精品解析：天津市咸水沽第二中学2026届高三上学期第一次月考数学试题

天津市咸水沽第二中学高三第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 5. 函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ） A. a＝1，b＝1 B. a＝－1，b＝1 C. a＝1，b＝－1 D. a＝－1，b＝－1 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 下列说法正确的个数是（ ） ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 设集合，则集合的真子集个数为__________． 11. 若的展开式中的系数是，则 ． 12. 位学生和位老师站成一排照相，若老师站中间，男生甲不站最左端，男生乙不站最右端，则不同排法的种数是_____． 13. 设某学校有甲、乙两个校区和两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为和；在某次调查中发现住在甲校区的学生在食堂吃饭的概率为，而住在乙校区的学生在食堂吃饭的概率为，则任意调查一位同学是在食堂吃饭的概率为________．如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为________．（结果用分数表示） 14. 风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源.如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为边AB的中点，四边形EFDC为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF的体积为__________. 15. 已知，，，则______. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求：的值． （2）求：的值． （3）若，求：的面积． 18. 某大学宣传部组织了这样一个游戏项目：甲箱子里面有3个红球，2个白球，乙箱子里面有1个红球，2个白球，这些球除了颜色以外，完全相同．每次游戏需要从这两个箱子里面各随机摸出两个球. （1）设在一次游戏中，摸出红球的个数为，求分布列. （2）若在一次游戏中，摸出的红球不少于2个，则获奖. ①求一次游戏中，获奖的概率； ②若每次游戏结束后，将球放回原来的箱子，设4次游戏中获奖次数为，求的数学期望. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧面底面，，，为的中点，点在侧棱上. （1）求证：；. （2）若是的中点，求二面角的余弦值； （3）若，当平面时，求的值. 20. 已知函数 （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围； （3）若，判断函数的零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市咸水沽第二中学高三第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 2. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质得解. 【详解】取，满足，推不出且； 当且时，由不等式性质，可得且， 即成立， 故“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 3. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次型不等式恒成立问题，先讨论二次项系数是否为0，若不为0，则根据二次项系数与判别式确定参数的不等式，求解即可. 【详解】原不等式整理成： . 当 时， ，不等式恒成立； 设 ， 当 时函数 为二次函数， 要恒小于 0，抛物线开口向下且与 轴没有交点， 得到： ， 解得 . 综上得到 故选： B. 4. 已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据为定值，那么乘以后值不变，由基本不等式可消去x，y后，对得到的不等式因式分解，即可解得m的值． 【详解】因为，，， 所以 .因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即. 【点睛】本题考查基本不等式，由为定值和已知不等式相乘来构造基本不等式，最后含有根式的因式分解也是解题关键． 5. 函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断的奇偶性，以及在上的函数值的符号，结合选项得出答案． 【详解】解：∵的定义域为，关于原点对称， 又∵，即函数是奇函数， ∴的图象关于原点对称，排除A、D， 当时，，，∴，排除B， 故选C． 【点睛】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊点等方面判断，属于中档题． 6. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ） A. a＝1，b＝1 B. a＝－1，b＝1 C. a＝1，b＝－1 D. a＝－1，b＝－1 【答案】A 【解析】 【分析】先用导数的定义解出函数在x=0处的导数，进而结合导数的几何意义求得答案. 【详解】由题意可知k＝， 又(0，b)在切线上，解得：b＝1. 故选：A. 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，令，利用函数的奇偶性的定义和导数求得函数单调性，又由，即，即，即可求解. 【详解】由题意，令，当时，， 所以函数在上单调递增， 又由函数为偶函数，所以， 所以函数为定义域上的奇函数，所以函数在上单调递增， 又因为，所以，且. 所以当或时，，当或时，， 又由，即，即，所以或 所以不等式的解集为或，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性及应用，其中解答中根据题意合理构造函数，利用导数得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 8. 下列说法正确的个数是（ ） ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据线性相关系数，独立性检验，残差图及决定系数的概念分别判断即可． 【详解】线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强，故①正确； 独立性检验并不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系，故②错误； 回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故③正确； 回归分析中，可用判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故④正确； 故选：C． 9. 已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围. 【详解】由题设有， 令，则有即. 因为在区间内没有零点， 故存在整数，使得， 即，因为，所以且，故或， 所以或， 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 设集合，则集合的真子集个数为__________． 【答案】63 【解析】 【分析】依题意求出集合，即可求得其真子集个数． 【详解】由可知是的正因数， 即可取，故可得的值依次取， 即， 故集合的真子集有个． 故答案为：63. 11. 若的展开式中的系数是，则 ． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数，再根据的系数是列方程求解即可. 【详解】展开式的的通项为， 令， 的展开式中的系数为， 故答案为1. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 12. 位学生和位老师站成一排照相，若老师站中间，男生甲不站最左端，男生乙不站最右端，则不同排法的种数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 需要分两类，第一类，男生甲在最右端，第二类，男生甲不在最右端，根据分类计数原理可得出结论. 【详解】解：第一类，男生甲在最右端，其他人全排，故有种， 第二类，男生甲不在最右端，男生甲有两种选择，男生乙也有两种选择，其余人任意排，故有种， 根据分类计数原理可得，共有种. 故答案为:. 【点睛】本题考查分类计数原理，关键是分类，属于基础题. 13. 设某学校有甲、乙两个校区和两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为和；在某次调查中发现住在甲校区的学生在食堂吃饭的概率为，而住在乙校区的学生在食堂吃饭的概率为，则任意调查一位同学是在食堂吃饭的概率为________．如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为________．（结果用分数表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件，结合全概率公式，以及条件概率公式，即可求出结果. 【详解】记为事件“该同学住在甲校区”，为事件“该同学在食堂吃饭”， 则，， 故， 如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为， 故答案为：；. 14. 风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源.如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为边AB的中点，四边形EFDC为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由线面垂直的判定与性质，根据等腰三角形的性质与勾股定理，求得底面积，利用锥体体积公式，可得答案. 【详解】在矩形中，有，， 由，，平面，得平面， 则平面，又平面，则，， 在中，由，，则， 又为的中点，则，， 而，，则， 在中，， 则矩形的面积， 由，，，平面，得平面， 所以多面体的体积. 故答案为： 15. 已知，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据角的范围及不等式的性质求得角与的范围，再根据同角三角函数的平方关系求出和的值，最后利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】，， ，，. ∵，， ∴，. . 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域． 【答案】（1）最小正周期为，，． （2） 【解析】 【分析】（1）先化简函数解析式，结合周期和单调区间的求解方法可得答案； （2）根据图象变换求出，结合函数单调性可得值域. 【小问1详解】 ， 因为，所以的最小正周期为. 令，，解得，， 所以函数的单调减区间为，． 【小问2详解】 函数的图象先向左平移个单位得到， 将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到， 时，， 所以当时，解得，此时函数为增函数； 当时，解得，此时函数为减函数； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的最大值为，又因为，， 所以函数的最小值为，所以的值域为． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求：的值． （2）求：的值． （3）若，求：的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理，等量代换及整式化简，可得答案； （2）根据二倍角公式，结合差角公式，可得答案； （3）利用三角形的面积公式，可得答案. 【小问1详解】 ，由正弦定理得： 将这入上式得，由余弦定理可得. 【小问2详解】 ，由，则， 又，即，，又， 又. 【小问3详解】 ，由知：，由（2）可知， 又， 的面积为. 18. 某大学宣传部组织了这样一个游戏项目：甲箱子里面有3个红球，2个白球，乙箱子里面有1个红球，2个白球，这些球除了颜色以外，完全相同．每次游戏需要从这两个箱子里面各随机摸出两个球. （1）设在一次游戏中，摸出红球的个数为，求分布列. （2）若在一次游戏中，摸出的红球不少于2个，则获奖. ①求一次游戏中，获奖的概率； ②若每次游戏结束后，将球放回原来的箱子，设4次游戏中获奖次数为，求的数学期望. 【答案】（1） 0 1 2 3 （2）①②.【解析】 【分析】（1）由题得可以为0，1，2，3，再求出对应的概率，写出分布列； （2）①由题得（一次游戏获奖，计算即得解；②因为，所以利用二项分布的期望公式求的数学期望. 【小问1详解】 可以为0，1，2，3， ， ， ， ， 0 1 2 3 【小问2详解】①（一次游戏获奖）， ②∵， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查分布列的求法，考查概率和二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧面底面，，，为的中点，点在侧棱上. （1）求证：；. （2）若是的中点，求二面角的余弦值； （3）若，当平面时，求的值. 【答案】（1）取的中点，连结，，， ∵ ， ∴ ， ∵ 侧面底面， 平面平面 ， ∴ 底面， ∵ 底面是菱形，， ∴ ，， 以为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，，，，， ∵ ，∴ . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用等腰三角形的“三线合一”和面面垂直的性质得到线面垂直，再利用菱形的对角线垂直得到线线垂直，进而建立空间直角坐标系，利用两直线的方向向量数量积为0进行求解； （2）先求出两平面的法向量，再利用法向量的夹角公式进行证明； （3）利用三点共线设出的坐标，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，利用两向量数量积为0进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，， 设平面的一个法向量，，， 由，即， 令，，，所以， 又平面的一个法向量， 由， 右图可知，二面角为锐角，所以余弦值为. 【小问3详解】 ∵ ，， 易得， 设平面的一个法向量， ，， 由，即， 取，得， 又， ∵ 平面，∴ ， 即，得， 所以当时，平面. 【点睛】本题考查空间中垂直的转化、空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力. 20. 已知函数 （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围； （3）若，判断函数的零点的个数. 【答案】（1）；（2）；（3）当时，函数恰有1个零点． 【解析】 【分析】（1）当时，对求导，求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程； （2）若，且在区间，上恒成立，即：在，上的最小值大于1；利用导数求判断函数的最小值． （3）分类讨论判断的单调性与函数的最小值，从而验证在区间上单调递增．再构造新函数，证明，进而判断函数是否穿过轴即可． 【详解】解：（1）若，则， 所以，所以，所以切线方程为 （2）依题意，在区间上 因为，． 令得，或． 若，则由得，；由得，． 所以，满足条件； 若，则由得，或；由得， ， 依题意，即，所以． 若，则． 所以在区间上单调递增，，不满足条件； 综上，． （3），． 所以．设，． 令得． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的最小值为． 因为，所以． 所以的最小值． 从而，在区间上单调递增． 又， 设． 则．令得．由，得； 由，得．所以在上单调递减，在上单调递增． 所以． 所以恒成立．所以，． 所以． 又，所以当时，函数恰有1个零点． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $