2026年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷

2026年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷 考试时间：90分钟 满分：100分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 57分） 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则与角终边相同的最小正角为（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 5．计算：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知时，函数的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D．3 7．下列各组向量中，可以作为平面向量一组基底的是（    ） A． B． C． D． 8．在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（    ） A． B． C． D． 10．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 11．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 12．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 13．函数的图象大致是（    ） A． B．C． D． 14．若，是正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．半径为2的球的表面积是（    ） A． B． C． D． 16．下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 17．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（    ） A．至少有名女生 B．至少两名男生 C．至多一名女生 D．全是男生 18．如图，已知长方体，下列说法正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C． D． 19．某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断不正确的有（    ）    A．该简谐运动的振幅是 B．该简谐运动的初相是 C．该简谐运动往复运动一次需要 D．该简谐运动往复运动25次 第Ⅱ卷（非选择题 43分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） 20．= . 21．设 ，则的值是 . 22．若向量 则与夹角的正弦值等于 . 23．若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则 .（写出满足这些条件的一个函数即可） 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24．已知为钝角，且． (1)求的值； (2)求的值． 25．在如图所示的多面体中，面是平行四边形，四边形是矩形. (1)求证：平面； (2)若，，，，求三棱锥的体积. 26．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56． (1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人； (2)求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差. （参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷 考试时间：90分钟 满分：100分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 57分） 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则与角终边相同的最小正角为（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 5．计算：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知时，函数的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D．3 7．下列各组向量中，可以作为平面向量一组基底的是（    ） A． B． C． D． 8．在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（    ） A． B． C． D． 10．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 11．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 12．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 13．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 14．若，是正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．半径为2的球的表面积是（    ） A． B． C． D． 16．下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 17．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（    ） A．至少有名女生 B．至少两名男生 C．至多一名女生 D．全是男生 18．如图，已知长方体，下列说法正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C． D． 19．某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断不正确的有（    ）    A．该简谐运动的振幅是 B．该简谐运动的初相是 C．该简谐运动往复运动一次需要 D．该简谐运动往复运动25次 第Ⅱ卷（非选择题 43分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） 20．= . 21．设 ，则的值是 . 22．若向量 则与夹角的正弦值等于 . 23．若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则 .（写出满足这些条件的一个函数即可） 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24．已知为钝角，且． (1)求的值； (2)求的值． 25．在如图所示的多面体中，面是平行四边形，四边形是矩形. (1)求证：平面； (2)若，，，，求三棱锥的体积. 26．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56． (1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人； (2)求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差. （参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷 考试时间：90分钟 满分：100分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 57分） 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：B. 2．若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则与角终边相同的最小正角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用终边相同的角的定义求解即可. 【详解】因为，所以与角终边相同的最小正角为． 故选：C． 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数中真数大于0与零次幂中底数不等于0列式求解即可. 【详解】由题意知，且， 故函数的定义域为. 故选：B. 4．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，然后利用零点存在性定理求解即可 【详解】解：因为函数在上均为减函数， 所以函数在上为减函数， 因为， 所以函数的零点所在的区间为， 故选：B 【点睛】此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题 5．计算：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质即可解出． 【详解】． 故选：. 6．已知时，函数的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】根据基本不等式，即可求出函数的最小值. 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7．下列各组向量中，可以作为平面向量一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面向量中能作为基底的充分必要条件是一组不平行的非零向量，按照这个条件逐项判断即可. 【详解】对于A，是零向量，不可以作为平面向量一组基底； 对于B， ，两向量是平行向量，不可以作为平面向量一组基底； 对于C， ，两向量是平行向量，不可以作为平面向量一组基底； 对于D，因为，所以是一组不平行的非零向量，可以作为平面向量一组基底. 故选：D. 8．在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理先算出，由大边对大角分析出是锐角，然后根据正余弦的关系进行求解 【详解】根据正弦定理，， 结合题干数据可得，， 注意到，根据大边对大角，则， 于是，则. 故选：B 9．甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】根据已知条件,甲、乙能破译的概率分别是, 所以两人都成功破译的概率是. 故选:A. 10．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据三角函数图象平移变换的知识可得答案. 【详解】函数，只需将函数的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象. 故选：A. 11．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】求得不等式对应方程的根，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由方程，可得方程的两根为，， 结合一元二次不等式的解法，可得不等式的解集为或. 故选：C． 12．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为，， 所以，又因为，所以， 故选：. 13．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得函数为偶函数，图象关于轴对称，当时，，结合对数函数的性质，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 故选：D. 14．若，是正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质可得“”“”、“” “”，结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 当时，由，得， 则“”“”； 当时，由，得， 则“” “”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 15．半径为2的球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由球的表面积公式直接求出表面积即可. 【详解】由球的表面积公式可得， 故选：C. 【点睛】本题考查球的表面积的计算，记住公式是关键，本题属于容易题. 16．下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由简单幂函数、对数函数、余弦函数的性质判断A、B、D，由奇偶性定义及二次函数的性质判断C. 【详解】由为奇函数，为非奇非偶函数，故B、D不符合， 由为偶函数，但在上不单调，A不符合， 由的定义域为R，且，则为偶函数， 根据二次函数的性质，在上单调递增，C符合. 故选：C 17．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（    ） A．至少有名女生 B．至少两名男生 C．至多一名女生 D．全是男生 【答案】D 【分析】根据互斥与对立事件的概念直接判断即可. 【详解】A选项：事件“至少有名女生”与事件“至多一名男生”可以同时发生，不满足互斥事件的概念，A选项错误； B选项：事件“至少两名男生”与事件“至多一名男生”互为对立事件，B选项错误； C选项："至多一名女生"即为“至少二名男生”，与事件“至多一名男生”为对立事件， ，C选项错误； D选项：事件“全是男生”与事件“至多一名男生”，不能同时发生，满足互斥事件概念， 又除两事件外还有可能发生事件“恰好两名男生”，所以两事件不对立，D选项正确； 故选：D. 18．如图，已知长方体，下列说法正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体中的平行关系和垂直关系，依次判断即可. 【详解】在长方体中，∥，平面，平面，平面，故A正确，B不正确； 平面，平面，，故C不正确； ∥，∥，∥，故D不正确. 故选：A. 19．某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断不正确的有（    ）    A．该简谐运动的振幅是 B．该简谐运动的初相是 C．该简谐运动往复运动一次需要 D．该简谐运动往复运动25次 【答案】C 【分析】结合简谐运动在一个周期内的图象可判断A；设该函数解析式为，由简谐运动在一个周期内的图象可得，把点代入解析式可得，可判断BCD. 【详解】对于A，由简谐运动在一个周期内的图象可得该简谐运动的振幅是，故A正确； 对于B，设该函数解析式为， 由简谐运动在一个周期内的图象可得，可得，所以，所以， 因为把点代入解析式可得， 所以，所以， 若，则，故B正确； 对于C，由B可知，故C错误； 对于D，该简谐运动往复运动次，故D正确. 故选：C. 第Ⅱ卷（非选择题 43分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） 20．= . 【答案】/ 【分析】根据复数的乘法运算可求出结果. 【详解】. 故答案为： 21．设 ，则的值是 . 【答案】/0.5 【分析】根据函数解析式，依次代值计算即可. 【详解】由题意，， 则. 故答案为：. 22．若向量 则与夹角的正弦值等于 . 【答案】 【分析】由可求得与夹角的余弦值,进而可求得其夹角的正弦值. 【详解】由题意,,, ,, 设与的夹角为,则, . 故答案为:. 【点睛】本题考查了向量夹角的求法,考查了学生的计算能力,属于基础题. 23．若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则 .（写出满足这些条件的一个函数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件（1）可判断函数在上单调递增；条件（2）符合指数幂的运算性质：，（且），即可得解. 【详解】由条件（1）对于任意实数，当时，都有，可得函数在上单调递增， 条件（2）符合指数幂的运算性质：，（且）， 故可选一个单调递增的指数函数：． 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24．已知为钝角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式计算即得. （2）由（1）的结论，利用诱导公式计算即得. 【详解】（1）由为钝角，且，得， 所以. （2）由（1）知，，，又， 所以. 25．在如图所示的多面体中，面是平行四边形，四边形是矩形. (1)求证：平面； (2)若，，，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据平行四边形和矩形特点可得，，由线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得平面平面；由面面平行性质定理可证得结论； （2）设，可知为中点，根据比例关系和体积桥可知；利用余弦定理求得后可证得，由线面垂直判定定理证得平面；利用三棱锥体积公式可求得，进而求得结果. 【详解】（1）四边形为平行四边形     又平面，平面    平面 四边形为矩形     又平面，平面    平面 平面，    平面平面 又平面    平面 （2）设，连接 四边形为平行四边形    为中点 在中，由余弦定理得：          又，平面，    平面 点到平面的距离为 ， 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解问题；涉及到线面平行判定定理、面面平行判定定理和性质定理、线面垂直的判定定理的应用；求解三棱锥体积问题的常用方法是利用体积桥的方式将问题转化为底面积和高易求的三棱锥体积的求解问题. 26．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56． (1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人； (2)求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差. （参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则） 【答案】(1)60；40 (2)平均数为，16． 【分析】（1）根据样本与总体可确定抽样比，根据抽样比可确定抽取男生60人，女生40人； （2）利用公式求抽取的总样本的平均数和方差，从而估计总体的方差. 【详解】（1）设在男生､女生中分别抽取m名和n名，则， 解得． （2）记抽取的总样本的平均数为，可得， 所以抽取的总样本的平均数为． 男生样本的平均数为，样本方差为； 女生样本的平均数为，样本方差为； 记总样本的样本方差为，则 所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $