专题07 证明（期末复习优选题题型集训 17个题型讲练 共34题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册培优讲练

专题07 证明 （17个高频易错题型讲练 共34题 新教材） 【解析版】 易错题型1 判断是否是命题 1 易错题型2 写出命题的题设与结论 2 易错题型3 判断命题真假 3 易错题型4 举例说明假(真)命题 5 易错题型5 写出一个命题的已知、求证及证明过程 6 易错题型6 以代数为背景的推理与论证 8 易错题型7 逻辑推理与论证 9 易错题型8 同位角相等两直线平行 10 易错题型9 内错角相等两直线平行 12 易错题型10 同旁内角互补两直线平行 13 易错题型11 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 14 易错题型12 平行公理的应用 16 易错题型13 平行公理推论的应用 19 易错题型14 两直线平行同位角相等 19 易错题型15 两直线平行内错角相等 21 易错题型16 两直线平行同旁内角互补 23 易错题型17 根据平行线判定与性质证明 25 易错题型1 判断是否是命题 1．（23-24八年级上·河南·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【思路点拨】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案，掌握命题的定义是解题的关键． 【规范解答】解：、你喜欢数学吗？是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、取线段的中点，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、美丽的天空，是描叙性语言，没有作出判断，不是命题； 、两直线平行，内错角相等，是命题，符合题意； 故选：． 2．（22-23八年级上·全国·期中）判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数； ； （2）两个锐角的和是钝角； ； （3）画两个相等的角； ； （4）同旁内角互补； ； （5）所有的质数都是奇数吗？ ； （6）两条直线相交，只有一个交点． ， 【答案】 是命题 是命题 不是命题 是命题 不是命题 是命题 【思路点拨】根据命题的定义，即能够判断真假的陈述句叫做命题，依次对每个句子进行判断，看是否符合命题的特征．本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一概念是解题的关键． 【规范解答】解：（1）0是偶数；是命题； （2）两个锐角的和是钝角；是命题； （3）画两个相等的角；不是命题； （4）同旁内角互补；是命题； （5）所有的质数都是奇数吗？不是命题； （6）两条直线相交，只有一个交点，是命题； 故答案为：（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题． 易错题型2 写出命题的题设与结论 3．（25-26八年级上·河南南阳·期中）小琪同学做了4道练习题如下，若答对一道题得10分，你认为她的得分是(    ) （1）的小数部分是；（2）命题“同位角相等”的条件是“两个角是同位角”； （3）若，则；（4）要说明命题“是负数”是假命题，可举反例． A．10分 B．20分 C．30分 D．40分 【答案】C 【思路点拨】本题考查了无理数的小数部分，无理数的小数部分，平方运算，反例的举法，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：∵ ，小数部分为 精确值，∴第（1）题错误． ∵命题“同位角相等”的形式为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，条件确是“两个角是同位角”，∴第（2）题正确． ∵ ，则 ，∴第（3）题正确． ∵命题“是负数”不是总成立，当时，不是负数，反例正确，∴第（4）题正确． ∴共答对题，得分分． 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补． 【答案】(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零，是真命题 (2)如果两个角是同旁内角，那么它们互补．是假命题 【思路点拨】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键． （1）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假； （2）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假． 【规范解答】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题； （2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题， 反例：如图，和是同旁内角， 但两直线不平行，故和不互补． 易错题型3 判断命题真假 5．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列命题不是真命题的是（   ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条角平分线必定交于一点 C．全等三角形对应边上的中线相等 D．三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了命题与定理，利用三角形的有关性质分别判断得出是解题关键． 根据三角形的角平分线，高，中线和全等三角形的性质，分别进行判断得出答案即可． 【规范解答】解：A、在钝角三角形中，从锐角顶点向对边所作的高在三角形的外部，故A不是真命题，符合题意； B、三角形的三条角平分线必交于一点（内心），故B是真命题，不符合题意； C、全等三角形对应边上的中线相等，故C是真命题，不符合题意； D、三角形一边上的中线将底边分为两等分，且两个三角形等高，所以三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等，故D是真命题，不符合题意； 故选：A． 6．（25-26八年级上·河南南阳·期中）下列命题：①的算术平方根是4．②有理数和数轴上的点一一对应；③两个无理数的和还是无理数；④全等三角形的角平分线相等；⑤有两角和一边分别相等的两个三角形全等；⑥有两条边和第三条边上的高分别相等的两个三角形全等；其中是真命题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是命题的真假判断，算术平方根，全等三角形，实数，掌握相关知识点结合正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题进行判断是解题的关键． 根据相关知识点逐个判断命题真假，即可求解． 【规范解答】解：∵ ① ，4的算术平方根是，不是4，∴ 命题①为假； ∵ ② 数轴上的点与实数一一对应，除了有理数，还有无理数，∴命题 ②为假； ∵ ③ 反例：（有理数），∴ 命题③为假； ∵ ④ 全等三角形的对应角的平分线相等，原命题未指明“对应”，∴命题④为假 ∵ ⑤ 两角和一边对应相等，符合或全等判定，∴ 命题⑤为真； ∵ ⑥ 反例：两条边和第三边高相等，如图，两个三角形和中，,且第三边上的高相等，但两个三角形不全等，∴ 命题⑥假； 综上所述，真命题有⑤，共1个． 故选：B． 易错题型4 举例说明假(真)命题 7．（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）下列命题中，属于假命题的是（  ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果，那么 【答案】D 【思路点拨】本题考查命题的真假判断．根据直线公理、余角的性质、全等三角形的性质以及反例逐项判断即可． 【规范解答】解：选项A：两点确定一条直线，是几何基本公理，正确； 选项B：同角的余角相等，设和均为的余角，则，，∴，正确； 选项C：全等三角形的对应角相等，由全等三角形性质可知，正确； 选项D：取，，则，但，，，即，∴ 命题不成立． ∴ 假命题是D， 故选：D． 8．（25-26八年级上·浙江温州·期中）对于下列命题，若你认为是真命题，请给出证明；若你认为是假命题，请举出反例加以说明． (1)若，，，，则是直角三角形； (2)若，则代数式是正数． 【答案】(1)假命题，反例见解析 (2)真命题，证明见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理逆定理，整式的混合运算，判断命题真假，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，，，，再结合勾股定理逆定理判断即可得解； （2）根据整式的混合运算去括号，再结合判断即可得解． 【规范解答】（1）解：假命题， 反例：当时，，，． 所以， 所以 所以不是直角三角形． （2）解：真命题 ， 因为， 所以， 即， 所以是正数． 易错题型5 写出一个命题的已知、求证及证明过程 9．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）证明命题 (1)求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等． (2)说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了命题的证明，全等三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）先画出图形，写出已知、求证，然后根据全等三角形的判定方法证明即可； （2）设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为，根据，进行判断作答即可． 【规范解答】（1）已知，如图，在和中，，，， 求证：． 证明：∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：该命题是真命题，理由如下： 设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为， 由题意知，为整数， ∴，也为整数， ∴这个三位数能被3整除，故该命题是真命题． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题． 已知：如图，，______． 求证：______． 证明： 【答案】和分别平分和，，证明见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质和判定，命题的题设和结论，掌握相关知识是解决问题的关键．由可证，进而得出，可证． 【规范解答】已知：如图，，和分别平分和， 求证：． 证明：， ． 分别是和的角平分线， ， ． 在和中， ， ， ． 故答案为：和分别平分和，. 易错题型6 以代数为背景的推理与论证 11．（2024八年级上·全国·竞赛）袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个，黄色球上标有数字5，黑色球上标有数字6，红色球上标的数字看不清．现从袋中拿出8个球，其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数．已知8个球上的数字和是39，那么红色球上标的数字是 ；拿出黑色球的个数是 ． 【答案】 4 3 【思路点拨】本题考查了逻辑推理，先确定红色球个数的可能取值，再分类讨论是解题的关键；分别讨论红色球的个数，再根据黄色球和黑色球个数的限制条件列出所有可能组合，最后通过数字和计算红色球的数字并验证是否为整数即可． 【规范解答】解：黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数， 红色球只可能有4、5、6个， 若红色球6个，则黄色球1个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球5个，黄色球1个，黑色球2个，   则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球5个，黄色球2个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球4个，黄色球1个，黑色球3个， 则红色球标的数字为： ； 若红色球4个，黄色球2个，黑色球2个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球4个，黄色球3个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 红色球上标的数字是4；拿出黑色球的个数是3． 故答案为：4，3． 12．（2023八年级上·江苏泰州·竞赛）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了数的十进制，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小，推出它们乘积的最大值与最小值，然后计算它们的差即可得解．已知，因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．验证，8时均无解，当时，，，此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解． 【规范解答】解：首先两个数的和一定时，两个数的差越小，乘积越大，所以越大，乘积越大， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，，此时符合题意且积最大， 此时积为：． 易错题型7 逻辑推理与论证 13．（25-26八年级上·广西贵港·期中）某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【思路点拨】本题考查了逻辑推论和论证． 先用12个空瓶换4瓶汽水，再用其中的3个空瓶换1瓶汽水，再借1个空瓶换1瓶汽水，最后把空瓶还回去，即可求解． 【规范解答】解：∵某人买了12瓶汽水， ∴可以换（瓶）汽水． 再用其中的3个空瓶换1瓶汽水， 此时有2个空瓶，可以借1瓶，凑成3个空瓶，再换1瓶汽水，再把空瓶还回去即可． ∴他最多可以喝：（瓶）． 故选：B． 14．（25-26八年级上·北京·期中）小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现小黄共当裁判9局，小刘、小李分别进行了23局、13局比赛，在这半天的训练中，三人共进行了 局比赛，其中第9局比赛的裁判是 ． 【答案】 27 小李 【思路点拨】本题考查推理与论证；先确定小刘和小李之间打了局，小刘和小黄之间打了局，小李和小黄打了局，进而确定三人一共打的局数和小李当裁判的局数即可得解。 【规范解答】解：小黄共当裁判局， 小刘和小李之间打了局， 小刘、小李分别进行了局、局比赛， 小刘和小黄之间进行了局比赛， 小李和小黄之间进行了局比赛， 三人一共打了局比赛， 小刘打了局比赛、小李打了局比赛， 小刘当裁判局，小李当裁判局， 而小黄当裁判局，从到共个奇数，个偶数， 每一局都有胜负， 不会出现连续做裁判的情况， 总共27局比赛，由于裁判每局轮换，任何一人最多能当裁判局，小李当裁判的次数14局达到了最大值，因此其担任裁判的局次必然是第1, 3, 5, ..., 27局。故第9局的裁判是小李， 故答案为：；小李 易错题型8 同位角相等两直线平行 15．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点； (2)尺规作图：在（1）的条件下，过点作的平行线，交于点； （要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作一个角等于已知角以及线段垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和作一个角等于已知角的基本作图． （1）利用线段垂直平分线的作法得出的垂直平分线即可； （2）作，利用同位角相等，两直线平行即可解答． 【规范解答】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； 16．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，，B、E、C、F四个点在同一直线上，下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到对应边相等，对应角相等，再结合平行线的判定即可判断． 【规范解答】解： ， ，，，故①正确； ，故②正确； ，即，故③正确； 不一定相等，故不一定相等，故④错误；共有3个正确； 故选；B． 易错题型9 内错角相等两直线平行 17．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，，．若点，，，在同一条直线上，则添加下列条件仍不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），平行线的性质，先整理得，，再结合每个选项进行分析，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， A、∵，，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，，，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、∵，，，∴不能证明，故该选项符合题意； 故选：D 18．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，若 ，求证： ． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，先证明，根据证明，得，从而可判断 ． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 易错题型10 同旁内角互补两直线平行 19．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知：，，那么直线与的位置关系如何？并说明理由． 答：__________． 理由：（已知）， _____（_____）． （已知）， （等量代换）． _____（______）． 【答案】，见详解 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，由可得出，由已知条件了可得出，进而可得出． 【规范解答】解：答： 理由：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 20．（22-23八年级上·陕西安康·期末）如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理对条件进行逐一判断即可． 【规范解答】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不能判定，不符合题意； ④∵，∴，符合题意； 所以，可以判定的有①②④， 故答案为：①②④． 易错题型11 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 21．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直；③两边和一角对应相等的两个三角形全等；④同位角相等．其中假命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查判断命题的真假，涉及对顶角、平行线的性质、垂线的性质，三角形全等的条件等知识点，根据相关知识点判断命题的真假即可． 【规范解答】解： ①对顶角相等，是真命题； ②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，而非垂直，故是假命题； ③两边和一角对应相等，若角不是夹角，则三角形不一定全等（如情况），故是假命题； ④同位角相等需两直线平行，未说明前提，故是假命题； ∴ 假命题有②、③、④，共3个． 故选C． 22．（25-26八年级上·上海宝山·期中）操作与探究： 定义：已知两点、位于直线的同侧，在直线上存在一点，使，则点称为两点、的“等距点”．在直线上存在一点，使的和最短，则点称为两点、的“最佳观测点”． (1)在左图和右图中分别作出“等距点”点和“最佳观测点”点（要求尺规作图，保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； (2)如图，在直线上存在一点，使点既是两点、的“等距点”又是两点、的“最佳观测点”，求证：此时两点、所在的直线和直线平行． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查线段垂直平分线的作法与性质，对称的性质，正确作图是解答本题的关键． （1）作出线段的垂直平分线交直线于点，则点为两点、的“等距点”．作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点为两点、的“最佳观测点”． （2）证明，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可得． 【规范解答】（1）解：如图，点为两点、的“等距点”． 作法：连接，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，过作直线交直线于点，则点为两点、的“等距点”． 如图，点为两点、的“最佳观测点” 作法：过点作直线的垂线，垂足为，截取，连接交直线于点，则点为两点、的“最佳观测点”； （2）解：连接，延长交过点与直线垂直的直线于点， ∵点是两点、的“等距点”， ∴， ∴， 又点是两点、的“最佳观测点”， ∴直线垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∵， ∴． 易错题型12 平行公理的应用 23．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列命题中，为真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 B．相等的两个角是对顶角 C．同位角相等 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【思路点拨】根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理等知识点，掌握相关定义和性质是解题的关键． 根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理逐项判断即可． 【规范解答】解：A．点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，故该选项正确，符合题意； B．相等的两个角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故该选项错误，不符合题意； C．同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，故该选项错误，不符合题意； D．平行公理指出过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，但该选项未指定点是否在直线外，若点在直线上，则不存在与已知直线平行的直线（除自身），故该选项错误，不符合题意． 故选A． 24．（24-25八年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【思路点拨】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 易错题型13 平行公理推论的应用 25．（2024·广东·模拟预测）下列命题中，是真命题的为（　　） A．相等的角是对顶角 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．是有理数 D．若，则 【答案】B 【思路点拨】本题考查了真假命题，对顶角，平行线公理的推论，无理数，绝对值的意义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据对顶角的定义，平行线公理的推论，无理数的定义，绝对值的意义分别判断各选项即可． 【规范解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，本选项不符合题意； B、平行于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，本选项符合题意； C、是无理数，原命题是假命题，本选项不符合题意； D、若，则，原命题是假命题，本选项不符合题意； 故选：B． 26．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，若，则的度数是 ． 【答案】/50度 【思路点拨】本题考查平行线的判定与性质，根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得，根据两直线平行，同位角相等，可得． 【规范解答】解： ， ， ， ， 故答案为：． 易错题型14 两直线平行同位角相等 27．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查三角形全等的证明，根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得，然后根据证明即可． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 28．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，由可得，由可得，结合可证，即可证明． 【规范解答】证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 易错题型15 两直线平行内错角相等 29．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点是平分线上一点，交边于点，过点作交边于点，若，，则的值为 ． 【答案】18 【思路点拨】过点作于点，先证明，推出，，接着利用勾股定理求得，接着利用平行和角平分线，证明，从而得到的长度，最后得出答案． 【规范解答】解：过点作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵点是平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 30．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，，点E、点F分别在、边上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质及最短路径问题，解题的关键是构造辅助线与全等三角形，将转化为，进而利用两点之间线段最短求最小值． 作且，证得；将转化为，当、、共线时和最小为；在中用勾股定理计算． 【规范解答】解：过点作，且，连接、． ∵， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴． ∴， 由两点之间线段最短，当、、共线时，最小，最小值为． 在中，，，， ∴ 故答案为：． 易错题型16 两直线平行同旁内角互补 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）完成下面的证明． 如图，平分，平分，且． 求证：．证明：平分（已知）， （　　　　　　）． 平分（已知）， 　　　　　　（角平分线的定义）． （）． （已知）， （　　　　　　）． ∴（　　　　　　）． 【答案】角平分线的定义 ； ；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【思路点拨】本题考查角平分线的定义、等量代换以及平行线的判定等知识点，掌握角平分线的定义、平行线的判定是解题关键． 利用角平分线的性质得到与、与的关系，再结合已知条件推出，最后根据同旁内角互补，两直线平行的定理判断与是否平行． 【规范解答】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）． 平分（已知）， （角平分线的定义）． （）． （已知）， （等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义 ； ；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 32．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，相交于点，．若，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再由，得到，即可推出． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 易错题型17 根据平行线判定与性质证明 33．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，四边形中，过点作于点，，连接、交于点，若点是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定． （1）先证明，根据平行线的性质得出，，再根据“”证明； （2）根据三角形全等的性质得出，，根据，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等，两直线平行、两直线平行；同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． （1）由对顶角定义得到，结合题意，等量代换即可得到，最后由同位角相等两直线平行即可得证； （2）由，求得的度数，再由，即可求得的度数． 【规范解答】（1）证明：和是对顶角， ， ， ， ∴； （2）解：已知，则， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 证明 （17个高频易错题型讲练 共34题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 判断是否是命题 1 易错题型2 写出命题的题设与结论 2 易错题型3 判断命题真假 2 易错题型4 举例说明假(真)命题 3 易错题型5 写出一个命题的已知、求证及证明过程 3 易错题型6 以代数为背景的推理与论证 4 易错题型7 逻辑推理与论证 4 易错题型8 同位角相等两直线平行 4 易错题型9 内错角相等两直线平行 5 易错题型10 同旁内角互补两直线平行 5 易错题型11 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 6 易错题型12 平行公理的应用 7 易错题型13 平行公理推论的应用 7 易错题型14 两直线平行同位角相等 8 易错题型15 两直线平行内错角相等 8 易错题型16 两直线平行同旁内角互补 9 易错题型17 根据平行线判定与性质证明 10 易错题型1 判断是否是命题 1．（23-24八年级上·河南·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 2．（22-23八年级上·全国·期中）判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数； ； （2）两个锐角的和是钝角； ； （3）画两个相等的角； ； （4）同旁内角互补； ； （5）所有的质数都是奇数吗？ ； （6）两条直线相交，只有一个交点． ， 易错题型2 写出命题的题设与结论 3．（25-26八年级上·河南南阳·期中）小琪同学做了4道练习题如下，若答对一道题得10分，你认为她的得分是(    ) （1）的小数部分是；（2）命题“同位角相等”的条件是“两个角是同位角”； （3）若，则；（4）要说明命题“是负数”是假命题，可举反例． A．10分 B．20分 C．30分 D．40分 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补． 易错题型3 判断命题真假 5．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列命题不是真命题的是（   ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条角平分线必定交于一点 C．全等三角形对应边上的中线相等 D．三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等 6．（25-26八年级上·河南南阳·期中）下列命题：①的算术平方根是4．②有理数和数轴上的点一一对应；③两个无理数的和还是无理数；④全等三角形的角平分线相等；⑤有两角和一边分别相等的两个三角形全等；⑥有两条边和第三条边上的高分别相等的两个三角形全等；其中是真命题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 易错题型4 举例说明假(真)命题 7．（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）下列命题中，属于假命题的是（  ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果，那么 8．（25-26八年级上·浙江温州·期中）对于下列命题，若你认为是真命题，请给出证明；若你认为是假命题，请举出反例加以说明． (1)若，，，，则是直角三角形； (2)若，则代数式是正数． 易错题型5 写出一个命题的已知、求证及证明过程 9．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）证明命题 (1)求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等． (2)说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题． 已知：如图，，______． 求证：______． 证明： 易错题型6 以代数为背景的推理与论证 11．（2024八年级上·全国·竞赛）袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个，黄色球上标有数字5，黑色球上标有数字6，红色球上标的数字看不清．现从袋中拿出8个球，其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数．已知8个球上的数字和是39，那么红色球上标的数字是 ；拿出黑色球的个数是 ． 12．（2023八年级上·江苏泰州·竞赛）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值． 易错题型7 逻辑推理与论证 13．（25-26八年级上·广西贵港·期中）某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 14．（25-26八年级上·北京·期中）小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现小黄共当裁判9局，小刘、小李分别进行了23局、13局比赛，在这半天的训练中，三人共进行了 局比赛，其中第9局比赛的裁判是 ． 易错题型8 同位角相等两直线平行 15．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点； (2)尺规作图：在（1）的条件下，过点作的平行线，交于点； （要求：保留作图痕迹，不写作法） 16．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，，B、E、C、F四个点在同一直线上，下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 易错题型9 内错角相等两直线平行 17．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，，．若点，，，在同一条直线上，则添加下列条件仍不能判定的是（　　） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，若 ，求证： ． 易错题型10 同旁内角互补两直线平行 19．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知：，，那么直线与的位置关系如何？并说明理由． 答：__________． 理由：（已知）， _____（_____）． （已知）， （等量代换）． _____（______）． 20．（22-23八年级上·陕西安康·期末）如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 易错题型11 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 21．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直；③两边和一角对应相等的两个三角形全等；④同位角相等．其中假命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（25-26八年级上·上海宝山·期中）操作与探究： 定义：已知两点、位于直线的同侧，在直线上存在一点，使，则点称为两点、的“等距点”．在直线上存在一点，使的和最短，则点称为两点、的“最佳观测点”． (1)在左图和右图中分别作出“等距点”点和“最佳观测点”点（要求尺规作图，保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； (2)如图，在直线上存在一点，使点既是两点、的“等距点”又是两点、的“最佳观测点”，求证：此时两点、所在的直线和直线平行． 易错题型12 平行公理的应用 23．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列命题中，为真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 B．相等的两个角是对顶角 C．同位角相等 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 24．（24-25八年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 易错题型13 平行公理推论的应用 25．（2024·广东·模拟预测）下列命题中，是真命题的为（　　） A．相等的角是对顶角 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．是有理数 D．若，则 26．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，若，则的度数是 ． 易错题型14 两直线平行同位角相等 27．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 28．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 易错题型15 两直线平行内错角相等 29．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点是平分线上一点，交边于点，过点作交边于点，若，，则的值为 ． 30．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，，点E、点F分别在、边上，且，则的最小值为 ． 易错题型16 两直线平行同旁内角互补 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）完成下面的证明． 如图，平分，平分，且． 求证：．证明：平分（已知）， （　　　　　　）． 平分（已知）， 　　　　　　（角平分线的定义）． （）． （已知）， （　　　　　　）． ∴（　　　　　　）． 32．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，相交于点，．若，则的度数是 ． 易错题型17 根据平行线判定与性质证明 33．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，四边形中，过点作于点，，连接、交于点，若点是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 34．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $