精品解析：山东省淄博市周村区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷（五四制）

2025-2026学年山东省淄博市周村区八年级（上）期中 数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “二十四节气”起源于黄河流域，是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下列四幅作品分别代表“立春”，“立夏”，“芒种”和“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的判断方法．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据该定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选： 2. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， 解得：x=2， 故选C． 3. 将多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 系数 6、、的最大公因数为 3， 字母 a 的指数最小值为 2， 字母 b 的指数最小值为 2， ∴ 公因式为 ． 故选：C． 4. 下列能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式：进行计算． 【详解】解：A．不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； B．不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； C．，能用完全平方公式因式分解，故符合题意； D．只有两项，不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解—运用公式法，熟悉完全平方公式是解题的关键． 5. 如图，将三角形向右平移得到三角形，已知四边形的周长是，则三角形的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移性质可得，，根据题意可得，则有，从而求出三角形的周长，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵三角形向右平移得到三角形， ∴，， ∵四边形的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的周长是， 故选：． 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为D，E，连接当点A，D，E在同一条直线上时，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质，由旋转得，，，则．由题意得，则，再根据可得答案，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由旋转得，，， ． 点，，在同一条直线上， ， ， ． 故选：C． 7. 某校为推动中华优秀传统文化走进校园，举办了一场以“爱我中华”为主题的知识竞赛活动．八年级某班派出6位同学参赛，成绩如下表，下列选项不正确的是（ ） 参赛选手 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩 86 84 84 86 87 86 A. 6位参赛同学成绩的众数是86 B. 6位参赛同学成绩的中位数是85 C. 6位参赛同学成绩的平均数是85.5 D. 6位参赛同学成绩的方差是1.25 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法逐项分析即可． 【详解】解：A．∵86出现了3次，出现的次数最多，∴6位参赛同学成绩的众数是86，正确； B．从小到大排列：84，84，86，86，86，87，∵排在中间的2个数都是86，∴6位参赛同学成绩的中位数是86，故不正确； C．∵，∴6位参赛同学成绩的平均数是85.5，正确； D．∵，6位参赛同学成绩的方差是1.25，正确． 故选B． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法是解答本题的关键． 8. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 10. 善于钻研的小聪同学发现，长方形也是中心对称图形，在一块大长方形铁皮上裁去一个小长方形得到了如图所示的直角铁皮，若用一条直线l将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线l有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 无数条 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，掌握矩形是中心对称图形是解题的关键．根据矩形的性质画出符合要求的直线l即可解决问题． 【详解】解：如图，补全原图为两个矩形， ∵矩形是中心对称图形， 、分别是大小两个矩形的对称中心， ∴当直线经过点、时，必定平分该直角铁皮的面积， 设交左边长方形的边于点F，交右边长方形的边于点E，的中点为O，N，G为右边长方形的顶点， 当这条直线绕点O旋转时，直线只要经过内部，均平分直角铁皮的面积； 因此还能存在无数条直线将该直角铁皮分成面积相等的两部分， 故选：D ． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是____________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】∵分式有意义， ∴，即. 故答案为. 12. 某校科创社团招聘新成员，测试项目包括基础知识、操作能力、创新能力，并规定上述三项成绩依次按，，的比例计入总成绩，某个学生这三项的测试得分依次为85分，90分，95分，则此学生的总成绩是______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式（各项成绩×对应权重之和）． 根据加权平均数的计算方法，将各项成绩分别乘以对应的权重，再求和即可得到总成绩． 【详解】解：根据加权平均数的计算公式，总成绩为： （分）， 故答案为：89.5 13. 若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为_____． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】先把（x+2）（x-1）展开，求得m，n的值，再求m+n的值即可． 【详解】∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x-1） ∴x2+mx+n=x2+x-2 ∴m=1，n=-2 ∴m+n=1-2=-1， 故答案为-1． 【点睛】本题考查了形如x2+(p+q)x+pq的多项式的因式分解，求得m，n的值是解题的关键． 14. 将点向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P，若点P恰好落在x轴上，则点P的横坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及x轴上点的坐标特征，解题的关键是掌握点的平移法则与x轴上点的纵坐标为0的性质． 先根据平移规律求出点P的坐标，再利用x轴上点的纵坐标为0求出参数m，最后计算点P的横坐标． 【详解】解：点向左平移3个单位长度，横坐标变为，向上平移2个单位长度，纵坐标变为， 则点的坐标为， 因为点在轴上，所以点的纵坐标为0，即， 解得， 将代入点的横坐标表达式， 得， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点D为上一点，连接，若，，则的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 过点A作于点E，根据等腰直角三角形性质得，设，则，，，在中，由勾股定理求出，继而可得的长为 【详解】解：过点A作于点E，如图所示： ， 是直角三角形， 在中，，， ， 设，则， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， ，或，不合题意，舍去， ， 即的长为 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可； （2）先将原式整理成多项式，再用完全平方公式分解因式即可． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用异分母分式的加减法法则进行计算，即可解答； （2）利用分式的除法法则进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可； （2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：把代入． ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 19. 如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为． （1）将向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度得到，请画出； （2）将绕点逆时针旋转得到，请画出； （3）判断的形状：____________． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） 如图，为所作； （3）等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换：平移变换，勾股定理逆定理． （1）利用点平移的坐标变换规律得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点、，从而得到； （3）连接，利用勾股定理求出，即可判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵即， ∴是等腰直角三角形． 20. 《义务教育劳动课程标准》提出，将多种劳动技能纳入课程，发挥好劳动教育独特的育人价值．为让学生体验农耕劳动，某校计划购买甲、乙两种中药树苗种植．已知甲种中药树苗进价是乙种中药树苗进价的1.5倍，若用360元购进甲种中药树苗的数量比用320元购进乙种中药树苗的数量少8棵． （1）甲、乙两种中药树苗的进价分别为每棵多少元； （2）学校计划购买甲、乙两种中药树苗共100课，且甲树苗数量不少于乙树苗数量的3倍．请你设计一种购买树苗方案，让购买树苗的总费用最低，并求出最低费用． 【答案】（1）甲、乙两种中药树苗的进价分别为15元/棵和10元/棵 （2）购买75课甲种树苗，25课乙种树苗时费用最低，最低费用为1375元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设乙种中药树苗的进价为元，则甲种中药树苗的进价为元，根据用360元购进甲种中药树苗的数量比用320元购进乙种中药树苗的数量少8棵．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲种中药树苗棵，则购买乙种中药树苗棵，根据甲树苗数量不少于乙树苗数量的3倍．列出一元一次不等式，解得，再设购买树苗的总费用为元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设乙种中药树苗的进价为元，则甲种中药树苗的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲种中药树苗的进价为15元，乙种中药树苗的进价为10元； 【小问2详解】 设购买甲种中药树苗棵，则购买乙种中药树苗棵， 根据题意得：， 解得：， 设购买树苗的总费用为元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大． 时，有最小值， 此时， 答：购买甲种中药树苗75棵，乙种中药树苗25棵的总费用最低，最低费用是1375元． 21. 已知，点P是等边三角形中一点，线段绕点A逆时针旋转60°到，连接． （1）求证：． （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵线段绕点A逆时针旋转到， ∴， ∴是等边三角形，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定证明即可． （2）根据等边三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵由（1）得是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 22. “数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． （1）如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ． （2）若，求代数式的值． （3）观察图， ①从图中得到 ． ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3）①；②． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式是解决本题的关键． （1），将数据代入求出，图中阴影部分的面积是三角形，三角形的面积底高，即，代入数据计算即可； （2）设，，由可得，，所以，代入数据计算即可； （3）①根据图形可得； ②由，得，，因为，代入求出的结果． 【小问1详解】 因为，， ， 图中阴影部分的面积为：； 故答案为：． 【小问2详解】 因为， 设，， 所以，， 所以， ． 【小问3详解】 ， 故答案为：； 因为，，， 所以 ， 因为，， ， 所以 ． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______． 【答案】（1），； （2）（1）中结论仍然成立，理由如下： 由旋转知，∠BCE=∠ACD， ∵BC=AC，EC=DC， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 如图2， BE与AC的交点记作点H，BE与AD的交点记作点G， ∵∠ACB=90°， ∴∠CBE+∠BHC=90°， ∴∠CAD+∠BHC=90°， ∵∠BHC=∠AHG， ∴∠CAD+∠AHG=90°， ∴∠AGH=90°， ∴BE⊥AD； （3）34或14 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出BC=AC，EC=DC，在作差，得出BE=AD，再用∠ACB=90°，即可得出结论； （2）先由旋转的旋转得出∠BCE=∠ACD，进而判断出△BCE≌△ACD（SAS），得出BE=AD，∠CBE=∠CAD，BE与AC的交点记作点H，BE与AD的交点记作点G，进而得出∠CAD+∠BHC=90°，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD于M，求出EM=CM=DE=10，再用勾股定理求出AM=24，即可得出结论； ②当点D在线段AD的延长线上时，过点C作CN⊥AD于N，求出EN=CN=DE=10，再由勾股定理求出根据勾股定理得，AN=24，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴BC=AC，EC=DC， ∴BC-EC=AC-DC， ∴BE=AD， ∵点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB=90°， ∴BE⊥AD， 故答案为BE=AD，BE⊥AD； （2）略 （3）①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M， ∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20， ∴EM=CM=DE=10， 在Rt△AMC中，AC=26， 根据勾股定理得，， ∴AE=AM-EM=24-10=14； ②当点D在线段AD的延长线上时，如图4，过点C作CN⊥AD于N， ∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20， ∴EN=CN=DE=10， 在Rt△ANC中，AC=26， 根据勾股定理得， ∴AE=AN+EN=24+10=34； 综上，AE的长为14或34， 故答案为14或34． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省淄博市周村区八年级（上）期中 数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “二十四节气”起源于黄河流域，是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下列四幅作品分别代表“立春”，“立夏”，“芒种”和“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 3. 将多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将三角形向右平移得到三角形，已知四边形的周长是，则三角形的周长是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为D，E，连接当点A，D，E在同一条直线上时，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 某校为推动中华优秀传统文化走进校园，举办了一场以“爱我中华”为主题的知识竞赛活动．八年级某班派出6位同学参赛，成绩如下表，下列选项不正确的是（ ） 参赛选手 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩 86 84 84 86 87 86 A. 6位参赛同学成绩的众数是86 B. 6位参赛同学成绩的中位数是85 C. 6位参赛同学成绩的平均数是85.5 D. 6位参赛同学成绩的方差是1.25 8. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 善于钻研的小聪同学发现，长方形也是中心对称图形，在一块大长方形铁皮上裁去一个小长方形得到了如图所示的直角铁皮，若用一条直线l将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线l有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 无数条 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是____________． 12. 某校科创社团招聘新成员，测试项目包括基础知识、操作能力、创新能力，并规定上述三项成绩依次按，，的比例计入总成绩，某个学生这三项的测试得分依次为85分，90分，95分，则此学生的总成绩是______分． 13. 若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为_____． 14. 将点向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P，若点P恰好落在x轴上，则点P的横坐标是______． 15. 如图，在中，，，点D为上一点，连接，若，，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 分解因式： （1） （2） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为． （1）将向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度得到，请画出； （2）将绕点逆时针旋转得到，请画出； （3）判断的形状：____________． 20. 《义务教育劳动课程标准》提出，将多种劳动技能纳入课程，发挥好劳动教育独特的育人价值．为让学生体验农耕劳动，某校计划购买甲、乙两种中药树苗种植．已知甲种中药树苗进价是乙种中药树苗进价的1.5倍，若用360元购进甲种中药树苗的数量比用320元购进乙种中药树苗的数量少8棵． （1）甲、乙两种中药树苗的进价分别为每棵多少元； （2）学校计划购买甲、乙两种中药树苗共100课，且甲树苗数量不少于乙树苗数量的3倍．请你设计一种购买树苗方案，让购买树苗的总费用最低，并求出最低费用． 21. 已知，点P是等边三角形中一点，线段绕点A逆时针旋转60°到，连接． （1）求证：． （2）若，求的长度． 22. “数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． （1）如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ． （2）若，求代数式的值． （3）观察图， ①从图中得到 ． ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $