专题01 线段与角中的分类讨论问题，动点问题及折叠中求角度（高效培优专项训练）数学人教版2024七年级上册

专题1 线段与角中的分类讨论与动点问题及折叠中求角度 类型一：线段的分类讨论问题 类型二：线段中的动点问题 类型三：角中的分类讨论问题 类型四：角中的运动问题 类型五：在长方形的折叠中求角的度数 类型一：线段的分类讨论问题 1．线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm，那么BQ的长是（　　） A．2cm或22cm B．18cm或28cm C．8cm或28cm D．8cm或18cm 【答案】C 【解答】解：如图1，当Q点在P点右侧时， ∵线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm， ∴BQ＝AB﹣AP﹣PQ＝30﹣12﹣10＝8（cm）． 如图2，当Q点在P点左侧时， ∵AP＝12cm，PQ＝10cm， ∴AQ＝AP﹣PQ＝12﹣10＝2（cm）， ∵AB＝30cm， ∴BQ＝AB﹣AQ＝30﹣2＝28（cm）， 综上所述，BQ长为8cm或28cm． 故选：C． 2．线段AB长7cm，在直线AB上画长为2cm的线段BC，则线段AC的长为（　　） A．9cm B．5cm C．2cm或7cm D．5cm或9cm 【答案】D 【解答】解：∵线段AB长7cm，在直线AB上画长为2cm的线段BC， ∴当点C在线段AB上时，则AC＝AB﹣BC＝5cm， 当点C在线段AB的延长线上时，则AC＝AB+BC＝9cm， 故选：D． 3．已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段AB＝8cm，BC＝6cm，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为（　　） A．1cm B．7cm C．1cm或7cm D．5cm或7cm 【答案】C 【解答】解：由题知， 当点C在线段AB上时，如图所示， 因为AB＝8cm，BC＝6cm， 所以AC＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm）． 又因为点M是线段AC的中点， 所以； 当点C在线段AB的延长线上时，如图所示， 因为AB＝8cm，BC＝6cm， 所以AC＝AB+BC＝8+6＝14（cm）． 又因为点M是线段AC的中点， 所以， 综上所述，AM的长为1cm或7cm． 故选：C． 4．已知A、B、C为直线l上的三点，线段AB＝10cm，BC＝2cm，那么A、C两点间的距离是（　　） A．8cm B．12cm C．12cm或8cm D．以上说法都不对 【答案】C 【解答】解：①当点C在线段AB上时，AC＝AB﹣BC＝10﹣2＝8cm； ②当点C在线段AB延长线上时，AC＝AB+BC＝10+2＝12cm． 故选：C． 5．已知点C在线段AB上，AC＝10，BC＝18，点M是AC的中点，且点N是BC的三等分点，则线段MN的长度为（　　） A．11或14 B．11或17 C．17 D．14 【答案】B 【解答】解：由题意可得：， 当时，MN＝CM+CN＝11， 当时，MN＝CM+CN＝17， ∴线段MN的长度为11或17， 故选：B． 6．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为48cm，若AP：PB＝2：3，则这根绳子原来的长度为（　　） A．80cm B．100cm C．80cm或100cm D．80cm或120cm 【答案】D 【解答】解：①点A为对折点时， ， ∵AP：PB＝2：3， ∴AP′：P′B′＝2：3， ∴B′P′：P′P：PB＝3：4：3， 此时P′P＝48cm， ∴B′P′＝36cm，PB＝36cm， ∴BB′＝120cm， ②点B为对折点时， ， ∵AP：PB＝2：3， ∴A′P′：P′B＝2：3， ∴AP：PP′：P′A′＝2：6：2， 此时P′P＝48cm， ∴AP＝16cm，A′P′＝16cm， ∴AA′＝80cm， 故选：D． 7．有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　） A．105cm B．20cm C．105cm或25cm D．105cm或20cm 【答案】C 【解答】解：由题知， ①如图所示， ∵M，N分别为AB和CD的中点， ∴AM，AN， ∴MN＝AN﹣AM＝65﹣40＝25（cm）； ②如图所示， ∵M，N分别为AB和CD的中点， ∴BM，BN， ∴MN＝BM+BN＝40+65＝105（cm）， 综上所述，MN的长为25cm或105cm． 故选：C． 类型二：线段中的动点问题 1．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝30，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若2AP+3PO﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 【答案】D 【解答】解：∵AB＝30，且OA＝2OB， ∴点A、B表示的数分别为﹣20，10， 根据题意得，OP＝10+4t，BP＝t， AP长分两种情况： ①当t≤15时，AP＝4t+30﹣6t＝30﹣2t， ∴2AP+3PO﹣mBP＝60﹣4t+30+12t﹣mt＝（8﹣m）t+90， 要使2AP+3PO﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则8﹣m＝0，即m＝8， ②当t＞15时，AP＝6t﹣4t+30＝2t﹣30， ∴2AP+3PO﹣mBP＝4t﹣60+30+12t﹣mt＝（16﹣m）t+90， 要使2AP+3PO﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则16﹣m＝0，即m＝16， 故答案为：D． 2．如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（　　） ①小聪：若点P，Q相对而行，当t＝2时，点P和点Q重合； ②小明：若点P，Q沿数轴向左移动，当t＝6时，点P和点Q重合； ③小伶：若点P，Q沿数轴向右移动，当t＝2时，点P，Q之间的距离为8； ④小俐：当t＝4时，点P，Q之间的距离可能为6． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：由题意得AB＝6． ①项：点P，Q相对而行，当t＝2时，P点的运动路程为2×1＝2单位长度．Q点的运动路程为2×2＝4单位长度． 2+4＝6，即P，Q两点重合． 此选项正确． ②项：若点P，Q沿数轴向左移动，当t＝6时，P点的运动路程为6×1＝6单位长度．Q点的运动路程为6×2＝12单位长度． 6+6＝12，即P，Q两点重合． 此选项正确． ③项：若点P，Q沿数轴向右移动，当t＝2时，P点的运动路程为2×1＝2单位长度．Q点的运动路程为2×2＝4单位长度． 此时P，Q两点距离为6+4﹣2＝8单位长度． 此选项正确． ④项：点P，Q相向而行，当t＝4时，P点的运动路程为1×4＝4单位长度．Q点的运动路程为2×4＝8单位长度． 此时P，Q两点距离为4+8﹣6＝6单位长度． 此选项正确． 故选D． 3．在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离． （1）①AB＝　14　 ； ②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝　8　 ； ③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝　12或16　 ． （2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数． （3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）①AB之间的距离为2﹣（﹣12）＝14． ②AB总距离是14，P在数轴上点A与B之间，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8． ③P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12； 当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB＝14，所以P只能在B右侧，此时BP＝2，AP＝AB+BP＝14+2＝16． （2）假设C为x， 当C在A左侧时，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC+BC＝35，解得x； 当C在B右侧时，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC+BC＝35，解得x． （3）设经过时间T秒，则P 点坐标为﹣12﹣6T，Q点坐标为﹣8T，M点坐标为2﹣2T． 当Q在P和M的正中间，即Q为PM的中点时，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）+（2﹣2T），解得Ts． 当P在Q和M的正中间，即P为QM的中点时，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）+（2﹣2T），解得T＝﹣13＜0，不合题意，舍掉． 当PQ重合时，即M到P、Q距离相等时，此时MP＝MQ， ∴﹣12﹣6T＝﹣8T， ∴T＝6s． 因此，当T秒时，此时，M，Q＝﹣10，P． 当T＝6秒时，此时，M＝﹣10，Q＝﹣48，P＝﹣48． 4．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；线段AB的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为﹣20、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段MN的中点为P，点N的运动时间为t秒（t＞0）． （1）线段AB的中点表示的数为 　﹣5　 ；点N表示的数为 　10﹣2t （用含t的代数式表示）． （2）当M、N两点相距6个单位时，求t的值． （3）当点P与数轴上表示﹣4的点重合时，求t的值； （4）若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当PAPB时，直接写出t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵数轴上两点A、B表示的数分别为﹣20、10， ∴线段AB的中点表示的数为5， ∵N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒， ∴点N表示的数为10﹣2t， 故答案为：﹣5，10﹣2t； （2）点M表示的数为﹣20+3t，点N表示的数为10﹣2t， ∵M、N两点相距6个单位， ∴|﹣20+3t﹣（10﹣2t）|＝6， 解得t或t， ∴t的值为或； （3）∵点M表示的数为﹣20+3t，点N表示的数为10﹣2t， ∴MN的中点P表示的数是， ∴4， 解得t＝2， ∴t的值为2； （4）M从A到B所需时间为（10+20）÷3＝10（秒）， N从B到A所需时间为（20+10）÷2＝15（秒）， 当0≤t≤10时，M表示的数为﹣20+3t，点N表示的数为10﹣2t，P表示的数是， ∴20（10）， 解得t； 当10＜t≤15时，M表示的数是10，N表示的数是10﹣2t，P表示的数是10﹣t， ∴10﹣t﹣（﹣20）[10﹣（10﹣t）]， 解得t； 当15＜t≤17时，M表示的数是10，N表示的数是﹣20+2（t﹣15）＝2t﹣50，P表示的数是t﹣20， ∴t﹣20﹣（﹣20）[10﹣（t﹣20）]， 解得t； 当17＜t时，M表示的数是10﹣3（t﹣17）＝﹣3t+61，N表示的数是2t﹣50，P表示的数为， ∴（﹣20）（10）， 解得t， 综上所述，t的值为或或或． 5．如图，点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c满足：． （1）a的值为　﹣6　 ，b的值为　﹣2　 ，c的值为　24　 ； （2）点P是数轴上A、C两点间的一个点，当P点满足PC﹣2PA＝12时，求P点对应的数． （3）若动点M，N分别从点A，C同时出发向右运动，点M，N的速度为2个单位长度/秒和4个单位长度/秒，点Q到M，N两点的距离相等，点M在从点A运动到点O的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． 【答案】（1）﹣6，﹣2，24； （2）P点对应的数0； （3）不变，其值是14，理由见解析． 【解答】解：（1）∵ ∴，（b+2）＝0，（c﹣24）＝0， 所以a＝﹣6，b＝﹣2，c＝24； （2）∵点P是数轴上A、C两点间的一个点， ∴PA+PC＝30， PC＝30﹣PA】 ∵PC﹣2PA＝12 ∴30﹣PA﹣2PA＝12 解得：PA＝6， ∵﹣6+6＝0， 所以P点对应的数0； （3）设运动的时间为t秒， 则点M在数轴上对应的数为：﹣6+2t， 点N在数轴上对应的数为：24+4t， ∵点Q到M，N两点的距离相等， ∴点Q在数轴上对应的数为：3t+9． ∴NB＝24+4t﹣（﹣2）＝4t+26， OQ＝3t+9， ∴， 所以的值不变，其值为14． 6．如图1将一根长为6cm木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． （1）图中点A所表示的数是　﹣6　 ，移动后点Q所表示的数是　12﹣t ；（用含t的式子表示） （2）若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距的5cm时，求运动时间t． 【答案】（1）﹣6，12﹣t； （2）运动时间t为5秒或秒． 【解答】解：（1）∵木棒长为6cm，当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12， ∴N表示的数是12﹣6＝6，M表示的数是6﹣6＝0， ∵当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A， ∴点A所表示的数是0﹣6＝﹣6， ∵Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，D表示的数是12， ∴移动后点Q所表示的数是12﹣t， 故答案为：﹣6，12﹣t； （2）当0≤t＜3时，P在线段AO上，表示的数是﹣6+2t，Q运动后表示的数是12﹣t， ∴|12﹣t﹣（﹣6+2t）|＝5， 解得t（大于3，舍去）或t（舍去）， 当3≤t＜7时，P在线段OB上，表示的数是t﹣3，Q运动后表示的数是12﹣t， ∴|12﹣t﹣（t﹣3）|＝5， 解得t＝5或t＝10（舍去）， 当7≤t＜8时，P在线段BC上，表示的数是4+4（t﹣7）＝4t﹣24，Q运动后表示的数是12﹣t， |12﹣t﹣（4t﹣24）|＝5， 解得t＝6.2（舍去）或t＝8.2（舍去）， 当8≤t≤10时，P在线段CD上，表示的数是8+2（t﹣8）＝2t﹣8，Q运动后表示的数是12﹣t， |12﹣t﹣（2t﹣8）|＝5， 解得t＝5（舍去）或t， 综上所述，运动时间t为5秒或秒． 类型三：角中的分类讨论问题 1．已知∠AOC＝100°，过点O作射线OB，OM，使∠AOB＝30°．OM是∠BOC的平分线，则∠AOM的度数为（　　） A．35° B．35°或65° C．40°或65° D．65° 【答案】B 【解答】解：如图1所示，当射线OB在∠AOC内部时， ∵∠AOC＝100°，∠AOB＝30°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝70°， ∵OM是∠BOC的平分线， ∴， ∴∠AOM＝∠AOC﹣∠COM＝65°； 如图2所示，当射线OB在∠AOC外部时， ∵∠AOC＝100°，∠AOB＝30°， ∴∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝130°， ∵OM是∠BOC的平分线， ∴， ∴∠AOM＝∠BOM﹣∠AOB＝35°， 综上所述，∠AOM＝35°或∠AOM＝65°， 故选：B． 2．已知∠AOB＝60°，自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB＝1：4，那么∠BOC的度数是（　　） A．48° B．45° C．48°或75° D．45°或75° 【答案】D 【解答】解：如图1，当OC在∠AOB内时， ∵∠AOC：∠AOB＝1：4，∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝15°， ∴∠BOC＝45°； 如图2，当OC在∠AOB外时， ∵∠AOC：∠AOB＝1：4，∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝15°， ∴∠BOC＝75°； ∴∠BOC＝45°或75°， 故选：D． 3．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝80°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（　　） A．20°或50° B．20°或60° C．30°或60° D．30°或50° 【答案】D 【解答】解：分为两种情况：如图1， 当∠AOB在∠AOC的内部时， ∵∠AOB＝20°，∠AOC＝80°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC， ∴∠AOD∠AOB20°＝10°，∠AOM∠AOC80°＝40°， ∴∠MOD＝∠AOM﹣∠AOD＝40°﹣10°＝30°； 如图2， 当∠AOB在∠AOC的外部时， ∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC， ∴∠AOM∠AOC＝40°，∠AOD∠AOB＝10°， ∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°． 故选：D． 4．如图，在同一平面内，∠AOB＝40°，从顶点O画一条射线OP，若∠POB＝10°，则∠AOP的度数为（　　） A．10° B．30° C．20°或50° D．30°或50° 【答案】D 【解答】解：当射线OP在∠AOB内部时，如图： 由条件可知∠AOP＝∠AOB﹣∠BOP＝40°﹣10°＝30°， 当射线OP在∠AOB外部且是OB的外侧时，如图： 由条件可知∠AOP＝∠AOB+∠BOP＝40°+10°＝50°， ∠AOP的度数为30°或50°． 故选：D． 5．已知∠AOB＝40°，OD平分∠AOB，∠BOC＝60°，则∠DOC的度数为（　　） A．20° B．35° C．40°或80° D．35°或65° 【答案】C 【解答】解：由条件可知， 当∠AOB在∠BOC的外部时，如图所示： ∵∠BOC＝60°， ∴∠DOC＝∠BOC+∠BOD＝80°； 当∠AOB在∠BOC的内部时，如图所示： ∠DOC＝∠BOC﹣∠BOD＝40°； ∴C正确． 故选：C． 6．已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB，OC，使∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，那么∠AOC的度数是（　　） A．110° B．30° C．30°或110° D．40° 【答案】C 【解答】解：分为两种情况：①如图1， ∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣40°＝30°， ②如图2， ∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+40°＝110°， 所以，∠AOC的度数是30°或110°． 故选：C． 7．如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“平衡线”．若∠AOB＝72°，且射线OC是∠AOB的“平衡线”，则∠AOC的度数为（　　） A．24° B．24°或36° C．36°或48° D．24°或36°或48° 【答案】D 【解答】解：根据“平衡线”的定义，可分三种情况讨论： （1）当∠AOB＝2∠AOC时，即2∠AOC＝72°， ∴∠AOC＝36°． （2）当∠AOC＝2∠BOC时， ∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝72°， ∴∠AOC＝72°． ∴∠AOC＝48°． （3）当∠AOC＝2∠BOC时， ∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝72°， ∴3∠AOC＝72°． ∴∠AOC＝24°． 故选：D． 类型四：角中的运动问题 1．如图，已知O为直线AC上一点，以O为端点作射线OB，∠AOB＝120°，将射线OA绕点O逆时针旋转，旋转速度为5°/s，旋转后OA对应射线为OA1，旋转时间为t秒，当OA1与OC重合时运动停止，射线OD为∠A1OB的角平分线，射线OE为∠COA1的四等分线，即，当|∠COE﹣∠BOD|＝40°时，t的值为（　　） A．或28 B．或28 C．或 D． 【答案】B 【解答】解：①当0≤t≤12时，∠A1OB＝（120+5t）°，∠A1OC＝（180﹣5t）°， ∵射线OD为∠A1OB的角平分线，射线OE为∠COA1的四等分线， ∴∠COE（180﹣5t）°＝（45t）°，∠BOD（120+5t）°＝（60t）°， ∴|（45t）°﹣（60t）°|＝40°， 解得t（舍去）或t； ②当12＜t≤36时，∠A1OB＝（360﹣120﹣5t）°＝（240﹣5t）°，∠A1OC＝（180﹣5t）°， ∵射线OD为∠A1OB的角平分线，射线OE为∠COA1的四等分线， ∴∠COE（180﹣5t）°＝（45t）°，∠BOD（240﹣5t）°＝（120t）°， ∴|（45t）°﹣（120t）°|＝40°， 解得t＝92（舍去）或t＝28； 综上所述，t的值为或28； 故选：B． 2．一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线称为这个角的三等分线．如图，直角三角板AOB的直角顶点O在直线MN上，过点O作射线OP，使∠AOP＝10°，将三角板AOB绕点O在直线MN上方转动，若转动到OP是∠MOB的三等分线时，∠BON的度数为 　60°或30°　 ． 【答案】60°或30°． 【解答】解：分两种情况： 当OP在OA的右侧时，如图： ∵∠AOP＝10°，∠AOB＝90°， ∴∠BOP＝∠AOB﹣∠AOP＝80°， ∵OP是∠MOB的三等分线， ∴∠BOP∠BOM， ∴∠BOM＝120°， ∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝60°； 当OP在OA的左侧时，如图： ∵∠AOP＝10°，∠AOB＝90°， ∴∠BOP＝∠AOB+∠AOP＝100°， ∵OP是∠MOB的三等分线， ∴∠BOP∠BOM， ∴∠BOM＝150°， ∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝30°； 综上所述：∠BON的度数为60°或30°， 故答案为：60°或30°． 3．如图，直线AB，CD相交于点O，三角尺EOF的直角顶点与点O重合，回答下列问题： （1）如图，若OE平分∠AOC，判断OF是否平分∠AOD，请说明理由． （2）绕点O转动三角尺．在三角尺转动的过程中，若∠AOC：∠BOC＝2：3，且∠DOF＝50°，求∠AOE的度数． 【答案】（1）OF平分∠AOD，见解析； （2）32°或68°． 【解答】解：（1）OF平分∠AOD．理由如下： ∵∠EOF＝90°， ∴∠AOE+∠AOF＝∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝90°﹣∠AOF， ∴∠COE+∠DOF＝180°﹣∠EOF＝90°， ∴∠COE＝90°﹣∠DOF， ∵OE平分∠AOC， ∴∠COE＝∠AOEAOC， ∴∠COE＝∠AOE＝90°﹣∠DOF＝90°﹣∠AOF， ∴∠DOF＝∠AOF， ∴OF平分∠AOD； （2）分两种情况：①如图1，当OF在CD左侧时， ∵∠AOC+∠BOC＝180°，且∠AOC：∠BOC＝2：3， ∴，， ∵∠BOD＝∠AOC，∠AOD＝∠BOC， ∴∠BOD＝72°，∠AOD＝108°， ∵∠AOF+∠DOF＝∠AOD＝108°，∠DOF＝50°， ∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝108°﹣50°＝58°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠EOF﹣∠AOF＝90°﹣58°＝32°； ②如图2，当OF在CD右侧时， ∵∠EOF＝90°，∠DOF＝50°， ∴∠EOD＝∠EOF﹣∠DOF＝40°， ∵∠AOD＝∠BOC＝108°， ∴∠AOE＝∠AOD﹣∠EOD＝108°﹣40°＝68°， 综上所述，∠AOE的度数为32°或68°． 4．如图甲，已知线段AB＝24cm，CD＝6cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点． （1）若AC＝8cm，则EF＝　15　 cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由； （3）对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD． ①若∠AOB＝144°，∠COD＝36°，求∠EOF； ②请你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 【答案】（1）15； （2）EF的长度不变，理由见解答； （3）①90°；②． 【解答】解：（1）∵AB＝24cm，CD＝6cm，AC＝8cm， ∴DB＝10cm， ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴CEAC＝4cm，DFDB＝5cm， ∴EF＝4+6+5＝15（cm）， 故答案为：15； （2）EF的长度不变，理由： ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴ECAC，DFDB， ∴EF＝EC+CD+DF AC+CDDB （AC+DB）+CD （AC+CD+DB﹣CD）+CD （AB﹣CD）+CD （AB+CD）， ∵AB＝24cm，CD＝6cm， ∴EF（24+6）＝15（cm）； （3）①：∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠COE∠AOC，∠DOF∠BOD， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF ∠AOC+∠COD （∠AOC+∠BOD）+∠COD ∠AOB∠COD （144°+36°） ＝90°； ②， 理由：∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠COE∠AOC，∠DOF∠BOD， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF ∠AOC+∠COD （∠AOC+∠BOD）+∠COD ∠AOB∠COD ． 5．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°） （1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝　20　 °； （2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数； （3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图①，∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°， 故答案为：20； （2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC＝70°， ∴∠EOB＝2∠BOC＝140°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝50°， ∵∠BOC＝70°， ∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝20°； （3）∠COE﹣∠BOD＝20°， 理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°， ∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD） ＝∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD ＝∠COE﹣∠BOD ＝90°﹣70° ＝20°， 即∠COE﹣∠BOD＝20°． 6．已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． （1）如图1所示，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； （2）如图2所示，∠AOB是直角，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数； （3）如图3所示，∠AOB＝x°，射线OP，射线OQ分别从OC，OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系； ②若∠AOB＝150°，当，求t的值． 【答案】（1）40°； （2）45°； （3）①∠COQ＝2∠AOP；②t＝20． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝120°， ∴， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB， ∴， ∴∠AOM＝20°，∠AON＝60°， ∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣20°＝40°； （2）∵∠AOB＝90°，∠AOB＝3∠AOC， ∴∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∵∠BOC﹣∠AOC＝∠COD， ∴∠COD＝60°﹣30°＝30°， ∵OM平分∠COD， ∴， ∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝45°； （3）①∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝x°， ∴， ∴， 由题意得：∠COP＝t×1°＝t°，∠BOQ＝t×2°＝2t°， ∴，， ∴∠COQ＝2∠AOP； ②由①知∠COP＝t°，， ∵∠POQ＝∠COQ+∠COP，∠BOP＝∠BOC+∠COP， ∴， ∵∠AOB＝150°，， ∴， 把x＝150代入得：， 解得t＝20， ∴若∠AOB＝150°，当时，t＝20． 类型五：在长方形的折叠中求角的度数 1．如图是一个长方形纸片ABCD，将纸片沿EF，EG折叠，取点A对应点A′，点D对应点D′，并且点D′在线段A′E上，若∠AEF＝15°，则∠DEG 的大小为（　　） A．75° B．70° C．65° D．45° 【答案】A 【解答】解：由折叠知：∠AEF＝∠A'EF，∠DEG＝∠D'EG， ∵∠AEF+∠A'EF+∠DEG+∠D'EG＝180°， ∴2∠AEF+2∠DEG＝180°， ∴∠DEG＝90°﹣∠AEF＝90°﹣15°＝75°． 故选：A． 2．如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE，BF折叠，使边AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF，则∠EBF等于（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 【答案】C 【解答】解：由折叠性质得， ∠DBF，∠DBE， ∠EBF（∠ABD+∠CBD）45°． 故选：C． 3．如图，将一张长方形纸片沿OC，OD折叠使顶点A落在点A'处，顶点B落处在点B'处，若∠AOC＝32°，∠A'OB'＝40°，则∠BOD的度数为（　　） A．38° B．40° C．42° D．76° 【答案】A 【解答】解：根据折叠的性质得∠AOC＝∠A′OC＝32°，∠BOD＝∠B′OD， ∵∠A'OB'＝40°， ∴∠BOB′＝180°﹣2×32°﹣40°＝76°， ∴∠BOD∠BOB′＝38°． 故选：A． 4．将一张正方形纸片ABCD如图所示的方式折叠，AE，AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝10°，则∠EAF的度数为（　　） A．50° B．40° C．45° D．60° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAB＝90°， 由翻折可得：∠BAE＝∠B′AE，∠DAF＝∠D′AF， ∴2∠DAF+2∠BAE＝∠DAB+∠B′AD′， 即：2（∠DAF+∠BAE）＝90°+10°＝100°， ∴∠DAF+∠BAE＝50°， ∴∠EAF＝90°﹣（∠DAF+∠BAE）＝90°﹣50°＝40°． 故选：B． 5．如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在线长方形内部点E处，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，则∠GFE的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【解答】解：由折叠可得∠GFC＝∠GFE∠CFE， ∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°， ∴∠BFE＝60°， ∴∠CFE＝180°﹣∠BFE＝120°， ∴∠GFE∠CFE＝60°． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 线段与角中的分类讨论与动点问题及折叠中求角度 类型一：线段的分类讨论问题 类型二：线段中的动点问题 类型三：角中的分类讨论问题 类型四：角中的运动问题 类型五：在长方形的折叠中求角的度数 类型一：线段的分类讨论问题 1．线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm，那么BQ的长是（　　） A．2cm或22cm B．18cm或28cm C．8cm或28cm D．8cm或18cm 2．线段AB长7cm，在直线AB上画长为2cm的线段BC，则线段AC的长为（　　） A．9cm B．5cm C．2cm或7cm D．5cm或9cm 3．已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段AB＝8cm，BC＝6cm，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为（　　） A．1cm B．7cm C．1cm或7cm D．5cm或7cm 4．已知A、B、C为直线l上的三点，线段AB＝10cm，BC＝2cm，那么A、C两点间的距离是（　　） A．8cm B．12cm C．12cm或8cm D．以上说法都不对 5．已知点C在线段AB上，AC＝10，BC＝18，点M是AC的中点，且点N是BC的三等分点，则线段MN的长度为（　　） A．11或14 B．11或17 C．17 D．14 6．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为48cm，若AP：PB＝2：3，则这根绳子原来的长度为（　　） A．80cm B．100cm C．80cm或100cm D．80cm或120cm 7．有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　） A．105cm B．20cm C．105cm或25cm D．105cm或20cm 类型二：线段中的动点问题 1．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝30，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若2AP+3PO﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 2．如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（　　） ①小聪：若点P，Q相对而行，当t＝2时，点P和点Q重合； ②小明：若点P，Q沿数轴向左移动，当t＝6时，点P和点Q重合； ③小伶：若点P，Q沿数轴向右移动，当t＝2时，点P，Q之间的距离为8； ④小俐：当t＝4时，点P，Q之间的距离可能为6． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离． （1）①AB＝　 ； ②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝　 　 ； ③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝　 　 ． （2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数． （3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 4．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；线段AB的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为﹣20、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段MN的中点为P，点N的运动时间为t秒（t＞0）． （1）线段AB的中点表示的数为 　 　 ；点N表示的数为 　 （用含t的代数式表示）． （2）当M、N两点相距6个单位时，求t的值． （3）当点P与数轴上表示﹣4的点重合时，求t的值； （4）若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当PAPB时，直接写出t的值． 5．如图，点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c满足：． （1）a的值为　 　 ，b的值为　 　 ，c的值为　 　 ； （2）点P是数轴上A、C两点间的一个点，当P点满足PC﹣2PA＝12时，求P点对应的数． （3）若动点M，N分别从点A，C同时出发向右运动，点M，N的速度为2个单位长度/秒和4个单位长度/秒，点Q到M，N两点的距离相等，点M在从点A运动到点O的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． 6．如图1将一根长为6cm木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． （1）图中点A所表示的数是　 ，移动后点Q所表示的数是　 ；（用含t的式子表示） （2）若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距的5cm时，求运动时间t． 类型三：角中的分类讨论问题 1．已知∠AOC＝100°，过点O作射线OB，OM，使∠AOB＝30°．OM是∠BOC的平分线，则∠AOM的度数为（　　） A．35° B．35°或65° C．40°或65° D．65° 2．已知∠AOB＝60°，自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB＝1：4，那么∠BOC的度数是（　　） A．48° B．45° C．48°或75° D．45°或75° 3．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝80°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（　　） A．20°或50° B．20°或60° C．30°或60° D．30°或50° 4．如图，在同一平面内，∠AOB＝40°，从顶点O画一条射线OP，若∠POB＝10°，则∠AOP的度数为（　　） A．10° B．30° C．20°或50° D．30°或50° 5．已知∠AOB＝40°，OD平分∠AOB，∠BOC＝60°，则∠DOC的度数为（　　） A．20° B．35° C．40°或80° D．35°或65° 6．已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB，OC，使∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，那么∠AOC的度数是（　　） A．110° B．30° C．30°或110° D．40° 7．如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“平衡线”．若∠AOB＝72°，且射线OC是∠AOB的“平衡线”，则∠AOC的度数为（　　） A．24° B．24°或36° C．36°或48° D．24°或36°或48° 类型四：角中的运动问题 1．如图，已知O为直线AC上一点，以O为端点作射线OB，∠AOB＝120°，将射线OA绕点O逆时针旋转，旋转速度为5°/s，旋转后OA对应射线为OA1，旋转时间为t秒，当OA1与OC重合时运动停止，射线OD为∠A1OB的角平分线，射线OE为∠COA1的四等分线，即，当|∠COE﹣∠BOD|＝40°时，t的值为（　　） A．或28 B．或28 C．或 D． 2．一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线称为这个角的三等分线．如图，直角三角板AOB的直角顶点O在直线MN上，过点O作射线OP，使∠AOP＝10°，将三角板AOB绕点O在直线MN上方转动，若转动到OP是∠MOB的三等分线时，∠BON的度数为 　 　 ． 3．如图，直线AB，CD相交于点O，三角尺EOF的直角顶点与点O重合，回答下列问题： （1）如图，若OE平分∠AOC，判断OF是否平分∠AOD，请说明理由． （2）绕点O转动三角尺．在三角尺转动的过程中，若∠AOC：∠BOC＝2：3，且∠DOF＝50°，求∠AOE的度数． 4．如图甲，已知线段AB＝24cm，CD＝6cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点． （1）若AC＝8cm，则EF＝　 　 cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由； （3）对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD． ①若∠AOB＝144°，∠COD＝36°，求∠EOF； ②请你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 5．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°） （1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝　 　 °； （2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数； （3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由． 6．已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． （1）如图1所示，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； （2）如图2所示，∠AOB是直角，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数； （3）如图3所示，∠AOB＝x°，射线OP，射线OQ分别从OC，OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系； ②若∠AOB＝150°，当，求t的值． 类型五：在长方形的折叠中求角的度数 1．如图是一个长方形纸片ABCD，将纸片沿EF，EG折叠，取点A对应点A′，点D对应点D′，并且点D′在线段A′E上，若∠AEF＝15°，则∠DEG 的大小为（　　） A．75° B．70° C．65° D．45° 2．如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE，BF折叠，使边AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF，则∠EBF等于（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 3．如图，将一张长方形纸片沿OC，OD折叠使顶点A落在点A'处，顶点B落处在点B'处，若∠AOC＝32°，∠A'OB'＝40°，则∠BOD的度数为（　　） A．38° B．40° C．42° D．76° 4．将一张正方形纸片ABCD如图所示的方式折叠，AE，AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝10°，则∠EAF的度数为（　　） A．50° B．40° C．45° D．60° 5．如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在线长方形内部点E处，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，则∠GFE的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $