期末全册复习专题（8大考点23类题型）- 2025-2026学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义通过“8大考点23类题型”的框架系统构建知识体系，以目录形式梳理基础篇（概念定义、图形识别等）、综合篇（综合运算应用、跨章节综合）、培优篇（几何变换压轴等）的脉络，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，★基础题夯实运算能力（如求解一元二次方程），★★综合题培养模型意识（如相似三角形测量问题），★★★压轴题发展推理意识（如几何变换探究），助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

期末全册复习专题（8大考点23类题型） （北师大版九上） 目录 一.基础篇 2 【考点一】概念与定义判断 2 【★题型1】一元二次方程 2 【★题型2】投影与视图 4 【★题型3】反比例函数定义 6 【★题型4】特殊平行四边形 8 【考点二】图形识别 10 【★题型5】相似（位似）图形 10 【★题型6】投影与视图 13 【考点三】巩固基本运算 16 【★题型7】求解一元二次方程 16 【★题型8】根的判别式与根与系数关系 19 【★题型9】求几何概率 23 【★题型10】用树状图或图表求概率 27 【考点四】性质与判定辨析 33 【★题型11】特殊平行四边形性质与判定 33 【★题型12】相似三角形性质与判定 37 【★题型13】反比例函数图象性质 42 二综合篇 46 【考点五】综合运算与实际应用 46 【★★题型14】求解一元二次方程与化简综合 46 【★★题型15】应用一元二次方程 50 【★★题型16】相似三角形的实际应用 56 【★★题型17】反比例函数的实际应用 62 【★★考点六】跨章节综合 70 【★★题型18】相似三角形与特殊四边形综合 70 【★★题型19】反比例函数与几何综合 79 三培优篇 87 【考点七】几何变换压轴题 87 【★★★题型20】相似三角形与几何变换探究 87 【★★★题型21】相似三角形与存在性问题 100 【考点八】反比例函数与几何探究 113 【★★★题型22】反比例函数与特殊四边形探究 113 【★★★题型23】反比例函数与相似三角形探究 124 一.基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】概念与定义判断 【★题型1】一元二次方程 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2．判断各选项是否一定满足条件． 解：选项A： 含有分式，不是整式方程，∴ 不符合． 选项B： 中，若 ，则不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程． 选项C： 是整式方程，只含未知数 ，且最高次数为2，∴ 一定是一元二次方程． 选项D： 含有两个未知数，∴ 不是一元方程． 故选：C． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）将关于的方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，2，5 B．2，，5 C．2，2， D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 解：∵原方程为 ， 展开得 ， ∴ ， 移项得 ， ∴ 一般形式为 ， ∴ 二次项系数为 2，一次项系数为 ，常数项为 ， 故选：D 3．（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 4．（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知是关于的一元二次方程，则满足（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为零，进行列式计算，即可作答． 解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 6．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，将根代入方程得到等式，再代入所求表达式计算． 解：∵是方程的一个根， ∴， 即． ∴． 故选：A． 【★题型2】投影与视图 1．（24-25九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【答案】B 【分析】本题考查正投影，根据正投影的定义，逐一进行判断即可． 解：A、如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体不一定是球，比如圆柱体的正投影可能是圆，原说法错误，不符合题意； B、不同物体的正投影可以相同，比如圆柱体和球（底面圆的半径和球的半径相同）的正投影都可以是圆，原说法正确，符合题意； C、圆锥的正投影可能是等腰三角形，也可能是圆，原说法错误，不符合题意； D、圆纸片的正投影可能是圆，也可能是椭圆，原说法错误，不符合题意； 故选B． 2．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．利用中心投影和平行投影的定义判断即可． 解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光， 在各选项中只有C选项得到的投影为平行投影． 故选：C． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·月考）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．当平行于投影面时的正投影 D．当平行于投影面时的中心投影 【答案】C 【分析】此题主要考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别．根据正投影、平行投影、中心投影的定义即可得答案． 解：一定不会改变的形状和大小的是当平行投影面时的正投影， 故选：C 4．（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．物体的正投影不改变物体的形状和大小 B．一个人的影子都是平行投影形成的 C．当物体的某个面平行于投影面时，该面的正投影不改变它的形状和大小 D．有光就有影子 【答案】C 【分析】根据正投影及平行投影和中心投影依次判断即可． 解：A、物体的正投影可以改变物体的形状和大小，选项错误，不符合题意； B、一个人的影子是平行投影或中心投影形成的，选项错误，不符合题意； C、当物体的某个面平行于投影面时，该面的正投影不改变它的形状和大小，选项正确，符合题意； D、有光、物体和投影面才有影子，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点拨】题目主要考查了平行投影和中心投影，熟练掌握平行投影和中心投影的特点是解题关键． 【★题型3】反比例函数定义 1．（25-26九年级上·广西桂林·期中）下列函数中y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，根据反比例函数的定义：形如（k为常数且）的函数是反比例函数直接判断各选项即可． 解：A、，为正比例函数，故本选项不符合题意； B、，为正比例函数，故本选项不符合题意； C、，满足形式（），故本选项符合题意； D、，为一次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东泰安·期中）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．只需将各点的横坐标代入函数解析式，计算对应的y值，若与点的纵坐标相等，则该点在图象上． 解：A项：∵对于点，当时，，∴点不在图象上； B项：∵对于点，当时，，∴点不在图象上； C项：∵对于点，当时，，∴点不在图象上； D项：∵对于点，当时，，与纵坐标相等，∴点在图象上． 故选：D． 3．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）点在函数的图象上，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像上点坐标的特点，掌握相关知识是解决问题的关键．点A在反比例函数图象上，代入函数解析式可得的值，再计算． 解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 4．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）已知函数是反比例函数，且图象在第一、第三象限内，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 反比例函数的一般形式为（），且图象在第一、第三象限时，进而作答即可． 解：由反比例函数的定义，指数， 解得或， 图象在第一、第三象限， 系数， 即， 故． 故答案为：． 5．（2025·浙江绍兴·三模）已知反比例函数的图象过点，，，且，，则 【答案】5 【分析】本题只要考查了反比例函数图像上的坐标特征，将A、B两点带入函数解析式求出m、n，再根据和求出，载代入求值即可． 解：将A、B两点带入函数解析式得，， ， ， ， 通分后化简得， 代入解得． 故答案为5． 【★题型4】特殊平行四边形 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若四边形的对角线与相等且互相平分，则下列关于四边形的形状判断正确的是（    ） A．一定是矩形，但不一定是正方形 B．一定是菱形 C．一定是平行四边形，但不可能是矩形 D．一定是正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，熟知矩形的判定定理和正方形的判定定理是解题的关键． 解：∵四边形的对角线与相等且互相平分， ∴该四边形一定是矩形，但不一定是正方形， 故选：A． 2．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）依据所标数据，下列选项中的平行四边形一定是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 等 ），逐一分析选项即可得解．本题主要考查菱形的判定定理，熟练掌握“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” “一组邻边相等的平行四边形是菱形”等判定方法是解题的关键． 解： A、仅给出平行四边形及一个角和一条对角线相关信息，无法得出邻边相等，不能判定为菱形． B、平行四边形中，对角线互相垂直（由图中垂直符号可知 ），故该平行四边形是菱形． C、给出平行四边形的边和对角线长度，无法得出邻边相等或对角线垂直等菱形判定条件，不能判定为菱形． D、仅给出角的信息，无法得出邻边相等或对角线互相垂直，不能判定为菱形． 故选：B ． 3．（24-25九年级上·安徽·期中）满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断． 解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意． 故选：D． 4．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断． 解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意； 故选：D． 【考点二】图形识别 【★题型5】相似（位似）图形 1．（25-26九年级上·山西运城·期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 解：A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的位似中心，结合与是位似图形，故连接，它们都经过点，即可作答． 解：∵与是位似图形， ∴连接，它们都经过点，如图所示： 即位似中心为点， 故选：A． 3．（25-26九年级上·河南郑州·期中）将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键． 利用相似多边形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的两个图形相似，进而判断即可． 解：∵矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等， ∴变化前后的两个矩形不相似， ∵三角形、菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等， ∴变化前后的两个三角形、菱形、正方形相似， 故选：C． 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（   ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲和乙和丙 【答案】C 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例． 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 解：三个矩形的角都是直角，丙、乙、甲相邻两边的比分别为：， ∴甲和丙相似， 故选：C． 5．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了作图—位似变换，解题的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．连接并延长到使得，则点是点A的对应点，据此可得答案． 解：如图所示，连接并延长到使得，则点是点A的对应点，即点A的对应点为D点， 故选A． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示的是某公园中的两个物体，一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序可排列为 （填序号）． 【答案】④③②① 【分析】由于太阳从东方升起，在西边落下，则早上物体的影子向西，傍晚物体的影子向东，利用此情形可根据四个影子判断时间的顺序． 解：按照时间的先后顺序排列正确的是（4）、（3）、（2）、（1）． 故答案为：（4）、（3）、（2）、（1）． 【点拨】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 【★题型6】投影与视图 1．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．太阳从东边升起，西边落下，则建筑物的影子先向西，再向北偏西、北偏东，最后向东，于是根据此变换规律可对各选项进行判断． 解：按时间先后顺序排列为③④①②． 故选：A． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【答案】C 【分析】本题考查中心投影，在灯光下，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短；接下来根据发光的手电筒由远及近，并结合上述知识，即可解答． 解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大． 故选：C． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图所示的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左边看到的图形即可求解，正确识图是解题的关键． 解： 解：几何体的左视图是， 故选：． 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，即可解答． 解：根据主视图是从正面看：能看到一个长方形，中间看不到的部分，用两条虚线表示， 故选：C． 5．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后一排2个正方形，第2列只有后排1个正方形，第3列只有后排1个正方形，据此可得左视图． 解：由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后一排2个正方形，第2列只有后排1个正方形，第3列只有后排1个正方形， 所以从左面看到的这个几何体的形状图是： 故选：B． 6．（2017·河南·一模）如图，小明画出了某几何体的三种视图，其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．② 【答案】B 【分析】本题考查了三种视图及它的画法，解题的关键是注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．依此即可解题． 解：根据几何体的摆放位置，主视图和俯视图正确．左视图中间有一条横线，故左视图不正确． 故选：B． 【考点三】巩固基本运算 【★题型7】求解一元二次方程 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）方程经过配方法化为的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得． 解：， 移项，得：， 方程两边都得：， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·云南红河·期中）若等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则等腰三角形的周长为（） A．7 B．11 C．7或11 D．5或6 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程、三角形的三边关系及等腰三角形的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法求得等腰三角形的两边分别是5、1是解题的关键． 先解一元二次方程求得等腰三角形的两边分别是5、1，再根据三角形的三边关系分类讨论求解即可． 解：∵： ∴， ∴或 等腰三角形的两边长为1和5． 若腰为1，底为5，则三边为1,1,5， ∵，不满足三角形三边关系，舍去． 若腰为5，底为1，则三边为5,5,1， ∵，，，均成立． ∴周长为． 故选：B    ． 3．（25-26九年级上·江西上饶·期中）解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）整理为一般式，再利用公式法求解即可． 解：（1）解：， ， 则或， 解得，； （2）解：整理为一般式，得：， ，，， ， 则， 即，． 4．（25-26九年级上·山东临沂·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）通过因式分解求解即可； （2）将方程移项，提取公因式，即可求解． 解：（1）解：， ， 解得或， 即，； （2）， ， 则， 或， 即，． 5．（25-26九年级上·河南南阳·期中）解方程： （1）（用配方法） （2）（用适当方法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）通过配方法改写成完全平方式，进行开方，求解即可； （2）先将式子展开，再通过因式分解进行解方程即可． 解：（1）解： 解得，； （2）解： 令或 解得，． 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法和配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 解：（1）解： ，， ∴，； （2）解： ∴，． 【★题型8】根的判别式与根与系数关系 1．（24-25八年级下·广西百色·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查正比例函数，一元二次方程根的判别式．由正比例函数的象经过一、三象限，可得，再根据的值判断一元二次方程的根的情况． 解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 为一元二次方程， ， 有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期中）若一个菱形的两条对角线长分别是关于y的一元二次方程 的两个实数根，且该菱形的面积为16，则这个菱形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理． 设菱形的两条对角线长分别为和，由根与系数的关系得，，又由菱形的面积为16，得，即，从而．再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求边长即可． 解：设菱形的两条对角线长分别为 、， 由根与系数的关系，得，， 又菱形的面积为16，即， 所以， 因此， 菱形的边长满足， 而， 所以． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·山东日照·期中）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，由方程可得，由一元二次方程根与系数的关系得到，，代入式子求解即可． 解：∵是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ∴ ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江西九江·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数关系，可得，，再代入变形后的式子，可得到关于k的方程，即可求解． 解：（1）解：∵方程有两个不相等实数根， ∴， 解得：； （2）解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：，． ∵， ∴． 5．（25-26九年级上·广东·期中）已知：关于x的方程． （1）试说明无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）如果方程有一个根为3，试求的值． 【答案】（1）见详解；（2）2008 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据判别式得出方程的解的情况，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则，即可作答． （2）先把代入，则，再代入进行计算，即可作答． 解：（1）解：∵关于x的方程， ∴， ∴无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一个根为3， ∴， ∴， ∴， 则． 6．（25-26九年级上·江西赣州·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为1，求m的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，得，即可作答． （2）理解题意，将代入方程，解得，即可作答． 解：（1）解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：依题意，将代入方程中， 得， 解得：． 【★题型9】求几何概率 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，将一个飞镖随机投掷到方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，用阴影方块个数除以方块总数即可得出答案，解题的关键是掌握几何概率的求法． 解：根据题意得：方格纸中一共有9个小正方形，其中阴影部分有4个， ∴飞镖落在阴影部分的概率为． 故选：B 2．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形．任意旋转这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率． 解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占1份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是． 故选：D． 3．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东梅州·期中）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率． 解：∵分别是矩形的两边上的点，， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率是. 故答案为：． 5．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，点D、点E是直线与矩形的边、的交点，，．若动点在矩形内随机运动，则动点P落在内（包括边界）的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、矩形的性质，几何概率等知识点．先根据直线的解析式求出点，的坐标，从而可得、的长，再分别求解矩形与的面积，结合概率公式计算即可． 解：点D、点E是直线与矩形的边、的交点，，， ∴，，矩形面积为， 当时，， ∴， ∴， 当时，则， 解得：， ∴， ∴，， 则的面积是， ∴动点P落在内（包括边界）的概率为． 故答案为：． 6．（2025·山东济南·一模）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故答案为：． 【★题型10】用树状图或图表求概率 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用画树状图与列表的方法求解随机事件的概率，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 解：画树状图如图： 共有20种等可能的结果，而摸到的2个球颜色不相同的情况有12种，所以其概率为． 故选：C 2．（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘A，B．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配得紫色的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．将转盘A，B的红色部分和黄色部分分别等分成两部分,分别记为红1，红2，黄1，黄2，并画出树状图，得到所有等可能性的结果数， 再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 解：将转盘A，B的红色部分和黄色部分分别等分成两部分,分别记为红1，红2，黄1，黄2， 画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中可配成紫色的结果数有1种， 所以配成紫色的概率是． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后随机摸出一个后不放回，再随机摸出一个球． （1）若随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是________； （2）若规定：当两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定对双方公平吗？请通过画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】（1）；（2）不公平，理由见分析 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，画树状图，得共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，颜色不一样的结果有12种，再列式计算，即可作答． 解：（1）解：∵在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球， ∴随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是 （2）解：这个规定对双方不公平，理由如下： 根据题意画出树状图如下： 如图，共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，颜色不一样的结果有12种， ∴P（小明胜），P（小颖胜）， ∵， ∴这个规定对双方不公平． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别围绕“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位同学准备各自挑选一场直播深入学习，随后分享收获，两位同学选择四个主题的可能性相同，且相互不影响． （1）甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，运用列表法，得共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种，再列式计算，即可作答． 解：（1）解：∵四场网络直播，分别围绕“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播． ∴甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是； （2）解：依题意，列表如下：   甲 乙 A B C D A B C D 如上表，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种， ∴P（甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”）． 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动．某一周末有两个项目供学生选择：A文明交通劝导志愿行，B乡村教育关爱行，每名学生只能选择其中一个项目． （1）甲同学选择A项目的概率为___________； （2）请用画树状图的方法，求甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了概率的基本计算，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 解：（1）解：∵有两个项目供学生选择， ∴甲同学选择A项目的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图为：    由树状图可知一共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的结果数有2种， ∴甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率是． 6．（2025·四川广元·中考真题）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 【答案】（1）50人；；补全条形统计图见分析；（2）80人；（3）；列表法见分析 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体以及用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是从统计图中提取有效信息（如部分数量及对应百分比）计算总人数和各项目人数，再通过样本比例估计总体数量，同时准确列举所有可能结果计算概率． （1）①由B类人数人）及占比求抽取学生总数即可；②先计算D类人数占比，再用360度乘以占比即可求得圆心角；③用总数减去已知类别人数求得C类人数，补全条形图即可； （2）先求得样本中C类人数占比，再用总体人数乘以该占比即可； （3）列表列举甲、乙从A、B、C三类中选择的所有可能结果数，再找出两人选同一项目的结果数，然后用概率公式计算即可． 解：（1）解：∵B类有人，且占抽取学生总数的， ∴抽取的学生人数为（人）． ∵D类有人， ∴D类人数占总人数的比例为， 则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为． ∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人， ∴C类人数为（人），补条形统计图如下． 故答案为：50人；． （2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为， ∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）． 答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人． （3）解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下： 甲\乙 A B C A                B                C                由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、． ∴他们两人填报同一项目的概率为． 答：他们两人填报同一项目的概率是． 【考点四】性质与判定辨析 【★题型11】特殊平行四边形性质与判定 1．（2025·湖南·中考真题）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为， 故选：． 2．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 解：根据作图可得 ∴四边形是菱形，则， 又∵， ∴ 故选：D． 3．（2025·四川泸州·中考真题）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 【答案】A 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别． 根据矩形和菱形的性质判断即可． 解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意； D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．（2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键 利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解． 解：如图：连接，交于点O， 因为、、、分别是四边形边的中点， ∴，；，；，；， ． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∴，， ∴， ∵四边形面积为，， ∴， 解得 ． ∴ 在中 ． 故选：B． 12．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，由勾股定理可得，由垂线段最短可得，当时，有最小值，则此时点D为的中点，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 解：∵在等腰中，，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵， ∴当时，点D为的中点， ∴此时， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造辅助线． 利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出直角，证明四边形是矩形，然后再利用矩形的性质得出的长，即可作答． 解：如图所示，延长交于点，延长交于点，连接, ∵四边形是平行四边形， ， ， 又∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴ 同理 ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：5． 【★题型12】相似三角形性质与判定 5．（2025·云南·中考真题）如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 由证，利用相似三角形对应边成比例，结合，得出结论． 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ 故选：A． 6．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 7．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 8．（2023·山东东营·中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得，，证明，得出，结合，即可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 15．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即． 解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 16．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．    【答案】/0.5 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 解：， ， ， 故答案为：． 【★题型13】反比例函数图象性质 9．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）对于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若点都在图象上．且，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数，当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 解：∵， ∴图象分布在第二、四象限，当时，y随x的增大而增大，故A，B选项正确，不符合题意； 当时，， ∴图象经过点，故C选项正确，不符合题意； 当点在第二象限，第四象限内时， ∵， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 10．（25-26九年级上·重庆·期中）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，通过将各点的x坐标代入反比例函数解析式，计算出对应的y值，然后比较大小． 解：∵点在上，∴； ∵点在上，∴； ∵点在上，∴； ∵ ∴， 故选：C． 11．（25-26九年级上·山东烟台·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解． 解：， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 17．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，的面积为3，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解此题的关键．由题意得，再根据反比例函数的图象在第二象限，即可得出． 解：由题意得：， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·山东泰安·期中）若反比例函数的图象位于第二、四象限，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．根据反比例函数的图形与性质，可得，求解不等式即得答案． 解：反比例函数的图像位于第二、四象限， ， 解得． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点，连接，，已知的面积为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，设直线l与y轴交于点C，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，再由的面积为2，得到，据此可得答案． 解：如图所示，设直线l与y轴交于点C， ∵直线平行于轴， ∴直线l垂直于y轴，即， ∵直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点， ∴； ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 二综合篇 【考点五】综合运算与实际应用 【★★题型14】求解一元二次方程与化简综合 1．（2025·内蒙古·模拟预测）方程的解为（    ） A．或 B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项合并同类项后解出方程的解，再验根，最终确定方程的解． 解：， 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， ， 解得或， 检验：当时，， 当时，， 原方程的解为． 故选：C ． 2．（16-17九年级下·全国·课后作业）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程．分和两种情况，将变形为分式方程，解分式方程即可． 解：当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：，（舍去）， 经检验，是分式方程的解； 当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上可知，方程的解为或， 故选：D． 8．（2022·贵州·一模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是明确解分式方程的步骤和方法，要注意分式方程要检验． 按照解分式方程的步骤求出方程的解，再把解代入最简公分母检验． 解：， ， 解得：或 经检验：是增根，舍去；是原方程的根， ∴原方程的根为， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值、解一元二次方程，先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，解关于a的一元二次方程，选取使分式有意义的a的值代入计算即可． 解： ， ∵，，， ∴，， ∵ ∴ 或 解得或（舍去） ∴当时，原式． 14．（2024九年级下·广东茂名·竞赛）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 先把原方程变为，设，则，解出方程可得或，即可求解． 解：原方程变为， 设，则， 解得：或，         由 即， 解得， 由 即，此方程无解； 经检验：是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 15．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想，换元法能达到简化运算的目的．例如，解方程时，可以将看作一个整体，采用换元法求解，设，则原方程可以变形为，整理得，解得，所以，解得，经检验是原方程的根． （1）用换元法解方程时，如果设，则原方程可以变形为 ； （2）用换元法解方程； （3）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值． 【答案】（1）（或）；（2），；（3） 【分析】此题考查了解分式方程和一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键． （1）根据换元法进行解答即可； （2）设，则原方程可以变形为，整理得，解得，，再分两种情况解一元二次方程即可； （3）由一元二次方程根的定义得到，则，，再整体代入进行解答即可． 解：（1）解：用换元法解方程时，如果设，则原方程可以变形为（或）； 故答案为：（或）； （2）解：设，则原方程可以变形为， 整理得， 解得，， 当时，， 整理得， 解得，， 经检验，都是原方程的根， 当时，，整理得， ， 该方程无实数根， 综上可得，原方程的解为，； （3）解：是一元二次方程的一个实数根， ， ，， ． 【★★题型15】应用一元二次方程 3．（25-26九年级上·福建莆田·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程、勾股定理等知识点，弄清量之间的关系是解题的关键． 设门的对角线长为尺，则竹竿长度也为尺．根据题意，门宽为尺，门高为尺，再根据勾股定理即可列出方程． 解：设门的对角线长为尺，则竹竿长度也为尺．根据题意，门宽为尺，门高为尺． ∵门的高、宽和对角线构成直角三角形， ∴由勾股定理得：，即． 故选C． 4．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，一元二次方程的应用，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值． 当点P在上运动时，面积逐渐增大，当点P到达点B时，结合图象可得面积最大为6，得到与的积为24；当点P在上运动时，面积逐渐减小，当点P到达点C时，面积为0，此时结合图象可知点P运动路径长为10，得到与的和为10，构造关于的一元二方程可求解． 解：由图可知，，， ，， ， 整理得， 解得或， 当时，，，与矛盾，舍去， ， ， 故选：C． 16．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）某种进价为40元的服装，售价为84元时，平均每天可以销售20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．若每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （1）以下是小明和小亮的两种不同设法，请帮忙填完整： 小明：设每件服装降价元，由题意，可列方程：______． 小亮：设每件服装定价为元，由题意，可列方程：______． （2）请写出一种完整的解答过程． 【答案】（1）小明：；小亮：；（2）每件应降价4元，完整的解答过程见分析 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程； （1）根据题意列一元二次方程即可； （2）对一元二次方程求解即可． 解：（1）解：小明：设每件服装降价元，由题意，可列方程： 小亮：设每件服装定价为元，由题意， 可列方程：， 整理：， 故答案为：小明：；小亮：； （2）解：小明：解方程， ， 得，． 因为每件降价幅度不超过10元， 所以舍去， 即每件应降价4元． 小亮：， ， ， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：每件应降价4元． 17．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度） ①设的长为，用含x的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案） 【答案】（1）①；②的长为 10 米；（2）一只鸡每天平均传染7只鸡 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意建立方程模型并求解． （1）①根据建筑材料总长和门的宽度，结合矩形边长关系用含的代数式表示的长；②根据面积公式建立方程求解的长； （2）根据传染问题的数量关系建立方程求解一只鸡平均每天传染的鸡的数量； 解：（1）①∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米， ∴边长为：； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为 240 平方米，此时的长为 10 米； （2）解：设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡． 18．（25-26九年级上·河南南阳·期中）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带． （1）若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出10件，请求出该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为14000元． 【答案】（1）；（2）80元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）设丝绸条带的宽度为，根据“丝绸条带的面积等于该工艺品的面积减去除丝绸条带外白色部分的面积”列出方程，求解即可． （2）设该公司每天把销售单价降低y元，根据当日所获利润为14000元列出方程，求解后即可求出定价． 解：（1）解：设丝绸条带的宽度为， 根据题意，得． 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：丝绸条带的宽度为． （2）解：设该公司每天把销售单价降低y元时，当日所获利润为14000元， 由题意得：， 整理，得， 解得：． ∴销售单价为（元）， 答：该公司每天把销售单价定为80元时，当日所获利润为14000元． 19．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t，；（2）；（3）存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 解：（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 【★★题型16】相似三角形的实际应用 5．（23-24九年级上·浙江·月考）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P；根据题意易得，通过证明，求出，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 解：过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P， ∵水面离桌面的高度为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 根据勾股定理可得：， ∴， 即此时点C离桌面的高度为． 故选：C． 6．（22-23九年级下·辽宁本溪·开学考试）《海岛算经》是我国最早的一部测量数学专著，书中第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度，立两根长度相等的标杆和，两杆之间的距离步，，，共线；从到走123步，此时A，，三点共线；从到走127步，此时A，，三点共线．计算山峰的高度及的长．若设步，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得到，由得到，根据已知条件代入即可得到结论． 解：由题意可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 【点拨】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9．（22-23八年级下·山东威海·期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，左右并排的两颗大树的高分别为，，两树底部的距离，点与树的根部点，点在一条直线上，，小颖估计自己的眼睛（点）离地面，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由题意知点F、B、D共线，作于Q，交于P，易得，，计算出，，再证明，然后利用相似比计算出即可求出答案． 解：作于Q，交于P， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（24-25九年级上·河南郑州·期中）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量，，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点，于点，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）． 【答案】米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 解：过点作水平线交于点，交于点，如图，    ∵是水平线，都是铅垂线． ∴米，米，米， ∴（米）， 又根据题意，得， ∴， ，即 ， 解得：米， ∴（米）． ∴这棵树的高度为米． 21．（2022九年级上·全国·专题练习）小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）    【答案】43.5米 【分析】利用相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 解：根据题意得，， ， ，即①； ，， ， ，即②， 由①②得， 解得， ， 解得， 答：小雁塔的高度为43.5米． 【点拨】本题考查了相似三角形的应用：解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形的性质进行几何计算． 【★★题型17】反比例函数的实际应用 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据题意可以求得两函数图象的交点A的坐标，从而可以判断①；根据点A的坐标可以判断②；根据点B的横坐标可以分别求出点B、C的坐标，从而可以得到的值，从而可以判断③；根据函数图象可以判断④． 解：由题意可得，， 解得，， 将代入，得， ∴两函数图象的交点A的坐标为，故①正确； 由图象可知，当时，，故②错误； 将代入得，， 将代入得，， ∴，故③正确； 由图象可知，当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小，故④正确； 故选：D． 11．（2024·湖南·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．利用待定系数法求出函数解析式为，再逐项求解即可． 解：密度与体积是反比例函数关系， 设， 由图象可知，反比例函数图象可知，当时，， ， ， 函数解析式为，故①正确； 质量密度体积， 容器内气体的质量，故②错误； 当时，， ∵, ∴由图象可得，在第一象限内，随着的增大而减小， ∴，故③正确； 当时，， 解得：，故④错误， 故答案为：①． 12．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 【答案】 【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案； （2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案； （3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案． 解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得， ，解得， 故答案为：； （2）设反比例函数解析式为，将点代入可得， ， ∴， 当时， ，解得， 故答案为； （3）当时，，解得， ∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得． 【点拨】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间． 22．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求恒温系统设定的恒定温度； （2）求这天在阶段与阶段的温度与时间的函数关系式； （3）若大棚内的温度低于10，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】（1）；（2）    ，；（3）10小时 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是结合图象特征确定函数类型，利用已知点求出函数解析式，再解决实际问题． （1）通过图象中线段的恒定温度，直接得出恒温系统的设定温度； （2）分别设段的一次函数、段的反比例函数解析式，代入对应点的坐标求出解析式； （3）将温度代入段的函数解析式，求出对应时间，再计算与关闭时间的差值得到关闭时长． 解：（1）解：设线段的函数表达式为． 设的解析式为，代入，： 解得， 故段解析式为：， 当时，，则， 由图象可知，线段对应的温度是恒定的， 因此恒定温度为 （2）①段（一次函数）： 设的解析式为，代入，： 解得， 故段解析式为：． ② 段（反比例函数）： 设的解析式为，代入： 解得： 故段解析式为：． （3）当温度时，代入段解析式： 解得： 恒温系统在时关闭，因此最多关闭时长为小时． 23．（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集． （3）是轴上一点，且，求点的坐标； 【答案】（1），；（2）或；（3）或 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数中，求得m的值，即可求得反比例函数解析式；将B点坐标代入所求反比例函数式中，可求得n的值，从而得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）观察函数图象即可求解； （3）设，即，由可求得的面积为3，则得，即可求得点M的坐标． 解：（1）解：将点代入反比例函数中，得，，解得：， 反比例函数表达式：， 将点代入反比例函数中，得，，解得：，即， 将A、B两点代入一次函数中，得，解得：，， 一次函数表达式为：； （2）解：或. （3）解：设，即， 对于一次函数， 令，则，即， ，， 而 ， ，解得：， 或； 【点拨】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，直线围成的图形的面积等知识，注意数形结合． 24．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求x的值； （3）如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见分析 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：（），利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 解：（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：，解得：， ∴（）， 当时，设y与x的函数关系式为：（）， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得：，解得：， 代入得，解得：． （3）解：这次“药熏消毒”是有效消毒， 理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 【★★考点六】跨章节综合 【★★题型18】相似三角形与特殊四边形综合 1．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为    （    ） A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作延长线的垂线，垂足为，证明，求出，证明，求出，则，再由求解即可． 解：过点作延长线的垂线，垂足为，则 ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明： ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 故选：A． 4．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长交延长线于点，过作于点，则，由三线合一性质可得，然后证明四边形是矩形，所以，，又，则可证，所以，求出，然后通过平行线的性质和等角对等边可得，设，则，，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 即， ∴， 故答案为：． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，四边形中，，，是的中点，连接并延长交于点，若，，则 ． 【答案】 【分析】连接，作于点，根据直角三角形斜边中线和等腰三角形的性质可得，再证明可得，再根据中位线的性质即可得解． 解：如图，连接，作于点， ，是的中点， ， ，， ， ， ，， ， ， 是的中位线， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线，中位线的性质，解题的关键综合运用以上知识点，正确作出辅助线． 8．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，平分，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）先证明得到，根据得到，那么可得四边形是平行四边形，再由线段垂直平分线的性质得到，即可证明其为菱形； （2）根据菱形的性质结合已知条件证明，即可求解． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵对角线的垂直平分线是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图， ∵平分， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 9．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． （1）求证：； （2）若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）①，理由见分析；② 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，，根据，可得； （2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得； ②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解． 解：（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：①，理由如下： 设， ， ， ， ， ， ； ②，， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ． 10．（2025·上海·模拟预测）如图1，在中，在四边形中．连接交于点，连接交于点，满足． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）如图2，当四边形为正方形，且在线段上时，求证： ． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和判定，解题关键是利用比例的性质转化线段比． （1）由可得，由可得，由此证明，即可得出，进而证明，由两组邻边平行的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形． （2）先证明，得出，，再证明，即可得出． 解：（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， （2）证明：如图： 在正方形中 又∵ ∴ ∴ ，， ∵在正方形中，， 又∵ ． 【★★题型19】反比例函数与几何综合 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与菱形相交于，D两点，点C在x轴上．连接，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作轴于点，连接，代入到得，得到，得到，，利用勾股定理求出，利用菱形的性质得到，，得出，最后利用三角形的面积公式即可求解． 解：如图，作轴于点，连接， 代入到得，， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴． 故选：C． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，作轴于点，点为上任意一点，当时，与轴交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，先求出，结合题意可得，令交轴于点，求出从而可得点的纵坐标为，求出，待定系数法求出直线解析式为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：令，整理得：， 解得，， ，， 轴于点， ， 如图：令交轴于点， ， ∵，，， ， ， ， 在中，当时，， ， 轴于点， ∴轴， ∵， ∴轴，即点的纵坐标为， 在反比例函数中，当时，， ， 设直线的解析式为，代入点坐标得：， 解得， 直线解析式为：， 当时，， 与轴交点坐标为． 故选：C． 6．（2025·陕西·模拟预测）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在对角线上的点处．若点在一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知翻折特征和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 先过E作，垂足为点F，根据翻折可知，再由勾股定理和相似三角形的性质，求出E点坐标，利用待定系数法解答即可． 解：过E作，垂足为点F， 由已知条件可知，， ， 易知， ， 又， ， 则E点坐标为， 设这个反比例函数为， ∴ 则． 故答案为：． 7．（2025·江苏扬州·一模）如图，将反比例函数图象在第一象限的分支向左平移个单位长度后与轴相交于点，为轴上一点，作点关于点的对称点，再以线段为斜边向下作等腰直角三角形若点和点恰好都落在反比例函数图象在第三象限的分支上，则 ． 【答案】 【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点．易证得，得到，；设，则点的坐标为，点的纵坐标为．求得平移后的函数解析式为，代入A的坐标得到，令，，即可得到，，根据反比例函数系数得到，解得，进而即可求得． 解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点． 点与点关于点对称， ． 是以线段为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ． ， ， ，； 设，则点的坐标为，点的纵坐标为． ∵将反比例函数图象在第一象限的分支向左平移4个单位长度后与y轴相交于点A， 点在函数的图象上， 把A的坐标代入得， 令， 解得， 点的横坐标为， ，，点的纵坐标为， ，． 点和点都在反比例函数图象在第三象限的分支上， ， 解得， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平移的规律，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11．（2025·江西抚州·二模）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，，以为斜边作等腰直角，边交反比例函数的图象于点，的延长线交反比例函数的图象于点，若． （1）求的值； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，待定系数法求反比例函数解析式； （1）根据等腰直角三角形的性质，勾股定理求得，根据已知得出，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，进而求得，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）过点作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，设，则得出，代入反比例函数解析式，得出的坐标，进而求得的长，根据，即可求解． 解：（1）解：∵，是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，如图所示， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 代入，； （2）解：如图，过点作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形， 设，则，， ∵在上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·湖北·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图像于点，连接，．若，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先根据点B的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析式，从而可得点A的坐标，再根据点A、B的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式； （2）先根据一次函数的解析式求出点C的坐标，根据反比例函数的解析式求出点M的坐标，再根据建立不等式，解不等式即可． 解：（1）解：将点代入，得， 则反比例函数的解析式为； 将点代入到反比例函数中， 得， 解得，即， 将点、代入中， 得， 解得， 则一次函数的解析式为； （2）对于一次函数， 当时，，即， ∴， ∵轴，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 三培优篇 【考点七】几何变换压轴题 【★★★题型20】相似三角形与几何变换探究 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在菱形中，点是边上一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好为的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质与相似三角形的判定与性质是解题的关键，分别延长，交于点G， 由菱形的性质可得，，从而可证明，即得到，设菱形的边长为，可得， 再利用折叠的性质得到，因为是的中点，，从而得到，可推出，由于，得到，即可得，进而得到． 解：分别延长，交于点G，如图： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， 折叠， ∴， , ∴， ∴， 设菱形的边长为， ∴， 将沿折叠得到， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：D． 2．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点O与原点重合，顶点A的坐标为，．将线段向上平移2个单位长度得到线段．连接．若将五边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则到第2025次旋转结束时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是坐标规律题意，考查了坐标与图形，相似三角形的判定和性质，平移和旋转，根据图形确定点的坐标以及旋转规律是解题关键．过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，证明，得出，进而确定点的坐标，由旋转的性质可知，五边形每6次一个循环，第2025次时，五边形与原图形关于原点对称，即可求解． 解：如图，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， 顶点A的坐标为， ． ∵在中，， ， ， ， ， ， ， ∴点B的坐标为， ∴由平移可得， 若将五边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则6次一个循环， ， 第2025次时，五边形在一个循环中的第三次旋转， ，此时五边形与原图形关于原点对称， ∴此时点D的坐标为． 故选C 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），，，，，P是边上的一动点，点C绕点P按逆时针方向旋转得点，则 ．若点落在射线上时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识，先根据勾股定理求出，过作交延长线于点，先证，得，设则，再证，得，即可解决问题． 解：在平行四边形，，， ∴，， ∵， ， ∴在中，由勾股定理得：， 如图，过作交延长线于点， ​ 则， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 设则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 即的长为； 故答案为：3，． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，中，，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，（1）当N点在上时 ；（2）周长的最小值为 ． 【答案】 4 / 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 对于（1），当N点在上时，，此时，进而求出，然后根据得出答案； 对于（2），作，，再根据“角角边”证明，可得，然后说明的周长最小，再作，最后根据勾股定理求出答案. 解：（1）当N点在上时，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵将线段绕点O按逆时针方向旋转至， ∴， ∴； 故答案为：4； （2）如图，作于H，于J． ∵， ∴， ∵于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是直线（该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是）， 作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，作于G． 在中，， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河南南阳·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． （1）【操作发现】 第一步：在矩形中，E是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交射线于点F．如图①，连接，则的度数为______，用等式表示线段，，的数量关系：________________； （2）【类比探究】 第二步：更换另一张矩形纸片，E仍然是边中点，将沿所在直线折叠，此时点B落在矩形的外部． 如图②，判断（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并证明． （3）【拓展应用】 第三步：在前面（1）、（2）的操作过程中，同学们又画出了延长交直线于点G的图形，当时，测得．请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）（1）中的两个结论仍然成立，证明见分析；（3）或 【分析】（1）首先得到，，然后结合折叠的性质得到，，证明出，得到，进而可得；证明，利用相似三角形的性质即可得出结论； （2）连接，证明出，得到，，求出，然后证明出，得到，即可得出结论； （3）根据题意分两种情况讨论：①当点落在矩形内部时，②当点落在矩形外部时，然后分别求出，证明出，即可求出． 解：（1）解：∵E是边的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，，， ∴，， 又∵， ∴， ， ； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）解：（1）中的两个结论仍然成立，证明如下： 连接， ∵E是边的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴，， ∴，都是直角三角形， 在和中，， ， ，， ； ， 又∵， ∴， ， ∴， ， ； （3）解：分两种情况讨论： ①当点落在矩形内部时，如图，连接， 设， ∴． 由（1）得，则 在中，，， ∴， ， 解得，即， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②当点落在矩形外部时，如图，连接， 由（2）知 ， ∴ ； 设，则， ，即， 解得（负值已舍去）， ∴， 同理可得，， 综上所述，的长为或． 【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【问题分析】 小明发现、的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题． 【问题解决】如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求的值；（提示：可构造相似三角形求解） （2）线段的最小值为________． 【方法应用】 如图③，，，，则最小值为________． 【答案】问题解决：（1）；（2）；方法应用： 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及两点之间线段最短等知识，能正确作出辅助线构造平行解答本题的关键． （1）①过点作于点，证明，可得出的值 ②由是的中点得，由勾股定理得，由得，过点作，且，连接，则四边形是平行四边形，得，则，当，，三点共线时，最小值为，由勾股定理得即可； （2）过点作，且，连接，过作于点，，当、、三点共线时的值最小，最小值为；由平行四边形的性质得，，得，，，由勾股定理求出即可． 解：（1）①过点作于点，则，如图， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②∵是的中点， ∴， 在中， ∵, ∴， 过点作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小值为， ∵，， ∴ ∴； （2）过点作，且，连接，过作于点，图， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时的值最小，最小值为； 在中，， ∴的最小值为． 【★★★题型21】相似三角形与存在性问题 5．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图1，内存在一点P，满足，称点P为的布洛卡点．如图2，在中，，，若点Q为的布洛卡点，，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．作于点R，由，，得，则，所以，则，再证明，得，而，所以，，据此计算得到问题的答案． 解：如图2，作于点R，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q为的布洛卡点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·全国·期中）将三角板的直角顶点E放在长方形纸片的边上移动，恰好存在两直角边分别经过点A，D情形（如图）．如果，则的长应为 ． 【答案】2或8 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质解题是解题的关键． 由矩形的性质可得，再证明，然后根据相似三角形的性质列方程求解即可． 解：∵四边形是长方形，且， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，整理得：，解得：或8． ∴的长为2或8． 故答案为：2或8． 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质求出，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，利用勾股定理表示出，，根据题意分2种情况讨论：或，利用相似三角形的性质列出方程，求出的值即可求解． 解：对于， 当时，，解得； 当时，； ，， ， ， ， ，， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为， 设， 则，， 由勾股定理得，， ， 由题意知，点M与A、B、C三点中的某两点构成的三角形与相似时，如图， 分两种情况：或 当时，则， 即， ， ， 解得，（舍去）， ； 当时，则， 即， ， ， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，存在，点M的坐标为或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了一次函数与几何综合、相似三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 10．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线与x轴、y轴分别交于点C，点D，与相交于点E，线段，的长是一元二次方程的两根，，． （1）求点A、点C的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使点C，点D、点P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】（1）A的坐标是，C的坐标是；（2）12；（3）存在；P的坐标是和 【分析】首先解方程求得方程的根，则A和C的坐标即可求得； 根据三角函数求得B的坐标，作轴于点F，根据，利用相似三角形的性质求得和的长，即可求得E的坐标利用待定系数法确定函数关系式，进而求得D点坐标与OD 根据勾股定理求出，设P的坐标是，则分成和两种情况进行讨论即可求解． 解：（1）解：，即， 则，， 解得：或， 又， ，， 的坐标是，C的坐标是； （2）， ， 则B的坐标是， ∴， 作轴于点 ∴，， 则， ， ， ，， 则， 则E的坐标是 ，， ； 设直线的解析式是，则， 解得， 则直线的解析式是； 当时，，即， ，     的面积； （3）根据勾股定理得； 设P的坐标是，则 当时，，即， 解得：， 则P的坐标是； 当时，，则， 解得：， 则P的坐标是 总之，P的坐标是和 【点拨】本题是一次函数与相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、解一元二次方程勾股定理、求函数解析式、坐标与图形性质，正确求得E的坐标是解决本题的关键． 11．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，，，点E是对角线上一点． （1）求平行四边形的面积； （2）当时，求的长； （3）作平行四边形，连接，试问：是否存在点E，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在； 【分析】（1）如图1，过点C作于H，解直角三角形求得，进而得出结果； （2）过点C作于H，过点D作，交的延长线于F，设和交于点O，可证得∽，从而，依次得出和的值，进一步得出结果； （3）作，过点C作，交直线于F，过点C作交于E，则点E是符合条件的点，反向延长至G，使，连接，可证得≌，从而，，进而得出，从而得出，从而，可推出，结合（2）得出的值，进一步得出结果． 解：（1）解：如图1， 过点C作于H， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ； （2）如图1， 过点C作于H，过点D作，交的延长线于F，设和交于点O， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ，， ，， ， ， ， ， ； ∴， ， ∵， ， ； （3）如图3， 存在点E，使，理由如下： 作，过点C作，交直线于F，过点C作交于E，则点E是符合条件的点，反向延长至G，使，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由（2）知，，，， ，， ， ， ， 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是具有较强的计算能力． 12．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． （1）如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； （2）如图2，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的长为；（2）的长为或 【分析】（1）由勾股定理求得，根据直角三角形的性质可得，再由三角形中位线定理求得，由翻折的性质得，，求得，再由勾股定理求解即可； （2）分两种情况：①当时，②当时，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 解：（1）解：中，，，， ， 是边上的中线， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ，， 将沿翻折得到， ，， ， 是的中位线， ， ， 设，则， 在中，， ， 即当点是边的中点时，的长为； （2）解：①如图，当时， ，， ， ， ， 作于， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图，当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，存在点，使得为直角三角形，的长为或． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【考点八】反比例函数与几何探究 【★★★题型22】反比例函数与特殊四边形探究 1．（25-26九年级上·山东淄博·月考）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为1，则k的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作，则，设，由，可得，再，列方程，即可得出k的值． 解：过点E作，则， ， ， 设， ， ， ， ， 即，解得：， 故选：C． 【点拨】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点A的坐标为，点B和点C在第一象限，反比例函数的图象经过点B和点C，若点C的横坐标为5，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，平行四边形的性质，根据反比例函数的性质可得，结合平行四边形与平移的性质可得，再进一步解答即可． 解：∵反比例函数的图象经过点B和点C，点C的横坐标为5， ∴， ∵四边形是平行四边形，点A的坐标为， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形为平行四边形，边在轴正半轴上，点为边的中点，反比例函数图像恰好经过，两点，连接，若的面积为4，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．设点 的坐标为 ，设 ，则B，C两点坐标可表示，因为 是中点，根据中点坐标公式D点坐标可表示，因为 在反比例函数 上，D点横纵坐标之积为k，可得，再利用的面积为4列方程则题目可解． 解：∵ 在反比例函数 上， ∴设点 的坐标为 ， ∵四边形是平行四边形， ∴ 且 ， ∴点 的纵坐标与 的纵坐标相同为 ， 设 ， 则点 的坐标为 ，， ∵ 是中点，根据中点坐标公式： ∴，即 ∵ 在反比例函数 上， ∴ ∵ ∴， ∴， 则 的底为 ，高为 点的纵坐标 ， ∵， ∴ ． 4．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图，点为一次函数与反比例函数的图象的交点，点的纵坐标为轴，垂足为，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值． （2）点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①如图1，连接，，在轴上有两个动点和点，点在点左侧，且，若，求点的坐标，并求出的最小值． ②如图2，过点作于点，若，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可； （2）①过点作轴于点，先求出点，，可得到，从而得到，设点的坐标为，则，再由，求出的值，即可求解；因为，若求 的最小值，即求 的最小值加 ，将 向左平移 个单位得 ，则，作 关于 轴的对称点 ，则，故，则 的最小值为，用勾股定理求解即可； ②过点作交延长线于点，过作于点，证明，可得，用表示出点的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案． 解：（1）解：对于， 当时，， 解得：， 点， 把点代入得： ， 解得：； （2）解：①如图，过点作轴于点， 对于， 当时，，当时，， 点，， ，， 轴，点．， ，， ， ， ， ∵在反比例函数上， ∴设点的坐标为，则， ∵P，M在为上， ， ， ∴， ， 即， 解得：或（舍去）， 点的坐标为； ∵，若求 的最小值，即求 的最小值加 ， 将 向左平移 个单位得 ，则， 作 关于 轴的对称点 ，则， 故， 当三点共线时， 最小，最小值为； 作，由勾股定理得： ， ∴ 的最小值为 ； ②如图2，过点作交延长线于点，过作交的延长线于点， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ∵在直线上， ∴设， ， ， ， 点是反比例函数的图象上的一点， ， 解得：，， 点在点的右侧， 点的坐标为． 【点拨】本题考查的是反比例函数的性质和图象、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质和图象，对称求距离和最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 5．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，矩形的两边，都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数的图象分别相交于点，且，过点作轴于点，过点作于点． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） （2）当四边形为正方形时，求出点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为． 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、解一元二次方程、矩形的判定与性质． 根据，，可知点坐标为，利用待定系数法求出反比例函数的解析式； 设点的纵坐标为，根据四边形为正方形可知点的坐标为，把坐标代入反比例函数的解析式得到关于的方程，解方程求出的值，即可得到点的坐标． 解：（1）解：轴于点，于点， 四边形是矩形， ， 又， 点坐标为， 将代入， 可得：， ； （2）解：设点的纵坐标为， ， 四边形为正方形， ， ， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：，（舍去）， 点的坐标为． 6．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求的值和直线的解析式； （2）若P为函数的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值． （3）已知点是反比例函数上的一个动点，设点的横坐标为，，当为何值时，面积最大，并求出最大面积． 【答案】（1），直线的解析式为；（2）或；（3）当时，面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了反比例函数综合，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积公式，完全平方公式，解一元二次方程等知识点； （1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）分两种情况，设出点，的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到的值． （3）过点作轴交于点，先求得直线的解析式，进而设，则，，表示出的面积，根据不等式得出最小值，即可求解． 解：（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点， ∴，即反比例函数解析式为， 设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①当在的上方时， ∴，， ，， ， 解得：； ②当在的上方时， ∴，， ，， ， 解得：（负根舍去）， 综上所述：或． （3）解：如图，过点作轴交于点， 的横坐标为4， 沿轴正方向平移个单位得到线段， 直线的解析式为， 将代入得到：， 即， 设的表达式为， 将，代入得， 解得， ， 设，则， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴当时，即（负值舍去） ∴当时，面积最大，最大面积为． 【★★★题型23】反比例函数与相似三角形探究 1．（24-25九年级上·河北沧州·月考）如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证出四边形是矩形，进而推得，求出，再证得，求出，，代入反比例函数解析式即可求解． 解：过点C作轴交于点N，过点B作交延长线于点M， 由题意可知，，， ∵轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，如图， ∴，，， 过点F作轴，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点恰好在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握位似的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点O，，且顶点A、B、D都在反比例函数的图象上，则顶点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接，设，则由对称性可知，先证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，，则，再求出点D的坐标为点D的坐标为，由点D在反比例函数图象上，得到，解方程即可得到答案． 解：如图所示，过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接， 设，则由对称性可知， ，， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， 轴，轴， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 点B平移到点A和点C平移到到点D的平移方式相同， 点D的坐标为， 又点D在反比例函数图象上， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， 故答案为： 3．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，矩形放置在平面直角坐标系中，在y轴上，，，已知四边形的面积为，反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由于，则 ，在中根据勾股定理可得，求得，故 作轴于点，再证明，可得，设，表示出点坐标，根据四边形的面积为列方程即可解决． 解：， ， ， ， 在中根据勾股定理可得 ，解得：， ， 作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 令， 在中根据勾股定理可得 ， ， 在矩形中, ，， 连接, ， ， ， 解得：， ， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故答案为： 【点拨】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标的特征、矩形的性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，利用了数形结合的思想. 4．（2024·浙江宁波·一模）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解答本题的关键． 先根据三角形面积求出小正方形的边长，再利用两次相似求出点D的坐标，最后把D的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k值． 解：∵， ∴ ∴， ∴小正方形边长为2， ∴，，， 如图， 作轴，垂足为点E，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， 同理， ， 即， ∴， ∴ ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：． 5．（2024·江苏苏州·二模）如图，一次函数的图像与轴、轴分别相交于A、两点，与反比例函数的图像交于，两点，过点作轴于点，且，点A坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图像，直接写出不等式的解集； （3）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定反比例函数解析式； （2）观察一次函数与正比例函数图像即可求解； （3）如图，轴于点H，连接；设，再确定、、,然后再代入反比例解析式得到n，由可根据相似列比例求出m的值，进而确定出n的值，即可得出Q坐标． 解：（1）解：∵直线过点， ∴，， ∴ ∵， ∴P点纵坐标为2， ∵P在直线上， ∴，， ∴ ∵在双曲线上， ∴， ∴． （2）解：联立一次函数与双曲线解析式得， ， 整理得：，解得或者， ∴点G、P的横坐标分别为和2， ∴根据图像可知， 的解集为：或． （3）解： 如图，轴于点H，连接；设，    ∵在双曲线上，且在点P的右侧， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵点B在上， ∴． ∵， ∴，即， ∴，即，解得或（舍去）， ∴． 【点拨】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了相似三角形的性质、待定系数法确定函数解析式等知识点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 6．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求该一次函数的解析式； （2）在轴上有一点，直线与反比例函数图象交于点，连接．求的面积； （3）如图2，以线段为对角线作正方形，点是线段上的一动点，点是线段上的一动点，连接、，使，当点运动到的三等分点时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及正方形的性质、一次函数的性质、三角形相似，确定直线间的关系是解题的关键． （1）根据点在函数图象上，求出点，再根据待定系数法求出一次函数的解析式； （2）设直线交轴于点，设直线的解析式为：，利用待定系数法求出直线的解析式，推出点的坐标，联立方程，即可； （3）根据两点间的距离公式，求出，根据勾股定理求出点的坐标，根据正方形的性质，中点坐标公式，求出点的坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，根据相似三角形的判定和性质，则，得，求出，求出点的坐标，过点作；根据中点坐标公式，求出的坐标为或，根据待定系数法求出的直线解析式，得到的解析式，联立直线的解析式，即可． 解：（1）解：反比例函数的图象交于点， ∴点， ∵一次函数的图象交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：设直线交轴于点，设直线的解析式为：， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴联立和， ∴， 解得：，， ∵点在第一象限， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点， 在正方形中，的中点即为的中点， ∴的中点坐标为， ∴， ∴， ∴点； 过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，， ∴，， ∴， 当， ∴， ∴， 即点的纵坐标为，同理可得，点的横坐标为， ∴点； 当时，同理可得点， 即点的坐标为或， 过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴点是的中点， ∴的坐标为或， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∵， ∴的解析式为：或， ∴分别将上述两式和的表达式联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末全册复习专题（8大考点23类题型） （北师大版九上） 目录 一.基础篇 2 【考点一】概念与定义判断 2 【★题型1】一元二次方程 2 【★题型2】投影与视图 3 【★题型3】反比例函数定义 3 【★题型4】特殊平行四边形 4 【考点二】图形识别 4 【★题型5】相似（位似）图形 4 【★题型6】投影与视图 6 【考点三】巩固基本运算 7 【★题型7】求解一元二次方程 7 【★题型8】根的判别式与根与系数关系 8 【★题型9】求几何概率 8 【★题型10】用树状图或图表求概率 10 【考点四】性质与判定辨析 11 【★题型11】特殊平行四边形性质与判定 11 【★题型12】相似三角形性质与判定 13 【★题型13】反比例函数图象性质 14 二综合篇 16 【考点五】综合运算与实际应用 16 【★★题型14】求解一元二次方程与化简综合 16 【★★题型15】应用一元二次方程 17 【★★题型16】相似三角形的实际应用 18 【★★题型17】反比例函数的实际应用 20 【★★考点六】跨章节综合 23 【★★题型18】相似三角形与特殊四边形综合 23 【★★题型19】反比例函数与几何综合 25 三培优篇 27 【考点七】几何变换压轴题 27 【★★★题型20】相似三角形与几何变换探究 27 【★★★题型21】相似三角形与存在性问题 29 【考点八】反比例函数与几何探究 31 【★★★题型22】反比例函数与特殊四边形探究 31 【★★★题型23】反比例函数与相似三角形探究 34 一.基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】概念与定义判断 【★题型1】一元二次方程 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）将关于的方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，2，5 B．2，，5 C．2，2， D． 3．（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知是关于的一元二次方程，则满足（　　） A． B． C． D．或 5．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【★题型2】投影与视图 1．（24-25九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 2．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·月考）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．当平行于投影面时的正投影 D．当平行于投影面时的中心投影 4．（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．物体的正投影不改变物体的形状和大小 B．一个人的影子都是平行投影形成的 C．当物体的某个面平行于投影面时，该面的正投影不改变它的形状和大小 D．有光就有影子 【★题型3】反比例函数定义 1．（25-26九年级上·广西桂林·期中）下列函数中y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东泰安·期中）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）点在函数的图象上，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 4．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）已知函数是反比例函数，且图象在第一、第三象限内，则 ． 5．（2025·浙江绍兴·三模）已知反比例函数的图象过点，，，且，，则 【★题型4】特殊平行四边形 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若四边形的对角线与相等且互相平分，则下列关于四边形的形状判断正确的是（    ） A．一定是矩形，但不一定是正方形 B．一定是菱形 C．一定是平行四边形，但不可能是矩形 D．一定是正方形 2．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）依据所标数据，下列选项中的平行四边形一定是菱形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽·期中）满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 4．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【考点二】图形识别 【★题型5】相似（位似）图形 1．（25-26九年级上·山西运城·期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（25-26九年级上·河南郑州·期中）将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（   ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲和乙和丙 5．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示的是某公园中的两个物体，一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序可排列为 （填序号）． 【★题型6】投影与视图 1．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图所示的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 6．（2017·河南·一模）如图，小明画出了某几何体的三种视图，其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．② 【考点三】巩固基本运算 【★题型7】求解一元二次方程 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）方程经过配方法化为的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南红河·期中）若等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则等腰三角形的周长为（） A．7 B．11 C．7或11 D．5或6 3．（25-26九年级上·江西上饶·期中）解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 4．（25-26九年级上·山东临沂·期中）解方程： （1）； （2）． 5．（25-26九年级上·河南南阳·期中）解方程： （1）（用配方法） （2）（用适当方法） 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）解下列方程． （1）； （2）． 【★题型8】根的判别式与根与系数关系 1．（24-25八年级下·广西百色·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为 ． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期中）若一个菱形的两条对角线长分别是关于y的一元二次方程 的两个实数根，且该菱形的面积为16，则这个菱形的边长是 ． 3．（25-26九年级上·山东日照·期中）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 4．（25-26九年级上·江西九江·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，满足，求的值． 5．（25-26九年级上·广东·期中）已知：关于x的方程． （1）试说明无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）如果方程有一个根为3，试求的值． 6．（25-26九年级上·江西赣州·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为1，求m的值． 【★题型9】求几何概率 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，将一个飞镖随机投掷到方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形．任意旋转这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 4．（25-26九年级上·广东梅州·期中）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是 ． 5．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，点D、点E是直线与矩形的边、的交点，，．若动点在矩形内随机运动，则动点P落在内（包括边界）的概率为 ． 6．（2025·山东济南·一模）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为 ． 【★题型10】用树状图或图表求概率 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘A，B．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配得紫色的概率为 ． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后随机摸出一个后不放回，再随机摸出一个球． （1）若随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是________； （2）若规定：当两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定对双方公平吗？请通过画树状图或列表的方法说明理由． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别围绕“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位同学准备各自挑选一场直播深入学习，随后分享收获，两位同学选择四个主题的可能性相同，且相互不影响． （1）甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的概率． 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动．某一周末有两个项目供学生选择：A文明交通劝导志愿行，B乡村教育关爱行，每名学生只能选择其中一个项目． （1）甲同学选择A项目的概率为___________； （2）请用画树状图的方法，求甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率． 6．（2025·四川广元·中考真题）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 【考点四】性质与判定辨析 【★题型11】特殊平行四边形性质与判定 1．（2025·湖南·中考真题）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 2．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川泸州·中考真题）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 4．（2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 12．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 13．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为 ． 【★题型12】相似三角形性质与判定 5．（2025·云南·中考真题）如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（） A． B． C． D． 6．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 8．（2023·山东东营·中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 14．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则 ． 15．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 16．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．    【★题型13】反比例函数图象性质 9．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）对于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若点都在图象上．且，则 10．（25-26九年级上·重庆·期中）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·山东烟台·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，的面积为3，则k的值为 ． 18．（25-26九年级上·山东泰安·期中）若反比例函数的图象位于第二、四象限，那么a的取值范围是 ． 19．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点，连接，，已知的面积为2，则的值为 ． 二综合篇 【考点五】综合运算与实际应用 【★★题型14】求解一元二次方程与化简综合 1．（2025·内蒙古·模拟预测）方程的解为（    ） A．或 B． C． D．无解 2．（16-17九年级下·全国·课后作业）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 8．（2022·贵州·一模）分式方程的解是 ． 13．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）先化简，再求值：，其中满足． 14．（2024九年级下·广东茂名·竞赛）解方程： 15．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想，换元法能达到简化运算的目的．例如，解方程时，可以将看作一个整体，采用换元法求解，设，则原方程可以变形为，整理得，解得，所以，解得，经检验是原方程的根． （1）用换元法解方程时，如果设，则原方程可以变形为 ； （2）用换元法解方程； （3）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值． 【★★题型15】应用一元二次方程 3．（25-26九年级上·福建莆田·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．4或6 16．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）某种进价为40元的服装，售价为84元时，平均每天可以销售20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．若每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （1）以下是小明和小亮的两种不同设法，请帮忙填完整： 小明：设每件服装降价元，由题意，可列方程：______． 小亮：设每件服装定价为元，由题意，可列方程：______． （2）请写出一种完整的解答过程． 17．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度） ①设的长为，用含x的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案） 18．（25-26九年级上·河南南阳·期中）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带． （1）若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出10件，请求出该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为14000元． 19．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【★★题型16】相似三角形的实际应用 5．（23-24九年级上·浙江·月考）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级下·辽宁本溪·开学考试）《海岛算经》是我国最早的一部测量数学专著，书中第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度，立两根长度相等的标杆和，两杆之间的距离步，，，共线；从到走123步，此时A，，三点共线；从到走127步，此时A，，三点共线．计算山峰的高度及的长．若设步，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·山东威海·期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 10．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，左右并排的两颗大树的高分别为，，两树底部的距离，点与树的根部点，点在一条直线上，，小颖估计自己的眼睛（点）离地面，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为 ． 20．（24-25九年级上·河南郑州·期中）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量，，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点，于点，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）． 21．（2022九年级上·全国·专题练习）小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）    【★★题型17】反比例函数的实际应用 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 11．（2024·湖南·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 12．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 22．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求恒温系统设定的恒定温度； （2）求这天在阶段与阶段的温度与时间的函数关系式； （3）若大棚内的温度低于10，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 23．（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集． （3）是轴上一点，且，求点的坐标； 24．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求x的值； （3）如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【★★考点六】跨章节综合 【★★题型18】相似三角形与特殊四边形综合 1．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为    （    ） A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．2 4．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为 ． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，四边形中，，，是的中点，连接并延长交于点，若，，则 ． 8．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，平分，求的长． 9．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． （1）求证：； （2）若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 10．（2025·上海·模拟预测）如图1，在中，在四边形中．连接交于点，连接交于点，满足． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）如图2，当四边形为正方形，且在线段上时，求证： ． 【★★题型19】反比例函数与几何综合 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与菱形相交于，D两点，点C在x轴上．连接，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2024·广东·模拟预测）如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，作轴于点，点为上任意一点，当时，与轴交点坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西·模拟预测）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在对角线上的点处．若点在一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 7．（2025·江苏扬州·一模）如图，将反比例函数图象在第一象限的分支向左平移个单位长度后与轴相交于点，为轴上一点，作点关于点的对称点，再以线段为斜边向下作等腰直角三角形若点和点恰好都落在反比例函数图象在第三象限的分支上，则 ． 11．（2025·江西抚州·二模）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，，以为斜边作等腰直角，边交反比例函数的图象于点，的延长线交反比例函数的图象于点，若． （1）求的值； （2）求的长． 12．（2026·湖北·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图像于点，连接，．若，求的取值范围． 三培优篇 【考点七】几何变换压轴题 【★★★题型20】相似三角形与几何变换探究 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在菱形中，点是边上一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好为的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点O与原点重合，顶点A的坐标为，．将线段向上平移2个单位长度得到线段．连接．若将五边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则到第2025次旋转结束时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），，，，，P是边上的一动点，点C绕点P按逆时针方向旋转得点，则 ．若点落在射线上时，则 ． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，中，，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，（1）当N点在上时 ；（2）周长的最小值为 ． 8．（25-26九年级上·河南南阳·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． （1）【操作发现】 第一步：在矩形中，E是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交射线于点F．如图①，连接，则的度数为______，用等式表示线段，，的数量关系：________________； （2）【类比探究】 第二步：更换另一张矩形纸片，E仍然是边中点，将沿所在直线折叠，此时点B落在矩形的外部． 如图②，判断（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并证明． （3）【拓展应用】 第三步：在前面（1）、（2）的操作过程中，同学们又画出了延长交直线于点G的图形，当时，测得．请直接写出的长． 9．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【问题分析】 小明发现、的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题． 【问题解决】如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求的值；（提示：可构造相似三角形求解） （2）线段的最小值为________． 【方法应用】 如图③，，，，则最小值为________． 【★★★题型21】相似三角形与存在性问题 5．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图1，内存在一点P，满足，称点P为的布洛卡点．如图2，在中，，，若点Q为的布洛卡点，，则 ． 6．（25-26九年级上·全国·期中）将三角板的直角顶点E放在长方形纸片的边上移动，恰好存在两直角边分别经过点A，D情形（如图）．如果，则的长应为 ． 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为 ． 10．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线与x轴、y轴分别交于点C，点D，与相交于点E，线段，的长是一元二次方程的两根，，． （1）求点A、点C的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使点C，点D、点P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 11．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，，，点E是对角线上一点． （1）求平行四边形的面积； （2）当时，求的长； （3）作平行四边形，连接，试问：是否存在点E，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 12．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． （1）如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； （2）如图2，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【考点八】反比例函数与几何探究 【★★★题型22】反比例函数与特殊四边形探究 1．（25-26九年级上·山东淄博·月考）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为1，则k的值是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点A的坐标为，点B和点C在第一象限，反比例函数的图象经过点B和点C，若点C的横坐标为5，则k的值为 ． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形为平行四边形，边在轴正半轴上，点为边的中点，反比例函数图像恰好经过，两点，连接，若的面积为4，则的值为 ． 4．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图，点为一次函数与反比例函数的图象的交点，点的纵坐标为轴，垂足为，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值． （2）点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①如图1，连接，，在轴上有两个动点和点，点在点左侧，且，若，求点的坐标，并求出的最小值． ②如图2，过点作于点，若，请直接写出符合条件的点的坐标． 5．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，矩形的两边，都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数的图象分别相交于点，且，过点作轴于点，过点作于点． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） （2）当四边形为正方形时，求出点的坐标． 6．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求的值和直线的解析式； （2）若P为函数的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值． （3）已知点是反比例函数上的一个动点，设点的横坐标为，，当为何值时，面积最大，并求出最大面积． 【★★★题型23】反比例函数与相似三角形探究 1．（24-25九年级上·河北沧州·月考）如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点O，，且顶点A、B、D都在反比例函数的图象上，则顶点C的坐标为 ． 3．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，矩形放置在平面直角坐标系中，在y轴上，，，已知四边形的面积为，反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ． 4．（2024·浙江宁波·一模）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则    5．（2024·江苏苏州·二模）如图，一次函数的图像与轴、轴分别相交于A、两点，与反比例函数的图像交于，两点，过点作轴于点，且，点A坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图像，直接写出不等式的解集； （3）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于点，当时，求点的坐标． 6．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求该一次函数的解析式； （2）在轴上有一点，直线与反比例函数图象交于点，连接．求的面积； （3）如图2，以线段为对角线作正方形，点是线段上的一动点，点是线段上的一动点，连接、，使，当点运动到的三等分点时，求点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $