第20讲圆与相似三角形的结合 期末复习课件 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

这是一份初中数学期末复习课件，主题为圆与相似三角形的结合，包含判定圆中相似三角形、证明比例式或乘积式、利用相似解决计算问题等类型例题，配套变式跟进与思路指导，构建系统学习支架。 资料特色鲜明，从“测定月球直径”实际问题切入，结合圆周角定理、切线性质等知识，通过例1用同弧圆周角证相似等推理过程培养数学思维，变式练习巩固应用，助力学生发展数学眼光与表达能力，为教师教学提供实用参考，帮助九年级学生巩固核心知识，适应升学考试要求。

第20讲圆与相似三角形的结合 YOUR LOGO 月球有多大？ 我们用三角函数可以测定月球的大小，当我们已知月球离地球的距离是三十八万四千千米，就可以用相似测定月球直径的大小． 如图①，把一个五分的硬币(直径2.4 cm)，放在离眼睛2.6 m的地方，大致能够把整个月面遮住．(试一试！) 判定圆中的相似三角形 例1　如图6－20－1，AC是⊙O的直径， 弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB. 图6－20－1 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD， ∴∠AED＝∠ADC， 又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°， ∴∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD，∴CD＝CB. 圆与相似三角形的综合运用主要体现在以下几个方面： (1)证明圆的比例式或等积式； (2)运用相似的性质进行圆的有关计算； (3)运用相似证明圆的切线． 判定圆中的相似三角形 (1)圆中的角主要有圆心角和圆周角，特别是直径所对的圆周角都是直角，因此利用圆心角、圆周角等寻找或构造相似三角形是基本思路； (2)利用圆的切线的判定或性质，或切线长定理寻找或构造相似三角形也是重要的方法． 1．如图6－20－2，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D. (1)求证：△ABC ∽△BDC； (2)若AC＝8，BC＝6，求△BDC的面积． 图6－20－2 解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝90°. ∵BD为⊙O切线，∴∠ABD＝90°，∴∠A＋∠D＝90°， ∴∠ABC＝∠D. 又∵∠ACB＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△BDC. 证明圆中的比例式或乘积式 例2　如图6－20－3，已知⊙O的弦CD 与直径AB垂直于F，点E在CD上，且AE＝ CE. (1)求证：CA2＝CE•CD； (2)已知CA＝5，EA＝3，求sin∠EAF. 图6－20－3 【思路生成】(1)由⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，根据垂径定理，易证得∠C＝∠D，又由AE＝CE，可得∠C＝∠CAE，即可得∠CAE＝∠D，又由∠C是公共角，即可证得△CEA∽△CAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论； (2)由CA2＝CE·CD，CA＝5，EA＝3，可求得CD的长，然后由垂径定理，求得CF的长，继而求得EF的长，然后由正弦函数的定义，求得答案． 解：(1)证明：在△CEA和△CAD中，∵弦CD垂直于直径AB， 2．如图6－20－4，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D.连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E. (1)求证：DE为半圆O的切线； (2)求证：DB2＝AB·BE. 图6－20－4 证明：(1)连结OD，BD，则∠ADB＝90°， ∵BA＝BC，∴CD＝AD， ∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC， ∵∠DEB＝90°，∴∠ODE＝90°， 即OD⊥DE，故DE为半圆O的切线． 变式跟进2答图 证明圆中的比例式或乘积式 在圆中证明两个三角形相似，一般选用“有两个角对应相等，则这两个三角形相似”的判定方法，这是因为圆有“同弧(或等弧)所对的圆周角相等”这条重要的性质． 利用相似三角形解决圆中计算问题 (1)当α＝18°时，求弧BD的长； (2)当α＝30°时，求线段BE的长； (3)若要使点E在线段BA的延长线上， 则α的取值范围是______________．(直接 写出答案) 60°<α<90° 图6－20－5 解：(1)如答图①，连结OD，∵α＝18°，∴∠DOB＝2α＝36°. 例3答图 (2)∵α＝30°，AC⊥AB，∴∠CAD＝60°. ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∠B＝60°，∴∠B＝∠CAD. ∵∠CDE＝∠ADB＝90°，∴∠CDA＝∠EDB. ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°， 当E′在BA的延长线上时，可得∠D′AB>∠DAB＝60°， ∵0°<α<90°，∴α的取值范围是60°<α<90°. 相似三角形解决圆中计算问题 作直径构造直角是证明圆中三角形相似的常见辅助线． 圆中三角形的相似常见的基本图形如下图所示． 3．如图6－20－6，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连结PC交⊙O于点B，连结AB，且PC＝10，PA＝6.求： (1)⊙O的半径； (2)cos∠BAC的值． 图6－20－6 圆与相似三角形的综合运用 例4　如图6－20－7，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF 于点D，∠DAC＝∠BAC. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)求证：AC2＝AD·AB； 图6－20－7 (3)若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积． 【思路生成】(1)连结OC，根据OA＝OC推出∠BAC＝∠OCA＝∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可； (2)证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案； (3)证出等边三角形OAC，求出AC，∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD，CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积． 解：(1)证明：如答图，连结OC，∵AD⊥EF，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°， ∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠CAD＝∠ACO， ∴AD∥OC，∴∠OCD＝90°， ∴OC⊥EF， ∴EF是⊙O的切线． (2)证明：如答图，连结BC. ∵AB是直径，∴∠BCA＝90°. ∵AD⊥EF，∴∠ADC＝90°. ∵∠DAC＝∠BAC， ∴△BCA∽△CDA， 例4答图 (3)∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，即∠ACD＋∠ACO＝90°， ∵∠ACD＝30°，∴∠OCA＝60°， ∵OC＝OA，∴△ACO是等边三角形， ∴AC＝OC＝2，∠AOC＝60°， 圆与相似三角形的综合运用 (1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明直线与这条半径垂直； (2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心． 4．如图6－20－8，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE. (1)求证：BE与⊙O相切； 图6－20－8 解：(1)证明：如答图，连结OC.∵OC＝OB，OD⊥BC， ∴∠COD＝∠BOD.又∵OC＝OB，OE＝OE， ∴△OCE≌△OBE.∴∠OCE＝∠OBE. ∵CE切⊙O于点C，∴OC⊥CE.∴∠OCE＝90°. ∴∠OBE＝90°.∴OB⊥BE.∴BE与⊙O相切． (2)设⊙O的半径长为r，则OD＝r－1，OB＝r. 变式跟进4答图 5．如图6－20－9，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与以AB 为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G.设AD＝a，BC＝b. (1)求CD的长度(用a，b表示)； (2)求EG的长度(用a，b表示)； 图6－20－9 (3)试判断EG与FG是否相等，并说明理由． 解：(1)∵∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴DA⊥直径AB，CB⊥直径AB， ∴DA切⊙O于A点，CB切⊙O于B点． 又∵CD切⊙O于E点，∴DE＝DA＝a，CE＝CB＝b， ∴CD＝DE＋CE＝a＋b. 图6－20－10 A ∴AD＝4，BD＝6. 作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半 圆于D′，连结AC，CA′，可得A，C，A′三点共线， ∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称， ∴AB＝A′B，∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10. 而A′C•A′A＝A′D′•A′B，即A′C•2A′C＝4×10＝40. 例5答图 利用直径构造直角三角形是解题的基本思路． 如图②，由△OAB∽△OCD，可得＝(相似三角形对应高的比等于相似比)． 把AB＝0.024 m，OF＝384 000 000 m， OE＝2.6 m代入，得 CD＝≈3 500 000(m)． 就是说，月球的直径约是3 500 km. 【思路生成】(1)由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A＝∠B，又由对顶角相等，可证得△ADE∽△BCE； (2)由AD2＝AE•AC，可得＝，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，可求得AC⊥BD，由垂径定理即可证得CD＝CB. 证明：(1)∵∠A与∠B是对的圆周角， ∴∠A＝∠B，又∵∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△BCE. (2)∵AD 2＝AE•AC，∴＝， (2)由(1)可得△ABC∽△BDC，∴＝. ∴CD＝＝＝，∴S△BDC＝×6×＝. ∴＝，∴∠D＝∠C，又∵AE＝EC，∴∠CAE＝∠C， ∴△CEA∽△CAD，∴＝，即CA2＝CE•CD. (2)∵CA2＝CE•CD，AC＝5，EC＝EA＝3，∴52＝CD•3，CD＝. 又∵CF＝FD，∴CF＝CD＝×＝， ∴EF＝CF－CE＝－3＝， (2)∵△BED∽△BDC，∴＝， 又∵AB＝BC，∴＝， 故BD2＝AB•BE. 例3　如图6－20－5所示，AC⊥AB，AB＝2，AC＝2，点D是以AB为直径的半圆上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB＝α(0°<α<90°)． 【思路生成】(1)首先连结OD，由圆周角定理，可求得∠DOB的度数，又由半圆O的直径为2，即可求得其半径，然后由弧长公式求解； (2)证得△ACD∽△BED，可得＝； (3)首先求得A与E重合时α的度数，则可求得点E在线段BA的延长线上时，α的取值范围． ∵AB＝2，∴半圆O的半径为， ∴的长为＝. ∴△DCA∽△DEB，∴＝，∵AB＝2，AC＝2， ∴AD＝3，BD＝.∴＝，∴BE＝. ∴tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°， 解：(1)∵PA是⊙O的切线，AC为⊙O的直径， ∴ PA⊥AC.在Rt△ACP中，PA＝6，PC＝10， ∴AC＝＝8，∴AO＝AC＝4. 即⊙O的半径为4. (2)∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°. 又∵∠PAC＝90°，∠ACB＝∠PCA，∴△ABC∽△PAC，∴∠BAC＝∠P， ∴cos∠BAC＝cosP＝＝＝. ∴＝，即AC2＝AD·AB. 在Rt△ADC中，∵∠ACD＝30°，∴AD＝1，CD＝， S阴影＝S梯形OCDA－S扇形AOC＝(1＋2)×－＝－. (2)OE交⊙O于点F，若DF＝1，BC＝2，求由劣弧BC，线段CE和BE所围成的图形面积S. ∵OC＝OB，OD⊥BC，∴BD＝BC＝×2＝. 在Rt△OBD中，由勾股定理得(r－1)2＋()2＝r2，解得r＝2. ∴OD＝1，OB＝2.∴sin∠BOD＝＝.∴∠BOD＝60°. 在Rt△OBE中，BE＝OB·tan∠BOD＝2×tan 60°＝2. ∴S△OBE＝×OB×BE＝×2×2＝2. ∵△OCE≌△OBE，∴S△OCE＝S△OBE＝2.∴S四边形OBEC＝4. ∵∠COD＝∠BOD，∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°. ∴S扇形BOC＝·π·22＝π. ∴S＝S四边形OBEC－S扇形BOC＝4－π＝. (2)∵EF⊥AB，DA⊥AB，CB⊥AB，∴DA∥EF∥CB， ∴△DEG∽△DCB，∴＝，∴EG＝CB·＝b· ＝. (3)EG＝FG.理由如下：∵DA∥EF，∴△BGF∽△BDA， ∴＝. ∵EG∥BC，∴＝，∴＝， ∴FG＝AD·＝a·＝，∴EG＝FG. A．4 B．4 C．4 D．4 例5　如图6－20－10，以半圆的一条弦BC(非直径)为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若＝，且AB＝10，则CB的长为 (　 　) 【解析】 如答图，若＝，且AB＝10， 则A′C2＝20，又∵A′C2＝A′B2－CB2，∴20＝100－CB2，∴CB＝4. $