专题01 分式的化简求值的五种类型（高效培优专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题01 分式的化简求值的五种类型 方法一：化简后直接求值 方法二：化简后整体带入求值 方法三：倒数法求值 方法四：自选条件求值 方法五：分式和条件均需化简带入 方法一：化简后直接求值 1．先化简，再求值：，其中x＝5． 【答案】2x﹣2，8． 【解答】解：原式 ＝2（x﹣1） ＝2x﹣2， 当x＝5时，原式＝2×5﹣2＝8． 2．先化简，再求值：，其中x＝（π﹣3）0+2﹣1． 【答案】﹣3x﹣1，． 【解答】解：原式•（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2 ＝x（x﹣1）﹣（x+1）2 ＝x2﹣x﹣x2﹣2x﹣1 ＝﹣3x﹣1， 当x＝（π﹣3）0+2﹣1＝1时， 原式＝﹣31． 3．先化简，再求值：，其中a＝﹣2． 【答案】，． 【解答】解：原式（） • ， 当a＝﹣2时， 原式． 4．先化简，再求值：，其中a＝3． 【答案】，2． 【解答】解： • • ， 当a＝3时，原式2． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】，﹣2． 【解答】解： ， ∵， ∴原式． 6．先化简，再求值：，其中（）﹣1． 【答案】，1． 【解答】解：原式 • ， 当（）﹣1＝4﹣2＝2，原式1． 方法二：化简后整体带入求值 1．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0． 【答案】，1． 【解答】解：原式＝（）• • ， ∵x2﹣2x﹣2＝0， ∴x2＝2（x+1）， ∴原式． 2．已知：x2+x﹣4＝0，求代数式（）的值． 【答案】，． 【解答】解：原式 ， ∵x2+x﹣4＝0， ∴x2+x＝4， 把x2+x＝4代入，原式． 3．先化简，再求值：，其中m满足m2﹣m﹣1＝0． 【答案】，1． 【解答】解： ， ∵m2﹣m﹣1＝0， ∴m2＝m+1， ∴原式 ＝1． 4．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0． 【答案】，． 【解答】解：原式• • • ， ∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴x2﹣2x＝3， ∴原式． 5．已知：x2+x﹣1＝0，求代数式的值． 【答案】﹣1． 【解答】解： ； ∵x2+x﹣1＝0， ∴x2＝1﹣x， ∴原式． 6．先化简，再求值：，其中a满足a2+3a﹣5＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式 ， ∵a2+3a﹣5＝0， ∴a2+3a＝5， ∴原式． 方法三：倒数法求值 1．阅读下面的解题过程： 例：已知，求代数式的值． 第一步因为，所以，即； 第二步因为； 所以． 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题． 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）∵， ∴． ∴． ∴x2+1， ∴； （2）由（1）知， ∴． ∴． 2．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把代数式变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴． 任务：已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）6； （2）． 【解答】解：（1）∵， ∴3， ∴x﹣33， ∴x6； （2）∵x2+2（x）2＝62＝36， ∴． 3．分式求值有许多技巧，我们要充分观察题目的特点，对分式进行灵活变形． 如：已知a2﹣3a+1＝0，求的值． 解：因为a2﹣3a+1＝0，a≠0， 所以，即， 所以． 仿照上面这种方法，完成下面各题： 已知a2+a﹣1＝0， （1）求； （2）求． 【答案】（1）3； （2）． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴， ∴ ＝1+2 ＝3； （2）∵a2≠0， ∴． 4．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则，∴， 根据材料回答问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． （3）若，且abc＝5，求xyz的值． 【答案】（1）； （2）34； （3）． 【解答】解：（1）设a＝5k，b＝4k，c＝3k， ∴； （2）由条件可知， ∴， ∴， ∴； （3）由条件可知， ∴， ∴， ∴， 将其代入中得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 方法四：自选条件求值 1．先化简，再求值：（x），其中x，且x是整数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（x） ， ∵x，且x是整数，x≠0且（x+2）（x﹣2）≠0， ∴x＝﹣1或1， ∴当x＝1时，原式， 当x＝﹣1时，原式1． 2．先化简再求值：，其中x是从﹣1，0，2中选取的一个合适的数． 【答案】，0． 【解答】解： • • ， ∵x≠0，x+1≠0， ∴x≠0，﹣1， ∴当x＝2时，原式0． 3．先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝（）• • ， 由题意得：x﹣2≠0且x﹣1≠0， ∴x≠1和2， 当x＝3时，原式． 4．先化简，再求值：，其中从﹣1、1、﹣2、2中取一个合适的数代入求值． 【答案】﹣a﹣1，﹣2． 【解答】解： • • • ＝﹣（a+1） ＝﹣a﹣1， ∵当a＝﹣1，2或﹣2时，原分式无意义， ∴a＝1， 当a＝1时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2． 5．先化简，再求值：（x+1），请从﹣1，0，2中选择一个合适的x的值代入求值． 【答案】，当x＝0时，原式＝1． 【解答】解：（x+1） • ， ∵x＝﹣1或2时，原分式无意义， ∴x＝0， 当x＝0时，原式1． 方法五：分式和条件均需化简带入 1．当m≠0，且m﹣7n＝0时，的值为（　　） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【解答】解： ， ∵m≠0，且m﹣7n＝0， ∴m＝7n， 当m＝7n时，原式， 故选：B． 2．先化简，再求值：（），其中实数x．y满足|x﹣2|+y2﹣2y＝﹣1． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（） ， ∵|x﹣2|+y2﹣2y＝﹣1， ∴|x﹣2|+y2﹣2y+1＝0， ∴|x﹣2|+（y﹣1）2＝0， 解得，x＝2，y＝1， ∴原式2． 3．先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】，． 【解答】解：原式 ， 由可得：﹣2＜x≤3， ∴不等式组的整数解有﹣1，0，1，2，3， ∵x＝﹣1，1，0，3时，原分式无意义， ∴x＝2， ∴当x＝2时，原式． 4．先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数代入求值． 【答案】；当a＝﹣2时，原式，当a＝﹣1时，原式＝1． 【解答】解 ， ， 解不等式①得a＜2， 解不等式②得a≥﹣3， ∴不等式组解集为﹣3≤a＜2， ∵原分式有意义， ∴a≠﹣3，1，0， ∴当a＝﹣2时，原式，当a＝﹣1时，原式＝1． 5．先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【答案】，3． 【解答】解：原式 ； 由方程组 ， ①+②得2x＝6， 解得：x＝3， ①﹣②得2y＝2， 解得：y＝1， 代入得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01分式的化简求值的五种类型 题型归纳 方法一：化简后直接求值 方法二：化简后整体带入求值 方法三：倒数法求值 方法四：自选条件求值 方法五：分式和条件均需化简带入 题型专练 方法一：化简后直接求值 1.先化简，再求值：(2x+5-3) x+1 x-xx2x+1其中=5， 2先化，月球位：中14识其中=) a2+a÷(20-1),其中a=-2. 3.先化简，再求值：。-2a+1a-1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4先化简，再求值：(1-)：-4 a+2'a2+4a+4 其中a=3. 5先化简，万求值：右X-1:+1,我中x=心 X+1 6.先化简，再求值： @+2*1:(a-,其中a=16-(分 a'+a 方法二：化简后整体带入求值 1.先化简，再求值：(1+1-)： 其中x满足x2-2x-2=0. x+17x2+2x+1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2已知0果代数式（名D之的值 x2-2x+1 3.先化简，再求值：m-m(2上，其中m满足㎡-m-1=0. m2+2m+1m+1m 4.先化简，再求值：(X+3-,X一)2x-3 X-XX2-2x+1X,其中x满足2-2x3=0. 5.已知：x2+x-1=0,求代数式 1+1)的值. x2-2x+1 X-1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 心 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6先化偷再a品司0g中a清泥d305=0 a-3a2-6a+9 方法三：倒数法求值 1.阅读下面的解题过程： 例：已知 水=1 +12求代数武+的值 第步因为41之所以1=2，即x+2, 第二步因为(； a4 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题. X=1 已知X-x-12 )求x-上的值： X (2)求x2+ 的值。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一.所谓倒数法，即把代数式变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的 例：若=1 X+14求代数式x+的值。 暖X+4.父+， X XX X X 1 任务：已知X-3x+13 (1)求x+二的值； X x2 (2)求 的值. +2x2+1 3.分式求值有许多技巧，我们要充分观察题目的特点，对分式进行灵活变形. .1 如：已知a2-3a+1=0,求a2+2的值. a 解：因为a2-3a+1=0,a40, 所以a-3+2=0,即a+1=3, 所a+a+日-2=-2=-7 a 仿照上面这种方法，完成下面各题： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知a2+a-1=0, (1)求a2+1 (2)求 8 a+a2+1 4.在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题. 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形 式，从而运用约分化简，以达到计算目的。 水-1 例：已知：X+14求代数式x+的值. X 架4导1-调4,44 X XX X 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就 可以通过适当变形解决问题. 例：若2x=3y=4,且9z40,求，X的值. v+Z 水 1 解令2==0)则X=今y=答 k 6 4’·y+7=7 1 7-7 k12 4 根据材料回答问题： (1)已知g==9(abc≠0，求3b+4c的值 543 2a 2》已知7-X专求+前值。 一=1 X1 《3D若y=cX不02二=a￥b=十：X≠0，y0,20,且abc=5,求z的值，一 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法四：自选条件求值 1.先化简，再求值： 《4x+4:(x-4,其中-5<x<5,且x是整数. x2-2X 2.先化简再求值：(1+X+)卢X+x,+2二2X,其中x是从-1,0,2中选取的一个合适的数. X-1x2-2x+1x2-1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.先化简，再求值：(2x3-1)÷X-2X+1,然后再从1,2,3中选一个你喜欢的数，求式子的值. X-2 X-2 4.先化简，再求值：g3a+1.4 ,其中从-1、1、-2、2中取一个合适的数代入求值. a+2a+1 5.先化简，再求值：3 K+1x+)÷X二4x+4,请从1,0,2中选择一个合适的x的值代入求值 X+1 方法五：分式和条件均需化简带入 1,当0，且a-=0时，的值为《 m+mn m+mn A.月 C.1 D.7 2.先化简，再求值：( x-少y)2及，其中实数y满足r-2-2=1 1+,2)÷+2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.先化简，再求值：(2+，)上二3x,其中x是不等式 4x-2>-1 x+1sx+3 的整数解. 1+x1-xx2-2x+1 21 3 2a+1<5 4.先化简：(9-9-a+3):2a-2a a+3 a+6a+9 再从不等式组Q+3≥-a+3的解集中选一个合适的整数代入求 3 2 值. 5.先化简，再求值： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2x-1)片X2y+y++y, 其中x,y满足 x+y=4 x+y 3x+3y x2-y2 x-y=2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1