∴， ∴， ∴原方程组为 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 【变式1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值代入组成方程组求解即可． 解：根据题意可知，将代入， 得， 解得：， 将代入， 得， 解得：， 将，代入原方程组， 得， 解得：， ∴原方程组正确的解是． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了考查了解二元一次方程组，根据题意可得和都是方程的解，据此可得，解方程组即可得到答案． 解：∵李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·贵州·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得到方程组的解为，乙看错了方程组中的，而得到方程组的解为． （1）求出和的值； （2）求出原方程组的正确解． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． （1）把代入②可解得正确的b，把代入①可解得正确的a； （2）把，代入得，利用加减消元法求解即可． 解：（1）解： 把代入②得， 解得； 把代入①得 ， 解得：； （2）把，代入得 得， 把代入③得 ∴原解方程组的解为． 【★题型12】二元一次方程组的同解原理 【例题12】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，先求出方程 的解，再把代入得，然后解方程即可，理解方程解的定义，能正确解一元一次方程是解题的关键． 解：， ， ， ， ， ∵关于的方程和的解相同， ∴将代入方程得， ， ， ， ， ， 解得， ∴的值为． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·月考）已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组问题，解题关键是根据两个方程组的解相同，列出新的方程组进行求解．把两个方程组中不含字母系数的方程组成方程组，求出未知数x和y的值，再代入另一组含有字母系数的方程组成的方程组，求出a和b的值，最后代入代数式求值即可． 解：由题意得，， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴该方程组的解为， 把代入， 得， ③④，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）已知关于、的二元一次方程组和的解相同，则的算术平方根的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程组，求解算术平方根，由题意可得，再解方程组可得，再代入另外两个方程求出m、n的值即可得到答案． 解：由题意可得：， ②①得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：， ∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同， ∴，即， ∴， ∴的算术平方根的值为； 故答案为：． 考点六：二元一次方程组的应用 【★★题型13】工程问题与行程问题 【例题13】（2025·陕西·模拟预测）一位俄罗斯外国朋友计划来中国旅行，体验中华优秀传统文化，感悟非遗魅力．他计划搭乘飞机前往中国．已知这趟国际飞机往返于A，B两城，顺风飞行需要2小时20分钟，逆风飞行需要2小时40分钟，当天天气状况一般，风速为每小时42千米．试求A，B两城之间的距离． 【答案】1568千米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设两城之间的距离为x千米，飞机的飞行速度为y千米/小时，根据路程、时间、飞行速度、风速的关系列二元一次方程组，解方程组即可． 解：2小时40分钟小时，2小时20分钟小时， 设两城之间的距离为x千米，无风时飞机的飞行速度为y千米/小时， 由题意得， 解得． 故A，B两城之间的距离为1568千米． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． （1）请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ （2）若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 【答案】（1）起步价5元，每千米1.5元；（2）31千米 【分析】此题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析等量关系． （1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，根据题意得到关于x、y的方程组，解方程组即可得； （2）设他这次乘车走了m千米，根据题意列出方程求解即可． 解：（1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，由题意得： ， 解得：， 答：出租车的起步价是5元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元； （2）设他这次乘车走了m千米 根据题意得， 解得 答：他这次乘车走了31千米． 【变式2】（24-25七年级下·新疆昌吉·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． （1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ （2）已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【答案】（1）1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨；（2）学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆 【分析】本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键． （1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可； （2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可． 解：（1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 【★★题型14】营销与利润问题 【例题14】（25-26八年级上·四川成都·期中）某水果经营商从水果批发市场批发了苹果和梨共千克到市场销售，苹果和梨当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 苹果 梨 批发价（元/千克） 零售价（元/千克） （1）若批发苹果和梨共花费元，则苹果和梨各多少千克？ （2）设批发了苹果千克，卖完这批苹果和梨的利润是元，求与的函数关系式． 【答案】（1）苹果千克，梨千克；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列函数关系式； （1）设苹果批发千克，梨批发千克．根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设批发了苹果千克，梨的重量为千克，根据题意列出函数关系式，即可求解． 解：（1）解：设苹果批发千克，梨批发千克． 由题意得方程组： 解得： 答：苹果20千克，梨40千克． （2）解：苹果每千克利润为元，梨每千克利润为元． 设批发了苹果千克，梨的重量为千克． 利润． 所以W与x的函数关系式为：． 【变式1】某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． （1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ （2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），该同学只带了400元钱，他能否在这两家超市都可以买下看中的这两样商品？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 【答案】（1）该同学看中的随身听单价是360元，书包单价是92元；（2）在这两家超市都可以买下看中的这两样商品，且在A超市购买比较省钱 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用以及最优化方案问题，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设该同学看中的随身听单价是元，书包单价是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案； （2）结合题意分别计算在超市A、超市B买下看中的这两样商品所需费用，即可获得答案． 解：（1）解：设该同学看中的随身听单价是元，书包单价是元， 根据题意，可得，解得， 答：设该同学看中的随身听单价是360元，书包单价是92元； （2）解：根据题意，在超市A买下看中的这两样商品，费用为（元）， 在超市B买下看中的这两样商品，可有， （元）， 因为都不过400元， 所以在这两家超市都可以买下看中的这两样商品， 由于， 所以在A超市购买比较省钱． 【变式2】（25-26八年级上·广东广州·月考）美丽服装店按进价购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 （1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数； （2）如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？ 【答案】（1）A种服装购进15件，B种服装购进10件；（2）美丽服装店一共可获利880元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及利润的计算，熟练掌握二元一次方程组的解法和利润的计算公式是解题的关键． （1）设A种服装购进件，B种服装购进件，根据数量关系和总价关系列出二元一次方程组求解． （2）先算出A、B两种服装各自的利润，A按标价出售，利润是标价减进价，B按标价8折出售，利润是售价减进价，然后将两者利润相加． 解：（1）解：设A种服装购进件，B种服装购进件， ， 由可得， 将代入， 得， ， ， ， 则． 答：A种服装购进15件，B种服装购进10件． （2）解：A种服装每件利润：（元）， 共15件，利润为（元）， B种服装标价160元，8折后的售价：（元）， 每件利润：（元）， 共10件，利润为（元）， 总利润：（元）． 答：美丽服装店一共可获利880元． 【★★题型15】古代问题 【例题15】（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 【答案】绳长尺，竿长尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 解：设绳长尺，竿长尺， 根据题意得： 解得： 答：绳长尺，竿长尺． 【变式2】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我问旅店店主李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房． （1）该店客房有多少间？房客有多少人？ （2）假设旅店店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费200钱，且每间客房最多住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按八折优惠．若诗中众客再次一起入住，他们如何订房比较合算？ 【答案】（1）该店客房有间，房客有人；（2）他们再次入住定间房时更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． （1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得出方程组，解方程组即可； （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房18间，求出所需付费，进行比较， 解：（1）解：（1）设客房有x间，房客有y人， 根据题意可得：， 解得： 答：该店客房有8间，房客有63人． （2）如果每4人一个房间，需要，需要16间客房，总费用为（钱）， 如果定18间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用（钱）3200钱， 所以他们再次入住定18间房时更合算． 答：他们再次入住定18间房时更合算． 【★★题型16】分配与方案问题 【例题16】（2025八年级上·全国·专题练习）根据题意列方程组：将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ （1）这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? （2）设有图书x本，学生有y人，由此你能得到怎么样的方程组？ 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是从分书情境中找出图书数量与学生人数之间的等量关系． （1）找出情境中的量，结合分书的两种分配方式梳理等量关系； （2）根据设出的未知数，对应等量关系列出方程． 解：（1）解：涉及的量是图书的本数、学生的人数； 等量关系为：图书数学生数；图书数学生数 （2）解：∵图书有本，学生有人， 由“每人分6本，剩40本”得：； 由“每人分8本，缺50本”得：． ∴． 【变式1】中国-中亚峰会在西安成功举办，是千年古都的光荣使命、千万市民的骄傲与自豪．某校开展了以“美丽西安，我为家乡代言”为主题的演讲活动，计划拿出2000元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件100元，问该校共有多少种购买方案？ 【答案】该校共有3种购买方案：①购买6件甲种奖品，5件乙种奖品；②购买4件甲种奖品，10件乙种奖品；③购买2件甲种奖品，15件乙种奖品 【分析】设该校购买件甲种奖品，件乙种奖品，列出二元一次方程，求方程的整数解即可得到方案． 本题考查了二元一次方程的应用，正确求得方程的整数解是解题的关键． 解：设该校购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， . 又，均为正整数， 或或 该校共有3种购买方案： ①购买6件甲种奖品，5件乙种奖品； ②购买4件甲种奖品，10件乙种奖品； ③购买2件甲种奖品，15件乙种奖品． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． （1）现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； （2）工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】（1）能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒；（2）分配60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出题目蕴含的等量关系，列出方程或方程组解决问题． （1）设能做成的型盒有个，型盒子有个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出方程组； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由一个竖式纸盒与一个横式纸盒需要正方形纸板3个，长方形纸板7个，也就是正方形纸板的数量是长方形纸板数量的，由此列出方程解答即可． 解：（1）解：设能做成个竖式纸盒，个横式纸盒， 根据题意，得， 解得， 答：能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒． （2）解：设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由题意得， ， 解得， ， 答：分配60个工人生产长方形纸板，则18个工人生产正方形纸板． 考点七：一次函数与二元一次方程组 【★★题型17】一次函数与面积问题 【例题17】（25-26八年级上·山西晋中·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”： 令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为________； （2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①求出点A和点B的坐标． ②若P点为x轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；；（3）①，；②或 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）①先根据题意可得，再求出点A、B的坐标即可； ②先求出，设，得出，根据，得出，求出t的值，即可得出答案． 解：（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立 解得， 一次函数的“不动点”为； （2）解：∵一次函数的“不动点”为， ∴， ∴， ∴“不动点”为， ∴， 解得：； （3）解：①∵直线上没有“不动点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∴，； ②， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点拨】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线与直线交于点，直线的解析式为，直线的解析式为，点为直线上的点，且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的性质以及一次函数与坐标轴围成的三角形面积问题，注意分类讨论是解题关键． 根据一次函数的性质求出交点，，结合题意，设点，分三种情况分析：当点D在线段上时，当点D在的延长线上时，当点D在的延长线上时，结合图形，列出方程求解即可． 解：∵ 直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，解得：， ∴； ，当时，， ，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点， 当点D在线段上时，如图所示： ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点D在的延长线上时，如图所示： ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点D在的延长线上时，不符合题意； 综上可得：点的坐标为或， 故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． （1）填空： ， ； （2）求的面积； （3）在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3，6；（2）50；（3）存在， 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积； （3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标． 解：（1）解：是一次函数与的图象的交点， ， 解得， ， 解得， 故答案为：3，6； （2）解：由（1）可知，， 当时，，解得，，即， 当时，，解得，，即， ， ， 的面积为50； （3）解：的面积与四边形的面积比为，， ， 当时，，即， 设，则， ，解得，， ， 存在，且 【★★题型18】一次函数与几何问题 【例题18】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在等腰三角形中，，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，且点在该函数图象上． （1）求该一次函数的表达式； （2）求点的坐标； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了一次函数的表达式求解、点的坐标确定及四边形面积计算，解题的关键是结合一次函数性质与等腰三角形性质分析线段和面积关系． （1）将、代入，列方程求出、，得一次函数表达式； （2）在一次函数中令，计算得点坐标； （3）作轴，用等腰三角形性质求，再将四边形面积拆分为与的面积和，计算得结果． 解：（1）解：点在该函数图象上， ，， 解得， 该一次函数的表达式为； （2）当时，，解得， 点； （3）如图，过点作于点， 则点的坐标为． ， ，即， ． 四边形的面积． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． （1）求一次函数解析式； （2）一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）；（2）P点的坐标或；；（3）或或或 【分析】（1）先将代入，求出点A的坐标，再由待定系数法即可求解； （2）先求出点D的坐标，得出，再由，即可求解； （3）设点，得出，，，分三种情况：当时，当时， 当时，分别列出方程，求出结果即可． 解：（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴可有， 解得， ∴A点的坐标； ∵一次函数的图象过点和点， 则有， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：存在，理由如下： 对于一次函数，令， 则有， 解得， ∴点， ∴， 设点， 根据题意可知：， 解得， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴P点的坐标或； （3）解：设点， 则， ， ， 当时，，则： ， 解得：或（舍去）， 此时点Q的坐标为； 当时，，则： ， 解得：或， 此时点Q的坐标为或； 当时，，则： ， 解得：， 此时点Q的坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为：或或或． 【点拨】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题，注意进行分类讨论． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）几何直观 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形叫作这个一次函数的坐标三角形．如下图，一次函数的图象与x轴y轴分别交于点E，F，则为此函数的坐标三角形． 求： （1）该函数的坐标三角形的三条边长． （2）的面积． （3）原点O到直线的距离． 【答案】（1）三条边长分别为6，8，10；（2）的面积为24；（3） 【分析】（1）利用一次函数图象与坐标轴的交点特征可求出点的坐标，进而可得的长，再利用勾股定理求出即可； （2）直接利用三角形的面积公式计算； （3）过点O作于点M，再利用等面积法求出斜边上的高即可． 解：（1）解：当时，， ∴点F的坐标为， ∴． 当时，，解得， ∴点E的坐标为， ∴， 在中， ∴， ∴函数的坐标三角形的三条边长分别为6，8，10． （2）解：∵， ∴， ∴的面积为24． （3）解：过点O作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∴原点O到直线的距离是． 【点拨】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理以及等面积法求线段长等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【★★题型19】一次函数与最大利润问题 【例题19】（2022·浙江温州·一模）某商场用60个A型包装袋与90个B型包装袋对甲，乙两类农产品进行包装出售（两种型号包装袋都用完），每个A型包装袋装2千克甲类农产品或装3千克乙类农产品，每个B型包装袋装3千克甲类农产品或装5千克乙类农产品，设有x个A型包装袋包装甲类农产品，有y个B型包装袋包装甲类农产品． （1）请用含x或y的代数式填空完成下表： 包装袋型号 A B 甲类农产品质量（千克） _________ 乙类农产品质量（千克） _______ （2）若甲、乙两类农产品的总质量分别是260千克与210千克，求x，y的值． （3）若用于包装甲类农产品的B型包装袋数量是用于包装甲类农产品的A型包装袋数量的两倍，且它们数量之和不少于90个，记甲、乙两类农产品的总质量之和为m千克，求m的最小值与最大值． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）m的最大值为480，最小值为405 【分析】（1）根据题意填表即可； （2）根据（1）所求结合甲、乙两类农产品的总质量分别是260千克与210千克，列出方程求解即可； （3）设用于包装甲类农产品的A型包装袋数量为n，则用于包装甲类农产品的B型包装袋数量为2n，然后求出，， 解：（1）解：由题意可以填表如下： 包装袋型号 A B 甲类农产品质量（千克） 乙类农产品质量（千克） （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：设用于包装甲类农产品的A型包装袋数量为n，则用于包装甲类农产品的B型包装袋数量为2n， ∵用于包装甲类农产品的A、B型包装袋的数量之和不少于90个， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，m随n增大而减小， ∴当n=45时，m有小值405，当n=30时，m有最大值480， ∴m的最大值为480，最小值为405 【点拨】本题主要考查了列代数式，二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出式子是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·江西鹰潭·期末）某文具店销售甲、乙两种圆规，当销售5只甲种、1只乙种圆规，可获利润25元；当销售6只甲种、3只乙种圆规，可获利润39元． （1）问该文具店销售甲、乙两种圆规，每只的利润分别是多少元？ （2）在（1）中，文具店共进货甲、乙两种圆规50只并全部销售完，已知甲种圆规至少能销售30只，请判断文具店如何进货才有最大利润，并求出利润的最大值． 【答案】（1）该文具店销售甲种圆规每只的利润为4元，销售乙种圆规每只的利润为5元；（2）进甲种圆规进30只，则乙种圆规进20只． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，理解题意确定相等关系是解本题的关键； （1）设销售甲种圆规的利润为x元/只，销售乙种圆规的利润为y元/只，根据“当销售5只甲种、1只乙种圆规，可获利润25元；当销售6只甲种、3只乙种圆规，可获利润39元”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲种圆规进只，则乙种圆规进只，利润为元，再建立一次函数，利用一次函数的性质解答即可． 解：（1）解：设销售甲种圆规的利润为x元/只，销售乙种圆规的利润为y元/只， 根据题意得：， 解得：， 答：该文具店销售甲种圆规每只的利润为4元，销售乙种圆规每只的利润为5元． （2）设甲种圆规进只，则乙种圆规进只，利润为元， ∴， ∵， ∴当时，获最大利润（元）， ∴进甲种圆规进30只，则乙种圆规进20只． 【变式2】湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）． （1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值； （2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．    ①分别求出当和时，与的函数关系式； ②设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额总成本） 【答案】（1）a的值为，b的值为30；（2）①时，，时，；②当t为55天时，W最大，最大值为180250元． 【分析】（1）由“放养10天的总成本为万元、放养20天的总成本为万元”列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）①分、两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得； ②就以上两种情况，根据“利润=销售总额-总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质即可求得最大值． 解：（1）解：依题可得： 解得 答：a的值为，b的值为30． （2）①当时，设y与t的函数关系式为． 把点，的坐标分别代入得： 解得： ∴y与t的函数关系式为． 当时，设y与t的函数关系式为． 把点和的坐标分别代入得： 解得： ∴y与t的函数关系式为． ②由题意得，当时， ， ∵， ∴当时，（元） 当时， ∵， ∴当时，， 综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元． 【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据相等关系列出利润的函数解析式及二次函数的性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.7 二元一次方程组全章复习（7个考点19类题型 ） 目录 一.基础篇 1 考点一：二元一次方程（组）定义 1 【★题型1】二元一次方程（组）定义 1 【★题型2】利用二元一次方程（组）定义求参数 2 考点二：二元一次方程组的解法 2 【★题型3】二元一次方程组的解法辨析 2 【★题型4】二元一次方程组的解法——代入法 3 【★题型5】二元一次方程组的解法——加减法 3 考点三：列二元一次方程组 4 【★题型6】列二元一次方程组 4 考点四：二元一次方程组与一次函数 4 【★题型7】待定系数法求一次函数解析式 5 【★题型8】两直线交点与二元一次方程组的解 5 二培优篇 6 考点五：二元一次方程组的特殊解法 6 【★★题型9】整体思想解二元一次方程组 6 【★题型10】构造二元一次方程组求解 7 【★题型11】二元一次方程组的错解复原求解 7 【★题型12】二元一次方程组的同解原理 8 考点六：二元一次方程组的应用 8 【★★题型13】工程问题与行程问题 8 【★★题型14】营销与利润问题 9 【★★题型15】古代问题 9 【★★题型16】分配与方案问题 10 考点七：一次函数与二元一次方程组 11 【★★题型17】一次函数与面积问题 11 【★★题型18】一次函数与几何问题 12 【★★题型19】一次函数与最大利润问题 13 一.基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 考点一：二元一次方程（组）定义 【★题型1】二元一次方程（组）定义 【例题 1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川乐山·期中）写出一个以为解的二元一次方程组： ． 【变式3】（25-26八年级上·山东济南·期中）已知方程是二元一次方程，则“”可能是（   ） A． B． C． D． 【★题型2】利用二元一次方程（组）定义求参数 【例题2】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（　　） A．4，1 B．5，1 C．3， D．5，2 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·月考）方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 考点二：二元一次方程组的解法 【★题型3】二元一次方程组的解法辨析 【例题3】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）把方程组中的方程①或方程②改写成用含x的式子表示y的形式，下列改写正确的是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【变式1】（24-25七年级下·河北邢台·期末）把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将① B．要消去，可以将①② C．要消去，可以将①② D．要消去，可以将①② 【变式3】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去y，可以将 B．要消去y，可以将 C．要消去x，可以将 D．要消去x，可以将 【★题型4】二元一次方程组的解法——代入法 【例题4】（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组： （1） （2） 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组： （1） （2） 【变式2】（23-24七年级下·浙江台州·期末）解方程组： （1）； （2）． 【★题型5】二元一次方程组的解法——加减法 【例题5】（24-25八年级上·四川成都·期中）解方程组： （1） （2） 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）用加减法解下列方程组． （1）； （2）． 【变式2】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）解二元一次方程组： （1） （2） 考点三：列二元一次方程组 【★题型6】列二元一次方程组 【例题6】（23-24七年级下·海南海口·期末）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何”题目大意是：甲、乙两人各带着若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川·期中）小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小刚乘车的路程和步行的路程分别为x和y，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期末）2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 考点四：二元一次方程组与一次函数 【★题型7】待定系数法求一次函数解析式 【例题7】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数的图象经过点和，求这个函数的表达式． 【变式1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）已知一次函数的图象经过点和点，求这个一次函数的解析式． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数中，当时，；当时，，求一次函数的表达式． 【★题型8】两直线交点与二元一次方程组的解 【例题8】（24-25八年级上·广东茂名·期末）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线分别交y轴，x轴于A，B两点，直线分别交y轴，x轴于C，D两点，直线，相交于P点． （1）方程组的解是______； （2）求直线，与x轴围成的三角形面积； 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 二培优篇 考点五：二元一次方程组的特殊解法 【★★题型9】整体思想解二元一次方程组 【例题9】（25-26七年级上·全国·课后作业）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． （1）按照小云的方法，求出的值； （2）老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【变式1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代入”法解方程组 （2）已知满足方程组，求的值． 【★题型10】构造二元一次方程组求解 【例题10】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（2020九年级·全国·竞赛）已知m，n是有理数，且，则 ， ． 【变式2】（24-25八年级上·安徽宿州·月考）若点关于轴的对称点为点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）在等式中，当时，；当时，． （1）求k、b的值； （2）当时，求x的值． 【★题型11】二元一次方程组的错解复原求解 【例题11】（25-26八年级上·广东深圳·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 【变式1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为 ． （1）求出和的值； （2）求出原方程组的正确解． 【★题型12】二元一次方程组的同解原理 【例题12】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·月考）已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【变式2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）已知关于、的二元一次方程组和的解相同，则的算术平方根的值为 ． 考点六：二元一次方程组的应用 【★★题型13】工程问题与行程问题 【例题13】（2025·陕西·模拟预测）一位俄罗斯外国朋友计划来中国旅行，体验中华优秀传统文化，感悟非遗魅力．他计划搭乘飞机前往中国．已知这趟国际飞机往返于A，B两城，顺风飞行需要2小时20分钟，逆风飞行需要2小时40分钟，当天天气状况一般，风速为每小时42千米．试求A，B两城之间的距离． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． （1）请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ （2）若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 【变式2】（24-25七年级下·新疆昌吉·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． （1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ （2）已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【★★题型14】营销与利润问题 【例题14】（25-26八年级上·四川成都·期中）某水果经营商从水果批发市场批发了苹果和梨共千克到市场销售，苹果和梨当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 苹果 梨 批发价（元/千克） 零售价（元/千克） （1）若批发苹果和梨共花费元，则苹果和梨各多少千克？ （2）设批发了苹果千克，卖完这批苹果和梨的利润是元，求与的函数关系式． 【变式1】某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． （1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ （2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），该同学只带了400元钱，他能否在这两家超市都可以买下看中的这两样商品？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 【变式2】（25-26八年级上·广东广州·月考）美丽服装店按进价购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 （1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数； （2）如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？ 【★★题型15】古代问题 【例题15】（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 【变式2】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我问旅店店主李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房． （1）该店客房有多少间？房客有多少人？ （2）假设旅店店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费200钱，且每间客房最多住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按八折优惠．若诗中众客再次一起入住，他们如何订房比较合算？ 【★★题型16】分配与方案问题 【例题16】（2025八年级上·全国·专题练习）根据题意列方程组：将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ （1）这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? （2）设有图书x本，学生有y人，由此你能得到怎么样的方程组？ 【变式1】中国-中亚峰会在西安成功举办，是千年古都的光荣使命、千万市民的骄傲与自豪．某校开展了以“美丽西安，我为家乡代言”为主题的演讲活动，计划拿出2000元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件100元，问该校共有多少种购买方案？ 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． （1）现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； （2）工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 考点七：一次函数与二元一次方程组 【★★题型17】一次函数与面积问题 【例题17】（25-26八年级上·山西晋中·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”： 令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为________； （2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①求出点A和点B的坐标． ②若P点为x轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件点P的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线与直线交于点，直线的解析式为，直线的解析式为，点为直线上的点，且，则点的坐标为 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． （1）填空： ， ； （2）求的面积； （3）在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【★★题型18】一次函数与几何问题 【例题18】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在等腰三角形中，，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，且点在该函数图象上． （1）求该一次函数的表达式； （2）求点的坐标； （3）求四边形的面积． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． （1）求一次函数解析式； （2）一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）几何直观 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形叫作这个一次函数的坐标三角形．如下图，一次函数的图象与x轴y轴分别交于点E，F，则为此函数的坐标三角形． 求： （1）该函数的坐标三角形的三条边长． （2）的面积． （3）原点O到直线的距离． 【★★题型19】一次函数与最大利润问题 【例题19】（2022·浙江温州·一模）某商场用60个A型包装袋与90个B型包装袋对甲，乙两类农产品进行包装出售（两种型号包装袋都用完），每个A型包装袋装2千克甲类农产品或装3千克乙类农产品，每个B型包装袋装3千克甲类农产品或装5千克乙类农产品，设有x个A型包装袋包装甲类农产品，有y个B型包装袋包装甲类农产品． （1）请用含x或y的代数式填空完成下表： 包装袋型号 A B 甲类农产品质量（千克） _________ 乙类农产品质量（千克） _______ （2）若甲、乙两类农产品的总质量分别是260千克与210千克，求x，y的值． （3）若用于包装甲类农产品的B型包装袋数量是用于包装甲类农产品的A型包装袋数量的两倍，且它们数量之和不少于90个，记甲、乙两类农产品的总质量之和为m千克，求m的最小值与最大值． 【变式1】（23-24八年级上·江西鹰潭·期末）某文具店销售甲、乙两种圆规，当销售5只甲种、1只乙种圆规，可获利润25元；当销售6只甲种、3只乙种圆规，可获利润39元． （1）问该文具店销售甲、乙两种圆规，每只的利润分别是多少元？ （2）在（1）中，文具店共进货甲、乙两种圆规50只并全部销售完，已知甲种圆规至少能销售30只，请判断文具店如何进货才有最大利润，并求出利润的最大值． 【变式2】湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）． （1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值； （2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．    ①分别求出当和时，与的函数关系式； ②设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额总成本） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $