第十八章 分式（高效培优单元测试·提升卷）数学人教版2024八年级上册

第十八章 分式（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D．1+x 2．下列各式中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 3．纳米（nm）技术是一种高新科技，它可以在微观世界里直接探索0.1～500nm范围内物质的特性，从而创造新材料．lnm＝0.000000001m，将数字0.000000001用科学记数法表示应为（　　） A．1×10﹣8 B．1×109 C．1×10﹣9 D．1×10﹣10 4．若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A．x≠0 B．x≠1 C．x＞1 D．x＜1 5．下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 6．下列式子从左到右，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 7．A，B两地相距1600千米，技术突破后，列车运行时速提升了50千米，而从A地运行至B地的时长缩短了1小时，若设提速前的车速为x千米/小时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．已知关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 9．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣1 10．已知：的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b 11．若实数a，b满足a+b＝2025，b≠a+1，则的值等于（　　） A．2025 B． C． D． 12．题目：当a≠b时，定义一种新运算：F（a，b）． 例：F（3，1）1，F（﹣1，4）．若F（m，2）﹣F（2，m）＝1，则m的值为（　　） A． B． C．或0 D．0 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．当分式的值为零时，x的值为 　 　 ． 14．分式的最简公分母是 　 　 ． 15．已知（x+1）x+6＝1，x的值是　 　 ． 16．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是　 　 ． 17．若整数x使式子的值为整数，则满足条件的x的值有　 　 个． 18．观察下面的变形规律： 解答下面问题： 若，则x的值为　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）解方程： （1）； （2）． 20．（8分）计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 21．（8分）已知，关于x的方程：． （1）若方程无解，求m的取值； （2）若方程的解为整数，求整数m的值． 22．（8分）嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． （1）嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从﹣1，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； （2）若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 23．（8分）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 24．（10分）分式求值有许多技巧，我们要充分观察题目的特点，对分式进行灵活变形． 如：已知a2﹣3a+1＝0，求的值． 解：因为a2﹣3a+1＝0，a≠0， 所以，即， 所以． 仿照上面这种方法，完成下面各题： 已知a2+a﹣1＝0， （1）求； （2）求． 25．（10分）阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为x（a+b），所以关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程xq的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝3，则p＝　 　 ，q＝　 　 ； （2）方程x3的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求a4+b4的值； （3）关于x的方程2x2n的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值． 26．（12分）我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”．例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为3． 解决下列问题： （1）已知分式，是“合分式”．求A与B关于C的“合值”为　 　 ； （2）已知分式（其中a是常数，且a≠0），，E与F是“合分式”，且E与F关于C的“合值”为1，求常数a的值； （3）已知分式，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，若分式M的值为正整数，且x为整数，求满足条件的x的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D．1+x 【答案】A 【解答】解：A：，分母为x，是字母，符合分式的定义，符合题意； B：，分母为π（圆周率，常数），不含字母，不是分式，不符合题意； C：，分母为5（数字），不含字母，不是分式，不符合题意； D：1+x，是整式，没有分母，显然不是分式，不符合题意． 故选：A． 2．下列各式中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．是一元一次方程，不符合题意； B．是分式方程，符合题意； C．是二元一次方程，不符合题意； D．是代数式，不符合题意． 故选：B． 3．纳米（nm）技术是一种高新科技，它可以在微观世界里直接探索0.1～500nm范围内物质的特性，从而创造新材料．lnm＝0.000000001m，将数字0.000000001用科学记数法表示应为（　　） A．1×10﹣8 B．1×109 C．1×10﹣9 D．1×10﹣10 【答案】C 【解答】解：由题意得， 0.000000001＝1×10﹣9， 故选：C． 4．若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A．x≠0 B．x≠1 C．x＞1 D．x＜1 【答案】B 【解答】解：若分式有意义， 则x﹣1≠0， 所以x≠1， 故选：B． 5．下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因数2，不是最简分式，不符合题意； B、原式为最简分式，符合题意； C、该分式的分子、分母中含有公因式（x+1），不是最简分式，不符合题意； D、该分式的分子、分母中含有公因式（x﹣1），不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 6．下列式子从左到右，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、当m≠0时，，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 7．A，B两地相距1600千米，技术突破后，列车运行时速提升了50千米，而从A地运行至B地的时长缩短了1小时，若设提速前的车速为x千米/小时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意可得：． 故选：A． 8．已知关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 【答案】D 【解答】解：， 3﹣2x﹣9+mx＝3﹣x， （m﹣1）x＝9， ∴当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解； 当m﹣1≠0时，由分式方程无解，可得x﹣3＝0，即x＝3， 把x＝3代入（m﹣1）x＝9， 解得：m＝4， 综上，m的值为1或4． 故选：D． 9．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：∵分式方程有增根， ∴x﹣4＝0， 解得x＝4， ∴增根是4， 分式方程去分母得：2（x﹣4）+m＝x， 把x＝4代入方程得：2（4﹣4）+m＝4， 解得：m＝4． 故选：A． 10．已知：的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b 【答案】D 【解答】解：a＝﹣42＝﹣16，，， ∵﹣16＜1＜16， ∴a＜c＜b， 故选：D． 11．若实数a，b满足a+b＝2025，b≠a+1，则的值等于（　　） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【解答】解： ， ∵a+b＝2025，b≠a+1， ∴原式， 故选：C． 12．题目：当a≠b时，定义一种新运算：F（a，b）． 例：F（3，1）1，F（﹣1，4）．若F（m，2）﹣F（2，m）＝1，则m的值为（　　） A． B． C．或0 D．0 【答案】D 【解答】解：当m＞2时， 由F（m，2）﹣F（2，m）＝1得1， 去分母，得2﹣2m＝m﹣2， 解得m2，不合题意，舍去； 当m＜2时， 由F（m，2）﹣F（2，m）＝1得1， 去分母，得4﹣2＝2﹣m， 解得m＝0＜2，符合题意； 综上，m＝0， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．当分式的值为零时，x的值为 　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题可知， x+2＝0且x﹣1≠0， 解得x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 14．分式的最简公分母是 　12a2b（a﹣b）　 ． 【答案】12a2b（a﹣b）． 【解答】解：分式的最简公分母为12a2b（a﹣b）． 故答案为：12a2b（a﹣b）． 15．已知（x+1）x+6＝1，x的值是　﹣6或0或﹣2　 ． 【答案】﹣6或0或﹣2． 【解答】解：当底数x+1＝1时， 解得x＝0，此时得到16＝1，等式成立； 当指数x+6＝0时， 解得x＝﹣6，此时得到（﹣5）0＝1，等式成立； 当底数x+1＝﹣1时， 解得x＝﹣2，此时得到（﹣1）4＝1，等式成立； 其他情况均不满足等式， 故答案为：﹣6或0或﹣2． 16．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是m≥1且m≠3　 ． 【答案】m≥1且m≠3． 【解答】解：， 方程两边同时乘以（x﹣2）得：﹣3＝（x﹣2）﹣m， 解得：x＝m﹣1， ∴m﹣1≥0， 解得m≥1， ∵x≠2， ∴m﹣1≠2，即m≠3， ∴m的取值范围是m≥1且m≠3， 故答案为：m≥1且m≠3． 17．若整数x使式子的值为整数，则满足条件的x的值有　1　 个． 【答案】1． 【解答】解：•， 的分母不为零，则x≠3，x≠﹣1， 的除式不为零，则x≠±1，x≠0， ∴x≠±1，x≠0，x≠3， 原式化简为，要使式子的值为整数，则x﹣1必须为2的约数，即x﹣1＝±1或±2， 解得x＝2，0，3，﹣1．又由x≠±1，x≠0，x≠3排除后，仅x＝2满足条件． 故答案为：1． 18．观察下面的变形规律： 解答下面问题： 若，则x的值为　998　 ． 【答案】998． 【解答】解：由题意，方程， 化为，即， 方程两边同乘（x+1）（x+1000）得x+1000＝2x+2， 解得x＝998， 经检验x＝998是原方程的解． 故答案为：998． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x＝1； （2）x＝2． 【解答】解：（1）， 方程可变形为， 方程两边同乘2﹣x，得x2﹣2+x＝（1﹣x）（2﹣x）， 解得x＝1， 检验：当x＝1时2﹣x≠0， 所以原分式方程的解是x＝1； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘x（x﹣1），得5＝4x﹣3（x﹣1）， 解得x＝2， 检验：当x＝2时x（x﹣1）≠0， 所以原分式方程的解是x＝2． 20．（8分）计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）x； （2）化简结果是：，求值结果是：． 【解答】解：（1）原式 ＝x； （2）原式 ， 当时， 原式． 21．（8分）已知，关于x的方程：． （1）若方程无解，求m的取值； （2）若方程的解为整数，求整数m的值． 【答案】（1）6或9或12； （2）8或10． 【解答】解：（1）， 去分母，得3（x﹣1）+6（x+1）＝mx， 去括号，得3x﹣3+6x+6＝mx， 移项、合并同类项，得（m﹣9）x＝3， 当x＝﹣1时，得9﹣m＝3， 解得m＝6； 当x＝1时，得m﹣9＝3， 解得m＝12， ∴若方程有增根，m的取值为6或12； ∵（m﹣9）x＝3， ∴当m﹣9＝0时原分式方程无解， ∴m＝9， ∵当m＝6或12时方程有增根， ∴若方程无解，m的取值为6或9或12； （2）由（1）知，（m﹣9）x＝3， ∴， ∵方程的解为整数， ∴m﹣9＝±3，m﹣9＝±1， 当m﹣9＝3时，m＝12（舍去）； 当m﹣9＝﹣3时，m＝6（舍去）； 当m﹣9＝1时，m＝10； 当m﹣9＝﹣1时，m＝8； ∴m＝8或10． 22．（8分）嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． （1）嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从﹣1，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； （2）若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1） ， ∵a﹣1≠0，a+1≠0， ∴a≠1，a≠﹣1， ∴从﹣1，0，1中选取0作为a值代入求值， 原式； （2）∵， ∴■＝ 则被墨水遮住的式子是． 23．（8分）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】（1）每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品件的进价是10元； （2）该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：①购进甲种商品67个，乙种商品24个；②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 【解答】解：（1）设每个乙种商品的进价是x元，则每个甲种商品的进价是（x﹣2）元， 根据题意得：， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣2＝10﹣2＝8， 答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品件的进价是10元； （2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个， 根据题意得：， 解得：23y≤25， ∵y为正整数， ∴y＝24，25， ∴该商场购进甲、乙两种商品有2种方案： ①购进甲种商品67个，乙种商品24个； ②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 24．（10分）分式求值有许多技巧，我们要充分观察题目的特点，对分式进行灵活变形． 如：已知a2﹣3a+1＝0，求的值． 解：因为a2﹣3a+1＝0，a≠0， 所以，即， 所以． 仿照上面这种方法，完成下面各题： 已知a2+a﹣1＝0， （1）求； （2）求． 【答案】（1）3； （2）． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴， ∴ ＝1+2 ＝3； （2）∵a2≠0， ∴． 25．（10分）阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为x（a+b），所以关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程xq的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝3，则p＝　﹣6　 ，q＝　1　 ； （2）方程x3的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求a4+b4的值； （3）关于x的方程2x2n的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）∵关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 方程xq的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝3， ∴p＝x1•x2＝﹣2×3＝6 q＝x1•x2＝﹣2+3＝1 故答案为﹣6，1． （2）方程x3的两个解分别为x1＝a，x2＝b，则a+b＝3，ab＝﹣2 a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2 ＝[（a+b）2﹣2ab]2﹣2（ab）2 把a+b＝3，ab＝﹣2代入上式得： a4+b4＝161 答：a4+b4的值是161． （3）2x2n可变形为： 2x+1n﹣1+n+2 根据题意可得：2x+1＝n﹣1或2x+1＝n+2 即 x1，x2．（x1＜x2） 代入1 答：求的值是1． 26．（12分）我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”．例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为3． 解决下列问题： （1）已知分式，是“合分式”．求A与B关于C的“合值”为　3　 ； （2）已知分式（其中a是常数，且a≠0），，E与F是“合分式”，且E与F关于C的“合值”为1，求常数a的值； （3）已知分式，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，若分式M的值为正整数，且x为整数，求满足条件的x的值． 【答案】（1）3；（2）﹣2；（3）4或10或﹣4． 【解答】解：（1）根据题意可知，， ∴A与B关于C的“合值”为：3． 故答案为：3； （2）∵，， ∴， ∵E与F是“合分式”，且E与F关于C的“合值”为1， ∴a＝﹣2； （3）∵，， ∴， ∵M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1， ∴P﹣2x＝1， ∴P＝2x+1， ∴， ∵分式M的值为正整数，x为整数， ∴7是x﹣3的整数倍， ∴x﹣3取1或7或﹣7， 此时x的值为：4或10或﹣4． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $