专题04 一次函数（期末复习优选题题型集训 23个题型讲练 共46题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册培优讲练

该初中数学一次函数单元复习讲义通过23个高频易错题型分类框架系统构建知识体系，从自变量取值范围、函数图象分析到实际应用与几何综合，用对比表格归纳增减性规律，结合动点问题图象培养几何直观，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“易错题型分层突破”设计，如通过最大利润问题、梯度计价问题的实际应用例题，引导学生用数学语言表达现实数量关系，培养模型意识，同时针对参数范围判断等易错点配备梯度练习，基础生掌握方法，优生深化推理，助力教师实施精准复习教学。

专题04 一次函数 （23个高频易错题型讲练 共46题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 求自变量的取值范围 2 易错题型2 求自变量的值或函数值 2 易错题型3 从函数的图象获取信息 3 易错题型4 动点问题的函数图象 3 易错题型5 列一次函数解析式并求值 4 易错题型6 根据一次函数解析式判断其经过的象限 5 易错题型7 已知函数经过的象限求参数范围 5 易错题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题 6 易错题型9 一次函数图象平移问题 6 易错题型10 一次函数图象与对称问题 7 易错题型11 根据一次函数增减性求参数 7 易错题型12 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 7 易错题型13 比较一次函数值的大小 8 易错题型14 一次函数的规律探究问题 9 易错题型15 分配方案问题(一次函数的实际应用) 9 易错题型16 最大利润问题(一次函数的实际应用) 10 易错题型17 行程问题(一次函数的实际应用) 11 易错题型18 梯度计价问题 12 易错题型19 其他问题(一次函数的实际应用) 13 易错题型20 一次函数与几何综合 14 易错题型21 已知直线与坐标轴交点求方程的解 15 易错题型22 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 16 易错题型23 利用图象法解一元一次方程 16 易错题型1 求自变量的取值范围 1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）函数的自变量的取值范围是（） A． B． C． D．且 2．（24-25八年级上·上海·月考）有一个长110米，宽为100米矩形操场，现长增加x米，宽也增加某个长度，使其扩建成周长为520米的矩形操场且面积为S，则S关于x的函数解析式为 ，定义域为 ． 易错题型2 求自变量的值或函数值 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，梯形的上底长是，下底长是15，高是8．    (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)用表格表示与的关系，完成表格中（   ）的相应值． 上底长 … 10 （   ） 18 20 … 梯形面积 … 100 120 （   ） 140 … (3)如何随的变化而变化？ (4)当时，等于什么？此时它表示的图形是什么？ 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）物体自由下落时，下落距离可用公式来估计，其中表示物体下落的时间． (1)公式可以变形成_____________； (2)若一只北极熊跌入20米深的冰坑，下落的过程经过几秒？（可以看作物体自由下落来估计） 易错题型3 从函数的图象获取信息 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图①，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1，在中，，，动点从点运动到点再到点后停止，速度为，其中的面积与运动时间的关系如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 易错题型4 动点问题的函数图象 7．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图①，在中，是边上的一个动点，若，则关于的函数图象如图②所示．下列结论正确的是（   ） A．边的长是8 B．随的增大而增大 C．边上的高是7.2 D．边的长是15 8．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中 ． 易错题型5 列一次函数解析式并求值 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）某水果店销售一种水果，购进时的单价为30元/斤，根据调查：销售单价为40元/斤时，平均每天可售500斤，而售价每涨1元，就会少售出10斤．设售价为x元． (1)请你用含售价x的代数式来表示销售量y． (2)若水果店获利8000元，并尽量给予消费者实惠，该水果的单价应定为多少元？ (3)求水果店的最大利润是多少？此时售价应定为何值？ 10．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证120元，只限本人当年使用，会员证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费15元．设小聪计划今年夏季游泳次数为（为正整数）． (1)根据题意，填写下表： 游泳次数 10 15 20 … 方式一的总费用（元） 220 270 ______ … ______ 方式二的总费用（元） 150 225 ______ … ______ (2)若小聪计划今年夏季游泳的总费用为300元，通过计算说明选择哪种付费方式，她游泳的次数比较多？ (3)张老师是游泳爱好者，他计划今年夏季在这个游泳馆游泳40次，通过计算说明，张老师选择哪种方式合算？ 易错题型6 根据一次函数解析式判断其经过的象限 11．（25-26八年级上·山东济南·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴交点坐标为 B．若为图象上两点，当时， C．与一次函数的图象平行 D．不会同时经过第一象限和第二象限 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知点在第四象限，则一次函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 易错题型7 已知函数经过的象限求参数范围 13．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与正比例函数的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）关于的一次函数的图像在轴上的截距为正实数，则的范围是 ． 易错题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题 15．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点P分别作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，我们称折线为点P关于直线l的“L路径”，“L路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“L距离”．    (1)如图2，若直线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，求点O关于直线l的“L距离”； (2)如图3，将直线向左平移6个单位长度后得到直线m，且直线m与x轴、y轴分别交于D，C两点，O为坐标原点，求点O关于直线m的“L距离” 16．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，现以点为圆心，的长为半径画弧，与轴的正半轴交于点，则点的坐标为 ． 易错题型9 一次函数图象平移问题 17．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与正比例函数的图象重合，则的值为 ． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过点． (1)求的值； (2)若一条直线与函数的图象平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式． 易错题型10 一次函数图象与对称问题 19．（2025·陕西榆林·二模）已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 易错题型11 根据一次函数增减性求参数 21．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知点，在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·陕西西安·期中）关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是 ．（填序号） 易错题型12 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 23．（25-26八年级上·山西运城·期中）对于一次函数，下表列出5组自变量与其对应的函数值，其中恰好有一个函数值有误，则这个错误的函数值是（   ） 0 1 2 3 3 6 9 13 15 A．3 B．6 C．13 D．15 24．（25-26八年级上·山东济南·期中）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． (1)下表是与的几组对应值，则表格中____________； … 0 1 2 3 4 … … 0 0 … (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点；根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题： ①方程有____________个解； ②当时，的取值范围是____________； (4)进一步研究：若点是函数图象上的任意两点，若对于，都有，则的取值范围是____________． 易错题型13 比较一次函数值的大小 25．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）若点和点在一次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 26．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点和点在一次函数的图象上，且，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 易错题型14 一次函数的规律探究问题 27．（25-26八年级上·安徽宣城·月考）正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是 ； （2）的面积是 ． 28．（24-25八年级上·贵州黔东南·月考）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 易错题型15 分配方案问题(一次函数的实际应用) 29．（25-26八年级上·重庆·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 30．（25-26八年级上·重庆·期中）某公司计划组织员工一日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人200元．且提供的服务完全相同．针对组团的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，其中20人按九折收费，超出部分每人按七折收费．假设组团参加一日游的人数为x人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团一日游的总费用（元），（元），与x（人）之间的函数关系式； (2)若公司组团参加一日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助公司选择收取总费用较少的一家． 易错题型16 最大利润问题(一次函数的实际应用) 31．（2024·湖南·模拟预测）2023年11月25日，“乡农荟”2022湖南省农特产品展销会在岳阳市南湖广场开展，有200余家企业参展为农产品、当地特产搭台，助力乡村振兴．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 32．（2024八年级·陕西西安·专题练习）港务区苗木种植专业户老王承包了30亩地，分别种植柏树苗和松树苗，有关成本、销售额见下表： 种植种类 成本（万元/亩） 销售额（万元/亩） 柏树苗 2.4 3 松树苗 2 2.5 设种植柏树苗x亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为y万元． (1)求y与x的函数表达式； (2)今年，他继续用这30亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过70万元，若每亩的种植成本和销售额不变，他应如何安排种植才能获得最大收益？（收益＝销售额﹣成本） 易错题型17 行程问题(一次函数的实际应用) 33．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）某景区的同一线路上依次有，，三个景点（如图1），小兴从景点出发，步行米去景点，共用时分钟；同时，桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点，休息分钟后，桐桐改成骑电动车去景点，结果桐桐比小兴早分钟到达景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)________，并说出的实际意义________________； (2)求桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达景点，休息分钟再次出发后，当________时，两人相距米． 易错题型18 梯度计价问题 35．（25-26八年级上·河南·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是2978元，求该户去年一年的用电量． 36．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为 ． 易错题型19 其他问题(一次函数的实际应用) 37．（25-26八年级上·山西晋中·期中）欢乐购物节临近，某电商紧急备货，但目前缺少大量A型号包装盒（如图），该电商调研发现这种A型号包装盒的来源有两种方案可供选择．      方案一：从纸箱厂直接订购这种包装盒，购买费用（单位：元）与数量x（单位：个）之间的关系如图所示． 方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这种包装盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）（单位：元）与数量x（单位：个）之间的关系如图所示． 请根据图象回答下列问题： (1)方案一中这种A型号包装盒的单价为________元； (2)请求出方案二中与x的函数关系式； (3)如果该电商计划用2400元准备这种A型号包装盒，那么选择方案________（选填“一”或“二”）能够准备的数量更多一些． 38．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图为一个弹簧挂上重物后弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数图象（轴），则该弹簧长度最大为（   ） A． B． C． D． 易错题型20 一次函数与几何综合 39．（25-26八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，另一点A的坐标为，则以下结论： ①点P在直线上； ②若设的面积为S，当时，； ③的最小值为； ④的周长最小值为； ⑤若点P在第四象限，过P作轴于点E，轴于点F，长方形的周长始终为8． 其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 40．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求M的坐标______，并求出直线的函数解析式； (2)若点C是直线上一点，，求点C的坐标； (3)点P为x轴上一点，当时，请求出满足条件的点P的坐标． 易错题型21 已知直线与坐标轴交点求方程的解 41．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于点、两点，点为线段外一动点，且，以为直角边作等腰直角三角形，其中．连接，求线段长的最大值 ，此时点的坐标为 ． 42．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）如图，P是函数图象上一点，直线分别交x轴、y轴于点A、B，作轴于点M，交于点E，作轴于点N，交于点F． 则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 易错题型22 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 43．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求线段的长； (2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标； (3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______． 44．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 易错题型23 利用图象法解一元一次方程 45．（24-25八年级上·青海玉树·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)根据函数图象，方程的解为___________． 46．（24-25八年级上·广西南宁·期末）根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数 （23个高频易错题型讲练 共46题 新教材） 【解析版】 易错题型1 求自变量的取值范围 1 易错题型2 求自变量的值或函数值 2 易错题型3 从函数的图象获取信息 4 易错题型4 动点问题的函数图象 5 易错题型5 列一次函数解析式并求值 7 易错题型6 根据一次函数解析式判断其经过的象限 9 易错题型7 已知函数经过的象限求参数范围 11 易错题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题 12 易错题型9 一次函数图象平移问题 14 易错题型10 一次函数图象与对称问题 15 易错题型11 根据一次函数增减性求参数 17 易错题型12 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 17 易错题型13 比较一次函数值的大小 21 易错题型14 一次函数的规律探究问题 21 易错题型15 分配方案问题(一次函数的实际应用) 24 易错题型16 最大利润问题(一次函数的实际应用) 25 易错题型17 行程问题(一次函数的实际应用) 27 易错题型18 梯度计价问题 29 易错题型19 其他问题(一次函数的实际应用) 31 易错题型20 一次函数与几何综合 33 易错题型21 已知直线与坐标轴交点求方程的解 37 易错题型22 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 40 易错题型23 利用图象法解一元一次方程 42 易错题型1 求自变量的取值范围 1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）函数的自变量的取值范围是（） A． B． C． D．且 【答案】B 【思路点拨】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分数有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．函数分母为平方根，需满足被开方数非负且分母不为零，可以求出的范围． 【规范解答】解：分母要求且， ，即， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海·月考）有一个长110米，宽为100米矩形操场，现长增加x米，宽也增加某个长度，使其扩建成周长为520米的矩形操场且面积为S，则S关于x的函数解析式为 ，定义域为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了函数的解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．设宽增加了米，依题意有，则，则，再求出定义域即可． 【规范解答】解：设宽增加了米， 依题意有， 则， ， ， ． ，解得， 定义域为， 故答案为：， 易错题型2 求自变量的值或函数值 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，梯形的上底长是，下底长是15，高是8．    (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)用表格表示与的关系，完成表格中（   ）的相应值． 上底长 … 10 （   ） 18 20 … 梯形面积 … 100 120 （   ） 140 … (3)如何随的变化而变化？ (4)当时，等于什么？此时它表示的图形是什么？ 【答案】(1) (2)15，132 (3)当每增加1时，增加4； (4)当时，；此时它表示的图形是三角形． 【思路点拨】本题考查了函数的有关概念，利用梯形的面积公式得出函数关系式是解题关键． （1）根据梯形的面积公式，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据函数的性质，可得答案； （4）根据三角形的面积公式，可得答案． 【规范解答】（1）梯形面积与上底长之间的关系式是． （2）当时，，解得． 当时，． 填表如下： 上底长 … 10 15 18 20 … 梯形面积 … 100 120 132 140 … （3）由表格可得，当增加5时，增加20；当增加3时，增加12；当增加2时，增加8； 当每增加1时，增加4． （4）当时，．此时它表示的图形是三角形． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）物体自由下落时，下落距离可用公式来估计，其中表示物体下落的时间． (1)公式可以变形成_____________； (2)若一只北极熊跌入20米深的冰坑，下落的过程经过几秒？（可以看作物体自由下落来估计） 【答案】(1) (2)2秒 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根的性质和应用，解答此题的关键要明确：被开方数是非负数，算术平方根是非负数，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据，把公式变形成用表示的形式即可； （2）把代入（1）中求出的的表达式，计算即可求得答案． 【规范解答】（1）解： ， ， 为非负数， ； 故答案为： （2）解： 当时， 答：若一只北极熊跌入20米深的冰坑，下落的过程经过2秒． 易错题型3 从函数的图象获取信息 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图①，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【思路点拨】本题考查了动点问题的函数图象、垂线段最短的性质及三角形面积的计算，解题的关键是从图象中获取的长度、到的距离，结合勾股定理求出的线段长度，进而计算三角形面积． 从图象得 的最小值为4（即到的高）；用勾股定理求，结合图象得的长度，再用三角形面积公式计算． 【规范解答】解：由图象可知，点沿运动时,的最大值为5，故； 当在上运动时,的最小值为4（垂线段最短），即到的距离为4； 在中，； 结合图象得； 故的面积，选项A符合题意； 故选：A． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1，在中，，，动点从点运动到点再到点后停止，速度为，其中的面积与运动时间的关系如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了函数图象，勾股定理的应用，正确看懂图象是解题的关键． 由题意可得动点从点运动到点再到点的时间为，则可得，利用勾股定理列方程即可解答． 【规范解答】解：由图象可得动点从点运动到点再到点的时间为， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得， 解得，即， 故选：B． 易错题型4 动点问题的函数图象 7．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图①，在中，是边上的一个动点，若，则关于的函数图象如图②所示．下列结论正确的是（   ） A．边的长是8 B．随的增大而增大 C．边上的高是7.2 D．边的长是15 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了函数图象的识别， 先结合已知图形的运动，根据图象可得当时，，此时，随着x的增大，y减小，当时，，此时，随着x的增大，y也增大，当时，y最大，此时，再求出的长逐项判断即可． 【规范解答】解：当时，，此时，随着x的增大，y减小， 当时，，此时， 随着x的增大，y也增大， 当时，此时，y最大，此时． 当时，根据勾股定理，得， ∴， 根据勾股定理，得． 所以A，B，D不正确，C正确． 故选：C． 8．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查用图象表示变量的关系，读懂图象获取有效信息是解题的关键．根据题意可知，当点P在上运动时，的面积不变，即当点P运动到点A时，的面积即a的值，再根据点P沿运动到D时的路程为，求得b的值即可． 【规范解答】解：根据题意可知，当点P在上运动时，的面积不变， ∴当点P运动到点A时，， ∵在长方形中，，， ∴， 由图可知，当点P运动到点D时，此时点P的运动路程为， 即， ∴， ∴． 故答案为：3． 易错题型5 列一次函数解析式并求值 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）某水果店销售一种水果，购进时的单价为30元/斤，根据调查：销售单价为40元/斤时，平均每天可售500斤，而售价每涨1元，就会少售出10斤．设售价为x元． (1)请你用含售价x的代数式来表示销售量y． (2)若水果店获利8000元，并尽量给予消费者实惠，该水果的单价应定为多少元？ (3)求水果店的最大利润是多少？此时售价应定为何值？ 【答案】(1) (2)该水果的单价应定为50元 (3)水果店的最大利润是9000元，此时售价应定为60元/斤 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）根据售价每涨1元，就会少售出10斤列关系式即可； （2）根据每斤利润×销量＝总利润列方程，解方程舍去不合题意的解可得答案； （3）根据每斤利润×销量＝总利润得出利润关于x的二次函数关系式，然后由二次函数的性质可得答案． 【规范解答】（1）解：由题意得：； （2）由题意得：， 解得：或， ∵尽量给予消费者实惠， ∴该水果的单价应定为50元； （3）设水果店的利润为， 由题意得：， ∵， ∴当时，取最大值9000， 答：水果店的最大利润是9000元，此时售价应定为60元/斤． 10．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证120元，只限本人当年使用，会员证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费15元．设小聪计划今年夏季游泳次数为（为正整数）． (1)根据题意，填写下表： 游泳次数 10 15 20 … 方式一的总费用（元） 220 270 ______ … ______ 方式二的总费用（元） 150 225 ______ … ______ (2)若小聪计划今年夏季游泳的总费用为300元，通过计算说明选择哪种付费方式，她游泳的次数比较多？ (3)张老师是游泳爱好者，他计划今年夏季在这个游泳馆游泳40次，通过计算说明，张老师选择哪种方式合算？ 【答案】(1)320，；300， (2)方式2的游泳的次数比较多 (3)张老师选择方式1合算 【思路点拨】（1）根据题目要求列出代数式并计算； （2）根据第一问的代数式列出方程，分别求出两种情况下的未知数的值，在进行比较大小，最后得出结论； （3）设游泳的次数为x，列出不等式即可解答． 【规范解答】（1）解：设小聪计划今年夏季游泳次数为， 则方式一的总费用为：元， 方式一的总费用为：元， 当时，方式一的总费用为元， 当时，方式一的总费用为元元， 根据题意，填写下表： 游泳次数 10 15 20 … 方式一的总费用（元） 220 270 320 … 方式二的总费用（元） 150 225 300 … （2）解：设小聪计划今年夏季游泳次数为， 如果选择方式一：，解得； 如果选择方式二：，解得； ∵， ∴方式二的游泳的次数比较多； （3）解：设张老师游泳次数为， 当时，； 当时，； ．所以张老师选择方式一合算． 易错题型6 根据一次函数解析式判断其经过的象限 11．（25-26八年级上·山东济南·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴交点坐标为 B．若为图象上两点，当时， C．与一次函数的图象平行 D．不会同时经过第一象限和第二象限 【答案】C 【思路点拨】本题考查一次函数的图象性质，包括与坐标轴交点、增减性、平行条件及象限分布．需逐一分析各选项即得． 【规范解答】A、∵令，得， ∵， ∴，交点为， 故A错误． B、∵ 函数的斜率是k， 当时y随x增大而增大， 当时y随x增大而减小， 选项B中仅当时成立， 但不恒成立， 故B错误． C、∵ 函数与的斜率均为k， ∴ 两直线平行， 故C正确． D、∵ 当时，函数经过第一、二、三象限； 当时，经过第二、三、四象限， 故可能同时经过第二象限（时）， 故D错误． 故选：C． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知点在第四象限，则一次函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据第四象限内点的符号特征，得到，进一步即可得出结果． 【规范解答】解：∵点在第四象限， ， ∴， 则一次函数经过一、二、三象限， B选项图象符合题意． 故选：B． 易错题型7 已知函数经过的象限求参数范围 13．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与正比例函数的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数与正比例函数的图象性质，解题的关键是根据图象判断系数、的符号，验证两个函数的系数符号是否一致． 通过一次函数的图象确定（斜率）和（截距）的符号，再判断正比例函数的图象是否与的符号匹配，匹配则符合题意． 【规范解答】解：A、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中过二、四象限，此选项不符合题意； B、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中一次函数与正比例函数图象不符，此选项不符合题意； C、由一次函数图象，得，；正比例函数过二、四象限，与图中一致，此选项符合题意； D、由一次函数图象，得，；正比例函数应过二、四象限，但图中过一、三象限，此选项不符合题意； 故选：C． 14．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）关于的一次函数的图像在轴上的截距为正实数，则的范围是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的定义、截距等知识点，理解一次函数的一次项系数不能为零是解题的关键． 一次函数的y轴截距为常数项，需为正实数；同时一次项系数不能为零，以确保函数为一次函数，据此求解即可． 【规范解答】解：该函数为一次函数，因此一次项系数，解得． ∵y轴截距为正数， ∴当时的函数值，即，需满足，解得：． 综上，的取值范围为且，即或． 故答案为：2或． 易错题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题 15．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点P分别作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，我们称折线为点P关于直线l的“L路径”，“L路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“L距离”．    (1)如图2，若直线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，求点O关于直线l的“L距离”； (2)如图3，将直线向左平移6个单位长度后得到直线m，且直线m与x轴、y轴分别交于D，C两点，O为坐标原点，求点O关于直线m的“L距离” 【答案】(1)点关于直线的“L距离”为； (2)点关于直线的“L距离”为. 【思路点拨】本题考查了一次函数的坐标特征、函数图象的平移，解题的关键是根据“L路径”的定义，确定点、的坐标，进而计算“L距离”． （1）根据轴得的纵坐标为，代入直线的解析式求的横坐标，得的长度；根据轴得的横坐标为，代入直线的解析式求的纵坐标，得的长度，两者相加即“L距离”； （2）先根据平移规律得到直线的解析式，再同理确定、的坐标，计算与的长度和． 【规范解答】（1）解：∵轴，为原点， ∴的纵坐标为，代入，得，解得，即， ∴． ∵轴， ∴的横坐标为，代入，得，即， ∴ ∴点关于直线的“L距离”为． （2）解：直线 向左平移个单位，得直线的解析式： ∵轴，为原点， ∴的纵坐标为，代入，得，解得，即， ∴ ∵轴， ∴的横坐标为，代入，得，即， ∴． ∴点关于直线的“L距离”为． 答：（1）点关于直线的“L距离”为； （2）点关于直线的“L距离”为． 16．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，现以点为圆心，的长为半径画弧，与轴的正半轴交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特点及勾股定理，先根据题意得出，两点的坐标，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【规范解答】解：∵直线与轴、轴分别交于，两点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 易错题型9 一次函数图象平移问题 17．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与正比例函数的图象重合，则的值为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了一次函数的平移规律．根据一次函数的平移规律求出m、n的值，即可求出的值． 【规范解答】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度得： ， ∵平移后的函数图象与正比例函数的图象重合， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：1． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过点． (1)求的值； (2)若一条直线与函数的图象平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”，平移后的k值不变，是解题的关键． （1）一次函数的图象向上平移k个单位后，解析式为，将点代入可求k的值； （2）依题意设所求直线解析式为，则图象与坐标轴两交点坐标为，由面积公式求b即可． 【规范解答】（1）解：根据平移规律可知，平移后解析式为， 将点代入， 得， 解得； （2）解：设所求直线解析式为， 则图象与坐标轴两交点坐标为． 由三角形面积公式得， 解得， ∴或（不合题意，舍去）， 故所求直线的函数关系式为． 易错题型10 一次函数图象与对称问题 19．（2025·陕西榆林·二模）已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数与坐标轴交点的计算，点关于坐标轴对称的性质，掌握以上知识的计算是关键． 根据一次函数与坐标轴的交点的计算得到各自的交点坐标，由关于轴对称得到，，由此即可求解． 【规范解答】解：直线（为常数，且）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线（为常数）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， ∵直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称， ∴，， 解得，， 故选：C ． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 【答案】C 【思路点拨】本题考查一次函数的性质，利用一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数的交点，一次函数平行条件k相同，一次函数关于坐标轴对称逐项判断解答即可． 【规范解答】A、点代入①，通过；②，通过；③，不通过；④，通过，通过的是①②④，该选项错误； B、交点在y轴上需时y值相等，时，①，②，③，④，②和④y值不相等，该选项错误； C、函数的，①，③，均与平行，该选项正确； D、②与③，关于x轴对称需x取相同值时，y值互为相反数，但时均为，不相反，该选项错误； 故选：C． 易错题型11 根据一次函数增减性求参数 21．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知点，在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 通过比较两点横坐标的大小和函数值的大小关系，判断一次函数的增减性，从而列出关于m的不等式求解即可． 【规范解答】解：∵，在一次函数的图象上，且，， ∴y随x的增大而减小， ∴，解得： ． 故选D． 22．（25-26八年级上·陕西西安·期中）关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【思路点拨】本题考查了一次函数的概念，图像和性质，熟知一次函数的图像和性质是解题的关键．对于函数，结合k的取值情况依次判断即可． 【规范解答】解：①当时，函数为，是常数函数，不是一次函数，故①错误； ②当时，，所以函数图像必经过点，故②正确； ③当时，函数为，符合正比例函数定义，故③正确； ④当时， ， ，函数图像经过第二、三、四象限，故④正确； ⑤随的增大而减小时，需，即，但结论为，故⑤错误． 故答案为：②③④． 易错题型12 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 23．（25-26八年级上·山西运城·期中）对于一次函数，下表列出5组自变量与其对应的函数值，其中恰好有一个函数值有误，则这个错误的函数值是（   ） 0 1 2 3 3 6 9 13 15 A．3 B．6 C．13 D．15 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数．根据一次函数的性质即可解答． 【规范解答】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2． 第4个应是增加了3，即为12． 这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系． ∴这个计算有误的函数值是13， 故选：C． 24．（25-26八年级上·山东济南·期中）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． (1)下表是与的几组对应值，则表格中____________； … 0 1 2 3 4 … … 0 0 … (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点；根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题： ①方程有____________个解； ②当时，的取值范围是____________； (4)进一步研究：若点是函数图象上的任意两点，若对于，都有，则的取值范围是____________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①2；② (4) 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）把代入 中，求出y值即为m值； （2）用描点法作出函数图象即可； （3）①根据函数的图象与直线有两个交点，可得方程有2个解； ②根据图象可知：当时，，当时，，当时，，又当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，可得出答案； （4）对于函数的图象的对称轴是直线，时，y随x的增大而减小，而时，y随x的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小．当，，都有，故M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，则，由于，，则，从而可求出t的范围． 【规范解答】（1）解：把代入得：， ∴； 由二次根式的意义条件，得 解得：x为一切实数， ∴函数中自变量的取值范围是一切实数　 故答案为：一切实数． （2）解：函数的图象，如图所示： （3）解：如图， ①∵函数的图象与直线有两个交点， ∴方程有2个解； ②由图可得：当时，， 当时，， 当时，， 又当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，的取值范围是． （4）解：对于函数的图象的对称轴是直线， 时，y随x的增大而减小，而时，y随x的增大而增大； 函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小． ∵对于，，都有， ∴M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧， ∴ ∵，， ∴， ∴． 易错题型13 比较一次函数值的大小 25．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）若点和点在一次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质（单调性），解题的关键是利用一次函数的增减性比较函数值大小． 由一次函数中，可知函数随增大而增大；比较和1的大小，得对应的函数值． 【规范解答】解：一次函数中，， 故函数值随自变量的增大而增大． 点的横坐标小于点的横坐标1， 所以． 故答案为． 26．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点和点在一次函数的图象上，且，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查一次函数的单调性；当，随的增大而增大；当，随的增大而减小，熟记一次函数的性质是解题关键．由，，知即可解答． 【规范解答】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小， ∵，且点，点， ∴， ∴的值可能为． 故选：A． 易错题型14 一次函数的规律探究问题 27．（25-26八年级上·安徽宣城·月考）正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是 ； （2）的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形．由一次函数与坐标轴的交点得出点的坐标为，再由正方形的性质得出点的坐标为，同理即可得出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，总结出规律，即可得解． 【规范解答】解：在直线中，当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 同理可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， ∴点的坐标为（为正整数） ∴的面积是， 故答案为：，． 28．（24-25八年级上·贵州黔东南·月考）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【规范解答】解：，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ， ， ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 令， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 易错题型15 分配方案问题(一次函数的实际应用) 29．（25-26八年级上·重庆·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)选方案二更优惠，理由见解析． 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式： （1）根据两种优惠方案，列出关系式即可； （2）求出时的值，比较大小即可． 【规范解答】（1）解：由题意，； ； ；； （2）选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 30．（25-26八年级上·重庆·期中）某公司计划组织员工一日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人200元．且提供的服务完全相同．针对组团的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，其中20人按九折收费，超出部分每人按七折收费．假设组团参加一日游的人数为x人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团一日游的总费用（元），（元），与x（人）之间的函数关系式； (2)若公司组团参加一日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助公司选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社：； 乙旅行社：当时，，当时，； (2)选择甲旅行社． 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用． （1）根据甲、乙旅行社的优惠方案，分别列出总费用与人数的函数关系式，对于乙旅行社，需分人数不超过20人和超过20人两种情况讨论； （2）当人数为32时，计算两家旅行社的总费用并比较即可． 【规范解答】（1）解：甲旅行社：每人八折收费，报价200元，折扣后为 元/人，故 ； 乙旅行社：若，每人九折收费， 元/人，故 ；若，前20人九折收费，费用为 元，超出部分七折收费， 元/人，故； （2）解：当时， （元）， （元）， ∵， ∴选择甲旅行社． 易错题型16 最大利润问题(一次函数的实际应用) 31．（2024·湖南·模拟预测）2023年11月25日，“乡农荟”2022湖南省农特产品展销会在岳阳市南湖广场开展，有200余家企业参展为农产品、当地特产搭台，助力乡村振兴．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1)甲特产15吨，乙特产85吨 (2)26万元 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用， （1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，再根据总成本为235万元得出方程，求出解即可； （2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，再根据总利润等于甲，乙两种特产的利润和得出一次函数关系式，然后根据一次函数的性质讨论最大值即可. 【规范解答】（1）解：设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨． 依题意，得， 解得，则． 经检验符合题意， 所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨； （2）解：设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且， 公司获得的总利润， 因为，所以随着的增大而增大． 又因为， 所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元， 故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元. 32．（2024八年级·陕西西安·专题练习）港务区苗木种植专业户老王承包了30亩地，分别种植柏树苗和松树苗，有关成本、销售额见下表： 种植种类 成本（万元/亩） 销售额（万元/亩） 柏树苗 2.4 3 松树苗 2 2.5 设种植柏树苗x亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为y万元． (1)求y与x的函数表达式； (2)今年，他继续用这30亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过70万元，若每亩的种植成本和销售额不变，他应如何安排种植才能获得最大收益？（收益＝销售额﹣成本） 【答案】(1) (2)他应该种植25亩柏树苗，种植5亩松树苗才能获得最大收益 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，表示出与总收益的函数关系式，找出题中等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设种植柏树苗x亩，则种植松树苗亩，根据收益=销售额-成本列出函数解析式； （2）根据总成本列出不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解答即可． 【规范解答】（1）解：设种植柏树苗x亩，则种植松树苗亩， ， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：根据题意得，， 解得：， 由（1）知，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，获得最大收益． 答：他应该种植25亩柏树苗，种植5亩松树苗才能获得最大收益． 易错题型17 行程问题(一次函数的实际应用) 33．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，理解题意，确定分段函数的解析式，并根据函数解析式确定函数图象是解题关键．分别求出慢车到达地、快车到达地、两车相遇时间，然后分、、三段求出函数关系式，再结合函数图象即可求解． 【规范解答】解：根据题意得：慢车从地到地所用时间为（小时）， 快车从地到地所用时间为（小时）， 两车同时出发，相遇时慢车所用时间为（小时）． 当时，﹔ 当时，； 当时，快车已到地，； 故选：C． 34．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）某景区的同一线路上依次有，，三个景点（如图1），小兴从景点出发，步行米去景点，共用时分钟；同时，桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点，休息分钟后，桐桐改成骑电动车去景点，结果桐桐比小兴早分钟到达景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)________，并说出的实际意义________________； (2)求桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达景点，休息分钟再次出发后，当________时，两人相距米． 【答案】(1)，桐桐步行从景点到达景点所用的时间 (2) (3)或 【思路点拨】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）利用路程除以速度求出的值，根据点的位置，确定的实际意义即可； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出小兴的函数解析式，再令两个函数解析式的差为，即可求解． 【规范解答】（1）解：桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点， （分钟）， 的实际意义为桐桐步行从景点到达景点所用的时间， 故答案为：，桐桐步行从景点到达景点所用的时间； （2）桐桐开始骑车的时间为第（分钟）， 桐桐骑车到达景点的时间为第（分钟）， 设桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式为， 将，代入得， 解得， ； （3）设小兴距景点的路程（米）与（分）之间的函数解析式为，将代入得， 解得， ， ， 解得或， 即当或时，两人相距米， 故答案为：或． 易错题型18 梯度计价问题 35．（25-26八年级上·河南·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是2978元，求该户去年一年的用电量． 【答案】(1) (2)2182元 (3) 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出y与x之间的关系式即可； （2）代入到（1）中的关系式即可求解； （3）通过计算说明该户去年一年的用电量超过，设该户去年一年的用电量为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意得，； ∴当时，y与x之间的关系式为； （2）解：∵， ∴代入到，得， ∴该户这一年的电费为2182元； （3）解：代入到，得， ∵， ∴该户去年一年的用电量超过， 设该户去年一年的用电量为， 根据题意得，， 解得， 答：该户去年一年的用电量为． 36．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列函数关系式；根据阶梯水价规则，当用水量在到立方米时，水费由前立方米的固定费用和超出部分的费用组成． 【规范解答】解：当时，前立方米水费为元，超出部分为立方米，按元立方米计费， 因此． 故答案为：． 易错题型19 其他问题(一次函数的实际应用) 37．（25-26八年级上·山西晋中·期中）欢乐购物节临近，某电商紧急备货，但目前缺少大量A型号包装盒（如图），该电商调研发现这种A型号包装盒的来源有两种方案可供选择．      方案一：从纸箱厂直接订购这种包装盒，购买费用（单位：元）与数量x（单位：个）之间的关系如图所示． 方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这种包装盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）（单位：元）与数量x（单位：个）之间的关系如图所示． 请根据图象回答下列问题： (1)方案一中这种A型号包装盒的单价为________元； (2)请求出方案二中与x的函数关系式； (3)如果该电商计划用2400元准备这种A型号包装盒，那么选择方案________（选填“一”或“二”）能够准备的数量更多一些． 【答案】(1) (2) (3)二 【思路点拨】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据图象可知1000个盒子共花费600元，据此可以求出盒子的单价； （2）根据图象经过的点的坐标用待定系数法求得函数的解析式即可； （3）求出当时，两种方案能够准备包装盒的数量，比较即可解答． 【规范解答】（1）解：由图象得：（元）， 方案一的盒子单价为元； 故答案为：； （2）解：设图象的函数解析式为：， 由图象知函数经过点， ， 解得， 函数的解析式为； （3）解：设图象的函数解析式为：， 由图象知函数经过点， ， 解得， 函数的解析式为； 令， 解得， 令， 解得， ∵， 选择方案二能够准备的数量更多一些． 故答案为：二． 38．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图为一个弹簧挂上重物后弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数图象（轴），则该弹簧长度最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查一次函数的实际应用，求出前一段线段的解析式，进而求出点的纵坐标，即可得出结果． 【规范解答】解：设前一段线段所在直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴当时，； 故该弹簧长度最大为； 故选：C． 易错题型20 一次函数与几何综合 39．（25-26八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，另一点A的坐标为，则以下结论： ①点P在直线上； ②若设的面积为S，当时，； ③的最小值为； ④的周长最小值为； ⑤若点P在第四象限，过P作轴于点E，轴于点F，长方形的周长始终为8． 其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【思路点拨】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、三角形面积与周长的计算、点到直线的距离及对称变换的应用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据点P的坐标满足直线方程判断①；代入值计算三角形面积验证②；利用配方法求的最小值判断③；通过找点关于直线的对称点，利用两点之间线段最短求周长最小值判断④；根据矩形周长公式计算判断⑤，然后即可求解； 【规范解答】解：∵点的坐标为， ∴当时，，满足，故①正确； 当时，； ∵，， ∴，到轴距离为， ∴，故②正确； ， ∴，故③正确； 将关于直线对称得， 则的最小值为， ∴周长最小值为，故④正确； 当在第四象限时，且， ，， 矩形周长，故⑤正确； 综上，所有结论均正确， 故选：D. 40．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求M的坐标______，并求出直线的函数解析式； (2)若点C是直线上一点，，求点C的坐标； (3)点P为x轴上一点，当时，请求出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【思路点拨】本题考查一次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出A、B的坐标，中点公式得到点M的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）过点C作轴于点N，交直线于点D，设，则，分割法得到，结合，进行求解即可； （3）分点P在点A左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解： ， 当时，，当时，， ，， 点M为线段的中点， ， 设直线的函数解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为， 故答案为： （2）解：过点C作轴于点N，交直线于点D，设，则， ， ， ， ， 或， 点C的坐标或； （3）解：分两种情况： 当点P在点A右侧时：将直线沿着y轴向上平移6个单位，得到直线，如图： 此时， ， 当时，， ； 当点P在点A左侧时，作的中垂线，交于点E，连接交x轴于点P，则：， ， 设， 则， ， 解得， ， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ， 当时，， ， 综上，或． 易错题型21 已知直线与坐标轴交点求方程的解 41．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于点、两点，点为线段外一动点，且，以为直角边作等腰直角三角形，其中．连接，求线段长的最大值 ，此时点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理与等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先求得，，根据勾股定理求得的长，以为直角边作等腰直角三角形，连接，证明得出，，当在上时取得等于号，得出线段长的最大值为；进而证明，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，可得，进而求得点，，即可求解． 【规范解答】解：∵直线：与坐标轴交于点、两点， 当时，，即， 当时，，即， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 如图，以为直角边作等腰直角三角形，连接， ∴，， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，当在上时取得等于号， 此时，即线段长的最大值为； ∵等腰直角三角形，在上， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ 如图所示，过点作轴于点， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴． 故答案为：；． 42．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）如图，P是函数图象上一点，直线分别交x轴、y轴于点A、B，作轴于点M，交于点E，作轴于点N，交于点F． 则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了函数解析式与一次函数与坐标轴的交点问题及两点间距离公式，设点坐标为，用表示的坐标，再根据两点距离公式求出，即可求出． 【规范解答】解：直线分别交轴、轴于点、， 令，解得，将代入，则， ∴， 设点坐标为， ∵点分别是直线与的交点， 当时，， ， 当时，， ， ， ∵， ． 故选：C． 易错题型22 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 43．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求线段的长； (2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标； (3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． （1）先求出点，点坐标，然后利用勾股定理即可求解； （2）设点，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 点，点， ，， ； （2）解：设点， 的面积是16， ， ， 或， 点坐标为或； （3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 44．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 【规范解答】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 易错题型23 利用图象法解一元一次方程 45．（24-25八年级上·青海玉树·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)根据函数图象，方程的解为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查画一次函数图象，一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，描点、连线即可； （2）直线与横坐标轴的交点的横坐标即为方程的解． 【规范解答】（1）解：， 当时，； 当时，，解得， 点和点在直线上， 描点，连线，可得该函数的图象如下： （2）解：由（1）知，直线与x轴的交点坐标为， 故方程的解为， 故答案为：． 46．（24-25八年级上·广西南宁·期末）根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，由表格可知，当时，；当时，，即可判断方程的一个解的取值范围，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【规范解答】解：由表格可知，当时，；当时，， ∴方程的解必定在与之间，即， 故选：． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $