专题6.4 反比例函数（章节复习）知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点讲练讲义

专题6.4 反比例函数（章节复习） （知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：反比例函数的概念 2 知识点梳理02：反比例函数的图象与性质 2 知识点梳理03：反比例函数表达式的确定 3 知识点梳理04：系数k的几何意义 3 知识点梳理05：反比例函数与一次函数 3 知识点梳理06：反比例函数中的三个模型 4 优选题型 考点讲练 4 模型讲练01：用反比例函数描述数量关系 4 模型讲练02：根据定义判断是否是反比例函数 5 模型讲练03：根据反比例函数的定义求参数 5 模型讲练04：求反比例函数值 5 模型讲练05：由反比例函数值求自变量 5 模型讲练06：判断(画)反比例函数图象 5 模型讲练07：已知反比例函数的图象判断其解析式 6 模型讲练08：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 7 模型讲练09：已知双曲线分布的象限求参数范围 7 模型讲练10：判断反比例函数的增减性 7 模型讲练11：判断反比例函数图象所在象限 8 模型讲练12：已知反比例函数的增减性求参数 8 模型讲练13：比较反比例函数值或自变量的大小 8 模型讲练14：已知比例系数求特殊图形的面积 8 模型讲练15：根据图形面积求比例系数(解析式) 9 模型讲练16：求反比例函数解析式 10 模型讲练17：实际问题与反比例函数 11 模型讲练18：反比例函数与几何综合 11 模型讲练19：一次函数与反比例函数图象综合判断 12 模型讲练20：一次函数与反比例函数的交点问题 13 模型讲练21：一次函数与反比例函数的实际应用 14 模型讲练22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 15 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 19 知识点梳理01：反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非 零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①；②；③. 知识点梳理02：反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来om] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号） 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点梳理03：反比例函数表达式的确定 待定系数法步骤： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 知识点梳理04：系数k的几何意义 (1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. (3)越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 知识点梳理05：反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对 称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求 解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点梳理06：反比例函数中的三个模型 模型讲练01：用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】（24-25七年级上·北京西城·期中）下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 【变式训练】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 模型讲练02：根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·期中）下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）下列函数y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 模型讲练03：根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）反比例函数中，比例系数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·广东惠州·阶段练习）若是反比例函数，则的值为 ． 模型讲练04：求反比例函数值 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·云南大理·一模）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 模型讲练05：由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽六安·期中）下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知反比例函数，当时， ． 模型讲练06：判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 模型讲练07：已知反比例函数的图象判断其解析式 【典例精讲】（2025·江苏盐城·三模）小军借助几何画板软件研究函数的图像和性质，他设定了一组m，n的值，得到如图所示函数图像，借助之前学习函数的经验，推断小军输入的m，n的值满足（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 模型讲练08：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·福建泉州·期中）将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则 ． 模型讲练09：已知双曲线分布的象限求参数范围 【典例精讲】（25-26九年级上·山东济南·月考）双曲线的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．不存在 【变式训练】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）若反比例函数的图象经过一，三象限，则k的取值范围为 ． 模型讲练10：判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（25-26九年级上·河北张家口·期中）已知反比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．图象必经过 B．图象位于二、四象限 C．随的增大而增大 D．若，则 【变式训练】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）对于函数的说法正确的是（   ） A．函数的图象位于第二、四象限，y随x的增大而增大 B．当时，函数的图象在第一象限，y随x的增大而减小 C．当时，函数的图象在第二象限，y随x的增大而增大 D．当时， 模型讲练11：判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（2023·上海普陀·一模）已知反比例函数的图象在第一、三象限，如果，那么 （填“”、“ ”或“ “ 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是 ． 模型讲练12：已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·北京密云·期中）已知反比例函数的图象在各自的象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模型讲练13：比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·河北张家口·期中）已知点在反比例函数的图象上，则 填． 模型讲练14：已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则 ． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 模型讲练15：根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（2025·甘肃武威·一模）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ． 【变式训练】（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 模型讲练16：求反比例函数解析式 【典例精讲】（25-26九年级上·山东泰安·期中）年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米? (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，直接写出其两腿迈出的步长之差最多是多少． 【变式训练】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）点为反比例函数图像上一点，过点作轴于点，点在轴上，且的面积为8，则这个反比例函数的表达式为 ． 模型讲练17：实际问题与反比例函数 【典例精讲】（25-26九年级上·山东济南·期中）某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤．假设每副护腕的采购费用为元，本次采购的护腕数量为副，总预算为元．已知当为定值时，与之间的关系如下表所示． /元 5 8 16 /副 32 20 16 10 请根据表中的信息解决下列问题： (1)本次采购的总预算为______元，与之间的函数表达式为________________； (2)求表中的值； (3)为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用不低于6元，请问最多能采购多少副护腕？ 【变式训练】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）小明查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过度，则下列说法正确的是（   ） A．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 C．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 模型讲练18：反比例函数与几何综合 【典例精讲】（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，，斜边与反比例函数，交于点． (1)求、的值； (2)若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标． 【变式训练】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形的顶点分别在轴，轴上，面积为20，对角线与反比例函数的图象相交于点，若点为的中点，则 ． 模型讲练19：一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·广西来宾·阶段练习）关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024·安徽·模拟预测）若，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 模型讲练20：一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·期中）将直线与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标是3． (1)求的值； (2)结合图象直接写出关于的不等式的解集． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南益阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积； 模型讲练21：一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为 ． 【变式训练】（2025·河南安阳·二模）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） (2)过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ 模型讲练22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26九年级上·广西北海·阶段练习）直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 【变式训练】（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 1．（2024·河北石家庄·中考真题）如图，已知矩形的对角线中点与点、都在反比例函数的图象上，则的值为 ． 2．（2024·安徽合肥·中考真题）如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接； （1）的值为 ； （2）若的面积为3，则的值为 ． 3．（2024·湖南株洲·中考真题）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江西阳泉·中考真题）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点与点关于轴对称，连接．若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象经过上的点，与交于点，是的中点，连接． (1)求点的坐标； (2)点是边上一点，若，求直线的解析式． 基础夯实 1．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如果函数是反比例函数，那么的值为（   ） A．6 B． C．1 D．2或3 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是 ． 5．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 培优拔高 6．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为1，则k的值是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，下列说法正确的是（   ） A．①是反比例函数的图象 B．②是反比例函数的图象 C．③的函数值比②的函数值大 D．随着的增大，的图象的位置相对于坐标原点越来越远 8．（2025·陕西·模拟预测）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在对角线上的点处．若点在一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 9．（2025·广东清远·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为 ． 10．（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 反比例函数（章节复习） （知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：反比例函数的概念 2 知识点梳理02：反比例函数的图象与性质 2 知识点梳理03：反比例函数表达式的确定 2 知识点梳理04：系数k的几何意义 3 知识点梳理05：反比例函数与一次函数 3 知识点梳理06：反比例函数中的三个模型 4 优选题型 考点讲练 4 模型讲练01：用反比例函数描述数量关系 4 模型讲练02：根据定义判断是否是反比例函数 5 模型讲练03：根据反比例函数的定义求参数 6 模型讲练04：求反比例函数值 6 模型讲练05：由反比例函数值求自变量 7 模型讲练06：判断(画)反比例函数图象 8 模型讲练07：已知反比例函数的图象判断其解析式 9 模型讲练08：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 10 模型讲练09：已知双曲线分布的象限求参数范围 11 模型讲练10：判断反比例函数的增减性 12 模型讲练11：判断反比例函数图象所在象限 13 模型讲练12：已知反比例函数的增减性求参数 14 模型讲练13：比较反比例函数值或自变量的大小 15 模型讲练14：已知比例系数求特殊图形的面积 16 模型讲练15：根据图形面积求比例系数(解析式) 18 模型讲练16：求反比例函数解析式 19 模型讲练17：实际问题与反比例函数 21 模型讲练18：反比例函数与几何综合 23 模型讲练19：一次函数与反比例函数图象综合判断 26 模型讲练20：一次函数与反比例函数的交点问题 27 模型讲练21：一次函数与反比例函数的实际应用 30 模型讲练22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 32 中考真题 实战演练 36 难度分层 拔尖冲刺 41 基础夯实 41 培优拔高 44 知识点梳理01：反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非 零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①；②；③. 知识点梳理02：反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来om] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号） 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点梳理03：反比例函数表达式的确定 待定系数法步骤： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 知识点梳理04：系数k的几何意义 (1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. (3)越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 知识点梳理05：反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对 称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求 解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点梳理06：反比例函数中的三个模型 模型讲练01：用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】（24-25七年级上·北京西城·期中）下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 【答案】B 【思路点拨】本题考查了成反比例，理解成反比例关系的前提是两个变量乘积固定是解题的关键 根据成反比例的定义解答即可． 【规范解答】A、长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故本选项不符合题意； B、三角形面积一定时，它的底和高成反比例关系，故本选项符合题意； C、机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间不成反比例关系，故本选项不符合题意； D、一个人跑步速度与它的体重，不成反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于即可判断该点在函数图象上，据此求解即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：． 模型讲练02：根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·期中）下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（为常数且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【规范解答】解：根据反比例函数的定义可知，四个函数中，只有是反比例函数， 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）下列函数y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数的定义，掌握形如的函数是反比例函数是解题的关键； 根据反比例函数的定义逐项判定即可． 【规范解答】解： A．x，y是x的正比例函数，故本选项不符合题意； B．，当时，y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意； C．，y是的反比例函数，故本选项不符合题意； D．，y是x的反比例函数，故本选项符合题意； 故选：D． 模型讲练03：根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）反比例函数中，比例系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查反比例函数的一般形式，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的一般形式为 ，其中 为比例系数．将给定函数与之比较，即可得出比例系数． 【规范解答】∵ 反比例函数的一般形式为 ， 函数 ， ∴ 比例系数 ． 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·广东惠州·阶段练习）若是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义解题即可． 【规范解答】解：由题意知，， 解得：． 故答案为：． 模型讲练04：求反比例函数值 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是直接将各点的横坐标代入反比例函数的解析式求出对应的纵坐标的值，再比较即可得出答案． 【规范解答】解：A．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； B．，则不在反比例函数的图象上，故此选项符合题意； C．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； D．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练】（2025·云南大理·一模）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【规范解答】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：2． 模型讲练05：由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽六安·期中）下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质；根据反比例函数图象上点的坐标特征，点满足，其中． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象上点的坐标应满足， A．，，不符合题意； B．，，符合题意； C．，，不符合题意； D．，，不符合题意． ∴点在函数图象上． 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知反比例函数，当时， ． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． 直接把代入反比例函数求出相应x的值即可． 【规范解答】解：当时，， ∴． 故答案为：2． 模型讲练06：判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【规范解答】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解． 【规范解答】解： ， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 模型讲练07：已知反比例函数的图象判断其解析式 【典例精讲】（2025·江苏盐城·三模）小军借助几何画板软件研究函数的图像和性质，他设定了一组m，n的值，得到如图所示函数图像，借助之前学习函数的经验，推断小军输入的m，n的值满足（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路点拨】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道，结合图象可以知道函数的取不到的值为负数，所以． 【规范解答】解：由图象可知，当时，， ； ，结合图象可以知道函数的取不到的值为负数， ． 故选：A 【变式训练】（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【规范解答】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 模型讲练08：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 【规范解答】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·福建泉州·期中）将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的平移，反比例函数图象的性质，由平移可得平移后所得函数解析式为，进而反比例函数的图象关于点中心对 称，恒过点，可得点，关于中心对称，即得，得到，即可得，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵将向右平移两个单位，向下平移个单位， ∴平移后所得函数解析式为， ∵反比例函数的图象关于点中心对称，恒过点， ∴点，关于中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 模型讲练09：已知双曲线分布的象限求参数范围 【典例精讲】（25-26九年级上·山东济南·月考）双曲线的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【思路点拨】本题考查反比例函数的图象，当比例系数为正数时，反比例函数的图象位于第一、三象限；当比例系数为负数时，反比例函数的图象位于第二、四象限．由于双曲线的图象经过第一、三象限，则，求解即可． 【规范解答】解：∵双曲线的图象经过第一、三象限， ∴， 解得． 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）若反比例函数的图象经过一，三象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】考查的是反比例函数的性质，先根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【规范解答】解：由题意得： ，则 故答案为：． 模型讲练10：判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（25-26九年级上·河北张家口·期中）已知反比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．图象必经过 B．图象位于二、四象限 C．随的增大而增大 D．若，则 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，当时，图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，但整体上并非单调递增；点是否在图象上可通过验证． 【规范解答】解：A．当 时，，且 ， ∴ 点 在图象上，故A正确，不符合题意； B．∵ 反比例函数 ，， ∴ 图象位于第二、四象限，故B正确，不符合题意； C．虽然在每个象限内随的增大而增大，但由于图象分两个象限，整体上随的增大而增大不正确，故C错误，符合题意； D．当时，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）对于函数的说法正确的是（   ） A．函数的图象位于第二、四象限，y随x的增大而增大 B．当时，函数的图象在第一象限，y随x的增大而减小 C．当时，函数的图象在第二象限，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】B 【思路点拨】考查反比例函数图象与性质，关键是掌握时的象限分布和增减性，易错点是忽略“在每个象限内”的前提． 逐一分析选项：A中图象象限和增减性均错；B中时图象在第一象限且y随x增大而减小，正确；C中时图象所在象限且增减性均错；D中时，错． 【规范解答】选项A：对于反比例函数，，图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，所以A错误． 选项B：当时，函数的图象在第一象限，且在第一象限内y随x的增大而减小，B正确． 选项C：当时，函数的图象在第三象限，且在第三象限内y随x的增大而减小，所以C错误． 选项D：当时，，不是，所以D错误． 故选：B． 模型讲练11：判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（2023·上海普陀·一模）已知反比例函数的图象在第一、三象限，如果，那么 （填“”、“ ”或“ “ 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数性质，根据题意得，再根据反比例函数的增减性即可求解，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴在每个象限中，y随着x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【规范解答】由题意得：反比例函数图象在第二、四象限，则． 故答案为：． 模型讲练12：已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查反比例函数的图象和性质. 根据反比例函数的增减性得到，进行求解即可． 【规范解答】解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小， ∴， ∴. 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·北京密云·期中）已知反比例函数的图象在各自的象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于时，函数图象在第一、三象限，且在各自象限内随的增大而减小，得出，然后求解即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵反比例函数在各自象限内随的增大而减小， ∴， ∴， 故选：． 模型讲练13：比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由知，函数图象位于一、三象限，且在各个象限中单调递减．据此解答即可． 【规范解答】解：， 函数图象位于一、三象限，且在各个象限中单调递减， 点在反比例函数的图象上， ∴点在第三象限，点、在第一象限， ∴，，， 又∵， ∴在第一象限内，， 综上， ． 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·河北张家口·期中）已知点在反比例函数的图象上，则 填． 【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与增减性． 先分析反比例函数的比例系数，确定其图象所在象限及增减性，再根据点的横坐标判断和的大小． 【规范解答】解：在反比例函数中，， 该函数图象在第二、四象限， 点的横坐标，该点在第二象限，第二象限内的值为正，即． 点的横坐标，该点在第四象限，第四象限内的值为负，即． 正数大于负数， ． 故答案为：． 模型讲练14：已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则 ． 【答案】 【思路点拨】主要考查了反比例函数中的几何意义，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积为，结合图形找到规律进行解答即可． 【规范解答】解：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，， ，， ， ， ， ∴， 同理可得 以此类推，． ， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键；根据反比例函数k的几何意义可知：，然后问题可求解． 【规范解答】解：如图， 由题意可知：四边形是矩形， 根据反比例函数k的几何意义可知：， ∴； 故选B． 模型讲练15：根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（2025·甘肃武威·一模）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义．连接，得到轴，则，由此即可得到答案． 【规范解答】解：连接， 轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，是解题的关键．根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【规范解答】解：∵点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∵函数图象位于第一象限， ∴． 故选：A． 模型讲练16：求反比例函数解析式 【典例精讲】（25-26九年级上·山东泰安·期中）年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米? (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，直接写出其两腿迈出的步长之差最多是多少． 【答案】(1) (2)当某人迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米 (3)某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米时，迈出的步长之差最多是厘米 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式即可． （2）代入到解析式中，求得，即可求解． （3）根据题意可得，求解即可得出结果． 【规范解答】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ， ， ． （2）解：当时，， 当某人迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． （3）解：大圆圈的半径不小于米， ， 即：， ， 某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米时，迈出的步长之差最多是厘米． 【变式训练】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）点为反比例函数图像上一点，过点作轴于点，点在轴上，且的面积为8，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义， 设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值． 【规范解答】解：设反比例函数的解析式是：，设A点的坐标是，轴于点， 则 ∵的面积为8， ，即， ∴，则， 则这个反比例函数的表达式为：． 故答案为：． 模型讲练17：实际问题与反比例函数 【典例精讲】（25-26九年级上·山东济南·期中）某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤．假设每副护腕的采购费用为元，本次采购的护腕数量为副，总预算为元．已知当为定值时，与之间的关系如下表所示． /元 5 8 16 /副 32 20 16 10 请根据表中的信息解决下列问题： (1)本次采购的总预算为______元，与之间的函数表达式为________________； (2)求表中的值； (3)为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用不低于6元，请问最多能采购多少副护腕？ 【答案】(1)160， (2)10 (3)26 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的实际应用，反比例的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）由表格中的数据可知，据此可得答案； （2）求出时的值即可得到答案； （3）求出时的函数值，再根据反比例函数的增减性求解即可． 【规范解答】（1）解：由表格中的数据可知， ∴； ∵总预算等于每副护腕的采购费用乘以采购数量， ∴本次采购的总预算为160元； （2）解：在中，当时，， ∴； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴当时，y随x增大而减小， ∵每副护腕的采购费用不低于6元，即， ∴， ∵y为整数， ∴y的最大值为26， 答：最多能采购26副护腕． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）小明查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过度，则下列说法正确的是（   ） A．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 C．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 【答案】A 【思路点拨】本题考查了实际问题与反比例函数，求反比例函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出反比例函数的解析式，再求出当时，的值，从而结合图象可得出结论． 【规范解答】解：∵近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数， ∴设反比例函数的解析式为， ∵度近视眼镜的镜片焦距为米， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∵小明同学眼睛的近视度数不超过度， ∴， ∴， 即小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米， 故选：A． 模型讲练18：反比例函数与几何综合 【典例精讲】（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，，斜边与反比例函数，交于点． (1)求、的值； (2)若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出直线的解析式，可得到n的值，进而得到k的值； （2）设点，则点，点，根据，关于s的方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，， ∴，， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 把点代入得： ， ∴点， 把点代入，得：； （2）解：设点，则点，点， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴点的坐标为． 【变式训练】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形的顶点分别在轴，轴上，面积为20，对角线与反比例函数的图象相交于点，若点为的中点，则 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，过点作轴，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出，再根据值的几何意义，即可得出结果． 【规范解答】解：∵矩形的面积为20， ∴，， 过点作轴，则：， 又∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵双曲线过第一象限， ∴； 故答案为：5． 模型讲练19：一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·广西来宾·阶段练习）关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查一次函数和反比例函数的图象的综合判断，分和两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴当时，直线过一，三，四象限，双曲线过一，三象限；当时，直线过一，二，四象限，双曲线过二，四象限， A.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故符合题意； B.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； C.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； D.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； 故符号题意的只有选项A； 故选A． 【变式训练】（2024·安徽·模拟预测）若，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据及一次函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【规范解答】解：当时，，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，与选项C中图象一致． 当时，，此时一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象分布在第一、三象限，与题目选项中的图象均不一致． 故选：C． 模型讲练20：一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·期中）将直线与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标是3． (1)求的值； (2)结合图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时注意：一次函数与反比例函数的交点坐标同时满足两个函数解析式． （1）依据反比例函数的图象与直线相交于点A，且点A的纵坐标是3，先求出点A的坐标，再代入反比例函数即可得到k的值； （2）画出函数图象，即可得到不等式的解集． 【规范解答】（1）解：当时，， 解得， ∴， ∴； （2）解：画出直线和反比例函数的图象：如图所示， 由图象得：不等式的解集为：或． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南益阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积； 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2) 【思路点拨】本题考查一次函数和反比例函数的图象，正确求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键． （1）将代入，可得到反比例函数的表达式，进而得到点的坐标，将点、B的坐标代入一次函数一般式进行计算求解即可； （2）设直线与轴交于点，那么，根据，进行计算求解即可． 【规范解答】（1）解：把代入得：，即， 因此反比例函数的表达式为； 把代入得： 则点的坐标为， 把、代入得： 和 解得、 因此一次函数的表达式为， 答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：设直线与轴交于点，如图： 当时，， 那么点的坐标为， 答：的面积为． 模型讲练21：一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【规范解答】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（2025·河南安阳·二模）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） (2)过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ 【答案】(1)，； (2)长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 【思路点拨】本题考查了求一次函数解析式和求反比例函数解析式，用一次和反比例函数解决实际问题，熟练掌握函数表达式的求法是解题的关键． （1）将点代入，即可得出反比例函数表达式；将点代入，即可得出一次函数表达式； （2）把代入，得出，进而得出点的坐标为，将代入，得出点的坐标为，继而分析得出长方体箱子的长、宽、高． 【规范解答】（1）解：将点代入，得 ， 反比例函数表达式为， 将点代入，得， 解得， 一次函数表达式为． （2）， 把代入，得， ，即， ， ， 点的坐标为， 将代入，得， 点的坐标为， ， 根据图1可知，沙发的长是． 综上，长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 模型讲练22：一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26九年级上·广西北海·阶段练习）直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)12 (3) 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴一次函数表达式为． ∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为． （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 解方程组得， 经检验均是方程组的解， ∴， ∴． （3）解：设，连接并延长交y轴于点N， ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， ∵直线过点， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴． 【变式训练】（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)20 【思路点拨】本题考查正比例函数和反比例函数的性质： （1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【规范解答】（1）解：将代入得， ∴， ∴， ∵点与关于原点对称， ∴； 故答案为：； （2）解：将代入得， 即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； （3）解：作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 1．（2024·河北石家庄·中考真题）如图，已知矩形的对角线中点与点、都在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】/0.5 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得点的坐标是解题的关键． 由题意设，则，，即可得出，从而求得，得出，求得． 【规范解答】解：矩形的对角线中点与点都在反比例函数的图象上， 设，则，， ， 把代入，解得， ， ，， ， ． 故答案为：． 2．（2024·安徽合肥·中考真题）如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接； （1）的值为 ； （2）若的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查已知图形的面积求值，反比例函数的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键 （1）根据题意将点A代入即可得出结果； （2）由（1）得出点坐标，进而求出的解析式，设，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【规范解答】解：（1）点在双曲线上， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 设直线的解析式为， 则：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2024·湖南株洲·中考真题）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 4．（2024·江西阳泉·中考真题）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点与点关于轴对称，连接．若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，连接，可得，进而由轴对称可得，即得，再根据反比例函数的图象和性质即可求解，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故选：． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象经过上的点，与交于点，是的中点，连接． (1)求点的坐标； (2)点是边上一点，若，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，反比例函数和一次函数的性质，相似三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，又的坐标为，为的中点，则，，，求出，故有双曲线的解析式为，然后把纵坐标代入解析式即可； （）当时，，即，所以，得出，然后根据待定系数法即可求解． 【规范解答】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的坐标为，为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点在双曲线（）上， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴， ∵， 当时，， 即， ∴， ∴， ∴， 此时设直线的解析式为， 把，的坐标代入， 得解得， ∴直线的解析式为 综上所述，若和相似，则直线的解析式． 基础夯实 1．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力． 先根据正比例函数和反比例函数图象的性质得反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为，然后观察函数图象得到当或时，反比例函数图象都在正比例函数图象下方，即． 【规范解答】解：∵反比例函数和正比例函数的交点关于原点中心对称， ∴反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为， ∴当或时，． 故选：． 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如果函数是反比例函数，那么的值为（   ） A．6 B． C．1 D．2或3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数的定义．反比例函数的形式为，因此需满足指数为且系数非零，据此进行分析，即可作答． 【规范解答】解：∵函数是反比例函数， ∴ ∴ 解得， 故选：C 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图像的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出结论． 【规范解答】解：∵一次函数和反比例函数图像相交于，， ∴根据函数图像可知：当或时，一次函数图像在反比例函数图象下方，即． 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，熟练掌握图象法确定不等式的解集是关键．利用图象法确定不等式的解集即可． 【规范解答】解：由图象可知，不等式的解集为：或． 故答案为：或． 5．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． (1)待定系数法求出函数解析式； (2)将代入，求得的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果． 【规范解答】（1）由题意可设 点在函数的图象上， ，， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，，， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，． 培优拔高 6．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为1，则k的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】过点E作，则，设，由，可得，再，列方程，即可得出k的值． 【规范解答】解：过点E作，则， ， ， 设， ， ， ， ， 即，解得：， 故选：C． 7．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，下列说法正确的是（   ） A．①是反比例函数的图象 B．②是反比例函数的图象 C．③的函数值比②的函数值大 D．随着的增大，的图象的位置相对于坐标原点越来越远 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可得． 【规范解答】解：∵在三个反比例函数，，中，， ∴它们在轴上方的图象中，①是反比例函数的图象，②是反比例函数的图象，③是反比例函数的图象，则选项A和B均错误； 由函数图象可知，当自变量的值相同时，③的函数值比②的函数值大，则选项C错误； 对于反比例函数，当自变量的值相同时，随着的增大，其函数值的绝对值也越大，图象的位置相对于坐标原点越来越远，则选项D正确； 故选：D． 8．（2025·陕西·模拟预测）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在对角线上的点处．若点在一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知翻折特征和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 先过E作，垂足为点F，根据翻折可知，再由勾股定理和相似三角形的性质，求出E点坐标，利用待定系数法解答即可． 【规范解答】过E作，垂足为点F， 由已知条件可知，， ， 易知， ， 又， ， 则E点坐标为， 设这个反比例函数为， ∴ 则． 故答案为：． 9．（2025·广东清远·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理，连接交于点D，先根据矩形的性质得点D是、的中点，，设，则，再得，，然后根据勾股定理得，即，解方程即可得解． 【规范解答】解：如图，连接交于点D， ∵四边形为矩形， ∴点D是、的中点，， 设，则， ∴， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)16 (3)或 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再把点和点的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者的交点处的自变量的取值范围即可得到答案； 【规范解答】（1）把点代入， ， 反比例函数解析式为， 在上， ， ， ， 把，代入一次函数解析式中， ， ， ； （2）由（1）可得，一次函数解析式为， 令，则， ， ， ； （3）由函数图象可知，当或时，， 当时，的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $