专题01 勾股定理（期末复习优选题题型集训 22个题型讲练 共44题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册培优讲练

该初中数学勾股定理专题复习讲义通过22个高频易错题型系统构建知识体系，涵盖定理证明、图形面积计算、实际应用等模块，以题型分类呈现知识脉络，突出勾股定理与折叠、网格等问题的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于44道题精准覆盖易错点，如最短路径、航海问题等实际应用题型，培养几何直观与应用意识，通过“构造图形解决问题”等方法指导，助力不同层次学生提升，为教师分层教学和学生自主复习提供有力支持。

专题01 勾股定理 （22个高频易错题型讲练 共44题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积 2 易错题型2 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 2 易错题型3 利用勾股定理证明线段平方关系 3 易错题型4 勾股定理的证明方法 4 易错题型5 以弦图为背景的计算题 5 易错题型6 用勾股定理构造图形解决问题 5 易错题型7 求旗杆高度(勾股定理的应用) 7 易错题型8 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 7 易错题型9 勾股树(数)问题 8 易错题型10 在网格中判断直角三角形 8 易错题型11 利用勾股定理的逆定理求解 9 易错题型12 勾股定理逆定理的拓展问题 9 易错题型13 勾股定理与网格问题 10 易错题型14 勾股定理与折叠问题 11 易错题型15 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 12 易错题型16 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 13 易错题型17 解决航海问题(勾股定理的应用) 14 易错题型18 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 15 易错题型19 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 16 易错题型20 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 17 易错题型21 求最短路径(勾股定理的应用) 18 易错题型22 勾股定理逆定理的实际应用 18 易错题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则的值是 ． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，若正方形，的面积分别为和，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 易错题型2 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则 ． 易错题型3 利用勾股定理证明线段平方关系 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 6．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)在（2）的条件下，如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 易错题型4 勾股定理的证明方法 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，于，，交与点，垂足为，连接，且． (1)求证：； (2)在中，，，，利用图中阴影部分面积的不同计算方法证明：． 8．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 易错题型5 以弦图为背景的计算题 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小明同学拿到纸板后随手做起拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，喜欢思考的他借助这个图形设计了一道数学题：如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，点C、D、E在同一条直线上，设，，则正方形的面积是 ．（用含a，b的式子表示并化为最简形式） 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求的值为 ． 易错题型6 用勾股定理构造图形解决问题 11．（25-26八年级上·四川巴中·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例如：已知，均为正实数，且求的最小值，如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． 则，；因此当，，三点共线时有最小值，最小值为根据上述的方法，代数式的最小值为 ． 12．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： (1)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； (2)在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； (3)若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 易错题型7 求旗杆高度(勾股定理的应用) 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端M处，他想知道树的高度MN，制定了一个测量树高MN的方案．如图，在地面A处，测得点A到大树的距离AN为2米，手中剩下的风筝线为4米．从点A后退至点B处风筝线恰好用完，测得AB为6米，已知点N在点M的正下方，点N，A，B在同一条直线上，根据以上信息求出树的高度 14．（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图是吊车安装路灯的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离为16米，点B到地面的竖直距离为2米，求起重臂顶端A离地面的高度．    易错题型8 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 15．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 16．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 易错题型9 勾股树(数)问题 17．（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 18．（25-26八年级上·福建三明·期中）若，，为一组勾股数，且，则下列结论：①；②，，中必有一个是奇数；③，，中总有一个数是3的倍数，，，中总有一个数是5的倍数；④若是不小于7的质数，则的最小值为25．其中正确的有 （填序号）． 易错题型10 在网格中判断直角三角形 19．（24-25八年级上·天津静海·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，，，三点均在正方形格点上． （1）的大小为 ； （2）若，则的长为 ． 20．（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 易错题型11 利用勾股定理的逆定理求解 21．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）四边形的面积是 ． 22．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 易错题型12 勾股定理逆定理的拓展问题 23．（24-25八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 24．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 易错题型13 勾股定理与网格问题 25．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在一个的正方形网格中，每个小格均是边长为1的正方形，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最大． 26．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，D都在格点上． 问题：比较与的大小； 如图1，在正方形网格中构造△ABC，可以比较与的大小， 其理由如下：在中，， 根据勾股定理，得，． ∵，∴． (1)应用：请参考上述方法，在图2中构造图形，比较+与的大小，并说明理由； (2)延伸：请在图3中构造图形，求的度数．（直接写出答案，不必说明理由）． 易错题型14 勾股定理与折叠问题 27．（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为 ． 28．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为 ． 易错题型15 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 29．（25-26八年级上·四川巴中·期中） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 30．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图①所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮A的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）如图②，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 易错题型16 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 31．（2025八年级上·全国·专题练习）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺． 32．（25-26八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 易错题型17 解决航海问题(勾股定理的应用) 33．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会相互干扰，，．当两车距终点A的距离之和为时，遥控信号是否会相互干扰？（赛车的大小均忽略不计，、分别为小王的赛车与小林的赛车在行驶至点A的途中的任意点） 34．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会产生相互干扰，，． (1)出发时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ 易错题型18 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 35．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 36．（24-25八年级上·河南信阳·期中）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 易错题型19 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 37．（25-26八年级上·福建漳州·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与A，B两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 38．（25-26八年级上·广东深圳·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 易错题型20 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 39．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，乡村道路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个便民商店E，使得C、D两村庄到商店E的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．7 D． 40．（25-26八年级上·全国·期中）如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 易错题型21 求最短路径(勾股定理的应用) 41．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）某学校要举办第四届运动会，现需装饰一根高为，底面半径为的圆柱（如图）．A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根彩带的长度最短多少？ 42．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为 ． 易错题型22 勾股定理逆定理的实际应用 43．（25-26八年级上·陕西西安·月考）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园在入口的正南方向处，入口在桂花园的正东方向处，玫瑰园与入口相距，玫瑰园与入口相距，求某市口袋公园的面积． 44．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，某小区有两个喷泉，，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设管道的长； (2)的长是喷泉到小路上各处的最短距离吗?请说明理由． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理 （22个高频易错题型讲练 共44题 新教材） 【解析版】 易错题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积 1 易错题型2 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 3 易错题型3 利用勾股定理证明线段平方关系 4 易错题型4 勾股定理的证明方法 7 易错题型5 以弦图为背景的计算题 9 易错题型6 用勾股定理构造图形解决问题 10 易错题型7 求旗杆高度(勾股定理的应用) 14 易错题型8 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 15 易错题型9 勾股树(数)问题 16 易错题型10 在网格中判断直角三角形 19 易错题型11 利用勾股定理的逆定理求解 20 易错题型12 勾股定理逆定理的拓展问题 22 易错题型13 勾股定理与网格问题 24 易错题型14 勾股定理与折叠问题 27 易错题型15 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 30 易错题型16 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 32 易错题型17 解决航海问题(勾股定理的应用) 33 易错题型18 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 35 易错题型19 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 36 易错题型20 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 39 易错题型21 求最短路径(勾股定理的应用) 40 易错题型22 勾股定理逆定理的实际应用 42 易错题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理，正方形的面积，由勾股定理结合正方形的面积可得，据此解答，熟记勾股定理是解题的关键． 【规范解答】解：由勾股定理结合正方形的面积可得，， 又∵， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，若正方形，的面积分别为和，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理，根据可知，根据正方形，的面积分别为和，可知，，代入求出的长度即为正方形的边长． 【规范解答】解：如下图所示， ， ， 正方形，的面积分别为和， ，， ， ， ， 正方形的边长是. 故选：D． 易错题型2 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【规范解答】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则 ． 【答案】231 【思路点拨】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【规范解答】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 易错题型3 利用勾股定理证明线段平方关系 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，再证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论． 【规范解答】（1）证明：在等腰中，，在等腰中， ， ，，， ， ． ． （2）由（1）知， ∵在等腰中，， ． ， ． ． ， ． 6．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)在（2）的条件下，如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)结论：，理由见解析． 【思路点拨】（1）利用平角定义解题即可； （2）根据角平分线定义和平行线的性质得到，再利用等角的余角相等得到，利用等角对等边得到，即可得证； （3）连接，则有，再利用勾股定理推理即可． 【规范解答】（1）解： ，， ； （2）证明： 平分， ， 又 ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即点是的中点； （3）结论：，理由如下： 如图2，连接． ，点为的中点． 为的中垂线． ． 在中，． 由勾股定理得． ． 易错题型4 勾股定理的证明方法 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，于，，交与点，垂足为，连接，且． (1)求证：； (2)在中，，，，利用图中阴影部分面积的不同计算方法证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、掌握利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）由、，得到、，进而得到，根据即可证明结论． （2）利用和列关于a、b、c的等式即可证明结论． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ． （2）证明：； ， ， ． 8．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了勾股定理的面积法证明及组合图形的面积拆分计算，解题的关键是将五边形面积拆分为不同基本图形（正方形、矩形、三角形）的面积和，通过面积相等建立等式推导勾股定理，再利用勾股定理计算空白部分面积． （1）将五边形的面积用两种不同的基本图形组合方式表示，建立等式，化简得勾股定理． （2）空白部分面积为正方形的面积减去两个直角三角形的面积，结合勾股定理将其转化为，代入、的值计算． 【规范解答】（1）证明：五边形的面积拆分为正方形、三角形与三角形的面积和， 即 五边形的面积也拆分为正方形、正方形、三角形与三角形的面积和， 即 ∵两种方法表示的面积相等， ∴， 两边消去，得，即勾股定理得证． （2）解：空白部分（正方形的面积为， 由⑴结论，代入得空白部分面积为 当，时，原式 答：空白部分的面积为． 易错题型5 以弦图为背景的计算题 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小明同学拿到纸板后随手做起拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，喜欢思考的他借助这个图形设计了一道数学题：如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，点C、D、E在同一条直线上，设，，则正方形的面积是 ．（用含a，b的式子表示并化为最简形式） 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，熟练应用勾股定理是解题的关键． 设，则，根据全等的性质可得，利用线段之间的数量关系可表示出的长，进而列式用、表示出，从而表示出，在中，利用勾股定理表示出，从而得解． 【规范解答】解：设，则， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求的值为 ． 【答案】196 【思路点拨】本题考查的是完全平方公式与几何图形面积的关系，勾股定理的应用，熟练地利用完全平方公式及其变形求解代数式的值是解本题的关键． 由图形面积可得，，可得，再代入进行计算即可． 【规范解答】解：由图可知，， ． 小正方形的面积是4， ， ， ， ． 故答案为：196. 易错题型6 用勾股定理构造图形解决问题 11．（25-26八年级上·四川巴中·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例如：已知，均为正实数，且求的最小值，如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． 则，；因此当，，三点共线时有最小值，最小值为根据上述的方法，代数式的最小值为 ． 【答案】20 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，数形结合是解题的关键． 仿照题干中的方法构造图形：，，，，，是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，则，，，当，，三点共线时，取得最小值，即取得最小值；过点作的垂线交于点F，则四边形是长方形，再利用勾股定理即可求得最小值． 【规范解答】解：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，， 设， 则，，， 当，，三点共线时，取得最小值， 即取得最小值； 过点作的垂线交于点F， 则四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，， 即取得最小值为20； 故答案为：20． 12．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： (1)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； (2)在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； (3)若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3) 【思路点拨】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）根据勾股定理即可求出斜边的长； （2）过点作，交延长线于点，先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）根据题意构造图形，，，可将问题转化为求线段的最小值，过点作，交延长线于点，由勾股定理求得的值，从而得到代数式的最小值． 【规范解答】（1）解：由题可得：， ∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴斜边长， 故答案为：； （2）解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为5； （3）解：由题意，构造图形如图：（其中，点在线段上）， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 的最小值为线段的长度， 过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为13； 易错题型7 求旗杆高度(勾股定理的应用) 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端M处，他想知道树的高度MN，制定了一个测量树高MN的方案．如图，在地面A处，测得点A到大树的距离AN为2米，手中剩下的风筝线为4米．从点A后退至点B处风筝线恰好用完，测得AB为6米，已知点N在点M的正下方，点N，A，B在同一条直线上，根据以上信息求出树的高度 【答案】米 【思路点拨】本题考查了勾股定理，灵活运用勾股定理求线段的长或利用勾股定理列方程是解决问题的关键． 根据题意得米，米，，根据勾股定理得到，先利用加减消元法求出AM，然后利用勾股定理计算MN的长． 【规范解答】解：根据题意得米，米，， 在中，， 在中，， ， 解得， 米 答：树的高度MN为米． 14．（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图是吊车安装路灯的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离为16米，点B到地面的竖直距离为2米，求起重臂顶端A离地面的高度．    【答案】起重臂顶端离地面的高度为14米． 【思路点拨】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 【规范解答】解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴（米）， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 易错题型8 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 15．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 【答案】米 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，阅读题目信息可得两名跑酷运动员所经过的距离相等是指，设，根据勾股定理列方程求解． 【规范解答】解：设水泥墙的高度为x米，则米, 由题意，知， 所以, 因为两名运动员所经过的路程长度相等， 所以，即， 所以米, 在中，由勾股定理得，即， 解得，即米, 答：水泥墙的高度为米． 16．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车；理由见解析 【思路点拨】本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【规范解答】解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 易错题型9 勾股树(数)问题 17．（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了“勾股树”---勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理与面积之间的转化． 由勾股定理得，，，，则，，，然后进行面积代换相加求解即可． 【规范解答】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 18．（25-26八年级上·福建三明·期中）若，，为一组勾股数，且，则下列结论：①；②，，中必有一个是奇数；③，，中总有一个数是3的倍数，，，中总有一个数是5的倍数；④若是不小于7的质数，则的最小值为25．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①③④ 【思路点拨】本题考查“勾股数”的知识点，熟练利用勾股定理进行代数运算，通过数的特征进行演绎推理是解题关键． ①是勾股数的定义；②可以找反例证明是错误的；③④可以通过数的特征进行推理，利用余数判断即可． 【规范解答】对于结论①：由勾股数的定义，成立，故正确． 对于结论②：6，8，10是勾股数，但其中没有奇数，故错误． 对于结论③④： 对于a，b，c，我们可以假设这三个数互质，则 ，． 由上式可知，若b，c均为奇数，则a一定为偶数，故a，b，c三个数中一定有一个数为偶数， 不妨设，其中m，n为a的因式，且m，n均为整数，． ∴． ∵a，b，c均为正整数，且，， ∴，（其余情况不能同时满足a，b，c均为正整数，且，，，故舍去）． ∴，． 若a不为3的倍数，则m，n均不为3的倍数，所以m，n可以分别表示为或，或（其中k，j为非负整数）． 则，其中必有，或． 故若a不为3的倍数，则b一定为3的倍数． 若a不为5的倍数，则m，n均不为5的倍数，所以m，n可以分别表示为，（其中k，j为非负整数，p，q为1，2，3，4其中一个数） 若，则，此时b为5的倍数； 若，则，此时b为5的倍数； 若，或，，则， 此时c为5的倍数； 若，或，，则， 此时c为5的倍数， 故a，b，c中一定有5的倍数，③正确． 由题意，当时，因为为偶数，故不可能为不小于7的质数，舍去； ∴，可令，则． ∵m，n为正整数， ∴当时，，不合题意；当时，，不合题意； 当时，． ∴当时，c取得最小值，最小值为25，此时，符合题意． 故④正确． 故答案为：①③④． 易错题型10 在网格中判断直角三角形 19．（24-25八年级上·天津静海·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，，，三点均在正方形格点上． （1）的大小为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 /90度 2 【思路点拨】本题主要考查了利用网格求三角形面积，勾股定理与勾股定理逆定理的应用． （1）先利用勾股定理求出，，，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案． （2）利用等面积法求解即可． 【规范解答】解：（1）由勾股定理可得： ，，， ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， 故答案为： （2）∵， ∴， ∴ 故答案为：2 20．（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的网格问题、勾股定理逆定理等知识点，应用勾股定理逆定理得到是直角三角形成为解题的关键． 先应用勾股定理逆定理得到是直角三角形，然后分别求得、，最后比较即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 易错题型11 利用勾股定理的逆定理求解 21．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）四边形的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题关键．根据勾股定理，先计算的长，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形， 最后利用三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：观察图形可知，，，， ， ，， ， ， 是直角三角形， 四边形的面积为． 22．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，在上截取，连接，可证明，得到，则当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，可证明，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 易错题型12 勾股定理逆定理的拓展问题 23．（24-25八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2)“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，证明见解析 【思路点拨】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【规范解答】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 24．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【规范解答】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 易错题型13 勾股定理与网格问题 25．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在一个的正方形网格中，每个小格均是边长为1的正方形，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最大． 【答案】(1)图见解析 (2)满足条件的点P共有4个；图见解析 (3)图见解析 【思路点拨】（1）根据题意作出关于直线对称的； （2）利用线段垂直平分线的性质与勾股定理求解； （3）利用三角形的三边关系求解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴满足条件的点P共有4个， 故答案为：4； （3）如图，是异于的上任意一点，连接、， 则， 当、、三点在同一直线上时，有最大值，最大值为， 故延长交于点，点即为所求作． 26．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，D都在格点上． 问题：比较与的大小； 如图1，在正方形网格中构造△ABC，可以比较与的大小， 其理由如下：在中，， 根据勾股定理，得，． ∵，∴． (1)应用：请参考上述方法，在图2中构造图形，比较+与的大小，并说明理由； (2)延伸：请在图3中构造图形，求的度数．（直接写出答案，不必说明理由）． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质，对称的性质以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键． （1）画出图形，再由勾股定理求出、、的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． （2）取点关于的对称点，连接，利用勾股定理可知，根据图片可知，，是等腰直角三角形，由对称的性质可知，利用等量代换，可得，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图： 构造，由勾股定理得： ， ， ， 在中：， ， （2）解：如图： 取点关于的对称点，连接，， 由对称的性质可知：， 由图可知：, 则， ， 是等腰直角三角形， , , ， 即：． 易错题型14 勾股定理与折叠问题 27．（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用、翻折的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据翻折的性质可得，，，再根据勾股定理可得，连接，设，根据勾股定理可求出，最后在中运用勾股定理可列出方程求解即可． 【规范解答】解：∵纸片是长方形， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接，如下图： 设， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴ ， 故答案为：． 28．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 连接，由折叠的性质得，，，，进而得到，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再在利用勾股定理即可求出的长． 【规范解答】解：如图，连接， 由折叠的性质得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 易错题型15 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 29．（25-26八年级上·四川巴中·期中） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)风筝的垂直高度下降米 【思路点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理计算直角边的长度． （1）在中，由勾股定理求的长，结合小明身高得； （2）先求回收线后风筝线的长度，在新直角三角形中用勾股定理求新垂直高度，计算下降距离． 【规范解答】（1）在中，， 由勾股定理得：（米）． ，米， （米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：如图，设回收后风筝位于点F， 回收后风筝线长为（米）， 在中，（米）． 风筝下降高度（米）． 答：风筝的垂直高度下降米． 30．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图①所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮A的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）如图②，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 【答案】滑块B向左滑动的距离为 【思路点拨】本题考查了勾股定理在实际问题中的应用．先利用勾股定理求出初始状态下绳子的总长度，再求出物体C升高后的长度，最后求出滑块B向左滑动的距离即可． 【规范解答】解：根据题意得，，， ∴， ∴， 根据题意得，，，， ∴， ∴， 即滑块B向左滑动的距离为． 易错题型16 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 31．（2025八年级上·全国·专题练习）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得的长度，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长． 【规范解答】解：根据题意可得（尺）， 设水深尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得， ，即芦苇长尺． 故答案为：． 32．（25-26八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深是，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：设水深是， 如图所示，在中，， 由勾股定理得， ∴， 解得， 答：水深是． 易错题型17 解决航海问题(勾股定理的应用) 33．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会相互干扰，，．当两车距终点A的距离之和为时，遥控信号是否会相互干扰？（赛车的大小均忽略不计，、分别为小王的赛车与小林的赛车在行驶至点A的途中的任意点） 【答案】遥控信号会相互干扰 【思路点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是通过设时间为未知数，结合两车距终点的距离和求出行驶时间，再利用勾股定理计算两车距离并判断是否干扰． 设行驶时间为秒，根据两车距的距离之和为列方程求；再利用勾股定理计算此时两车的距离，与比较得出结论． 【规范解答】解：设行驶时间为秒， 由题意得： ， 解得． 此时，小王的赛车距的距离为（）， 小林的赛车距的距离为（）． 由勾股定理，两车之间的距离为：（）． ∵， ∴遥控信号会相互干扰． 答：遥控信号会相互干扰． 34．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会产生相互干扰，，． (1)出发时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ 【答案】(1)出发时，遥控信号不会产生相互干扰 (2)出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据勾股定理即可求解． （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，出发时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴出发时，遥控信号不会产生相互干扰． （2）解：设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， ∴出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰． 易错题型18 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 35．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【规范解答】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 36．（24-25八年级上·河南信阳·期中）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 【答案】大巴车超速了 【思路点拨】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，在中，根据勾股定理求出的长，然后再求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【规范解答】解：由题意可知，，， ， 大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 易错题型19 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 37．（25-26八年级上·福建漳州·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与A，B两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)台风中心移动的速度为 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点C作于点D，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响； （2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可． 【规范解答】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 过点C作于点D，如图： 、、 是直角三角形， 即 海港C受台风影响； （2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图， 时，正好影响海港C， 在中，由勾股定理得， 台风影响海港持续的时间为7小时 ∴台风中心移动的速度为 答：台风中心移动的速度20千米/小时． 38．（25-26八年级上·广东深圳·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C不能被飞机扑灭，计算说明解解析 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，再利用等面积法求出的长即可得到答案； （2）在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出飞机灭火的时间即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：飞机距离着火点C的最短距离为； （2）解：如图，在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ，且， ∴着火点C不能被飞机扑灭， 答：着火点C不能被飞机扑灭． 易错题型20 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 39．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，乡村道路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个便民商店E，使得C、D两村庄到商店E的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．7 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据于于，列式，解出的值，即可作答． 【规范解答】解：由题意知，， 设，则， 因为于于， 所以在与中， 由勾股定理得，， ， 解得， ， 故选：C． 40．（25-26八年级上·全国·期中）如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 【答案】市场应建在距点20km的位置 【思路点拨】可以设则在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据，即可求得的值． 【规范解答】解：设，则． 在中，； 在中，． 由题意得， 解得，即． 故市场应建在距点km的位置． 易错题型21 求最短路径(勾股定理的应用) 41．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）某学校要举办第四届运动会，现需装饰一根高为，底面半径为的圆柱（如图）．A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根彩带的长度最短多少？ 【答案】最短为 【思路点拨】本题考查勾股定理的实际应用，将立体图形展开，形成平面图形，利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】解：∵用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B， ∴将圆柱的侧面展开图平铺三次（如图），则所求最短长度是图中的长， ∵圆柱底面半径为， ∴长方形的长为圆柱的底面周长的三倍，即， 长方形的宽为圆柱的高，即， 在中，； 答：这根彩带的长度最短为． 42．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，化曲面为平面，正确画出图形是解题关键﹒根据题意画出图形，得到，，先求出，，根据勾股定理即可求出小虫爬行的最短路程为﹒ 【规范解答】解：如图，由题意得，， ∵点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程为﹒ 故答案为： 易错题型22 勾股定理逆定理的实际应用 43．（25-26八年级上·陕西西安·月考）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园在入口的正南方向处，入口在桂花园的正东方向处，玫瑰园与入口相距，玫瑰园与入口相距，求某市口袋公园的面积． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积公式，理解题意是解题的关键． 连接，利用勾股定理求出的长，利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，且，再利用三角形的面积公式即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， 由题意得，，，，，， ， ， ， 是直角三角形，且， 口袋公园的面积， 答：某市口袋公园的面积为． 44．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，某小区有两个喷泉，，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设管道的长； (2)的长是喷泉到小路上各处的最短距离吗?请说明理由． 【答案】(1)； (2)的长是喷泉到小路上各处的最短的距离，理由见解析． 【思路点拨】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，垂线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则，在中，，则有，然后通过勾股定理即可求解； （）证明是直角三角形，则有，即，从而求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 答：供水点到喷泉需要铺设的管道的长为； （2）解：的长是喷泉到小路上各处的最短的距离，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的长是喷泉到小路上各处的最短距离． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $