专题6.3 反比例函数的应用（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点讲练讲义

专题6.3 反比例函数的应用 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：反比例函数在实际问题中的应用 1 知识点梳理02：反比例函数与一次函数图象的交点 2 知识点梳理03：反比例函数在其他学科中的应用 2 优选题型 考点讲练 2 模型讲练01：求反比例函数解析式 2 模型讲练02：实际问题与反比例函数 7 模型讲练03：反比例函数与几何综合 11 模型讲练04：一次函数与反比例函数图象综合判断 17 模型讲练05：一次函数与反比例函数的交点问题 20 模型讲练06：一次函数与反比例函数的实际应用 26 模型讲练07：一次函数与反比例函数的其他综合应用 29 中考真题 实战演练 33 难度分层 拔尖冲刺 37 基础夯实 37 培优拔高 44 知识点梳理01：反比例函数在实际问题中的应用 1．基本思路 建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2．一般步骤 （1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 知识点梳理02：反比例函数与一次函数图象的交点 求两个函数图象的交点，即图象的公共点，往往把两个函数的表达式联立组成方程组，方程组的解就是交点的坐标。 （1）正比例函数与反比例函数，当与同号时，正比例函数的图象与反比例函数的图象有两个交点，交点坐标就是它们的表达式联立组成的方程组的解，且两个函数图象的交点关于原点对称；当与异号时，两个函数的图象没有交点。 （2）一次函数与反比例函数的图象的交点个数有三种情况：1个，2个，0个。因为两个函数表达式联立组成一个二元方程组，可化成一个一元二次方程，所以两个函数图象的交点个数由这个一元二次方程的判别式来决定。 知识点梳理03：反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 模型讲练01：求反比例函数解析式 【典例精讲】（2025·江西吉安·二模）如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点作轴，垂足为点C，连接． (1)求直线和反比例函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)直线的解析式为，反比例函数解析式为 (2)的面积为 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）把点代入和，可得直线和反比例函数解析式； （2）先求出点B的坐标，再根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【规范解答】（1）解：把代入， 得，解得， 直线的解析式为． 把代入，得， 反比例函数的解析式为． （2）解：联立函数解析式，得 解得或 ． 轴于点C，， ，． ． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴重合，点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，点在线段上，且为等腰直角三角形． (1)求反比例函数的表达式． (2)直接写出直线与反比例函数的图象的交点横坐标． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立函数解析式解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，正确求出函数解析式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点的坐标为，四边形是矩形， ∴ ，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，得， 解得， ∵， ∴， 即直线与反比例函数的图象的交点横坐标为． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． (1) ； ； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 ； (3)求的面积； (4)若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)2，1 (2)或 (3) (4)P点坐标为，， 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，从而得出的值，再将代入反比例函数的解析式计算即可得解； （2）由（1）可得，再结合函数图象即可得解； （3）求出一次函数的解析式为，从而可得，即，再由计算即可得解； （4）利用平行四边形的性质，分三种情况：当、为邻边时；当、为邻边时；当、为邻边时；分别计算即可得解. 【规范解答】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数的解析式可得， 解得； （2）解：由（1）可得， 由函数图象可得：关于的不等式的解集为或； （3）解：∵一次函数经过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， 当时，，故，即， 又∵、， ∴； （4）解：如图：设， ∵以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形， ∴①当、为邻边时，，，， 则， 解得： ∴； ②当、为邻边时，，，， 则， 解得：， ∴； ③当、为邻边时，，，，， 则， 解得：， ∴． 综上，P点坐标为，，. 模型讲练02：实际问题与反比例函数 【典例精讲】（2025九年级上·山东·专题练习）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．水温从升高到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目—浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息，数形结合是解决本题的关键． 【规范解答】解：A、∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从升高到，需要的时间为，故A选项不符合题意． B、由题意可得点在反比例函数的图象上， 设反比例函数的解析式为， 将点代入，可得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意． C、令，则， ∴， 即饮水机每经过，要重新从开始加热一次， 从8点至9点30分，经过的时间为，， 而水温加热到，需要的时间为， 故9点30分时，饮水机第三次从开始加热了， 令，则， 即9点30分时，饮水机的水温为，故C选项不符合题意． D、水温从升高到所需要的时间为， 令，则， 解得， ∴水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式训练1】（25-26九年级上·广西桂林·期中）如今太阳能进入了千家万户，一个容量为240升的太阳能热水器，每次排完水后才能再次蓄水，若设在蓄满水后能连续排水的时间是y分钟，每分钟的排水量为x升． (1)写出y与x的函数关系式； (2)若该热水器连续排水的最长时间是1个小时，求自变量x 的取值范围； (3)若每分钟排水5升，则该热水器连续排水的时间是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)该热水器连续排水的时间是48分钟． 【思路点拨】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，根据题意准确地列式是解题的关键． （1）根据工作时间乘以每分钟的排水量等于总容量，可得出y与x的关系式． （2）根据反比例函数的性质可得在每一个象限内，y随x的增大而减小，即可． （3）当时，求得y的值即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：y与x的函数关系式为； （2）解：∵热水器连续工作最长时间是1小时， ∴， ∵函数在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∴当时，x最小，最小值为， 解得：， ∴自变量的取值范围为； （3）解：当时，， ∴该热水器连续排水的时间是48分钟． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)若想要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点到的距离为米，是否符合要求？ 【答案】(1)； (2); (3) 【思路点拨】本题考查反比例函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求反比例函数的关系式． 由米，，可知点的坐标是，利用待定系数法求出段滑梯所在的双曲线的解析式； 设点的坐标是，代入中的解析式求出的值，用点横坐标减去点横坐标即为，之间的水平距离； 设点的坐标是，把点的坐标代入中的解析式求出值，根据值判断是否符合要求 ． 【规范解答】（1）解： 米，， 点的坐标是， 设双曲线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 段滑梯所在的双曲线的解析式是； （2）解：出口点距离水面的距离为米， 设点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 点，之间的水平距离为； （3）解：点到的距离为米，则点的横坐标是， 设点的坐标是， 把代入， 可得：， 符合要求． 模型讲练03：反比例函数与几何综合 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图1，已知反比例函数的图象与矩形的边分别交于点与点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)连接交反比例函数的图象于点，若，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作轴的平行线交于点，连接．记与四边形的面积分别为与，求证：为定值． 【答案】(1)该反比例函数的表达式为； (2)点的坐标为； (3)证明过程见解析． 【思路点拨】本题考查求反比例函数的解析式，矩形的性质，反比例函数与几何综合． （1）把代入，可得，即可得反比例函数的表达式； （2）由矩形的性质，结合点，可得，从而可得，代入反比例函数的表达式，可得，可得，从而可得，代入反比例函数的表达式，可得，即可得点的坐标； （3）设直线的解析式为，由矩形的性质，反比例函数的解析式，结合已知可得，，，可得四边形为梯形，代入对应的面积公式，可得，，计算，即可证得结论． 【规范解答】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴该反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点在上， ∴， 设， ∵， ∴点是的中点， ∴，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． （3）证明：设直线的解析式为， ∵四边形是矩形，点在上， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴四边形为梯形， ∴，， ∴， ∴为定值． 【变式训练1】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（）． (1)P的坐标是 ；Q的坐标是 ；（用含字母a，t的式子表示） (2)若反比例函数图象经过P点、Q点，求a的值； (3)当Q点运动到中点时，是否存在a使为直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，a的值为 【思路点拨】（1）由矩形的性质可得，，由题意可得，，即可得解； （2）由反比例函数的性质可得，计算即可得解； （3）由题意可得，，，，再分两种情况：①当时；②当时；分别利用相似三角形的性质计算即可得解． 【规范解答】（1）解：∵O为坐标原点，四边形为矩形，，， ∴，， ∵点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（）， ∴，， ∴，； （2）解：∵反比例函数图象经过P点、Q点， ∴， ∴； （3）解：存在 理由：∵Q为的中点， ∴， 由题意可得：，， ∴， ①当时，则， ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 整理得：， ∵， ∴此方程无解，即此种情况不存在； ②当时，则， ， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∵， ∴， 即， 解得； 综上，存在a使为直角三角形，a的值为． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接，若的面积是30，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质．设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴ 过点D作轴于点， ∵矩形， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：B． 模型讲练04：一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆·期中）如图1，在中，为边上的高，，，，动点P从点B出发，沿以1个单位每秒的速度运动，到达点C时停止运动，设点P运动的时间为，过点P作交的边于点Q，点P，Q的距离为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)关于x的表达式为和，关于x的表达式为 (2)作图见详解，当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小（答案不唯一，言之有理即可） (3)x的取值范围是或 【思路点拨】本题考查了函数与几何动点综合问题，包括一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质及相似三角形的判定与性质． （1）根据题意得到，的值，再分情况讨论点P的位置，由题意得，，证明，，得到的表达式，求出的面积进而求得的表达式； （2）根据（1）的解析式将图象画在网格中即可，需注意x的取值，由图象可知函数的性质，任写一条即可； （3）将分别代入的两个解析式，解得x的值，再利用图象可求得x的取值范围． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， 当点P在段时， 由题意知，，则， ∵，， ∴， ∴， 即，则， ∴， 当点P在段时， 同理：， ∴，则， ∴， ∵， ∴的面积与点P运动路程之比， 综上所述，关于x的表达式为和，关于x的表达式为． （2）解：如图所示为所求： 由图象可知，当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小． （3）解：由图象可知，将分别代入的两个解析式可得： ，解得（舍去），；，解得，（舍去）， ∴当时，x的取值范围是或． 【变式训练1】（2025九年级上·山东·专题练习）关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一次函数及反比例函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数：当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限． 根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系依次分析各项即可． 【规范解答】A、从一次函数的图象知与反比例函数的图象一致，正确； B、从一次函数的图象从左向右上升知，而与y轴的负半轴相交知相矛盾，错误； C、从一次函数的图象从左向右上升知，而与y轴的负半轴相交知相矛盾，错误； D、因为，所以一次函数的图象不过原点，错误； 故选． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查反比例函数与一次函数图像和系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据反比例函数与一次函数图像与系数的关系逐项判断即可． 【规范解答】解：一次函数中，，故与y轴交于负半轴， ∴只能选B或C选项， 当一次函数过一、三象限时，，反比例函数应该过一、三象限 ∴C选项错误， 故选：B． 模型讲练05：一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南常德·期中）已知直线与双曲线分别交于、两点．若点的坐标为，点的坐标为 (1)分别求出直线与双曲线的解析式； (2)若将直线向下平移个单位得到直线，当为何值时，直线与双曲线有且只有一个交点． 【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为； (2)当时，直线与双曲线有且只有一个交点． 【思路点拨】（1）把代入，可得，即可得双曲线的解析式，把代入双曲线的解析式，可得，即可得点的坐标，把点和点的坐标代入，可得和，即可得直线的解析式； （2）由一次函数图像的平移规律，可得直线的解析式，与双曲线的解析式联立，令，结合，即可得的值． 【规范解答】（1）解：把代入，得， 解得， ∴双曲线， 把代入，得， ∴， ∵，在直线上， ∴， 解得， ∴直线， ∴直线的解析式为，双曲线的解析式为． （2）解：直线：， 由得 ， ∵直线与双曲线有且只有一个交点， ∴，， 解得或， 符合题意， 时，由得，与矛盾， ∴当时，直线与双曲线有且只有一个交点． 【变式训练1】（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点C． (1)求，，m (2)根据函数图象可知，当时，x的取值范围是 ； (3)过点A作轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线与线段交于点E，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)；； (2)和 (3) 【思路点拨】（1）将点B代入和，可求出，，把代入反比例函数解析式，求出m的值即可； （2）由图象可知，或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面，即可得出答案； （3）先求出四边形的面积，从而求出的长，然后得出点E的坐标，最后求出直线的解析式即可得出点P的坐标． 【规范解答】（1）解：把代入得， 解得：， ∴一次函数解析式为； 把代入得， ∴反比例函数解析式为； 把代入得：； （2）解：∵当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴时，x的取值范围为或； （3）解：由（1）知，，， 把代入得：， ∴点C的坐标是，点A的坐标是， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点E在直线上， ∴直线的解析式是， 联立， 解得：，， ∵点P在第一象限， ∴点P的坐标为． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点，点的坐标为，点的横坐标为5，一次函数与轴交于点． (1)求的值； (2)如图1，点是第二象限内反比例函数上一动点，连接，．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，．求的最小值； 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，平行四边形的性质与判定，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案； （2）先求出点C的坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，进一步求出点D的纵坐标即可得到点D的坐标； （3）取，连接，可证明四边形是平行四边形，得到，则可证明当B、F、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， ∴； （2）解：由（1）得一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵点D在第二象限， ∴， 在中，当时，， ∴； （3）解：如图所示，取，连接， ∴轴， ∵，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当B、F、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 模型讲练06：一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【思路点拨】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【规范解答】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 【变式训练1】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求当时，y的值． 【答案】 【思路点拨】此题考查求函数解析式，已知自变量的值求函数值，由题意设，代入对应值求出解析式，再将代入，求出y的值． 【规范解答】解：由题意设，则 当时，；当时，， ，解得， 函数解析式为 当时，． 【变式训练2】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 【答案】能，理由见解析 【思路点拨】本题考查一次函数和反比例函数图象性质：对于，当时，，求出；设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入求出k；在反比例函数中，令，求出y与1进行比较即可． 【规范解答】解：能安全进入教室，理由如下： 一间教室的药物喷洒时间为5， 当时，，故点， 设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入上式并解得， 故反比例函数表达式为， ， 当时，， 故校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能安全进入教室． 模型讲练07：一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点． (1)求a的值； (2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围； (3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标． 【答案】(1)a的值为8 (2)的取值范围为或 (3)点的坐标为或 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用（包括解析式求解、图象与不等式关系）、线段比例的坐标转化（利用共线点坐标比例关系）．解题的关键是：（1）利用反比例函数过已知点求参数，进而求未知点纵坐标；（2）结合两函数交点横坐标与图象位置判断不等式解；（3）通过“共线于原点的点横纵坐标成比例”转化线段比例，结合反比例函数性质求点坐标． （1）将代入反比例函数求，再将代入反比例函数求； （2）根据两交点、的横坐标，观察图象确定反比例函数在一次函数上方时的范围； （3）先求一次函数解析式，设，由得，结合、、共线得的横纵坐标为的，代入反比例函数求，进而得坐标． 【规范解答】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 又∵点在的图象上， ∴将代入，得． ∴a的值为8． （2）解：由（1）知两函数交点为、，观察图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围为或． （3）解：∵一次函数过、， ∴代入得， 用第一个方程减第二个方程：，即， 解得， 将代入，得，即， 解得， ∴一次函数解析式为， 设点的坐标为（，因在线段上）， ∵，且、、在同一直线上， ∴，即， ∵点在上，且为原点， ∴的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的（共线于原点的点，坐标成比例）， ∴的坐标为， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 化简右边：，方程变为， 两边同乘去分母：， 即， 两边除以得， 因式分解：， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时，均在线段上， 故点的坐标为或． 【变式训练1】（2024·山西·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C，若，则k的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一次函数和反比例函数，求出A点坐标是解题关键．先求出C，B坐标，从而求出OC，OB长度，由得，据此可求A点横坐标，代入即可求出A点纵坐标，将A点坐标代入即可得到k的值． 【规范解答】对于直线， ， ， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 带入得， 故答案为：． 【变式训练2】（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【答案】(1) (2)小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【思路点拨】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式，进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 1．（2024·安徽阜阳·中考真题）如图，矩形与反比例函数()的图象交于点M，N，与反比例函数()的图象交于点B，连接，，则四边形的面积为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查矩形性质、反比例函数（）中的几何意义，解题的关键是用的几何意义求相关三角形面积，再通过矩形与三角形面积关系算四边形面积． 设，由在得（矩形面积）；、在上，用的几何意义得、面积均为；矩形面积减两三角形面积和即得四边形面积． 【规范解答】解：设（）． ∵ 在上， ∴ ，即（矩形面积为）． ∵ 在上且在上，横坐标为，纵坐标为， ∴ 面积． 同理，在上且在上，面积 ∴ 四边形面积． 故答案为：． 2．（2024·广东清远·中考真题）如图，双曲线经过的两顶点轴交轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为，则的值为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，表示出A、C的坐标是解题的关键． 由题意可知，，利用的面积为，得到，解方程求得的值． 【规范解答】解：∵轴， 由题意可知，， ∵的面积为， ， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 3．（2024·贵州铜仁·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为15 ②点的坐标为 ③当时，一次函数的值大于反比例函数的值 其中结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数是解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质逐项判断即可． 【规范解答】解：①由题意知，，， ∴，故该序号正确； ②联立， 得：， ， ， ∵， ∴，此时， ∴，故此序号正确； ③由图像知，当时，直线一直在的图象上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值 综上，正确的结论有3个． 故选：D ． 4．（2024·山东菏泽·中考真题）如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长至点B使得，过点B作轴，垂足为C，与反比例函数图像交于点D，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，已知比例系数求特殊图形的面积，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先设，再求得，从而可求得，，再分别用表示出与，利用三角形面积公式求解即可． 【规范解答】解：∵反比例函数与过原点的直线交于点A， ∴设， ∵延长至点B使得， ∴点A为的中点， ∴， ∵轴，垂足为C，与反比例函数图像交于点D， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 5．（2024·辽宁大连·中考真题）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．小明利用一个最大电阻为欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为欧姆时，电流为安培． (1)求电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若，求电流的变化范围． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键． （1）设函数解析式为，把当电阻为欧姆时，电流为安培，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案． 【规范解答】（1）解：设电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式为, 当电阻为欧姆时，电流为安培， ， 电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式为； （2）当时，，当时，， 当时，电流的变化范围． 基础夯实 1．（25-26九年级上·广西桂林·期中）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握两类函数的图象与性质． 分两种情况讨论，分别得出两个函数图象的位置，再作出判断． 【规范解答】解：当时，，反比例函数的图象位于第二、四象限， 对于一次函数，，图象从左向右呈上升趋势；，图象与y轴交于正半轴．没有选项符合； 当时，，反比例函数的图象位于第一、三象限， 对于一次函数：，图象从左向右呈下降趋势；，图象与y轴仍交于正半轴．故B符合． 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东济南·期中）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查一次函数与反比例函数的图象．根据m，n的符号讨论一次函数与反比例函数的图象所在的象限，再找出符合的选项即可． 【规范解答】解：当，时，，，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限； 当，时，，，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，B选项符合； 当，时，，，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限； 当，时，，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限． 故选：B． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了待定系数法求得反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据反比例函数定义，设解析式为，代入点 求出，得到函数解析式．然后验证各选项点是否满足解析式． 【规范解答】解：设解析式为， ∵ 反比例函数图象过点， 代入得：， ∴ 函数解析式为， A、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意； B、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意； C、当 时， ，满足，故本选项符合题意； D、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意． 故选：C 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）下表是8个面积相等的矩形的长与宽． 长 1 2 3 4 5 宽 2 1 设为这8个矩形的公共角，画出这8个矩形，然后取的8个对角的顶点，并把这8个点用平滑的曲线顺次连接起来．设矩形的长为（单位：），宽为（单位：），则这条曲线对应的函数表达式为 ．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数的实际应用，解题的关键是根据矩形面积相等得出长和宽的反比例关系，进而确定函数表达式． 根据矩形面积相等，长与宽满足反比例关系，由表中数据求面积后确定函数表达式． 【规范解答】解：设矩形面积为S，则，由表可知，当时，，代入得，因此，即， 故曲线对应的函数表达式为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ． 【答案】1 【思路点拨】此题考查了反比例函数的性质，将点A坐标代入反比例函数解析式求出比例系数k，再代入点B横坐标求纵坐标a． 【规范解答】∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． ∵点在函数图象上， ∴将代入解析式，得． 故答案为：1． 6．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）正比例函数与反比例函数有一个交点的纵坐标是2，当时，反比例函数的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数图像性质，准确分析判断是解题的关键． 先根据交点纵坐标求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质，结合自变量取值范围求解函数值的范围． 【规范解答】由题，正比例函数 与反比例函数有一个交点的纵坐标为，代入得，故交点为， 代入反比例函数得，解得，故反比例函数为， 当时，；当时，； ，反比例函数在时，随的增大而减小， 当时，的取值范围为； 故答案为． 7．（2025九年级上·北京·专题练习）将反比例函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得新图象的函数解析式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的平移规律． 根据“左加右减自变量，上加下减函数值”作答即可． 【规范解答】解：向右平移2个单位：， 向上平移1个单位：， ∴新函数解析式为：． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，设反比例函数（为常数，）的图象与一次函数（，b为常数，的图象交于点，． (1)求的值和一次函数表达式； (2)当时，直接写出的取值范围； 【答案】(1)， (2)或 【思路点拨】本题主要考查了求一次函数关系式，求反比例函数关系式，一次函数与反比例函数的交点求不等式的解集， 对于（1），将点代入反比例函数关系式，即可求出，进而求出点，再将点A，B坐标代入直线关系式可得答案； 对于（2），根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围即为答案． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴点． ∵一次函数经过点A，B， ∴， 解得点， ∴一次函数关系式为点； （2）解：由图象可知，当时，或． 9．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当气球的体积为时，气球内气体的气压是多少？ 【答案】(1) (2)当气球的体积为时，气球内气体的气压是 【思路点拨】此题考查实际问题与反比例函数． （1）设p与V的函数关系式为，把代入，然后即可求解； （2）把代入，然后即可求解； 【规范解答】（1）解：设p与V的函数关系式为， 由题可得：把代入， 则， 解得， 函数关系式为． （2）解：当时，把代入， ． 当气球的体积为时，气球内气体的气压是． 10．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）李先生利用分期付款的方式购买了一套房子，价格24万元，交了首付之后每年付款y万元与x年结清余款的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)确定y与x的函数关系式； (2)李先生若用10年结清余款，每年应付多少元？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查反比例函数的应用，根据已知条件找准等量关系是解题的关键． （1）设，把点代入函数表达式得到的值，据此确定y与x的函数关系式即可； （2）根据题意，李先生若用10年结清余款，即，代入（1）中y与x的函数关系式，求解函数值即可． 【规范解答】（1）解：设， 把点代入函数表达式得：，即， 因此y与x的函数关系式为：； （2）解：由（1）知，y与x的函数关系式为：， 李先生若用10年结清余款，即， 则万元元． 答：李先生若用10年结清余款，每年应付元． 培优拔高 11．（25-26九年级上·河南郑州·期中）小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．由图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为100字/分钟时，录入时间为15分钟 C．小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字 D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的解析式求解及利用函数性质分析实际问题是解题的关键． 本题围绕反比例函数在实际问题中的应用展开，需先确定反比例函数解析式，再结合各选项的条件分别进行分析计算． 【规范解答】解：设反比例函数解析式为． ∵图象经过点， ∴， 解得，即，文章总字数为字． 由，当，时，总字数为字，故A正确． 当时，，故B正确． 从到共分钟，即，则，解得，故小丽每分钟至少应录入字，C错误． 原计划速度，则原计划时间分钟； 实际速度，实际时间分钟； 提前时间为分钟，故D正确． 故选：C． 12．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等； ②与的面积一定不相等； ③不一定是锐角三角形； ④一定不是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【思路点拨】设点M坐标为，点N坐标为，则，，，，，，可用a，b表示出，，即可判断①；用a，b表示出，，可知当与的面积相等时，M，N重合，与题意不符，可判断②；根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据M，N是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【规范解答】解：设点M坐标为，点N坐标为， 则，，， ∴，，，，，， ∴，， ∴， 即与的面积一定相等， 故结论①错误； ， ， 当与的面积相等时，，即， 当时，M，N重合，与题意不符， ∴与的面积一定不相等， 故结论②正确； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形， 故结论④错误； 如图： 当M，N在的同侧时，可能是钝角三角形， 故结论③正确； 综上，①④错误、②③正确． 故选：C． 13．（25-26九年级上·广西南宁·期中）细胞的相对表面积（）是指细胞的表面积与其体积的比，生物学中，细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）成反比例函数关系，如图所示．下列说法错误的是（   ） A．细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）之间的函数关系式为（） B．细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小 C．若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为 D．细胞的半径每增大，相对表面积的减少量相同 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数的性质逐一排除即可，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【规范解答】解：、设细胞的相对表面积与细胞的半径之间的函数关系式为， 当时，， ∴， ∴， ∴函数关系式为，原选项正确，不符合题意； 、细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小，原选项正确，不符合题意； 、若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为，原选项正确，不符合题意； 、细胞的半径每增大，相对表面积的减少量不相同，原选项错误，符合题意； 故选：D． 14．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，为反比例函数图象上的两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接和，图中阴影部分面积的和为，直线与反比例函数的图象交于点，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，函数图象上点的坐标特征，完全平方公式的变形运算，由反比例函数比例系数的几何意义可得，即得，得到反比例函数解析式为，再根据函数图象上点的坐标特征可得，，再根据完全平方公式进行变形运算即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可得，， ∵阴影部分面积的和为， ∴， ∴， ∵反比例函数图象分布在第一象限， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点是两函数图象的交点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于E点，边AC与此函数图象交于C、D两点，且，，则k的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，巧设点的坐标是解答本题的关键．设点A的坐标为则，，，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【规范解答】解：设点A的坐标为则，，， ，， ， ， ， 解得， 故答案为： 16．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知反比例函数和在第二象限的图象，过上任意一点作轴的垂线交于点，交轴于点，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，连接，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 设，则，则，易得，进而证明可得，即，然后求解即可． 【规范解答】解：设，则， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像在第一象限内交于点，与轴，轴分别交于点，若，则的值为 ．    【答案】2 【思路点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，中点公式，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出一次函数的解析式，再，然后根据，，得出，依题意，列式，解得，即，代入求出的值． 【规范解答】解：依题意，把代入， 得， 解得， ∴一次函数， 设， ∵，， ∴ ∴ 则 ∵一次函数的图像与反比例函数的图像在第一象限内交于点， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴舍去， ∴， 即， 则， ∴， 故答案为：2 18．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案； （2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的时间，即可得答案． 【规范解答】（1）解：材料锻造时，设， 由题意得，解得， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ， 所以第一次锻造操作的时长是； （2），所以煅烧时温度每分钟上升， ，所以第二次煅烧需要， ，所以第二次开始锻造的时间是第． 19．（2025·江西抚州·二模）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，，以为斜边作等腰直角，边交反比例函数的图象于点，的延长线交反比例函数的图象于点，若． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了反比例函数与几何图形综合，待定系数法求反比例函数解析式； （1）根据等腰直角三角形的性质，勾股定理求得，根据已知得出，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，进而求得，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）过点作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，设，则得出，代入反比例函数解析式，得出的坐标，进而求得的长，根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，如图所示， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 代入，； （2）解：如图，过点作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形， 设，则，， ∵在上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于、，且直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若不等式成立，则的取值范围是________； (3)连接，直接写出的面积________； (4)若直线与轴平行，且与双曲线交于点，与直线交于点，连接、，当的面积是面积的时，直接写出的值________． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)或； (3)； (4)或或． 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，函数图象解不等式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，然后利用待定系数法即可求解； （）根据图象即可求解； （）由（）得直线的解析式为，，则有，所以，然后通过即可求解； （）由（）得直线的解析式为，则，，所以，然后分当时和时两种情况进行求解并检验即可． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数的图象过， ∴，解得：， ∴， ∵直线图象过 、， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由图象可知：不等式成立，则的取值范围是或， 故答案为：或； （3）解：如图， 由（）得直线的解析式为，， 当时，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：； （4）解：如图， 由（）得直线的解析式为， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积是面积的， ∴当时， ， ， 整理得：， 解得：或， 经检验：或是原方程的解， 当时， ， ， 整理得：， 解得：或， 经检验：或是原方程的解， ∵， ∴， 故答案为：或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 反比例函数的应用 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：反比例函数在实际问题中的应用 1 知识点梳理02：反比例函数与一次函数图象的交点 2 知识点梳理03：反比例函数在其他学科中的应用 2 优选题型 考点讲练 2 模型讲练01：求反比例函数解析式 2 模型讲练02：实际问题与反比例函数 4 模型讲练03：反比例函数与几何综合 6 模型讲练04：一次函数与反比例函数图象综合判断 7 模型讲练05：一次函数与反比例函数的交点问题 8 模型讲练06：一次函数与反比例函数的实际应用 10 模型讲练07：一次函数与反比例函数的其他综合应用 11 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 18 知识点梳理01：反比例函数在实际问题中的应用 1．基本思路 建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2．一般步骤 （1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 知识点梳理02：反比例函数与一次函数图象的交点 求两个函数图象的交点，即图象的公共点，往往把两个函数的表达式联立组成方程组，方程组的解就是交点的坐标。 （1）正比例函数与反比例函数，当与同号时，正比例函数的图象与反比例函数的图象有两个交点，交点坐标就是它们的表达式联立组成的方程组的解，且两个函数图象的交点关于原点对称；当与异号时，两个函数的图象没有交点。 （2）一次函数与反比例函数的图象的交点个数有三种情况：1个，2个，0个。因为两个函数表达式联立组成一个二元方程组，可化成一个一元二次方程，所以两个函数图象的交点个数由这个一元二次方程的判别式来决定。 知识点梳理03：反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 模型讲练01：求反比例函数解析式 【典例精讲】（2025·江西吉安·二模）如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点作轴，垂足为点C，连接． (1)求直线和反比例函数解析式； (2)求的面积． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴重合，点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，点在线段上，且为等腰直角三角形． (1)求反比例函数的表达式． (2)直接写出直线与反比例函数的图象的交点横坐标． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． (1) ； ； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 ； (3)求的面积； (4)若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 模型讲练02：实际问题与反比例函数 【典例精讲】（2025九年级上·山东·专题练习）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．水温从升高到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为 【变式训练1】（25-26九年级上·广西桂林·期中）如今太阳能进入了千家万户，一个容量为240升的太阳能热水器，每次排完水后才能再次蓄水，若设在蓄满水后能连续排水的时间是y分钟，每分钟的排水量为x升． (1)写出y与x的函数关系式； (2)若该热水器连续排水的最长时间是1个小时，求自变量x 的取值范围； (3)若每分钟排水5升，则该热水器连续排水的时间是多少？ 【变式训练2】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)若想要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点到的距离为米，是否符合要求？ 模型讲练03：反比例函数与几何综合 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图1，已知反比例函数的图象与矩形的边分别交于点与点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)连接交反比例函数的图象于点，若，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作轴的平行线交于点，连接．记与四边形的面积分别为与，求证：为定值． 【变式训练1】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（）． (1)P的坐标是 ；Q的坐标是 ；（用含字母a，t的式子表示） (2)若反比例函数图象经过P点、Q点，求a的值； (3)当Q点运动到中点时，是否存在a使为直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接，若的面积是30，则的面积为（   ） A． B． C． D． 模型讲练04：一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆·期中）如图1，在中，为边上的高，，，，动点P从点B出发，沿以1个单位每秒的速度运动，到达点C时停止运动，设点P运动的时间为，过点P作交的边于点Q，点P，Q的距离为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【变式训练1】（2025九年级上·山东·专题练习）关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 模型讲练05：一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南常德·期中）已知直线与双曲线分别交于、两点．若点的坐标为，点的坐标为 (1)分别求出直线与双曲线的解析式； (2)若将直线向下平移个单位得到直线，当为何值时，直线与双曲线有且只有一个交点． 【变式训练1】（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点C． (1)求，，m (2)根据函数图象可知，当时，x的取值范围是 ； (3)过点A作轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线与线段交于点E，当时，求点P的坐标． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点，点的坐标为，点的横坐标为5，一次函数与轴交于点． (1)求的值； (2)如图1，点是第二象限内反比例函数上一动点，连接，．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，．求的最小值； 模型讲练06：一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【变式训练1】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求当时，y的值． 【变式训练2】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 模型讲练07：一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点． (1)求a的值； (2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围； (3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标． 【变式训练1】（2024·山西·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C，若，则k的值为 ． 【变式训练2】（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 1．（2024·安徽阜阳·中考真题）如图，矩形与反比例函数()的图象交于点M，N，与反比例函数()的图象交于点B，连接，，则四边形的面积为 ． 2．（2024·广东清远·中考真题）如图，双曲线经过的两顶点轴交轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为，则的值为 ． 3．（2024·贵州铜仁·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为15 ②点的坐标为 ③当时，一次函数的值大于反比例函数的值 其中结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024·山东菏泽·中考真题）如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长至点B使得，过点B作轴，垂足为C，与反比例函数图像交于点D，则（    ） A．3 B． C．6 D． 5．（2024·辽宁大连·中考真题）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．小明利用一个最大电阻为欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为欧姆时，电流为安培． (1)求电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若，求电流的变化范围． 基础夯实 1．（25-26九年级上·广西桂林·期中）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东济南·期中）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）下表是8个面积相等的矩形的长与宽． 长 1 2 3 4 5 宽 2 1 设为这8个矩形的公共角，画出这8个矩形，然后取的8个对角的顶点，并把这8个点用平滑的曲线顺次连接起来．设矩形的长为（单位：），宽为（单位：），则这条曲线对应的函数表达式为 ．（不用写自变量的取值范围） 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ． 6．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）正比例函数与反比例函数有一个交点的纵坐标是2，当时，反比例函数的取值范围是 ． 7．（2025九年级上·北京·专题练习）将反比例函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得新图象的函数解析式为 ． 8．（25-26九年级上·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，设反比例函数（为常数，）的图象与一次函数（，b为常数，的图象交于点，． (1)求的值和一次函数表达式； (2)当时，直接写出的取值范围； 9．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当气球的体积为时，气球内气体的气压是多少？ 10．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）李先生利用分期付款的方式购买了一套房子，价格24万元，交了首付之后每年付款y万元与x年结清余款的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)确定y与x的函数关系式； (2)李先生若用10年结清余款，每年应付多少元？ 培优拔高 11．（25-26九年级上·河南郑州·期中）小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．由图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为100字/分钟时，录入时间为15分钟 C．小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字 D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 12．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等； ②与的面积一定不相等； ③不一定是锐角三角形； ④一定不是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 13．（25-26九年级上·广西南宁·期中）细胞的相对表面积（）是指细胞的表面积与其体积的比，生物学中，细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）成反比例函数关系，如图所示．下列说法错误的是（   ） A．细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）之间的函数关系式为（） B．细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小 C．若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为 D．细胞的半径每增大，相对表面积的减少量相同 14．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，为反比例函数图象上的两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接和，图中阴影部分面积的和为，直线与反比例函数的图象交于点，则的值为 ． 15．（25-26九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于E点，边AC与此函数图象交于C、D两点，且，，则k的值为 ． 16．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知反比例函数和在第二象限的图象，过上任意一点作轴的垂线交于点，交轴于点，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，连接，则 ． 17．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像在第一象限内交于点，与轴，轴分别交于点，若，则的值为 ．    18．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 19．（2025·江西抚州·二模）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，，以为斜边作等腰直角，边交反比例函数的图象于点，的延长线交反比例函数的图象于点，若． (1)求的值； (2)求的长． 20．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于、，且直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若不等式成立，则的取值范围是________； (3)连接，直接写出的面积________； (4)若直线与轴平行，且与双曲线交于点，与直线交于点，连接、，当的面积是面积的时，直接写出的值________． 学科网（北京）股份有限公司 $