专题13 二元一次方程组特殊解的五类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题13 二元一次方程组特殊解的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、整体法解二元一次方程组 类型二、换元法解二元一次方程组 类型三、消元法解二元一次方程组 类型四、构造二元一次方程组求解 类型五、二元一次方程组中的新定义问题 压轴专练 类型一、整体法解二元一次方程组 例1-1．如果关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足：．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（　　） A． B． C． D． 例1-2．阅读材料：解方程组时，可由得，然后再把代入，得，求得，再把代入，求得，从而求得原方程组的解为，这种方法被称为“整体代入法”. 请用上述方法解方程组： 变式1-1．已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于，的方程组的解是 ． 变式1-2．阅读材料： 善于思考的小亮同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形为，即③， 把方程①代入③，得，解得； 把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请解决下列问题． (1)请模仿小亮同学用“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 类型二、换元法解二元一次方程组 例2．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，原方程组可化为解得，即，解得； 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求y的值． 变式2-1．用换元法解方程组． 变式2-2．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 变式2-3．【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得． 这种解方程组的方法叫做整体换元法． 【知识应用】 （1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来． 【知识迁移】 （2）用材料中的方法解二元一次方程组 类型三、消元法解二元一次方程组 例3．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由，得，即．③ ，得．④ ，得，从而可得． 所以原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 变式3-1．在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，该方程组的解． 根据上面方法，解决下面问题：(1)解方程组：； 【轮换式解法】例：解方程组时， ①②，得，③． ③，得④． ②④，得，将代入③，得．该方程组的解是 根据上面方法，解决下面问题：(2)解方程组：． 变式3-2．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为___________； (2)利用轮换对称解法解方程组． 类型四、构造二元一次方程组求解 例4．已知，，，，中每一个数值只能取，0，1中的一个，且满足，，则，，，，中数值取0的个数是 ． 变式4-1．设，，，，是从，， 这三个数取值的一组数，若，，则，，，，中为0的个数为 个． 变式4-2．解方程组：． 类型五、二元一次方程组中新定义问题 例5．我们把关于x，y的两个二元一次方程x＋ky＝b与kx＋y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组． (1)若关于x，y的二元一次方程组，为共轭二元一次方程组，则a＝______，b＝______． (2)若二元一次方程x＋ky＝b中x，y的值满足下列表格： x 2 0 y 0 1 则这个方程的共轭二元一次方程是______． (3)直接写出方程组的解： 的解为______；的解为______；的解为______． (4)发现：若共轭二元一次方程组的解是则m，n之间的数量关系是______． (5)应用：请你构造一个共轭二元一次方程组，并直接写出它的解． 变式5-1．规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 变式5-2．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 变式5-3．定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程的“友好方程”为． (1)求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (3)已知关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”，求的值． 1．已知方程组，则的值为    （    ） A．3 B． C． D．2 2．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n二元一次方程组的解为 ． 3．【阅读理解】阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程组时，如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法则轻而易举． 解：①＋②，， 即③ ①－②， 即 联立③和④，得 解得 所以原方程组的解为 (1)由二元一次方程组，可得 ； ． (2)解方程组 【拓展提升】 (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，例如：． 已知，则 ． 4．在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 5．观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得．解得． 把代入①得，所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为_______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 6．在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组：的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？ 小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单： ①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③． ③×35﹣①得3x＝﹣3． 解得x＝﹣1，从而y＝2．所以原方程组的解是． 请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：． 7．阅读下列材料： 小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 ，小亮发现，如果把方程组中的，看成一个整体，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程： 解：令 ． 原方程组化为 ， 解得 把代入 ，得 ，解得 ，所以原方程组的解为 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组 的解为_______． (3)在（2）的条件下 ， ，求 的值． 8．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 9．阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 10．定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）． 例如，当时，． (1)当时，__________； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程时，总有，求、的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 二元一次方程组特殊解的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、整体法解二元一次方程组 类型二、换元法解二元一次方程组 类型三、消元法解二元一次方程组 类型四、构造二元一次方程组求解 类型五、二元一次方程组中的新定义问题 压轴专练 类型一、整体法解二元一次方程组 例1-1．如果关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足：．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，根据题意整理方程是解题的关键． 将方程整理得，根据题意可得即可求解． 【详解】解：将两边同时除以2， 得， 整理得，， ∵关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足：， ∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足， 即， 故选：D． 例1-2．阅读材料：解方程组时，可由得，然后再把代入，得，求得，再把代入，求得，从而求得原方程组的解为，这种方法被称为“整体代入法”. 请用上述方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是正确理解“整体代入法”． 由整体代入法和代入消元法，解方程组即可． 【详解】解： 由得， 把代入，得， 解得，， 把代入，得， 解得，，所以，原方程组的解为． 变式1-1．已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将方程组变形为，根据题意得出，从而求出方程组的解．观察方程组的结构特征得出是解题的关键． 【详解】解：∵方程组可化为， 又∵关于x，y的方程组的唯一解是， ∴， 解得：， 即关于，的方程组的解是． 故答案为：． 变式1-2．阅读材料： 善于思考的小亮同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形为，即③， 把方程①代入③，得，解得； 把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请解决下列问题． (1)请模仿小亮同学用“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握“整体代换”法是解题的关键； （1）利用整体代换法进行求解即可； （2）把看成一个整体，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 将方程②变形为，即③． 把方程①代入③，得， 解得． 把代入方程①，得， 方程组的解为 （2）解：原方程组化为 ①②，得：， ． 类型二、换元法解二元一次方程组 例2．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，原方程组可化为解得，即，解得； 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求y的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，掌握“换元法”，“整体代换”是关键． （1）根据题意，设，运用“换元法”求解即可； （2）把代入，结合所求方程组中相同字母的系数相同得到，由此即可求解； （3）根据题意变形，即，代入求解即可． 【详解】（1）解：设，则原方程组变形得， 解得，，∴，解得，； （2）解：关于，的方程组的解为， ∴，∴，解得，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 解得，． 变式2-1．用换元法解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握换元法解方程组是解答本题的关键．设，，方程组可化为，据此可得m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：设，， 方程组可化为，解得， ∴，解得 变式2-2．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 设，，方程组变形后求出解得到m与n的值，进而求出x与y的值即可； 【详解】解：设，，则方程组可化为， ∵关于x，y的方程组的解为 ∴，∴， 即， 故答案为：. 变式2-3．【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得． 这种解方程组的方法叫做整体换元法． 【知识应用】 （1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来． 【知识迁移】 （2）用材料中的方法解二元一次方程组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）方程组可变形为设，可得即解二元一次方程即可． 【详解】解：（1）设则原方程组可化为， 根据的解为，可得：，解得，即； （2）方程组可变形为： 设，原方程可化为 解得：，即，解得，原方程组的解为 类型三、消元法解二元一次方程组 例3．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由，得，即．③ ，得．④ ，得，从而可得． 所以原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 【答案】 【分析】本题考查通过观察方程组系数特点，利用加减消元法解二元一次方程组，需严格按照题干示例的方法进行求解． 两个方程相减，再乘以2，结合题干给出的方法求解即可． 【详解】解法一： ，得， 即．③ ，得 ． 把代入③，得 ． 所以原方程组的解为 解法二： ，得，即 ， 所以．③ 把③代入②，得 ， 解得． 把代入③，得 ． 所以原方程组的解为 变式3-1．在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，该方程组的解． 根据上面方法，解决下面问题： (1)解方程组：； 【轮换式解法】例：解方程组时， ①②，得，③． ③，得④． ②④，得，将代入③，得． 该方程组的解是 根据上面方法，解决下面问题： (2)解方程组：． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题干提供的方法． （1）先求出，然后再把代入，求出y的值，再求出x的值即可； （2）求出，得出，用求出，把代入得，即可得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 得：， ∴得：， 得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：． 变式3-2．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为___________； (2)利用轮换对称解法解方程组． 【答案】(1)；(2) 【分析】题目主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）根据例题过程，利用加减消元法求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 得：， 解得：， 将代入③得：， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）， ，得，即③，                 ，得④，                     ，得，解得，                     把代入③，得，                     ． 类型四、构造二元一次方程组求解 例4．已知，，，，中每一个数值只能取，0，1中的一个，且满足，，则，，，，中数值取0的个数是 ． 【答案】829 【分析】本题考查的是解二元一次方程组．先设有p个x取1，q个x取，根据，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：设有p个x取1，q个x取， 则有， 解得， ∴． ∴，，，，中数值取0的个数是829． 故答案为：829． 变式4-1．设，，，，是从，， 这三个数取值的一组数，若，，则，，，，中为0的个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查了数字类变化规律、利用完全平方公式进行计算，解二元一次方程组，由题意结合完全平方公式得出，设有个，个，个，则，根据可得，求得，进而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 设有个，个，个， ①， ∵ ∴② 联立①②并解得， ， ，，，，中为0的个数为个， 故答案为：． 变式4-2．解方程组：． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根等知识点，熟练掌握解二元一次方程组的步骤和平方根是解题的关键． 先利用求一个数的平方根求出和的值，再组成四个二元一次方程组，分别求解即可． 【详解】解： 由①得，或， 由②得，， ， 或， 由①②得或或或 解得或或或． 类型五、二元一次方程组中新定义问题 例5．我们把关于x，y的两个二元一次方程x＋ky＝b与kx＋y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组． (1)若关于x，y的二元一次方程组，为共轭二元一次方程组，则a＝______，b＝______． (2)若二元一次方程x＋ky＝b中x，y的值满足下列表格： x 2 0 y 0 1 则这个方程的共轭二元一次方程是______． (3)直接写出方程组的解： 的解为______；的解为______；的解为______． (4)发现：若共轭二元一次方程组的解是则m，n之间的数量关系是______． (5)应用：请你构造一个共轭二元一次方程组，并直接写出它的解． 【答案】(1)－1，1 (2) (3)，， (4)m＝n (5)见解析； 【分析】（1）根据共轭二元一次方程组定义可得解答1-a=2，b+2=3，解方程即可得到答案； （2）将x与y的对应值代入x+ky=b中，得到二元一次方程组，求出k与b的值，即可得到此方程的共轭二元一次方程； （3）分别根据代入法或是加减法解方程组； （4）观察（3）中x与y的关系即可得到答案， （5）根据共轭二元一次方程组定义，写出符合条件的一组方程组即可． 【详解】（1）由题意得1-a=2，b+2=3， 解得a=-1，b=1，； （2）由题意得将x=2，y=0；x=0，y=1代入x+ky=b中得：， 解得， ∴原方程为：， ∴这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解方程组， 由①得x=3-2y③， 将③代入②得，2（3-2y）+y=3， 解得y=1， 将y=1代入③得x=3-2=1， ∴原方程组的解为； 解方程组， ①-②得x-y=0，∴x=y， 将x=y代入①得x=-2，∴y=-2， ∴原方程组的解是； 解方程组， 由①得y=2x-4③， 将③代入②得-x+2（2x-4）=4，解得x=4， 将x=4代入③得y=4， ∴原方程组的解是； （4）由（3）可知，解方程组的解是中与的数量关系是m=n. （5） ①×2，得2x-4y=2 ②+③得：y=-1 将y=-1代入①中得：x=-1， ∴方程组的解为 ． 【点睛】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键． 变式5-1．规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 【答案】(1) (2)共轭系数为， (3)，可取任意数或， 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，注意计算的准确性即可． （1）由题意得：方程的“共轭二元一次方程”为：，求解方程组即可； （2）由题意得：，据此即可求解； （3）由消去得③，由题意得方程③有无数个解，推出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：方程的“共轭二元一次方程”为：， 解方程组得：， 故答案为：； （2）解：由题意得：，解得， 故， 故共轭系数为，； （3）解：由消去得③， 原方程组有无数解，则方程③有无数个解，则， 则或． 变式5-2．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 【答案】(1)②③/③② (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （）根据“郡一”方程组的定义，逐项判断即可求解； （）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； 【详解】（1）解：①， 解得， 此时， 不是“郡一”方程组； ②， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； ③， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； 故答案为：②③； （2）， ①，得③， ②-③，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是， 关于的方程组是“郡一”方程组， ， 即， 解得或； （3）若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“郡一”方程组， 则， 联立得：， 解得或， 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 综上所述，的值为或． 变式5-3．定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程的“友好方程”为． (1)求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (3)已知关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，得到方程的友好方程，组成二元一次方程组，解方程组得到结果； （2）根据题意，得到方程的“友好方程”，组成方程组，消元后得，再代入，得到结果； （3）根据友好方程的定义，得到方程组，消去t，化简整理可得到结果． 本题考查了新定义，解二元一次方程组的应用，熟练解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：方程的“友好方程”为， ∴， ①﹣②，得， 解得， 把代入①中，得， ∴方程组的解为； （2）方程的“友好方程”为， ∴， ①②得， 由 ∴， 把代入①式，得， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （3）∵关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”， ∴， 由①得，代入②中，得： ， 则， ∴． 1．已知方程组，则的值为    （    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，将两个方程相加，直接得到关于的方程，从而快速求解． 【详解】方程组为： 将方程①和方程②相加，得： 合并同类项： 两边同时除以5，得： 故选A． 2．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握换元思想成为解题的关键．设，，将原方程组变形为，对比的解为，可得，进而即可求解． 【详解】解：设，， 则变形为， 等式两边同乘，得：， 关于x，y的二元一次方程组的解为， ， ， ， 解得，故答案为：． 3．【阅读理解】阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程组时，如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法则轻而易举． 解：①＋②，， 即③ ①－②， 即 联立③和④，得 解得 所以原方程组的解为 (1)由二元一次方程组，可得 ； ． (2)解方程组 【拓展提升】 (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，例如：． 已知，则 ． 【答案】(1)2，； (2) (3)3． 【分析】（1）将两个方程相加，即可求出；将两个方程相减，即可求出； （2）将两个方程相减，可得，再用加减法或代入法即可求解； （3）根据新定义的运算和，可得到，解该方程组（用含c的式子表示x，y），得到新定义的运算，因此可求解． 【详解】（1） ，得 ∴ ，得 故答案为：2， （2）， ①－②，得， 即， ，得， 把代入③，得， 解得：， ∴方程组的解为； （3）∵，且， ∴， ②－①，得， ∴， 把③代入①，得， 解得， 把代入③，得， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，新定义的运算，读懂题意，灵活运用运算法则是解决本题的关键． 4．在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；；（2）相同；相同；（3） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法． （1）用加减消元法求出方程组的解即可； （2）根据方程组的解得出规律即可； （3）根据解析（2）得出的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； ， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）两个方程组的未知数的系数相同；两个方程组的解相同； （3）∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足：， 解得：； 5．观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得．解得． 把代入①得，所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为_______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为： 故答案为：， （2）解： 由①得：， 将③代入得：， 解得：， 将代入③得：， 解得， ∴方程组的解：. 6．在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组：的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？ 小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单： ①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③． ③×35﹣①得3x＝﹣3． 解得x＝﹣1，从而y＝2． 所以原方程组的解是． 请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：． 【答案】 【分析】结合探究内容，仿照例子，用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】解：②﹣①得3x+3y＝3， 即x+y＝1③， ③×2018，得：2018x+2018y＝2018④， ④﹣①得2x＝﹣2， 解得x＝﹣1， 将x＝﹣1代入③，得：﹣1+y＝1， 解得y＝2， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解法，解二元一次方程组有代入法和消元法，灵活应用这两种方法是解题关键． 7．阅读下列材料： 小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 ，小亮发现，如果把方程组中的，看成一个整体，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程： 解：令 ． 原方程组化为 ， 解得 把代入 ，得 ，解得 所以原方程组的解为 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组 的解为_______． (3)在（2）的条件下 ， ，求 的值． 【答案】(1) (2) (3)1或3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，实数的运算，求一个数的算术平方根和立方根，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程组即可； （2）仿照题意利用换元法解方程组得到的值，进而求出x、y的值即可； （3）根据（2）所求求出a、b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：令， 原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （2）解：令， 原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ， ∴， ∴或． 8．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 9．阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，3． (2)54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 10．定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）． 例如，当时，． (1)当时，__________； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程时，总有，求、的值． 【答案】(1)； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． （1） 由题意可得 ：，再将代入即可求解； （2）由题意可得 ：，求出方程组的解即可； （3）由题意可得 ：，求解方程组即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 所以． （2）解：因为， 所以，两式相加得， 解得． 把代入得， 解得． （3）解：因为，所以． 又因为， 所以， 将代入得， 由得， 因为， 所以； 由得， 因为， 所以． 联立，两式相加得，， 解得． 把代入得， 解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $