专题 5.4 一元一次方程全章复习讲义- 2025-2026学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义通过知识体系图谱构建一元一次方程全章知识框架，分“基础筑牢-方法突破-综合提能”三篇，用表格梳理解方程步骤、高频模型，思维导图呈现知识脉络，突出概念本质、解方程步骤、实际应用等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层设计与易错突破，分层作业适配不同学生，5类易错专项（如移项忘变号）强化运算能力，“数轴动点问题”培养模型意识，错题归因手册支持自主复习，助力教师实施精准分层教学。

专题 5.4 一元一次方程（全章复习讲义） 目录 一、专题核心定位 2 【核心目标】 2 【学情适配】 2 【中考对接】 2 二、 知识体系图谱 3 三、 专题核心内容 3 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 3 【模块1】知识精讲 3 2. 方法梳理 4 （1）解一元一次方程的一般步骤 4 （2）知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 4 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 5 题型 1：一元一次方程的判定（基础必练） 5 题型 2：方程的解的判定与应用（同步必练） 6 题型 3：解一元一次方程（同步必练） 8 题型 4：列方程表示数量关系（同步必练） 11 题型 5：一元一次方程的简单应用（同步必练） 12 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 14 模块 3：高频模型 / 方法精讲 15 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 15 易错类型 1：运用等式基本性质时两边同除了一个为零的数或式 15 易错类型 2：移项时忘记变号 17 易错类型 3：系数化为1时分子和分母位置颠倒 20 易错类型 4：去括号时符号错误或漏乘 22 易错类型 5：解方程时漏乘不含分母的项（去分母易错点） 24 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 26 模块 5：中考高频题型分类突破 26 题型 1：解一元一次方程（★中考必考题） 26 题型 2：和差倍分与数字问题（★中考常考题） 30 题型 3：行程与工程问题（★中考应用性考点） 32 题型 4：年龄与几何计算问题（★中考提升题） 34 题型 5：数轴动点问题（★中考冲刺题） 36 题型 6：销售问题（★中考冲刺题） 38 四、专题配套资源 41 分层作业设计： 41 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 41 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 49 五、反思：错题归因手册： 59 一、专题核心定位 【核心目标】 夯实一元一次方程的概念本质，掌握解方程的核心步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），能熟练运用一元一次方程解决实际应用问题（和差倍分、行程、工程、年龄、几何等），建立 “建模思想”（实际问题→数学方程→求解验证），为后续二元一次方程组、一元二次方程学习奠定基础。 【适用场景】 北师大版七上同步培优、期中、期末复习、中考一轮基础溯源巩固； 【学情适配】 基础薄弱生：掌握核心概念与基础解方程步骤，实现 “能解方程、解对方程”； 中等生：熟练运用解方程技巧突破易错步骤，能解决常规实际应用问题； 优等生：掌握综合建模技巧，解决跨知识点融合问题、创新应用型压轴题； 【中考对接】 标注高频考点（★）、核心题型（▲）、易错点（△），明确一元一次方程在中考中 “工具性作用”（如分式方程转化、一次函数与方程的关系、实际问题建模求解），对接近年中考命题趋势。 2、 知识体系图谱 3、 专题核心内容 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 【模块1】知识精讲 1. 概念辨析（△重点突破） （1）一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程,叫作一元一次方程。标准形式：（为常数，） 【易错提示】是关键条件，若，则方程不含未知数，不是一元一次方程。 （2） 方程的解与解方程：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解；求方程的解的过程叫作解方程。 【验证方法】：将未知数的值代入方程，看左右两边是否相等。 （3）等式的基本性质 性质1 等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。 如果，那么 性质2 等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。 如果,那么如果且，那么 易错点 性质 2 中，除以的数不能为 0；移项的本质是利用性质 1。 2. 方法梳理 （1）解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数. （1）不要漏乘不含分母的项； （2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号。 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号. （1）不要漏乘括号里的项 （2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号） （1）移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b（a≠0）的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 （2）知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系； 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示； 3.列方程:根据相等关系列出方程； 4.解方程:求出未知数的值； 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并作答。 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示: 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 题型 1：一元一次方程的判定（基础必练） 【例题1】（25-26七年级上·重庆璧山·期中）下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的识别，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）进行判断． 解：A．，未知数x的最高次数为2，不符合； B．，分母含未知数y，不是整式方程，不符合； C．，只含未知数y，次数为1，且是整式方程，符合； D．，含有两个未知数x和y，不符合． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的概念的应用，根据一元一次方程的定义，未知数x的指数为1且系数不为0，列出条件求解． 解：由题意，得且， 解，得或， 当时，解得；当时，解得， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意， ∴m的值为1． 故答案为：1． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在方程，，，，，中，一元一次方程的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程定义，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程），判断每个方程是否符合即可 解：∵ 含有两个未知数， ∴ 不是一元一次方程； ∵ 分母中含有未知数，不是整式方程， ∴ 不是一元一次方程； ∵ 最高次数为2，且有两个变量， ∴ 不是一元一次方程； ∵ 最高次数为2， ∴ 不是一元一次方程； ∵ 中是常数，方程可化为整式形式，且未知数x的最高次数为1， ∴ 是一元一次方程； ∵ 是一元一次方程； ∴ 一元一次方程的个数为2个， 故选：B 题型 2：方程的解的判定与应用（同步必练） 【例题2】（2024七年级上·安徽·专题练习）下列说法正确的是 （直接填写序号）． ①是方程； ②方程是一元一次方程； ③若关于x的方程是一元一次方程，则k为任意实数； ④若关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查方程及一元一次方程，正确理解方程及一元一次方程的形式是解答本题的关键．分别根据方程、一元一次方程的形式以及方程的解判断各选项即可． 解：①是方程，原说法正确； ②方程分母中含有未知数，不是一元一次方程，原说法错误； ③若关于的方程是一元一次方程，则，原说法错误； ④关于x的方程的解为，把方程中看成整体，的解是，即，解得，原说法正确． 综上，正确的有①④． 故答案为：①④． 【变式1】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案． 解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型 3：解一元一次方程（同步必练） 【例题3】（25-26七年级上·重庆·期中）解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键． （1）移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 解：（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解： 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得； （4）解： 整理得，， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 解：（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去括号得，， 移项得，， 系数化为1得，． 【变式2】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 先把原方程变形，根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 解：， 整理得， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ． 【变式3】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）关于的一元一次方程． （1）若是绝对值为1的负数，且，求方程的解； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键． （1）先求出和，再代入，求出方程的解即可； （2）把代入，求出的值即可． 解：（1）解：因为是绝对值为1的负数，所以． 把代入，得， 解得：， 把，代入，得， 解得． （2）解：把代入得，得． 题型 4：列方程表示数量关系（同步必练） 【例题4】（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系． 设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可． 解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选：A 【变式1】（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为，实际利润为，两者相等即可求解． 解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：， 故选B． 【变式2】（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 题型 5：一元一次方程的简单应用（同步必练） 【例题5】（25-26七年级上·吉林长春·期中）【课本再现】下面是新人教版数学教材七年级上册135页探究1的部分内容． 探究1销售中的盈亏 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设盈利的那件衣服的进价是x元， 根据题意，得，解得， 设亏损的那件衣服的进价是y元， ， 由此可知卖这两件衣服共________（填“盈利”或“亏损”）了________元． 【解决问题】某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为，每个大书包的利润率为．试求两种书包的进价． 【答案】【课本再现】亏损，8；【解决问题】小书包的进价为20元/个和大书包的进价30元/个． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于探究1，根据原价降低等于60得出方程，求出解，进而得出盈亏情况； 对于解决问题，先设小书包进价为x元，则大书包进价为元，根据利润相同列出方程，求出解即可． 解：【课本再现】 探究1：根据题意，得， 解得． ∴， 由此可知卖这两件衣服共亏损了8元； 故答案为：亏损，8； 【解决问题】解：设小书包进价为x元，则大书包进价为（x+10）元，根据题意，得 ， 解得． ∴． 答：小书包的进价为20元/个和大书包的进价30元/个． 【变式1】（25-26七年级上·甘肃·期末）甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 设动车组列车的平均速度为，则普通列车的平均速度为，根据运行里程比原来缩短了建立方程解答即可． 解：设动车组列车的平均速度为，则普通列车的平均速度为， 由题意，得， 解得， 答：动车组列车的平均速度为． 【变式2】（25-26七年级上·重庆·月考）周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． （1）小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； （2）试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 【答案】（1）；（2）的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据小才登山所用时间等于小育登山所用时间减去小育提前出发的时间即可得； （2）根据两人登上山顶时，两人登的高度相等建立方程，解方程可得的值，再利用的值乘以小育登高的速度即可得山的高度． 解：（1）解：∵小育登山用了分钟，且小育先出发40分钟，两人同时登上山顶， ∴小才登山所用时间为分钟， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 解得， 则山高为（米）， 答：的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米． 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 模块 3：高频模型 / 方法精讲 模型 适用场景 解题方法 解方程易错步骤突破 去分母、去括号、移项时易出错 ① 去分母：每一项都乘最小公倍数，分子多项式加括号；② 去括号：负号去括号，各项都变号，系数不漏乘；③ 移项：“过桥变号”，不移不变号 和差倍分问题 已知两个量的和、差、 倍分关系，求未知量 设较小量为，用含的代数式表示较大量，根据和差倍分关系列方程。 行程问题（相遇与追及） 相向相遇、同向追及 ① 相遇：总路程 = 甲路程 + 乙路程；② 追及：路程差 = 快者路程 - 慢者路程；核心公式：路程 = 速度 × 时间。 工程问题 完成工作的时间、效率问题 设工作总量为1，工作量=工作效率×工作时间；等量关系：各部分工作量之和=1。 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 易错类型 1：运用等式基本性质时两边同除了一个为零的数或式 【例题6】（2024七年级上·全国·专题练习）下面是小明将等式进行变形的过程： ，① ，② ．③ （1）步骤①的依据是 ___________； （2）小明出错的步骤是 ___________，错误的原因是 ___________； （3）请利用等式的基本性质，把该等式变形为“”的形式． 【答案】（1）等式两边加上同一个数，等式仍然成立；（2）③；未考虑的情况；（3） 【分析】本题考查解一元一次方程： （1）根据解方程的步骤及等式性质即可求得答案； （2）根据解题过程进行判断即可； （3）利用等式的性质即可求得答案． 解：（1）解：步骤①的依据是：等式两边加上同一个数，等式仍然成立， 故答案为：等式两边加上同一个数，等式仍然成立； （2）解：小明出错的步骤是③，错误的原因是未考虑的情况， 故答案为：③；未考虑的情况； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（23-24七年级上·河北邯郸·期末）关于方程，嘉嘉的解法如下． 解：去分母，得，…① 去括号，得，…② 合并同类项，得， ，…③ 两边同时除以，得3=0．…④ 所以方程无解． （1）嘉嘉从第_________步开始出错（填序号），理由是___________________； （2）请正确求解该方程． 【答案】（1）④，两边同时除以时，未考虑的情况；（2）见详解． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）按照解一元一次方程的步骤分析判断即可得出答案． （2）按照解一元一次方程的步骤解方程即可． 解：（1）解：嘉嘉从第④步开始出错，理由是方程两边同时除以时，未考虑的情况． 故答案为：④，两边同时除以时，未考虑的情况 （2） 去分母得：， 去括号，得， 移项合并同类项得：， 化系数为1：， 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读理解题： 下面是小明将等式进行变形的过程： 根据等式的性质，得．① ．② ．③ （1）①的依据是_________________________； （2）小明从第_____（填序号）步开始出错，错误的原因是____________________； （3）利用等式的性质，给出正确的解法． 【答案】（1）等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；（2）③；等式两边都除以，为0时，等式不成立；（3）见分析 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1、等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；等式的性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （1）根据解方程的步骤及等式性质即可求得答案； （2）根据解题过程进行判断即可； （3）利用等式的性质即可求得答案． 解：（1）解：小明①的依据是等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式； 故答案为：等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式； （2）解：小明出错的步骤是③，错误的原因是等式两边都除以0； 故答案为：③；等式两边都除以，为0时，等式不成立 （3）解：根据等式的性质，等式两边都加上4，得， 即． 等式两边都减去，得， 即． 等式两边都除以－2，得． 易错类型 2：移项时忘记变号 【例题7】（24-25七年级上·山西大同·期末）用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小严同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得……………………第一步 去括号，得……………………第二步 移项，得……………………第三步 合并同类项，得……………………第四步 系数化为1，得……………………第五步 任务： ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是____________________________； ②从第________步开始出错，这一步错误的原因是__________________________； ③请直接写出该方程正确的解． 【答案】①等式的性质2，乘法分配律；②三，从等号左边移项至等号右边未变号；③ 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． ①根据等式的基本性质、乘法分配律即可得； ②根据解一元一次方程的步骤中，移项法则即可得； ③根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤写出正确过程即可得． 解：①以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律； 故答案为：等式的性质2，乘法分配律； ②从第三步开始出错，这一步错误的原因是从等号左边移项至等号右边未变号； 故答案为：三，从等号左边移项至等号右边未变号 ③从第三步开始移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】（24-25七年级上·北京怀柔·期末）已知关于x的方程的解为，求a的值． 下面是小明同学的解题过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：第一步  把____________代入原方程： 第二步  整理得： 第三步  去分母得： 第四步  去括号得：   第五步  移项得：        第六步  合并同类项得： 第七步  系数化1得： 回答下列问题： （1）补全解答过程； （2）第三步的依据是 ； （3）第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； （4）直接写出 ． 【答案】（1）；（2）等式的基本性质2；（3）五；移项没变号；（4） 【分析】本题考查了已知方程的解求字母及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤和注意事项是解题的关键．先将方程的解代入方程，转化为关于a的一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类型，系数化1的步骤求解即可，同时注意防止几个易错点出错． 解：（1）依题意，将代入原方程即可， 故答案为： （2）根据等式的基本性质2，方程两边同时乘以6，去分母，各项都乘，不要漏乘； 故答案为：等式的基本性质2 （3）第5步，移项时移项没变号，移项时，注意变号 故答案为：五；移项没变号 （4）正确的解答为： 第一步  把代入原方程： 第二步  整理得： 第三步  去分母得： 第四步  去括号得：   第五步  移项得：        第六步  合并同类项得： 第七步  系数化1得： 故答案为： 【变式2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）小军解方程的过程如表所示： 解：去括号得：……第一步 移项得：……………第二步 合并同类项得：…………………第三步 系数化为1得：…………………．第四步 （1）小军的解答步骤是从第 步开始出错的； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）二；（2）见分析 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握接一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）仔细检查分析每一步的运算即可得到答案； （2）根据解一元一次方程的步骤求解即可． 解：（1）解：小军的解答步骤从第二步移项时出错，移项需要变号，即正确应该为． 故答案为：二 （2）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 易错类型 3：系数化为1时分子和分母位置颠倒 【例题8】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）小强解方程的过程如下： 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，合并同类项，得，第③步 系数化为1，得．第④步 他把代入原方程后发现方程左、右两边的值不相等，小强因此意识到自己解错了． 他从第______步开始出错，请给出正确的解答过程． 【答案】①，见分析． 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据去分母时1没有乘以12可知第①步开始出错，根据解一元一次方程的步骤计算即可． 解：小强在去分母时1没有乘以12，则他从第①步开始出错， 解方程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：① 【变式1】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）下列方程变形正确的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质． 根据解一元一次方程或等式的性质，即可作出判断． 解：A、由得，原式正确，符合题意； B、由得，原式错误，不符合题意； C、由得到，原式错误，不符合题意； D、由得，原式错误，不符合题意， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）下列解方程过程错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．利用等式的性质解答即可． 解：A、若，则，正确，不符合题意； B、若，则，正确，不符合题意； C、若，则，错误，符合题意； D、若，则，正确，不符合题意； 故选：C 易错类型 4：去括号时符号错误或漏乘 【例题9】（2024·河北·模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 ∴第二步开始出错， 故选：B． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）将方程去分母，得，错在（　　） A．分母的最小公倍数找错 B．去分母时，漏乘某项出错 C．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了解带分母的方程，熟练掌握一元一次方程去分母法则是解题的关键； 去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号． 解： 方程两边都乘分母的最小公倍数6，得：， 去括号，得， 由此可知去分母时，没有给这一项加括号， 所以错误的原因是“去分母时，分子部分没有加括号”． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）原创题下面是小宇同学解方程的过程，请你仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：去括号，得，（第一步） 移项，得，（第二步） 合并同类项，得，（第三步） 两边同除以，得．（第四步） （1）该同学解答过程从第________步开始出错，错误原因是________ （2）写出正确的解答过程． 【答案】（1）一；去括号时，未乘；（2）见分析 【分析】（1）根据去括号的法则判断即得答案； （2）根据去括号的法则、移项的法则、合并同类项的法则，即得答案； 解：（1）， ， 故答案为：一；去括号时，未乘． （2）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 【点拨】本题考查了解一元一次方程，去括号，合并同类项，正确的运算是解题的关键． 易错类型 5：解方程时漏乘不含分母的项（去分母易错点） 【例题10】（24-25七年级上·重庆·期中）下图是方程变形求解过程，最先出错的步骤是（   ） 解：原方程可以化为：………………第一步 去分母，得：………………第二步 去括号，得：………………第三步 移项，得：………………第四步 合并同类项，得： 系数化为1，得： A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 根据去分母时方程两边的每一项都要乘以12，确定即可． 解：第二步，去分母时两边都乘以12，其中1漏乘． 故选：B． 【变式1】（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 以上解题步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案． 解：方程两边同乘6，得① ∴开始出错的一步是①， 故选：A． 【点拨】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·北京昌平·期中）小明与小红两位同学解方程的过程如下： 小明： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 小红： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） （1）小明与小红在解方程中均出现了错误； 小明出错的步骤是第___________步、小红出错的步骤是第___________步； （2）写出正确的解答过程． 【答案】（1）一，二；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，等式的性质等知识． （1）根据等式的性质和去括号法则即可判断出小明与小红在解方程中出现的错误； （2）根据解一元一次的步骤即可求解． 解：（1）解：小明出错的步骤是第一步，错误的应用了等式的性质二，等式左边乘以12，右边也应该乘以12； 小红出错的步骤是第二步，在利用分配律去括号号时符号错误． 故答案为：一，二； （2）解： 去分母得 ， 去括号得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化“1”得 ． 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 模块 5：中考高频题型分类突破 题型 1：解一元一次方程（★中考必考题） 【例题10】（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤（移项、合并同类项、去分母、系数化为1）． （1）先通过移项将含未知数的项和常数项分开，再合并同类项，最后将系数化为1求解； （2）先去分母消去分数，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1求解． 解：（1）解：， ， ， ， ， （2） 去分母 （两边乘6）： 去括号： 合并同类项： 移项： 合并同类项： 系数化为1： 【变式1】（25-26七年级上·河南漯河·期中）解方程： （1）； （2）； （3） （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． （1）先移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1即可； （3）方程两边同时乘以6去分母，再去括号，然后移项、合并同类项即可； （4）方程整理得，再方程两边同时乘以12去分母，接着去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1即可． 解：（1）解： 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得． （2）解：， 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． （3）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （4）解： 整理得，， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解一元一次方程． （1）按照移项、合并同类、项系数化1的步骤进行解答即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类、项系数化1的步骤进行解答即可． 解：（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）； （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解题步骤． （1）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可． （2）先化简，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （3）先将方程中的分数化成整数，然后再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． （4）先根据分数的性质，将方程化简，再按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可． 解：（1）解：， 乘2得：， 乘3得：， 移项、合并同类项得：， 乘4得：， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ． （4）解： ∴， 化简得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 题型 2：和差倍分与数字问题（★中考常考题） 【例题11】（2025七年级上·河北·专题练习）将连续的自然数按下图方式排成一个长方形，框出一个“V”形阵列，若将“V”形阵列上下左右移动，可框出另外五个数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 …… 995 996 997 998 999 1000 1001 （1）如果设其中最大的数为，可用代数式表示“V”形阵列中5个数之和； （2）要使框出的5个数之和等于2023，这是否可能？试说明理由． 【答案】（1）；（2）不可能；理由见分析 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据题目中数字规律，列出代数式； （2）根据题意得出，求出，再求出在第59行第7列，即可求出结果． 解：（1）解：设“V”形阵列中最大的数为， 则其它四个数分别为：，，，， 则“V”形阵列中五个数的和可表示为： ； （2）解：当， 解得：， ，所以，“V”形阵列中最大的数413在第59行第7列，则右上角两个数超出了表格范围， 由此可得，框出的这5个数之和不可能是2023． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）下列数学问题中，不能用方程“”解决的是（  ） A．哥哥今年15岁，比弟弟年龄的3倍多6岁，弟弟几岁？ B．买3本笔记本和1个6元的文具袋共15元，1本笔记本多少元？ C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用． 分别用方程解答各个选项中的问题，看哪个选项中的问题不能用方程“”解决即可． 解：A、设弟弟今年x岁，哥哥比弟弟年龄的3倍多6岁，哥哥岁，则 B、设1本笔记本x元，3本笔记本元，3本笔记本和1个6元的文具袋共15元，则 C、设男生有x人，由图可知男生有人，男女一共15人，则 D、由图可得，即，不能用方程“”解决 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）在东汉许慎所著的《说文解字·序》里记载：“神农氏结绳为治，而统其事．”想象在遥远的神农氏时代，有一位聪慧的村民，为了准确记录每次狩猎所获猎物的数量，采用了结绳计数的方法．他计数时遵循“从右往左，满五进一”的规则（具体示意如图所示）．已知这位村民某次一共狩猎到了48只动物，那么在他所结的绳中，第二根绳子上的打结个数是 个． 【答案】4 【分析】本题考查了进位制的概念和应用及列一元一次方程，根据“从右往左，满五进一”的计数规则，设出第二根绳子上的打结个数，列出方程求解． 解：设第2根绳子上的打结个数是x个，根据题意得： ， 解得：， 则第2根绳子上的打结个数是4个． 故答案为：4． 题型 3：行程与工程问题（★中考应用性考点） 【例题12】（24-25七年级上·全国·课后作业）甲、乙两地相距480km．A、B两车分别从甲、乙两地开出，A车速度为80km/h，B车速度为40km/h．同学们提出了如下问题： （1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时两车相遇？ （2）两车相向而行，A车提前半小时出发，B车开出后多少小时两车相遇？相遇地点距离甲地多远？ （3）两车同向同时开出，B车在前，出发后多少小时A车追上B车？ （4）两车背向而行，同时出发，行驶多少小时两车相距960km？ （5）请你解答上述问题，并提出类似问题 【答案】（1）出发后小时两车相遇；（2）车开出后小时两车相遇，相遇地点距离甲地.；（3）出发后小时车追上车；（4）行驶小时两车相距；（5）两车同向同时开出，车在前，出发后多少小时两车相距？ 【分析】根据行程问题中的基本关系，结合不同运动情况的等量关系，设时间为未知数，列一元一次方程求解． 解：（1）解：设出发后小时两车相遇 两车相向而行，相遇时路程和等于甲乙两地距离，因此： 合并同类项得： 系数化为得： 答：出发后小时两车相遇 故答案为：出发后小时两车相遇． （2）解：设车开出后小时两车相遇 车提前半小时出发，故车行驶时间为小时 两车相向而行，路程和为，因此： 去括号得： 合并同类项得： 移项得： 系数化为得： 相遇地点距离甲地的距离为车行驶的总路程： 答：车开出后小时两车相遇，相遇地点距离甲地 故答案为：车开出后小时两车相遇，相遇地点距离甲地． （3）解：设出发后小时车追上车 两车同向，追上时，比多行驶，因此： 合并同类项得： 系数化为： 答：出发后小时车追上车 故答案为：出发后小时车追上车． （4）解：设行驶小时两车相距 两车背向而行，初始距离，行驶后路程和加上初始距离为，因此： 合并同类项得： 移项得： 系数化为得： 答：行驶小时两车相距 故答案为：行驶小时两车相距． （5）（1）出发后小时两车相遇；（2）车开出后小时两车相遇，相遇地点距离甲地；（3）出发后小时车追上车；（4）行驶小时两车相距． 两车同向同时开出，车在前，出发后多少小时两车相距？ 【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用（行程问题），解题关键是根据不同运动状态，准确找出路程之间的等量关系，进而列出方程求解． 【变式1】某工程，甲独做需24天完成，乙独做需16天完成．现由甲先做4天，乙再参加合做，求完成这项工程共用的时间．若设此项工程从开始到结束共用天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设此项工程从开始到结束共用天，表示出甲乙的工作效率，根据工作效率、时间、工作总量之间的关系建立方程即可． 解：设此项工程从开始到结束共用天，由题意得， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·福建三明·期中），两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．假设他们都匀速骑行，即他们各自与地之间的距离（单位：）都是骑行时间（单位：）的一次函数．骑行甲距离地，骑行乙距离地．则两人相遇时距离地 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据甲和乙的骑行信息，先求出各自的速度，再设相遇时间为t小时，根据相遇时距离A地相等列出方程，求解t后计算距离． 解：由题意，甲骑行距离A地，故甲的速度为； 乙骑行距离A地，乙从B地出发（B距离A地），乙骑行距离为，故乙的速度为． 设相遇时间为，则甲距离A地为，乙距离A地为． 相遇时两人与地的距离相等，即， 解得． 此时距离A地为． 故答案为：． 题型 4：年龄与几何计算问题（★中考提升题） 【例题13】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点C、D、E在线段上，若点C是线段的中点，，，，求线段的长度． 【答案】48 【分析】本题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，设，则，进而可得，再利用可得，再根据点C是线段的中点，可得，解出x即可求解． 解：设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴，即：， 解得：， ∴． 【变式1】（23-24七年级上·山东聊城·期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题： 周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十比个位正小三，个位六倍与寿符． 哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由两位数的特点结合题意列出方程即可，熟悉两位数的特点和找出等量关系是解题的关键． 解：设这个两位数个位上的数字为x 则这个两位数十位上的数字为 由题意可列方程： 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方形甲与三角形乙重叠部分的面积相当于长方形甲面积的，相当于三角形乙面积的，若两个图形不重叠部分的面积和是，则重叠部分的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设阴影部分的面积为k，可得大长方形的面积为，三角形的面积为，根据不重叠部分的面积和是50，列出方程进而即可求解． 解：设阴影部分的面积为k， 长方形甲与三角形乙重叠部分的面积相当于长方形甲面积的，相当于三角形乙面积的， ∴长方形甲的面积为，三角形乙的面积为， 根据题意：， 解得： 故答案为：． 题型 5：数轴动点问题（★中考冲刺题） 【例题14】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 【答案】26或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意可得该问题可分为两种情况，即可得到等式，求解即可得到结果，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 解：在点P运动过程中，，即， 分两种情况： ①当点P运动到点A右侧时，， 此时点P表示的数是； ②当点P运动到点A左侧时，设，则， ∵， ∴， 则，则， ∴点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或， 故答案为：26或． 【变式1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若点P、Q同时出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．3或5 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的方程求两点之间的距离问题．根据数轴上点的平移性质列出带有绝对值的方程，最后求解即可． 解：设运动时间为t秒，所以P表示的数是，Q表示的数是， 由题意得，即， 解得或， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·广东江门·月考）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和12，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． （1）当时，数轴上的点P、Q表示的数分别是______和______； （2）当时，求P、Q两点间的距离； （3）在运动过程中是否存在时间t使A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），4；（2）15；（3）存在，t的值为4或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，熟悉掌握数轴上两点之间的距离的求解是解题的关键． （1）列出含的表达式，代入运算即可； （2）根据表达式代入运算即可； （3）根据数轴上两点间距离公式得到，由A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等建立方程求解． 解：（1）解：由题意可得：， ∴当时，， 故答案为：；； （2）解：把代入，可得： ，， ∴； （3）解：存在， 由题意得，， ∴A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等时，， ∴，或 解得或 ∴t的值为4或 题型 6：销售问题（★中考冲刺题） 【例题15】（25-26八年级上·重庆万州·期中）十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． （1）该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ （2）根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 【答案】（1）A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个；（2）a的值为560 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． （1）设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个，根据销售，两种品牌的空气净化器的利润相同建立方程求解即可； （2）根据利润等于实际售价减去进价后乘以销售量分别求出A、B两个品牌的利润，二者求和求出总利润，再根据总利润与m的值无关列式求解即可． 解：（1）解：设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； （2）解：由题意得，总利润为 ， ∵全部售出所获得的利润与无关， ∴， ∴， 答：的值应该为560． 【变式1】（25-26七年级上·贵州遵义·开学考试）商店以80元一件的价格购进一批衬衫，并以的利润率出售，过了一段时间发现还剩下150件，于是打九折出售，又过了一段时间发现一共卖掉了总量的，于是将最后几件按进货价出售，最后商店共获利2300元，则商店一共进了（   ）件衬衫． A．180 B．200 C．240 D．300 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设商店一共进了x件衬衫，则第一次卖出去，则二次售出件，根据商店一共获利2300元列出一元一次方程求解即可得出答案． 解：， 设商店一共进了x件衬衫，则第一次卖出去，则第二次售出件， 根据题意可知： ， 整理得：， 解得：， 答：商店一共进了200件衬衫． 故选：B 【变式2】（2025·福建泉州·一模）下表是友谊商场某品牌电脑的记账单，其中进价一栏被墨迹污染，则该品牌电脑的进价是 元． 进价（商品的进货价格） 标价（商品的预售价格） 6800元 折扣 8折 利润（实际销售后的利润） 440元 【答案】5000 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该品牌电脑的进价是x元，利用利润=标价×折扣率-进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：设该品牌电脑的进价是x元， 根据题意得：， 解得：， ∴该品牌电脑的进价是5000元． 故答案为：5000． 四、专题配套资源 分层作业设计： 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解． 解：A. 若，则，故该选项错误，不符合题意； B. 若，则，故该选项正确，符合题意； C. 若，则，故该选项错误，不符合题意； D. 若，则，即，故该选项错误，不符合题意． 故选：B 2．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）关于的方程与方程的解相同，则的值为（    ） A． B．8 C．4 D．0 【答案】C 【分析】本题考查同解方程求参数，熟记一元一次方程的解法是解决问题的关键． 先解方程得到的值，然后将代入方程求解即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， ∴； 关于的方程与方程的解相同， 将代入，得， ∴， 解得， 故选：C． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解看错系数后代入解满足方程是解题关键． 设同学看错的系数为，将代入看错的方程，求解． 解：设同学看错的系数为， ∵ 同学看错系数后解得， ∴ 将 代入方程 得： ∴ ∴ 故他把“□”处的系数看成了 6． 故选：C． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）把方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同时乘以分母3和2的最小公倍数6，注意每一项都要乘以6，且分子是多项式时应加括号，据此进行分析，即可作答． 解：∵， ∴两边乘以6得：， ∴整理得， 故选：C． 5．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．分别解方程和方程，根据两个方程的解互为倒数，得到关于的一元一次方程，即可求解． 解：解方程，得， 解方程，得， 关于的一元一次方程和方程的解互为倒数， ， 解得：． 故选：A． 6．（2025·贵州·一模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据竹竿总数不变，每人6竿多14竿时竹竿总数为，每人8竿少2竿时竹竿总数为，两者相等列方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 解：设牧童有x人， ∵每人6竿多14竿， ∴竹竿总数为； ∵每人8竿少2竿， ∴竹竿总数为， ∴， 故选：A． 二、填空题 7．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）是关于x的一元一次方程，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意，方程是关于的方程，故的系数不能为零，解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 解：由方程 是关于 的方程， 故 ， 解得 ， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·广东江门·期中）若，则的值为 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，根据绝对值的定义，将绝对值方程转化为两个一元一次方程求解即可． 解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：或5． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，建立方程，并正确求出方程的解是解题关键． 根据可得一个关于x的一元一次方程，解方程即可得． 解：∵，，， ∴ 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． ∴的值为． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，则方程的解为 ． 【答案】8 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，代到方程中求出的值． 解：∵， ∴，， 解得：，， 当，时，方程为， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 故答案为：． 【点拨】本题考查非负数的性质和解方程的综合运用，根据非负数的性质求出、的值，然后解出方程的解． 11．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由，即，可得．类比上述过程，把无限循环小数化为分数的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，读懂题目信息，理解无限循环小数转化为分数的方法是解题的关键．设，表示出，然后相减解得出关于的一元一次方程，再求解即可． 解：设，则， ， 即， 解方程得， 即． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·山西临汾·期中）如图，在日历中用十字形框出5个数，分别是中间一个数，以及它上下左右四个数．如果这五个数的和是70，则中间的数是 ． 【答案】14 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解． 设中间的数是x，再表示出它四个方位的数，再根据它们的和列方程求解x的值即可． 解：设中间的数是x， 这个数上方的数是，下方的数是，右边的数是，左边的数是， 列式：， 解得． ∴中间的数是． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级上·云南玉溪·期中）解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）先移项使含未知数的项在等号的左边、常数项在等号的右边，再合并同类项，最后系数化为1，解答即可； （2）先去括号，再移项、合并同类项、系数化为1，解答即可． 解：（1）解：， 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：； （2） 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：． 14．（25-26七年级上·北京西城·期中）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：  第一步   第二步   第三步   第四步   第五步 （1）以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； （2）从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； （3）请写出该方程的正确解答过程． 【答案】（1）等式的基本性质；（2）三；移项没有变号；（3）见分析 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据等式的基本性质，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，逐一判断即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 解：（1）解：以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质进行变形的， 故答案为：等式的基本性质； （2）解：从第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没有变号， 故答案为：三；移项没有变号； （3）解：：， 等式两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，． 15．（20-21七年级上·陕西渭南·期末）如图，在直线上，点P在A、B两点之间，点M为线段的中点，点N为线段的中点，若，且使关于x的方程无解． （1）求线段的长； （2）线段的长与点P在线段上的位置有关吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）无关，理由见分析 【分析】本题主要考查的是中点的有关计算，由一元一次方程解的情况求参数，掌握线段中点的定义是解题的关键． （1）由关于的方程无解，可得，从而可求得n的值； （2）根据线段中点的定义可知，，从而得到，进而求解即可． 解：（1）∵关于的方程无解． ∴， 解得：． ∴； （2）线段的长与点在线段上的位置无关，理由如下： ∵M为线段的中点，点N为线段的中点， ∴，． ∴， ∴线段的长与点P在线段上的位置无关． 16．（21-22七年级上·四川德阳·期末）列方程解应用题： （1）一个箱子，如果装橙子可以装18个，如果装梨可以装16个，现共有橙子、梨个，而且装梨的箱子是装橙子箱子的倍．请算一下，装橙子和装梨的箱子各多少个？ （2）一架飞机在两城之间飞行，风速为千米/时．顺风飞行需要小时分，逆风飞行需要小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程． 【答案】（1）装橙子的箱子8个，则装梨的箱子16个；（2）无风时飞机的航速为千米/小时，两城之间的航程千米． 【分析】本题考查一元一次方程的应用； （1）设装橙子的箱子有x个，则装梨的箱子有个，根据题意列方程即可得出答案． （2）设无风时飞机的航速为x千米/小时，根据题意列方程即可得出答案． 解：（1）解：设装橙子的箱子x个，则装梨的箱子个，依题意有 ， 解得：， ． 答：装橙子的箱子8个，则装梨的箱子16个； （2）设无风时飞机的航速为x千米/小时． 小时分小时 根据题意，列出方程得：， 解这个方程，得． 航程为千米）． 答：无风时飞机的航速为千米/小时，两城之间的航程千米． 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，则下面变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时加、减、乘同一个数或除以同一个非零数，等式仍然成立．选项C中分母可能为零，导致变形错误． 解：， A、两边同乘，得，正确； B、两边同减，得，正确； C、当时，不能两边除以0，错误； D、分母为，恒不为零，两边同除，等式成立，正确， 故选：C． 2．（20-21七年级上·辽宁·期末）若关于x的方程的解满足，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，绝对值的意义，解带有绝对值符号的方程先将方程化为|的形式，然后去绝对值变为的形式解出，进而代入，解关于的方程，即可求解． 解： ∴ ∴或 解得：或 当时， ∴ 解得：； 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或 故选：A． 3．（22-23九年级下·安徽淮南·自主招生）方程解的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的综合运用，熟练掌握绝对值意义，解一元一次方程，是解题的关键． 由绝对值意义得，可得，或，可得或，解一元一次方程即可． 解：∵， ∴， ∴，或， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴； ∴方程有4个解． 故选：D． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；通过变量替换，将关于y的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解即可． 解：设，则关于y的方程化为， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于z的一元一次方程，的解是， ∴， ∴； 故选B． 5．（20-21七年级上·浙江温州·期中）如图，把8张形状大小一样的小长方形卡片（长为a，宽为b）不重叠地放在一个大长方形中，未覆盖部分恰好被分割成两个长方形（阴影部分），若左下方与右上方阴影部分面积的差为2ab，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的化简和一元一次方程的解法，解题的关键是设出合理的未知数；先设定大长方形的宽为x，根据题目条件建立方程，解方程求得a和b的关系，进而求得答案即可； 解：设大长方形的宽为x， 由题意得：左下方阴影部分的面积为，右上方阴影部分的面积为， ∵左下方与右上方阴影部分面积的差为， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）正整数排列如下： 第一行  1 第二行  1  2 第三行  2  3  4 第四行  3  4  5  6 按照这样的规律排列，你认为100第一次出现在（   ） A．第50行第50个 B．第50行第51个 C．第51行第50个 D．第51行第51个 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并找出正确的规律是解决本题的关键． 通过观察排列规律，第n行的数字范围是从到，令或，进行求解100第一次出现在第51行最后一个，进而即可得解． 解：由题意可得，第n行的数字范围为至，一行的数字有n个， ∴当或， ∴或， ∴100第一次出现在第51行最后一个，100最后次出现在第101行第一个， ∴100第一次出现在第51行第51个． 故选D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）已知关于x的方程的解是，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程的解的定义，解题的关键是将方程的解代入原方程建立关于的方程． 根据方程的解的定义，把代入方程，得到关于的方程，求解即可得到的值． 解：把代入方程， 得， 即． 故答案为4． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果方程的解与关于x的方程的解互为相反数，那么a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先解出第一个方程的解，求出其相反数后代入第二个方程可得到关于的一元一次方程，解出即可． 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 将代入， 得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故答案为：． 9．（24-25六年级下·山东泰安·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程同解问题，熟练掌握一元一次方程的计算是解题的关键．根据解出，将代入即可得到答案． 解：， 解得， 方程的解与关于x的方程的解相同， 将代入， 即， ， 故答案为：． 10．（25-26六年级上·上海青浦·期中）如图所示是一个计算流程图，若输出是2，则输入x的值为 ．    【答案】5或 【分析】本题主要考查解一元一次方程，理解题意正确列出方程求解是解题的关键．根据程序图，若，则，若，则，分别解方程即可． 解：若，则， 解得； 若，则， 解得； 综上，输入x的值为5或， 故答案为：5或． 11．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数轴上A、B两点对应数分别为、4，P为数轴上一动点，对应数为x，若P点到A、B距离和为9，则x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点距离公式及绝对值方程的应用，根据点P的位置分三种情况讨论：，分别化简绝对值方程并求解． 解：点P到点A的距离为，到点B的距离为， 由题意得， 当时，方程化为， 解得； 当时，方程化为，无解； 当时，方程化为， 解得； 故答案为：或． 12．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长8尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，该问题中的竿子长为尺，则绳索长为尺，依题意得，求解即可，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 解：该问题中的竿子长为尺，则绳索长为尺，依题意得： ， 解得：， ∴该问题中的竿子长为尺， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级上·重庆·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求出解． 解：（1）解： 解得； （2）解： 解得． 14．（25-26七年级上·陕西安康·期中）已知一个三角形的第一条边长为，第二条边比第一条边长，第三条边比第二条边短． （1）则第二边的边长为_____，第三边的边长为_____； （2）用含，的式子表示这个三角形的周长，并化简； （3）当，三角形的周长为26时，求此三角形各边的长． 【答案】（1）；；（2）周长为；；（3）三角形各边的长为7，11，8 【分析】本题主要考查了整式加法的应用，正确列出代数式并运用整式混合运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意表示出第二边与第三边即可； （2）三边之和表示出周长，再化简即可； （3）根据当，三角形的周长为26时，求出b的值，即可． 解：（1）解：∵第一条边长为，第二条边比第一条边长，第三条边比第二条边短， ∴第二边的边长为，第三边的边长为； 故答案为：； （2）解：这个三角形的周长为 ； （3）解：∵当时，三角形的周长为26， ∴， 解得：， ∴此三角形各边的长为， ， ． 15．（24-25七年级上·广西梧州·期末）某水果店以5元/千克价格购进一批苹果，由于销售良好，该店又以元/千克价格再次购进同一种苹果，这样该水果店两次购进苹果共600千克，花去2800元． （1）求该水果店两次分别购买了多少千克苹果？ （2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的苹果有的损耗，第二次购进的水果有的损耗，并且在销售过程中的其他费用为392元，如果该水果店希望售完这些苹果共获得1400元的利润，那么该水果店每千克售价应定为多少元？ 【答案】（1）第一次购买了200千克苹果，第二次购买了400千克苹果；（2）该水果店每千克售价应定为8元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第一次购买了x千克苹果，则第二次购买了千克苹果，根据两次购买的总费用为2800元建立方程求解即可； （2）设该水果店每千克售价应定为m元，根据利润等于总销售额减去总成本建立方程求解即可． 解：（1）解：设第一次购买了x千克苹果，则第二次购买了千克苹果， 由题意得，， 解得， ∴， 答：第一次购买了200千克苹果，第二次购买了400千克苹果； （2）解：设该水果店每千克售价应定为m元， 由题意得， 解得， 答：该水果店每千克售价应定为8元． 16．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． （1）请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； （2）当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； （3）当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【答案】（1）方案一：（元），方案二：（元）；（2）方案二便宜；（3）时，两种方案的费用相同 【分析】本题考查列代数式、代数式求值、整式的加减应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据两种优惠方案结合实际费用等于数量×单价列出代数式即可； （2）将a、b值分别代入（1）中代数式中求解，进而比较大小做出判断即可； （3）将a代入（1）中得到关于b的代数式，得到关于b的方程，解方程求出结论． 解：（1）解：根据题意得： 方案一：（元）， 方案二：（元）； （2）解：当，时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 方案二便宜； （3）解：当时，方案一：（元），方案二：（元）， ∵当时，两种方案的费用相同， ∴， 解得：， 时，两种方案的费用相同. 五、反思：错题归因手册： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.4 一元一次方程（全章复习讲义） 目录 一、专题核心定位 2 【核心目标】 2 【学情适配】 2 【中考对接】 2 二、 知识体系图谱 2 三、 专题核心内容 3 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 3 【模块1】知识精讲 3 2. 方法梳理 4 （1）解一元一次方程的一般步骤 4 （2）知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 4 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 5 题型 1：一元一次方程的判定（基础必练） 5 题型 2：方程的解的判定与应用（同步必练） 5 题型 3：解一元一次方程（同步必练） 6 题型 4：列方程表示数量关系（同步必练） 6 题型 5：一元一次方程的简单应用（同步必练） 7 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 8 模块 3：高频模型 / 方法精讲 8 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 8 易错类型 1：运用等式基本性质时两边同除了一个为零的数或式 8 易错类型 2：移项时忘记变号 9 易错类型 3：系数化为1时分子和分母位置颠倒 10 易错类型 4：去括号时符号错误或漏乘 11 易错类型 5：解方程时漏乘不含分母的项（去分母易错点） 12 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 13 模块 5：中考高频题型分类突破 13 题型 1：解一元一次方程（★中考必考题） 13 题型 2：和差倍分与数字问题（★中考常考题） 13 题型 3：行程与工程问题（★中考应用性考点） 14 题型 4：年龄与几何计算问题（★中考提升题） 15 题型 5：数轴动点问题（★中考冲刺题） 16 题型 6：销售问题（★中考冲刺题） 16 四、专题配套资源 17 分层作业设计： 17 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 17 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 19 五、反思：错题归因手册： 22 一、专题核心定位 【核心目标】 夯实一元一次方程的概念本质，掌握解方程的核心步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），能熟练运用一元一次方程解决实际应用问题（和差倍分、行程、工程、年龄、几何等），建立 “建模思想”（实际问题→数学方程→求解验证），为后续二元一次方程组、一元二次方程学习奠定基础。 【适用场景】 北师大版七上同步培优、期中、期末复习、中考一轮基础溯源巩固； 【学情适配】 基础薄弱生：掌握核心概念与基础解方程步骤，实现 “能解方程、解对方程”； 中等生：熟练运用解方程技巧突破易错步骤，能解决常规实际应用问题； 优等生：掌握综合建模技巧，解决跨知识点融合问题、创新应用型压轴题； 【中考对接】 标注高频考点（★）、核心题型（▲）、易错点（△），明确一元一次方程在中考中 “工具性作用”（如分式方程转化、一次函数与方程的关系、实际问题建模求解），对接近年中考命题趋势。 2、 知识体系图谱 3、 专题核心内容 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 【模块1】知识精讲 1. 概念辨析（△重点突破） （1）一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程,叫作一元一次方程。标准形式：（为常数，） 【易错提示】是关键条件，若，则方程不含未知数，不是一元一次方程。 （2） 方程的解与解方程：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解；求方程的解的过程叫作解方程。 【验证方法】：将未知数的值代入方程，看左右两边是否相等。 （3）等式的基本性质 性质1 等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。 如果，那么 性质2 等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。 如果,那么如果且，那么 易错点 性质 2 中，除以的数不能为 0；移项的本质是利用性质 1。 2. 方法梳理 （1）解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数. （1）不要漏乘不含分母的项； （2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号。 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号. （1）不要漏乘括号里的项 （2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号） （1）移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b（a≠0）的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 （2）知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系； 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示； 3.列方程:根据相等关系列出方程； 4.解方程:求出未知数的值； 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并作答。 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示: 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 题型 1：一元一次方程的判定（基础必练） 【例题1】（25-26七年级上·重庆璧山·期中）下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在方程，，，，，中，一元一次方程的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型 2：方程的解的判定与应用（同步必练） 【例题2】（2024七年级上·安徽·专题练习）下列说法正确的是 （直接填写序号）． ①是方程； ②方程是一元一次方程； ③若关于x的方程是一元一次方程，则k为任意实数； ④若关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为． 【变式1】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 题型 3：解一元一次方程（同步必练） 【例题3】（25-26七年级上·重庆·期中）解方程 （1） （2） （3） （4） 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）． 【变式2】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 【变式3】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）关于的一元一次方程． （1）若是绝对值为1的负数，且，求方程的解； （2）若，求的值． 题型 4：列方程表示数量关系（同步必练） 【例题4】（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 5：一元一次方程的简单应用（同步必练） 【例题5】（25-26七年级上·吉林长春·期中）【课本再现】下面是新人教版数学教材七年级上册135页探究1的部分内容． 探究1销售中的盈亏 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设盈利的那件衣服的进价是x元， 根据题意，得，解得， 设亏损的那件衣服的进价是y元， ， 由此可知卖这两件衣服共________（填“盈利”或“亏损”）了________元． 【解决问题】某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为，每个大书包的利润率为．试求两种书包的进价． 【变式1】（25-26七年级上·甘肃·期末）甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 【变式2】（25-26七年级上·重庆·月考）周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． （1）小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； （2）试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 模块 3：高频模型 / 方法精讲 模型 适用场景 解题方法 解方程易错步骤突破 去分母、去括号、移项时易出错 ① 去分母：每一项都乘最小公倍数，分子多项式加括号；② 去括号：负号去括号，各项都变号，系数不漏乘；③ 移项：“过桥变号”，不移不变号 和差倍分问题 已知两个量的和、差、 倍分关系，求未知量 设较小量为，用含的代数式表示较大量，根据和差倍分关系列方程。 行程问题（相遇与追及） 相向相遇、同向追及 ① 相遇：总路程 = 甲路程 + 乙路程；② 追及：路程差 = 快者路程 - 慢者路程；核心公式：路程 = 速度 × 时间。 工程问题 完成工作的时间、效率问题 设工作总量为1，工作量=工作效率×工作时间；等量关系：各部分工作量之和=1。 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 易错类型 1：运用等式基本性质时两边同除了一个为零的数或式 【例题6】（2024七年级上·全国·专题练习）下面是小明将等式进行变形的过程： ，① ，② ．③ （1）步骤①的依据是 ___________； （2）小明出错的步骤是 ___________，错误的原因是 ___________； （3）请利用等式的基本性质，把该等式变形为“”的形式． 【变式1】（23-24七年级上·河北邯郸·期末）关于方程，嘉嘉的解法如下． 解：去分母，得，…① 去括号，得，…② 合并同类项，得， ，…③ 两边同时除以，得3=0．…④ 所以方程无解． （1）嘉嘉从第_________步开始出错（填序号），理由是___________________； （2）请正确求解该方程． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读理解题： 下面是小明将等式进行变形的过程： 根据等式的性质，得．① ．② ．③ （1）①的依据是_________________________； （2）小明从第_____（填序号）步开始出错，错误的原因是____________________； （3）利用等式的性质，给出正确的解法． 易错类型 2：移项时忘记变号 【例题7】（24-25七年级上·山西大同·期末）用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小严同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得……………………第一步 去括号，得……………………第二步 移项，得……………………第三步 合并同类项，得……………………第四步 系数化为1，得……………………第五步 任务： ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是____________________________； ②从第________步开始出错，这一步错误的原因是__________________________； ③请直接写出该方程正确的解． 【变式1】（24-25七年级上·北京怀柔·期末）已知关于x的方程的解为，求a的值． 下面是小明同学的解题过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：第一步  把____________代入原方程： 第二步  整理得： 第三步  去分母得： 第四步  去括号得：   第五步  移项得：        第六步  合并同类项得： 第七步  系数化1得： 回答下列问题： （1）补全解答过程； （2）第三步的依据是 ； （3）第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； （4）直接写出 ． 【变式2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）小军解方程的过程如表所示： 解：去括号得：……第一步 移项得：……………第二步 合并同类项得：…………………第三步 系数化为1得：…………………．第四步 （1）小军的解答步骤是从第 步开始出错的； （2）请你写出正确的解答过程． 易错类型 3：系数化为1时分子和分母位置颠倒 【例题8】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）小强解方程的过程如下： 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，合并同类项，得，第③步 系数化为1，得．第④步 他把代入原方程后发现方程左、右两边的值不相等，小强因此意识到自己解错了． 他从第______步开始出错，请给出正确的解答过程． 【变式1】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）下列方程变形正确的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）下列解方程过程错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 易错类型 4：去括号时符号错误或漏乘 【例题9】（2024·河北·模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）将方程去分母，得，错在（　　） A．分母的最小公倍数找错 B．去分母时，漏乘某项出错 C．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）原创题下面是小宇同学解方程的过程，请你仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：去括号，得，（第一步） 移项，得，（第二步） 合并同类项，得，（第三步） 两边同除以，得．（第四步） （1）该同学解答过程从第________步开始出错，错误原因是________ （2）写出正确的解答过程． 易错类型 5：解方程时漏乘不含分母的项（去分母易错点） 【例题10】（24-25七年级上·重庆·期中）下图是方程变形求解过程，最先出错的步骤是（   ） 解：原方程可以化为：………………第一步 去分母，得：………………第二步 去括号，得：………………第三步 移项，得：………………第四步 合并同类项，得： 系数化为1，得： A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【变式1】（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 以上解题步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】（25-26七年级上·北京昌平·期中）小明与小红两位同学解方程的过程如下： 小明： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 小红： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） （1）小明与小红在解方程中均出现了错误； 小明出错的步骤是第___________步、小红出错的步骤是第___________步； （2）写出正确的解答过程． 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 模块 5：中考高频题型分类突破 题型 1：解一元一次方程（★中考必考题） 【例题10】（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）解方程： （1） （2） 【变式1】（25-26七年级上·河南漯河·期中）解方程： （1）； （2）； （3） （4）． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）解方程： （1）； （2）． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）； （3）． （4）． 题型 2：和差倍分与数字问题（★中考常考题） 【例题11】（2025七年级上·河北·专题练习）将连续的自然数按下图方式排成一个长方形，框出一个“V”形阵列，若将“V”形阵列上下左右移动，可框出另外五个数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 …… 995 996 997 998 999 1000 1001 （1）如果设其中最大的数为，可用代数式表示“V”形阵列中5个数之和； （2）要使框出的5个数之和等于2023，这是否可能？试说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）下列数学问题中，不能用方程“”解决的是（  ） A．哥哥今年15岁，比弟弟年龄的3倍多6岁，弟弟几岁？ B．买3本笔记本和1个6元的文具袋共15元，1本笔记本多少元？ C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）在东汉许慎所著的《说文解字·序》里记载：“神农氏结绳为治，而统其事．”想象在遥远的神农氏时代，有一位聪慧的村民，为了准确记录每次狩猎所获猎物的数量，采用了结绳计数的方法．他计数时遵循“从右往左，满五进一”的规则（具体示意如图所示）．已知这位村民某次一共狩猎到了48只动物，那么在他所结的绳中，第二根绳子上的打结个数是 个． 题型 3：行程与工程问题（★中考应用性考点） 【例题12】（24-25七年级上·全国·课后作业）甲、乙两地相距480km．A、B两车分别从甲、乙两地开出，A车速度为80km/h，B车速度为40km/h．同学们提出了如下问题： （1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时两车相遇？ （2）两车相向而行，A车提前半小时出发，B车开出后多少小时两车相遇？相遇地点距离甲地多远？ （3）两车同向同时开出，B车在前，出发后多少小时A车追上B车？ （4）两车背向而行，同时出发，行驶多少小时两车相距960km？ （5）请你解答上述问题，并提出类似问题 【变式1】某工程，甲独做需24天完成，乙独做需16天完成．现由甲先做4天，乙再参加合做，求完成这项工程共用的时间．若设此项工程从开始到结束共用天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建三明·期中），两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．假设他们都匀速骑行，即他们各自与地之间的距离（单位：）都是骑行时间（单位：）的一次函数．骑行甲距离地，骑行乙距离地．则两人相遇时距离地 ． 题型 4：年龄与几何计算问题（★中考提升题） 【例题13】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点C、D、E在线段上，若点C是线段的中点，，，，求线段的长度． 【变式1】（23-24七年级上·山东聊城·期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题： 周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十比个位正小三，个位六倍与寿符． 哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方形甲与三角形乙重叠部分的面积相当于长方形甲面积的，相当于三角形乙面积的，若两个图形不重叠部分的面积和是，则重叠部分的面积是 ． 题型 5：数轴动点问题（★中考冲刺题） 【例题14】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 【变式1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若点P、Q同时出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．3或5 【变式2】（24-25七年级上·广东江门·月考）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和12，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． （1）当时，数轴上的点P、Q表示的数分别是______和______； （2）当时，求P、Q两点间的距离； （3）在运动过程中是否存在时间t使A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 题型 6：销售问题（★中考冲刺题） 【例题15】（25-26八年级上·重庆万州·期中）十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． （1）该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ （2）根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 【变式1】（25-26七年级上·贵州遵义·开学考试）商店以80元一件的价格购进一批衬衫，并以的利润率出售，过了一段时间发现还剩下150件，于是打九折出售，又过了一段时间发现一共卖掉了总量的，于是将最后几件按进货价出售，最后商店共获利2300元，则商店一共进了（   ）件衬衫． A．180 B．200 C．240 D．300 【变式2】（2025·福建泉州·一模）下表是友谊商场某品牌电脑的记账单，其中进价一栏被墨迹污染，则该品牌电脑的进价是 元． 进价（商品的进货价格） 标价（商品的预售价格） 6800元 折扣 8折 利润（实际销售后的利润） 440元 四、专题配套资源 分层作业设计： 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）关于的方程与方程的解相同，则的值为（    ） A． B．8 C．4 D．0 3．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）把方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州·一模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（ ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）是关于x的一元一次方程，则m的取值范围 ． 8．（25-26七年级上·广东江门·期中）若，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，，则的值为 ． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，则方程的解为 ． 11．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由，即，可得．类比上述过程，把无限循环小数化为分数的结果是 ． 12．（25-26七年级上·山西临汾·期中）如图，在日历中用十字形框出5个数，分别是中间一个数，以及它上下左右四个数．如果这五个数的和是70，则中间的数是 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·云南玉溪·期中）解下列方程 （1） （2） 14．（25-26七年级上·北京西城·期中）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：  第一步   第二步   第三步   第四步   第五步 （1）以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； （2）从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； （3）请写出该方程的正确解答过程． 15．（20-21七年级上·陕西渭南·期末）如图，在直线上，点P在A、B两点之间，点M为线段的中点，点N为线段的中点，若，且使关于x的方程无解． （1）求线段的长； （2）线段的长与点P在线段上的位置有关吗？请说明理由． 16．（21-22七年级上·四川德阳·期末）列方程解应用题： （1）一个箱子，如果装橙子可以装18个，如果装梨可以装16个，现共有橙子、梨个，而且装梨的箱子是装橙子箱子的倍．请算一下，装橙子和装梨的箱子各多少个？ （2）一架飞机在两城之间飞行，风速为千米/时．顺风飞行需要小时分，逆风飞行需要小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程． 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，则下面变形错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21七年级上·辽宁·期末）若关于x的方程的解满足，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（22-23九年级下·安徽淮南·自主招生）方程解的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 5．（20-21七年级上·浙江温州·期中）如图，把8张形状大小一样的小长方形卡片（长为a，宽为b）不重叠地放在一个大长方形中，未覆盖部分恰好被分割成两个长方形（阴影部分），若左下方与右上方阴影部分面积的差为2ab，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）正整数排列如下： 第一行  1 第二行  1  2 第三行  2  3  4 第四行  3  4  5  6 按照这样的规律排列，你认为100第一次出现在（   ） A．第50行第50个 B．第50行第51个 C．第51行第50个 D．第51行第51个 二、填空题 7．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）已知关于x的方程的解是，则k的值是 ． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果方程的解与关于x的方程的解互为相反数，那么a的值为 ． 9．（24-25六年级下·山东泰安·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为 ． 10．（25-26六年级上·上海青浦·期中）如图所示是一个计算流程图，若输出是2，则输入x的值为 ．    11．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数轴上A、B两点对应数分别为、4，P为数轴上一动点，对应数为x，若P点到A、B距离和为9，则x的值为 ． 12．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长8尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺． 三、解答题 13．（25-26七年级上·重庆·期中）解方程： （1） （2） 14．（25-26七年级上·陕西安康·期中）已知一个三角形的第一条边长为，第二条边比第一条边长，第三条边比第二条边短． （1）则第二边的边长为_____，第三边的边长为_____； （2）用含，的式子表示这个三角形的周长，并化简； （3）当，三角形的周长为26时，求此三角形各边的长． 15．（24-25七年级上·广西梧州·期末）某水果店以5元/千克价格购进一批苹果，由于销售良好，该店又以元/千克价格再次购进同一种苹果，这样该水果店两次购进苹果共600千克，花去2800元． （1）求该水果店两次分别购买了多少千克苹果？ （2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的苹果有的损耗，第二次购进的水果有的损耗，并且在销售过程中的其他费用为392元，如果该水果店希望售完这些苹果共获得1400元的利润，那么该水果店每千克售价应定为多少元？ 16．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． （1）请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； （2）当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； （3）当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 五、反思：错题归因手册： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $