第21讲圆与函数的综合问题 期末复习课件 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

这是一份初中数学期末复习课件，聚焦圆与函数综合问题，包含圆与一次函数、反比例函数、二次函数的归类探究，通过例题解析、变式跟进及自主招生题目构建学习支架，还融入“人体的数学化”拓展内容。 资料特色突出，以核心素养为导向，如“人体的数学化”展现数学眼光观察现实（等角螺线、病毒几何形状），例题通过几何直观、推理过程培养数学思维（例1用垂径定理求角度），助力学生提升综合解题能力与应用意识，为教师提供分层教学资源，适合九年级升学备考。

第21讲圆与函数的综合问题 YOUR LOGO 人体的数学化 血压：120/80 胆固醇：180 低密度脂蛋白/高密度脂蛋白：179/47 甘油三酯：189 葡萄糖：80 体温：98.7°F 在我们的身体里，我们的心血管系统网络、被我们的身体用来引发动作的电脉冲、细胞相互联络的方式、我们骨骼的设计、基因的实际分子构造——这一切都具有数学原理． DNA中双螺旋线的发现是另一个数学现象．等角螺线存在于许多关于生物生长的领域——可能因为它的形状不随生长而改变．你可以在你的头发、骨头、内耳的耳蜗、脐带，甚至你的指纹印迹的生长模式中找寻等角螺线． 身体是对称的，这有助于它获得平衡．脊柱的三条曲线除了实现平衡外，在健康方面和使身体获得体力以抬起自己的体重及其他负载方面都很重要． 混沌理论在人体中也有它的位置．例如，在心律不齐的领域，正在研究混沌理论．脑和脑波的功能以及脑失调的治疗也与混沌理论有关． 在分子层次上研究人体，我们发现了数学的迹象．在侵入人体的各种病毒的形状和形式中，存在着几何形状，例如各种多面体和网格球顶结构．在艾滋病病毒(HIV)中，发现了二十面体对称和一个网格球顶结构． 科学研究与数学的结合，对于发现人体奥秘和分析人体功能来说是必要的． 圆与一次函数的综合 ①求∠CFE的度数； ②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围； 图6－21－1 (2)设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE＝45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【思路生成】(1)①圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；②过点O作OH⊥AB，连结OG，根据△AOB面积的两种求法，得OH的值，再根据勾股定理得HG的值，且FG＝2HG得FG的值，根据式子写出b的范围； (2)当b＝5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE＝45°，作PM⊥x轴，再利用△APO∽△AOB和△AMP∽ △AOB得出点P的坐标． 解：(1)① ∵x轴，y轴互相垂直，即∠COE＝90°，∴∠CFE＝45°. ②如答图①，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，连结OG， 例1答图 圆与函数的综合问题主要表现在： (1)圆与一次函数的综合； (2)圆与二次函数的综合； (3)圆与反比例函数的综合． 圆与一次函数综合的方法规律 一次函数与圆的综合题，通常需要转化为几何中的直线与圆的位置关系问题，把函数问题转化为几何问题，充分运用垂径定理、切线的性质及判定、切线长定理等知识． 1．如图6－21－2，在平面直角坐标系 中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别交于A， B两点，连结AP并延长分别交⊙P，x轴于点 D，E，连结DC并延长交y轴于点F，若点F 的坐标为(0，1)，点D的坐标为(6，－1)． (1)求证：DC＝FC； (2)判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； (3)求直线AD的解析式． 图6－21－2 解：(1)证明：如答图，过点D作DH⊥x轴于点H， 则∠CHD＝∠COF＝90°.∵点F的坐标为(0，1)， 点D的坐标为(6，－1)，∴DH＝OF. 变式跟进1答图 ∴△FOC≌△DHC(AAS)，∴DC＝FC. (2)⊙P与x轴相切．理由如下：如答图， 连结CP. ∵AP＝PD，DC＝CF，∴CP∥AF，∴∠PCE＝∠AOC＝90°， 即PC⊥x轴．又PC是半径，∴⊙P与x轴相切． (3)由(2)可知，CP是△DFA的中位线，∴AF＝2CP.∵AD＝2CP， ∴AD＝AF.连结BD.∵AD是⊙P的直径，∴∠ABD＝90°， ∴BD＝OH＝6，OB＝DH＝FO＝1.设AD的长为x，则在直角△ABD中， 由勾股定理，得x2＝62＋(x－2)2，解得x＝10.∴点A的坐标为(0，－9)． 圆与反比例函数的综合 图6－21－3 【思路生成】设⊙P与边AB，AO分别相切于点E，D，连结PE，PD，PA，用面积法可求出⊙P的半径，然后通过三角形相似可求出CD，从而得到点P的坐标． 【解析】 设⊙P与边AB，AO分别相切于点E，D，连结PE，PD，PA，如答图所示． 则有PD⊥OA，PE⊥AB.设⊙P的半径为r， 例2答图 图6－21－4 9 ∴Rt△BPE≌Rt△APF，∴BE＝AF，∵OF－OE＝6， ∴(OA＋AF)－(BE－OB)＝6，即2OA＝6，解得OA＝3， ∴k＝OA×PA＝3×3＝9. 变式跟进2答图 【解析】 如答图，过P点作x轴，y轴的垂线，垂足为A，B. ∵⊙P与两坐标都相切，∴PA＝PB，四边形OAPB为正方形， ∵∠APB＝∠EPF＝90°，∴∠BPE＝∠APF， 例2 考查了以下知识 (1)用待定系数法求反比例函数的解析式； (2)相似三角形的判定与性质； (3)切线的性质； (4)勾股定理． 圆与二次函数的综合 例3　如图6－21－5，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＜0)交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D. (1)如图①，已知点A，B，C的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(0，－4)． ①求此抛物线的表达式与点D的坐标； ②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值； (2)如图②，若a＝1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，并求出该定点坐标． 图6－21－5 【思路生成】(1)①利用待定系数法求抛物线的解析式；利用勾股定理的逆定理证明∠ACB＝90°，由圆周角定理得AB为圆的直径，再由垂径定理知点C，D关于AB对称，由此得出点D的坐标；②求出△BDM面积的表达式，再利用二次函数的性质求出最值； (2)根据抛物线与x轴的交点坐标、根与系数的关系、相似三角形求解． ∴△BDM面积的最大值为36. (2)连结AD，BC.∵∠DAO＝∠DCB，∠ADC＝∠ABC， 例3答图 ∴AO·BO＝DO·CO. ∵y＝x2＋bx＋c，则C(0，c)，设A(x1，0)，B(x2，0)，∴x1·x2＝c， ∴AO·BO＝－c，∴－c＝DO·(－c)，∴DO＝1，∴D(0，1)． ∴无论b，c取何值，点D为定点，D(0，1)． 例3涉及的知识点： (1)待定系数法求解析式； (2)直角三角形的判定和性质； (3)图形的面积计算； (4)三角形相似的性质和判定； (5)二次函数与x轴的交点． 3．如图6－21－6，已知二次函数y＝(x－m)2－4m2(m>0)的图象与x轴交于A，B两点． (1)写出A，B两点的坐标(坐标用m表示)； (2)若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式； (3)设以AB为直径的⊙M与y轴交于C，D两点，求CD的长. 图6－21－6 解：(1)对于抛物线y＝(x－m)2－4m2(m>0)，令y＝0， 解得x1＝－m，x2＝3m，∴A(－m，0)，B(3m，0)． 变式跟进3答图 (2)∵AB是直径，顶点P(m，－4m2)在圆上，则∠APB＝90°. 由于抛物线与圆组成的是轴对称图形， 图6－21－7 (1)求a，b，c的值； (2)求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交； 【思路生成】(1)根据题意得出b＝0，c＝0，将已知点代入求出a的值即可； (2)设P(x，y)，表示出⊙P的半径r，进而与P点纵坐标比较得出答案即可； (3)分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM＝AN时，当AM＝MN时，当AN＝MN时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标． 例4答图 方法总结 解数学压轴题一般可分为三个步骤：认真审题，理解题意，探究解题思路，正确解答．审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题特点、结构，以便于解题方法的选择和解题步骤的设计．解数学压轴题要善于总结数学压轴题所隐含的重要的数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等，认识条件和结论之间的关系，图形的结合特征与数、式的数量结构特征的关系，确定解题思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既防止钻牛角尖，又防止轻易放弃． 例1　如图6－21－1，平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋b(b为常数，b＞0)的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D，E，点D在E的上方． (1)若直线AB与有两个交点F，G. ∵一次函数y＝－x＋b(b为常数，b＞0)， ∴OB＝b，OA＝b，∴AB＝b， ∵×OB×OA＝×AB×OH， ∴×b×b＝×b×OH，∴OH＝b，∴HG2＝OG2－OH2＝16－b2， ∴FG2＝(2HG)2＝64－b2，∴b的取值范围是4＜b＜5. (2)如答图②，过点O作OP⊥AB于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，若b≥5时，在线段AB上存在点P，使∠CPE＝45°，则需线段AB与⊙O相切，即 OH＝b＝4，解得b＝5，∴OB＝5，OA＝，设点P的 坐标为(x0，y0)，则△OPM∽△OAP，∴＝，解得x0＝，∴y0＝－×＋5＝，∴P点坐标为. ∵在△FOC与△DHC中， 设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则解得 ∴直线AD的解析式为y＝x－9. 例2　如图6－21－3，在Rt△OAB中，OA＝4，AB＝5，点C在OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过圆 心P，则k＝______． ∵AB＝5，AC＝1，∴S△APB＝AB·PE＝ r， S△APC＝AC·PD＝r. ∵∠AOB＝90°，OA＝4，AB＝5，∴OB＝3. ∴S△ABC＝AC·OB＝×1×3＝. ∵S△ABC＝S△APB＋S△APC，∴＝r＋r.∴r＝.∴PD＝. ∵PD⊥OA，∠AOB＝90°，∴∠PDC＝∠BOC＝90°. ∴PD∥BO. ∴△PDC∽△BOC.∴＝.∴PD·CO＝CD·BO. ∴×(4－1)＝3CD.∴CD＝.∴OD＝OC－CD＝3－＝. ∴点P的坐标为. ∵反比例函数y＝(k≠0)的图象经过圆心P， ∴k＝×＝. 2．如图6－21－4，点P在双曲线y＝(x>0)上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF－OE＝6，则k的值是_____． 解：(1)①由题意，得解得 ∴y＝x2－x－4.连结BC.∵A，B，C的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(0，－4)． ∴AC2＝20，BC2＝80，AB2＝100，∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴AB是圆的直径，∵AB⊥CD，∴DO＝CO＝4，∴D(0，4)． ②过M作MH⊥y轴于H.设点M的坐标为， ∴S△BDM＝S△DOB＋S△BMO－S△DOM＝×4×8＋×8－×4×m＝－m2＋4m＋32＝－(m－2)2＋36， ∴△ADO∽△CBO，∴＝， ∴PA＝PB，∴4m2＝(3m＋m)，解得m＝. ∴二次函数的解析式为y＝－1. (3)连结CM.由A(－m，0)，B(3m，0)知M点的坐标为(m，0)，MB＝2 m. 在直角三角形OMC中，CO＝＝m. 而OB⊥CD，∴CD＝2OC＝2m. (3)设⊙P与x轴相交于M，N(x2，0)(x1＜x2)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标． 例4　如图6－21－7，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0，0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0，2)． 解：(1)a＝，b＝0，c＝0. (2)设P，如答图，过P作PH1⊥x轴于H1，PH2⊥y轴于H2 则AH2＝2－OH2＝2－a2，PH2＝a， ∴ PA2＝a2＋＝a4＋4. ∵PH＝＝a4，又∵a4＋4>a4，∴PA>PH1， ∴⊙P始终与x轴相交． (3)由(2)知PN2＝a4＋4，PH＝a4，由勾股定理知NH1＝2，由垂径定理得MN＝4.∴M(a－2，0)，N(a＋2，0)， ∴AM＝，AN＝， 又∵△AMN为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当AN＝MN＝4时，＝4，解得 a＝－2±2，则a2＝4±2. ②当AM＝MN＝4时，＝4，解得a＝2±2，则a2＝4±2. ③当AM＝AN，P在原点(0，0)处． 综上，P点的纵坐标为0或4－2或4＋2. $