专题05 二元一次方程组（期末复习优选题题型集训 28个题型讲练 共56题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册培优讲练

该初中数学讲义通过28个高频易错题型分类框架系统梳理二元一次方程组知识体系，涵盖定义辨析、解法技巧、实际应用及与几何函数结合等内容，用易错点标注突出代入消元法、参数问题等重难点，清晰呈现知识内在逻辑与联系。 讲义亮点在于“讲练结合”的分层设计，如行程问题通过里程碑数字情境培养模型意识，错解复原问题提升推理能力，56道题覆盖基础到综合，助力不同学生巩固运算能力与应用意识，为教师精准教学和学生自主复习提供系统支持。

专题05 二元一次方程组 （28个高频易错题型讲练 共56题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 判断是否是二元一次方程组的解 2 易错题型2 已知二元一次方程组的解求参数 2 易错题型3 根据实际问题列二元一次方程组 2 易错题型4 根据几何图形列二元一次方程组 3 易错题型5 代入消元法 3 易错题型6 加减消元法 4 易错题型7 二元一次方程组的特殊解法 4 易错题型8 二元一次方程组的错解复原问题 5 易错题型9 构造二元一次方程组求解 5 易错题型10 已知二元一次方程组的解的情况求参数 5 易错题型11 方程组相同解问题 6 易错题型12 方案问题(二元一次方程组的应用) 6 易错题型13 行程问题(二元一次方程组的应用) 7 易错题型14 工程问题(二元一次方程组的应用) 7 易错题型15 数字问题(二元一次方程组的应用) 8 易错题型16 年龄问题(二元一次方程组的应用) 8 易错题型17 分配问题(二元一次方程组的应用) 8 易错题型18 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 9 易错题型19 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 10 易错题型20 几何问题(二元一次方程组的应用) 10 易错题型21 图表信息题(二元一次方程组的应用) 11 易错题型22 古代问题(二元一次方程组的应用) 11 易错题型23 其他问题(二元一次方程组的应用) 12 易错题型24 两直线的交点与二元一次方程组的解 12 易错题型25 图象法解二元一次方程组 13 易错题型26 求直线围成的图形面积 13 易错题型27 三元一次方程组的定义及解 15 易错题型28 三元一次方程组的应用 15 易错题型1 判断是否是二元一次方程组的解 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）写出一个解为的二元一次方程组为 ． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 易错题型2 已知二元一次方程组的解求参数 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 易错题型3 根据实际问题列二元一次方程组 5．（2025八年级上·全国·专题练习）根据题意列方程组：某活动小组购买了4个篮球和5个足球，共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，篮球的单价和足球的单价各是多少元？ (1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由此你能得到怎么样的方程？ 6．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有一辆车只坐了人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为　　) A． B． C． D． 易错题型4 根据几何图形列二元一次方程组 7．（25-26八年级上·重庆·月考）在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（    ） A． B． C． D．3 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则= ． 易错题型5 代入消元法 9．（2025八年级上·全国·专题练习）用代入消元法解下列二元一次方程组： (1) (2) 10．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 易错题型6 加减消元法 11．（25-26八年级上·山东德州·期中）已知点，． (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 12．（25-26八年级上·山东济南·期中）解方程组： (1) (2) 易错题型7 二元一次方程组的特殊解法 13．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为 ． 14．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于，的二元一次方程组的解． 易错题型8 二元一次方程组的错解复原问题 15．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 16．（25-26八年级上·广东深圳·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 易错题型9 构造二元一次方程组求解 17．（25-26八年级上·四川眉山·期中）若展开后不含和项，求的值． 18．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 易错题型10 已知二元一次方程组的解的情况求参数 19．（2025八年级上·浙江·专题练习）若关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 20．（25-26八年级上·四川成都·期中）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ． 易错题型11 方程组相同解问题 21．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 22．（24-25八年级上·甘肃武威·月考）已知方程组与方程组的解相同．求的值． 易错题型12 方案问题(二元一次方程组的应用) 23．（25-26八年级上·山东济南·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 24．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 易错题型13 行程问题(二元一次方程组的应用) 25．（25-26八年级上·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 26．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线要，则飞机在无风时的平均速度是（　　） A． B． C． D． 易错题型14 工程问题(二元一次方程组的应用) 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 28．（2025八年级上·全国·专题练习）黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 易错题型15 数字问题(二元一次方程组的应用) 29．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数的乘积为 ． 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 易错题型16 年龄问题(二元一次方程组的应用) 31．（2025八年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 32．（23-24八年级上·广东广州·开学考试）甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17．这四人中最大年龄与最小年龄的差是 ． 易错题型17 分配问题(二元一次方程组的应用) 33．（2025八年级上·全国·专题练习）根据题意列方程组：将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ (1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)设有图书x本，学生有y人，由此你能得到怎么样的方程组？ 34．（25-26八年级上·广东深圳·期中）某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 易错题型18 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 35．（25-26八年级上·四川成都·月考）商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润=（售价-进价）×销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.65 1.4 (1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进A，B两种设备且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 36．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？ 易错题型19 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 37．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是 岁． 38．（25-26八年级上·全国·课后作业）某校为了解学生对不同竞赛科目的感兴趣程度，老师对学生们做了一次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（只可选择数学、物理、化学、生物学其中1个科目）．若4个科目都有人选且选物理的人数比选生物学的人数少8，选数学的人数是选生物学人数的整数倍，选生物学与数学的人数之和是选物理与化学的人数之和的5倍，选化学与数学的人数之和比选物理与生物学的人数之和多24，则选数学的人数是 ． 易错题型20 几何问题(二元一次方程组的应用) 39．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，有一段的铁丝，小明将它剪成两段，两段长分别为和，然后将两段分别弯成边长为和的正方形（接口部分忽略不计），现知这两个正方形的面积相差． (1)求的值； (2)求，的值． 40．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在大长方形中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为 ． 易错题型21 图表信息题(二元一次方程组的应用) 41．（24-25八年级上·山东淄博·开学考试）如下，在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等，则表格中的值是 ． 2 1 42．（23-24八年级上·北京东城·期末）将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 易错题型22 古代问题(二元一次方程组的应用) 43．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 44．（2024·湖南·模拟预测）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则 ， ． 易错题型23 其他问题(二元一次方程组的应用) 45．（25-26八年级上·全国·期中）如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，则大正方形的面积为 ． 46．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某小区为了绿化环境，计划分两次购进，两种树苗，第一次购进种树苗30棵，种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进种树苗24棵，种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的，两种树苗各自的单价均不变） (1)，两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买，两种树苗共42棵，其中种树苗棵，应如何购买才能最省钱？此时总费用为多少元？ 易错题型24 两直线的交点与二元一次方程组的解 47．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线：与y轴交于点A，直线：与y轴交于点B，直线与直线相交于点C，连接． (1)求点C的坐标． (2)直接写出的面积：______． 48．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验．该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方案，具体如下： 方案一：不办理年卡，每件按原价收取租金； 方案二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡元； 方案一的租金（元），方案二的租金（元）分别与租用件数（件）之间的函数关系如图所示． (1)长安汉服体验馆年卡________元； (2)请求出每件汉服租金的原价是多少元，并写出两种方案的租金与租用件数之间的函数表达式？ (3)若当该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择哪种租用方案更划算？ 易错题型25 图象法解二元一次方程组 49．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）解方程组一般来说有三种方法——代入消元法、加减消元法和作图象法，请选用一种适当的方法解下列方程组． 解：我用__________________法解这个方程组． 50．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 易错题型26 求直线围成的图形面积 51．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点．点是直线与轴的交点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)判断的形状； (3)若点是直线上一点，当的面积等于面积两倍时，求出点的坐标． 52．（25-26八年级上·贵州毕节·期中）如图，直线与直线相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)将直线沿x轴正方向平移，记平移后的直线为，若直线与直线相交于点D，且点D的横坐标为1，求的面积． 易错题型27 三元一次方程组的定义及解 53．（25-26八年级上·广东佛山·开学考试）已知是方程组的解，则 ． 54．（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 易错题型28 三元一次方程组的应用 55．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如果关于x的方程的根分别为，1，3，那么a的值是 ． 56．（24-25八年级上·全国·单元测试）有一个三位数，个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，百位上的数字的2倍比个位、十位上的数字之和大4，个位十位、百位上的数字之和是14，则这个三位数为 ． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二元一次方程组 （28个高频易错题型讲练 共56题 新教材） 【解析版】 易错题型1 判断是否是二元一次方程组的解 1 易错题型2 已知二元一次方程组的解求参数 2 易错题型3 根据实际问题列二元一次方程组 4 易错题型4 根据几何图形列二元一次方程组 5 易错题型5 代入消元法 7 易错题型6 加减消元法 8 易错题型7 二元一次方程组的特殊解法 10 易错题型8 二元一次方程组的错解复原问题 12 易错题型9 构造二元一次方程组求解 13 易错题型10 已知二元一次方程组的解的情况求参数 14 易错题型11 方程组相同解问题 15 易错题型12 方案问题(二元一次方程组的应用) 16 易错题型13 行程问题(二元一次方程组的应用) 18 易错题型14 工程问题(二元一次方程组的应用) 19 易错题型15 数字问题(二元一次方程组的应用) 21 易错题型16 年龄问题(二元一次方程组的应用) 22 易错题型17 分配问题(二元一次方程组的应用) 23 易错题型18 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 25 易错题型19 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 27 易错题型20 几何问题(二元一次方程组的应用) 28 易错题型21 图表信息题(二元一次方程组的应用) 30 易错题型22 古代问题(二元一次方程组的应用) 31 易错题型23 其他问题(二元一次方程组的应用) 32 易错题型24 两直线的交点与二元一次方程组的解 34 易错题型25 图象法解二元一次方程组 36 易错题型26 求直线围成的图形面积 38 易错题型27 三元一次方程组的定义及解 41 易错题型28 三元一次方程组的应用 42 易错题型1 判断是否是二元一次方程组的解 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）写出一个解为的二元一次方程组为 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【规范解答】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【规范解答】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 易错题型2 已知二元一次方程组的解求参数 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】(1)，； (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【规范解答】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 【答案】不是，见解析 【思路点拨】将和代入二元一次方程，得到的方程组，求得的值，再检验即可． 【规范解答】解：不是．理由如下： 将和分别代入方程，得 由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以原二元一次方程为． 将代入，得， 所以不是方程的解． 易错题型3 根据实际问题列二元一次方程组 5．（2025八年级上·全国·专题练习）根据题意列方程组：某活动小组购买了4个篮球和5个足球，共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，篮球的单价和足球的单价各是多少元？ (1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由此你能得到怎么样的方程？ 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据题意解答问题即可； （2）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据题意列出方程组即可． 【规范解答】（1）解：这个情境涉及的量有：篮球的数量、足球的数量、篮球的单价、足球的单价、购买篮球的总费用、购买足球的总费用、购买两种球的总花费． 等量关系： 篮球单价足球单价元 购买篮球的总费用购买足球的总费用总花费； （2）解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据题意， 得方程组为． 6．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有一辆车只坐了人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为　　) A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查列二元一次方程组；根据型客车情况，总人数等于座位数加无座人数；根据型客车情况，空出一辆车，实际使用车辆数减一，且一辆车只坐人，其余坐满，列出方程． 【规范解答】解：设计划租用辆车，共有学生和带队教师人， 选用型客车时，一辆车坐人，有人无座， 总人数，即． 选用型客车时，空出一辆车，实际使用车辆为辆， 其中一辆只坐人，其余辆车坐满人， 总人数． 因此，方程组为， 故选：B． 易错题型4 根据几何图形列二元一次方程组 7．（25-26八年级上·重庆·月考）在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了赵爽弦图，二元一次方程组，勾股定理，根据赵爽弦图，将正方形分成4个全等的直角三角形，和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为，那么，然后解方程组，进而勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图所示：将每个正方形分成四个全等的直角三角形和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为， 那么， ， 正方形的边长为， 故选：B． 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则= ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了列代数式、方程组的应用等知识点，根据图形表示出、、、成为解题的关键． 先根据图形表示出、、、，再根据方程组得到a、b、c的关系，然后代入计算即可． 【规范解答】解：图2中阴影部分的周长，面积； 图2中阴影部分的周长，面积； ∵， ∴，整理得：， ∴， ∴． 故答案为：． 易错题型5 代入消元法 9．（2025八年级上·全国·专题练习）用代入消元法解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法成为解题的关键． （1）将代入消去y，即可求得x，进而求得y即可； （2）将代入消去s，即可求得t，进而求得s即可； 【规范解答】（1）解：， 将代入， 可得：， 解得：， 将代入可得：， 所以该方程组的解为． （2）解：， 将代入， 可得：， 解得：， 将代入可得：， 所以该方程组的解为． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据代入消元法解二元一次方程组，进行计算，然后即可求解； （2）根据代入消元法解二元一次方程组，进行计算，然后即可求解； 【规范解答】（1）解： 将②代入①中得：， 解得， 将代入②中得：， 原方程组的解为； （2）解： 把①式代入②式得：， 解得：， 把代入①式得：， 故方程组的解为：． 易错题型6 加减消元法 11．（25-26八年级上·山东德州·期中）已知点，． (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律． （1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵A，B关于x轴对称， ∴， 解得； （2）∵点A，B关于y轴对称， ∴，解得：， ∴． 12．（25-26八年级上·山东济南·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法． （1）利用加减消元法直接求解方程组． （2）先化简方程，消除分母和括号，得到标准二元一次方程组，再利用加减消元法求解． 【规范解答】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入②中，得， 解得：， ∴方程组的解为． （2）解：， 先化简方程得： 将得：⑤， 由得：， 解得：， 将代入④中得，， 解得：， ∴方程组的解为． 易错题型7 二元一次方程组的特殊解法 13．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组，通过整体代换，将新方程组中的表达式转化为原方程组的形式，利用已知解求解． 【规范解答】解：整理方程组， 可得： 令 ，， 则新方程组化为：， 方程组的解为， 方程组的解为， ， 解得：． 14．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程组的关系是解决本题的关键． （1）将代入求出， 将代入求出； （2）按照加减消元的方法解方程组即可； （3）由（2）得出，再按照加减消元的方法解方程组即可． 【规范解答】（1）解：将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：， ． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为； （3）解：由（2）可知， 得， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴方程组的解为． 易错题型8 二元一次方程组的错解复原问题 15．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，． 【思路点拨】此题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，分别把方程组的解代入没有看错的方程中，即可求出的值，然后再把的值代入代数式中计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：将代入方程组中的得：，解得， 将代入方程组中的得：，解得， 当，时， ∴ ． 16．（25-26八年级上·广东深圳·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了方程组的错解复原问题，根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此求出a、b的值，再利用加减消元法解原方程组即可得到答案． 【规范解答】解：∵甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得， ∴， ∴， ∴原方程组为 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 易错题型9 构造二元一次方程组求解 17．（25-26八年级上·四川眉山·期中）若展开后不含和项，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查整式混合运算不含某项求参数，熟记多项式乘以多项式运算法则是解决问题的关键． 先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，再由展开后不含和项，列方程组求解即可得到答案． 【规范解答】解： 展开后不含和项， ， 解得． 18．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据二元一次方程要求两个未知项的指数均为，因此需使的指数，的指数，解方程组即可． 【规范解答】解： 方程是二元一次方程， 的指数，的指数， 解方程组， 可得：． 故选：A． 易错题型10 已知二元一次方程组的解的情况求参数 19．（2025八年级上·浙江·专题练习）若关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过方程相加构造出与已知条件相关的关系式是解题的关键．通过将方程组中的两个方程相加，得到关于与的关系式，再结合求解． 【规范解答】解： 得， ， ∵ ∴ ∴ 故选： 20．（25-26八年级上·四川成都·期中）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查二元一次方程的解，通过将方程组中的两个方程相加，得到，再根据条件解出即可． 【规范解答】解：解方程组：， 将两个方程相加，得： ∴， ∴， ∵方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得， 故答案为：4． 易错题型11 方程组相同解问题 21．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【规范解答】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 22．（24-25八年级上·甘肃武威·月考）已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了同解方程组问题，解题关键是根据两个方程组的解相同，列出新的方程组进行求解．把两个方程组中不含字母系数的方程组成方程组，求出未知数x和y的值，再代入另一组含有字母系数的方程组成的方程组，求出a和b的值，最后代入代数式求值即可． 【规范解答】解：由题意得，， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴该方程组的解为， 把代入， 得， ③④，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴， ∴． 易错题型12 方案问题(二元一次方程组的应用) 23．（25-26八年级上·山东济南·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元 (2)当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案购进汽车的总辆数，比较后，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进（辆）， ∵， ∴当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆． 24．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹 (2)有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个 【思路点拨】（）设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （）设配件要买个，配件要买个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 由题意得，， 解得， 答：大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个， 由题意得，， 整理得，， 即， ∵和都为正整数， ∴或或， ∴有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个． 易错题型13 行程问题(二元一次方程组的应用) 25．（25-26八年级上·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】 时看到的两位数是16 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 【规范解答】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 26．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线要，则飞机在无风时的平均速度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速是解题的关键．设飞机无风时的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，根据飞机顺风速度时间路程，飞机逆风速度时间路程，列方程组进行求解． 【规范解答】解：设飞机无风时的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时， 由题意得，， 解得，， 答：飞机无风时的平均速度为765千米/时， 故选：C． 易错题型14 工程问题(二元一次方程组的应用) 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 【答案】385个 【思路点拨】设甲原来每天做个，乙原来每天做个，根据甲工作效率提高之前和之后完成任务的两个等量关系列方程组即可． 【规范解答】解:设甲原来每天做个，乙原来每天做个，则原来任务数是个，根据题意，得 ： 解这个方程组得： (个) 答：原计划一共加工385个零件． 28．（2025八年级上·全国·专题练习）黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 【答案】(1)A工程队用的时间，工程队用的时间；工程队整治河道的长度，工程队整治河道的长度 (2)A工程队整治河道工程队整治河道 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握工作时间、工作效率、工作总量的关系是解题的关键． （1）分析甲、乙方程组中未知数的意义，结合工作时间、工作效率、工作总量的关系判断． （2）选择甲的方程组，通过消元法求解． 【规范解答】（1）解：甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的长度，表示工程队整治河道的长度． （2）解：选甲同学所列方程组解得 所以． 答：工程队整治河道工程队整治河道． 选乙同学所列方程组 解得 答：工程队整治河道工程队整治河道． 易错题型15 数字问题(二元一次方程组的应用) 29．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数的乘积为 ． 【答案】 1035 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系列出方程是解题的关键． 设较大的两位数为，较小的两位数为，根据两个两位数的和为68，以及两个四位数的差为2178，列出方程组求解，再计算乘积即可． 【规范解答】解：由题意得， 解得， ∴这两个数的乘积为． 故答案为：1035． 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【答案】516． 【思路点拨】本题主要考查了三元一次方程组的定义和解三元一次方程组，运用加减消元法解三元一次方程组是解题的关键． 根据题干条件设个位数字为，十位数字为，百位数字为，由数量关系列三元一次方程组求解即可． 【规范解答】解：设个位数字为，十位数字为，百位数字为． 根据题意，得 解得故这个三位数是516． 易错题型16 年龄问题(二元一次方程组的应用) 31．（2025八年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【规范解答】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 32．（23-24八年级上·广东广州·开学考试）甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17．这四人中最大年龄与最小年龄的差是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查方程解应用题，读懂题意，准确用方程表示出题中相关数量关系是解决问题的关键． 设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为，将题中数量关系表示为，变形得到，从而确定这四人中最大年龄与最小年龄，作差变形即可得到答案． 【规范解答】解：设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为，则由题意可得 ， ， 比较上述四个式子可知，， ， 即， 解得， 这四人中最大年龄与最小年龄的差是， 故答案为：． 易错题型17 分配问题(二元一次方程组的应用) 33．（2025八年级上·全国·专题练习）根据题意列方程组：将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ (1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)设有图书x本，学生有y人，由此你能得到怎么样的方程组？ 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是从分书情境中找出图书数量与学生人数之间的等量关系． （1）找出情境中的量，结合分书的两种分配方式梳理等量关系； （2）根据设出的未知数，对应等量关系列出方程． 【规范解答】（1）解：涉及的量是图书的本数、学生的人数； 等量关系为：图书数学生数；图书数学生数 （2）解：∵图书有本，学生有人， 由“每人分6本，剩40本”得：； 由“每人分8本，缺50本”得：． ∴． 34．（25-26八年级上·广东深圳·期中）某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 【答案】(1)1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨 (2)共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨，根据“用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘”列出二元一次方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解． 【规范解答】（1）解：设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨， 由题意可得：， 解得：， ∴1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨； （2）解：由题意可得：， ∴， ∵、均为正整数， ∴或或， 故共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车． 易错题型18 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 35．（25-26八年级上·四川成都·月考）商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润=（售价-进价）×销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.65 1.4 (1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进A，B两种设备且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 【答案】(1)购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套 (2)有2种方案：①购进A品牌2套、B品牌10套，获利2.3万元；②购进A品牌6套、B品牌5套，获利1.9万元；获利最高的方案是购进A品牌2套、B品牌10套 【思路点拨】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找出等量关系列出方程和方程组是本题的关键． （1）根据题意设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，再根据总进价为66万元，毛利润为9万元，列出二元一次方程组，解出答案即可； （2）根据题意设再用15万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套，根据题意列出二元一次方程，由于a， b均为正整数，即可得出方程的解，即可得出有2种进货方案，然后求出利润，比较大小可确定出获利最高的方案． 【规范解答】（1）解：设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，得， ， 解得，， 经检验，符合题意， 答：购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套； （2）解：设再用15万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套， 由题意得，， ∵a，b均为正整数， ∴此方程的解为： ，或， 综上所述，有2种方案： ①购进A品牌的教学设备2套，购进B品牌的教学设备10套． 获利：万元； ②购进A品牌的教学设备6套，购进B品牌的教学设备5套． 获利：万元． ∵， ∴获利最高的方案是购进A品牌2套、B品牌10套． 36．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？ 【答案】(1)（件） (2)生产螺钉10人，则生产螺母为12人 (3)零件的售价是14元 【思路点拨】此题主要考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握盈亏问题，配套问题，商业分配问题数量关系列方程，是解题的关键． （1）设工作岗位有y名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件，列方程解答； （2）设生产螺钉a人，则生产螺母为人，根据每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，列方程解答； （3）设开始共有x个销售商想合伙购买，利用5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，又4个销售商退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，列出方程，解方程，再利用售价成本价利润求得结论． 【规范解答】（1）解：设工作岗位有y名工人， 根据题意得，， 解得， （件） ∴一共带去了49件礼品； （2）解：设生产螺钉a人，则生产螺母为人 解得，， （人） 答：应安排生产螺钉工人10名，生产螺母的工人12名； （3）解：设x个销售商 解得， （元） 答：零件的售价是14元． 易错题型19 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 37．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是 岁． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，设小雅爷爷是岁，小雅是岁，根据题意得，解方程即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【规范解答】解：设小雅爷爷是岁，小雅是岁， 依题意得， 解得， ∴小雅的年龄是岁， 故答案为：． 38．（25-26八年级上·全国·课后作业）某校为了解学生对不同竞赛科目的感兴趣程度，老师对学生们做了一次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（只可选择数学、物理、化学、生物学其中1个科目）．若4个科目都有人选且选物理的人数比选生物学的人数少8，选数学的人数是选生物学人数的整数倍，选生物学与数学的人数之和是选物理与化学的人数之和的5倍，选化学与数学的人数之和比选物理与生物学的人数之和多24，则选数学的人数是 ． 【答案】30 【思路点拨】设选物理的有人，则选生物学的有人，选数学的有人， 【规范解答】解：设选物理的有人，则选生物学的有人，选数学的有人，为正整数， 选化学的有人.依题意得： 联立①②，消去：， ∵均为正整数， ， 为正整数，由①得：， 将的解带入上式，只有当时，， 故选数学的有， 故答案为：． 易错题型20 几何问题(二元一次方程组的应用) 39．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，有一段的铁丝，小明将它剪成两段，两段长分别为和，然后将两段分别弯成边长为和的正方形（接口部分忽略不计），现知这两个正方形的面积相差． (1)求的值； (2)求，的值． 【答案】(1)； (2)， 【思路点拨】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，，，从而求出，又，则有，从而求得； （）由（）得，，，，，联立方程组，然后求出，最后代入即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，，，， ∴， ∵这两个正方形的面积相差， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）得，，，，， 联立得， 解得：， ∴，． 40．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在大长方形中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】40 【思路点拨】此题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意是解本题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组，求出方程组的解确定出与的值，即可求出阴影部分面积． 【规范解答】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形得：， ②①得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则图中阴影部分面积为． 故答案为：． 易错题型21 图表信息题(二元一次方程组的应用) 41．（24-25八年级上·山东淄博·开学考试）如下，在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等，则表格中的值是 ． 2 1 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【规范解答】解：∵在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等， ∴， 解得：， 故表格中的值是， 故答案为：． 42．（23-24八年级上·北京东城·期末）将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程组并求解即可． 【规范解答】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即； 故选：C． 易错题型22 古代问题(二元一次方程组的应用) 43．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【规范解答】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：D． 44．（2024·湖南·模拟预测）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则 ， ． 【答案】 【思路点拨】考查二元一次方程组的应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系． 设一只雀重x斤，一只燕重y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可． 【规范解答】解：设一只雀重x斤，一只燕重y斤， 根据题意，得 整理，得 解得， ∴一只雀重斤，一只燕重斤， 故答案为：，． 易错题型23 其他问题(二元一次方程组的应用) 45．（25-26八年级上·全国·期中）如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，则大正方形的面积为 ． 【答案】34 【思路点拨】本题考查勾股定理、二元一次方程组的应用，运用方程思想．解题关键是通过设直角三角形的直角边为未知数，结合“”和“小正方形边长”建立方程组，求出直角边后用勾股定理求大正方形面积；易错点是混淆小正方形边长与直角边的关系，导致方程列错． 首先设直角三角形的直角边，．再根据“”得；根据“小正方形边长”得．然后解方程组，求出，．最后由勾股定理求大正方形边长的平方，即大正方形的面积为34． 【规范解答】设直角三角形的直角边，． 已知，即； 小正方形的边长，由图形可知，小正方形的边长等于，即． 联立方程组： ， 解得，． 在中，根据勾股定理： ， 因此，大正方形的面积为． 故答案为：34． 46．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某小区为了绿化环境，计划分两次购进，两种树苗，第一次购进种树苗30棵，种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进种树苗24棵，种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的，两种树苗各自的单价均不变） (1)，两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买，两种树苗共42棵，其中种树苗棵，应如何购买才能最省钱？此时总费用为多少元？ 【答案】(1)A种树苗每棵40元，B种树苗每棵10元 (2)购买A种树苗14棵，B种树苗28棵才能最省钱，此时总费用为840元 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确找出等量关系列出二元一次方程组，列出函数解析式，是解题关键． （1）设A、B两种树苗每棵的价格分别是x元、y元，根据购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元，列出二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可得出答案； （2）设总费用为w元，根据两种树苗的单价列出函数解析式，根据一次函数的增减性，求出结果即可． 【规范解答】（1）解：设A、B两种树苗每棵的价格分别是x元、y元，根据题意得： ∴， 解得：， 答：A、B两种树苗每棵的价格分别是40元、10元． （2）解：购买，两种树苗共42棵，其中种树苗棵，则购买B种树苗棵， 设总费用为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随t的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小，且最小值为， 答：购买A种树苗14棵，B种树苗28棵才能最省钱，此时总费用为840元． 易错题型24 两直线的交点与二元一次方程组的解 47．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线：与y轴交于点A，直线：与y轴交于点B，直线与直线相交于点C，连接． (1)求点C的坐标． (2)直接写出的面积：______． 【答案】(1)点C的坐标是 (2)8 【思路点拨】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）解析式联立，构成方程组，解方程组即可求得； （2）求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得． 【规范解答】（1）解：联立， 解得， ； （2）解：由直线知， ， 由，知点到轴的距离为 4 ， 故． 48．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验．该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方案，具体如下： 方案一：不办理年卡，每件按原价收取租金； 方案二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡元； 方案一的租金（元），方案二的租金（元）分别与租用件数（件）之间的函数关系如图所示． (1)长安汉服体验馆年卡________元； (2)请求出每件汉服租金的原价是多少元，并写出两种方案的租金与租用件数之间的函数表达式？ (3)若当该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择哪种租用方案更划算？ 【答案】(1)480 (2)每件汉服租金的原价是120元；； (3)选择方案二更划算 【思路点拨】本题考查了一次函数的实际应用（方案选择问题），解题的关键是根据题意建立租金与租用件数的函数关系式，结合函数图象与已知条件求解参数，并通过代入预算值比较方案的性价比． （1）由时的数值得年卡； （2）设原价为，利用时列方程求原价，再写两种方案的函数表达式； （3）将预算代入函数式求租用件数，比较件数判断更划算的方案． 【规范解答】（1）解：由图象，当时，，即年卡； 故答案为：480． （2）解：设每件汉服租金原价为元， 由题意得，， 当时，，则， 解得． 即每件汉服租金的原价是120元． 方案一的函数表达式：； 方案二的函数表达式：． （3）解：当租金预算为4800元时，代入，得，解得； 代入，得，解得． ， 选择方案二更划算． 易错题型25 图象法解二元一次方程组 49．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）解方程组一般来说有三种方法——代入消元法、加减消元法和作图象法，请选用一种适当的方法解下列方程组． 解：我用__________________法解这个方程组． 【答案】代入消元或加减消元或作图象， 【思路点拨】本题考查了代入消元法、加减消元法和作图象法解二元一次方程组，利用代入消元法时，将方程①变形得，再代入方程②即可得x，进而得到y；利用加减消元法时，由②①消去y得，，进而即可求得方程组的解；利用作图象法时，画出两个方程组转化成的一次函数图象，交点坐标即可方程组的解． 【规范解答】解：（1）我用代入消元法方法解这个方程组： ， 由①得③， 将③代入②得，， 解得， 将代入③得，， ∴方程组的解是：； （2）我用代入消元法方法解这个方程组： ， ②①得，， 将代入①得，， 解得， ∴方程组的解是：； （3）我作图象法解这个方程组： 如图所示， 方程组的解是：． 故答案为：代入消元或加减消元或作图象． 50．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 【答案】 【思路点拨】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【规范解答】解：画出函数与的图象， 列表： 0 2 2 0 2 描点，连线，如图所示， 两个一次函数与与的交点坐标为； 因此方程组的解． 易错题型26 求直线围成的图形面积 51．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点．点是直线与轴的交点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)判断的形状； (3)若点是直线上一点，当的面积等于面积两倍时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)等腰直角三角形； (3)或 【思路点拨】（）先求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，可得，即得，同理得，即得，即可求解； （）求出点坐标，即得，即得到，设，再分点在轴下方和上方两种情况解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定，掌握一次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵为直线上一点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 解得． ∴直线的解析式为； （2）解：在中，令，得；令，得， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理在直线：中，可得， ∴ ∴是等腰直角三角形； （3）解：∵直线与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， 设， ①当点在轴下方时，， 解得， ∴点的坐标为； ②当点在轴上方时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上，当的面积等于面积两倍时，点的坐标为或． 52．（25-26八年级上·贵州毕节·期中）如图，直线与直线相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)将直线沿x轴正方向平移，记平移后的直线为，若直线与直线相交于点D，且点D的横坐标为1，求的面积． 【答案】(1) (2)18 【思路点拨】此题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交或平行问题，待定系数法，关键是求出C点坐标，A点坐标，D点坐标． （1）根据y轴上点的坐标特征可求B点坐标，再根据，可求C点坐标，根据点A的纵坐标为3，可求A点坐标，根据待定系数法可求直线的解析式； （2）根据点D的横坐标为1，可求D点坐标，再由即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，， ， ， ， 点A的纵坐标为3， ， 解得， ， 则， 解得． 故直线的解析式为； （2）解：点D的横坐标为1， ， ， 的面积 ． 易错题型27 三元一次方程组的定义及解 53．（25-26八年级上·广东佛山·开学考试）已知是方程组的解，则 ． 【答案】15 【思路点拨】本题考查解三元一次方程组，设，则，，，代入方程中，求出的值，进而求出的值，求和即可． 【规范解答】解：设，则，，，代入方程得，即， 合并得， 解得． 所以，，， 则． 故答案为：15． 54．（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【规范解答】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 易错题型28 三元一次方程组的应用 55．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如果关于x的方程的根分别为，1，3，那么a的值是 ． 【答案】 【思路点拨】把方程的根代入方程，解三元一次方程组即可求解． 本题考查了方程的解，消元法解三元一次方程组是解题的关键． 【规范解答】解：的根分别为，1，3， 代入得， 解得 故答案为：． 56．（24-25八年级上·全国·单元测试）有一个三位数，个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，百位上的数字的2倍比个位、十位上的数字之和大4，个位十位、百位上的数字之和是14，则这个三位数为 ． 【答案】671 【思路点拨】本题考查三元一次方程组的应用，等量关系为：个位上的数字+百位上的数字=十位上的数字；百位上的数字个位数字+十位上的数字；个位上的数字+十位上的数字+百位上的数字，把相关数值代入可得各位上的数字，三位数百位上的数字十位上的数字+个位数字，把相关数值代入计算可得． 【规范解答】设这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z．由题意得 把①代入③得， 把代入①得， 代入②得 联立④⑤得， ∴， ∴这个三位数是671． 故答案为：671． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $