专题07 锐角三角函数 7大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

专题07 锐角三角函数 7大高频考点概览 考点01求角的正切值 考点02正弦、余弦 考点03 特殊角的三角函数 考点04 三角函数与三角形的综合 考点05 三角函数与四边形综合 考点06 三角函数与圆形的综合 考点07 三角函数的实际应用 地 城 考点01 求角的正切值 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在中，，，若将的三边都扩大3倍，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，，，垂足为，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 第2题 第3题 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在正方形网格中，如图放置，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，则的值是（　　） A． B． C． D． 第4题 第5题 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，=，是重心，连接，则的正切值为 ． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，相交于点E，则的正切值为 ． 第6题 7．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知中，，，，则 ． 地 城 考点02 正弦、余弦 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）若锐角满足，则 ． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在中，若，则 ． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期末）在中，，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）在中，，，则的长为 ． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，，则的值为 ． 地 城 考点03 特殊角的三角函数 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）计算的值（    ） A． B．1 C． D．3 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）若锐角，则的值是（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25九年级下·江苏苏州·期末）计算：． 4．（24-25九年级下·江苏徐州·期末）计算； 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）计算： (1) (2) 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）计算： (1) (2) 7．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）计算： 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）计算：． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）计算： 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）计算：； 12．（24-25九年级上·江苏南通·期末）计算； 13．（24-25九年级上·江苏常州·期末）计算： (1)； (2) 14．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）计算：． 地 城 考点04 锐角三角函数与三角形的综合 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知在中，，，若点为的内心，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，、、，点是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角，当点在边且运动一周时，点的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在中，，的对边分别为、、，若已知和求，你认为最直接的求解应选择三角函数是（   ） A． B． C． D．无法比较 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）下列条件中，不能解直角三角形的是（   ） A．已知两条直角边 B．已知斜边和一条直角边 C．已知两锐角 D．已知一边与一锐角 5．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，，以的中点为圆心作，当与相切于点时，与相交于点、，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 第5题 第6题 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是斜边上的中线，，点在边上，连接，，当与相似时，线段的长为 ． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，中，，，将绕点C旋转得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接，若点M，N分别是的中点，连接则长度的取值范围是 ． 第7题 第9题 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，，则 ． 10．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，是的角平分线，则线段的长为 ． 第10题 第11题 11．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，点在第一象限，射线与x轴所夹的锐角为α， ，则t的值是 ． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素，对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题： (1)观察图①图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是______； (2)如图⑤，在中，已知，，，能否求出的长度？如果能，请求出的长度；如果不能，请说明理由；（参考数据：，） (3)在（2）的条件下，若以点B为圆心，r为半径的与所在的直线有唯一的公共点，则r的值为______． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，点I是的内心． (1)O是边上一点，以r为半径的恰好经过B、I两点，求r的值； (2)过点I的直线l分别交边、边于点M、N．以下两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个结论是正确的，判断哪个结论正确并求出该定值． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知中，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，求的长． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在中，，在射线上有一个动点，作的垂直平分线，垂足为．点是上的一个动点，连接并延长，交直线于点，连接． (1)如图1，求的值； (2)如图1，当，点，，在同一直线上时，________，_______； (3)如图2，在点和点的运动过程中，若，求的值； (4)如图3，在点和点的运动过程中，若，求证：． 16．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）图1、图2、图3、图4、图5均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点． (1)如图1，连接交于点E，则的值为______； (2)仅用无刻度的直尺在给定的网格中，按下列要求作图（保留作图痕迹并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，不写作法）． ①如图2，在线段上确定一点P，使； ②如图3，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，在线段BF上确定一点Q，使； ③如图4，在上确定一点H，使∽； ④如图5，在上确定一点M，使的面积为 17．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知在中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． (1)已知，，求； (2)已知，，求和． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）（1）求二次函数的顶点坐标（要写出求解过程）； （2）根据图示，求中的值． 19．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，为边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 20．（24-25九年级上·江苏常州·期末）在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：______，______； 发现结论：______（填“”或“”）； （2）如图，在中，，，，求的值； 研究思路：小明想构造包含的直角三角形；于是延长至，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值，那么______； （3）在中，为锐角，，，．求的值． 21．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，等腰中，，过点B作于点D，，． (1)求的长； (2)求的值． 22．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图①，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线的对称点Q，连结交于点E，连结、．设点P的运动时间为t秒． (1)当点P与点B重合时，求t的值． (2)用含t的代数式表示线段的长． (3)当为锐角三角形时，求t的取值范围． (4)如图②，取的中点M，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出t的值． 23．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，请利用没有刻度的直尺和圆规，按下列要求作图并计算． (1)在边上作一点，使点到两边所在的直线的距离相等，在边上作一点，使；（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）； (2)在（1）的条件下，若，，，则的长为______． 地 城 考点05 锐角三角函数与四边形综合 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形中，，点是平面内一动点，，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．则下列结论：①；②；③连接，当时，的面积为；④过点作的垂线，垂足为，则最小值是．其中，正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 第1题 第2题 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，矩形中，为中点，连接．点为点关于的对称点，连接，，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（   ） A．B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在菱形中，对角线，，将菱形绕着的中点顺时针旋转，得到四边形，当点恰好落在边上时，四边形的边与边交于点，则的长为 ． 第3题 第4题 4．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）图1中周长为20的矩形纸片剪掉一块边长为1的正方形后，将剩下的部分沿线剪开，拼成不重叠、无缝隙的矩形（如图2），则图2中 ． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． (1)如图①，连接，则 ， ； (2)如图②，当点在射线上时，求线段的长； (3)如图③，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，则的最小值为 ． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图1所示，在正方形中，将绕着点逆时针旋转得到，，旋转角度为． (1)在图1中，当时，，分别交于点，． ①若正方形的边长为4，求的最小值； ②求证：； (2)将绕着点逆时针旋转一周，连接，取的中点，连接．在旋转过程中，当时，求的值． 地 城 考点06 锐角三角函数与圆形的综合 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的半径为，直线与相切于点，动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时12s，当点到直线的距离是时，点运动的时间为（    ） A．或 B．或 C． D． 第1题 第2 题 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是的直径，点C是上一点，，点D是上一动点，以为边作，连接，若，则的最大值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，的弦与弦相交于点，，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 第3题 第4题 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E是的中点，则 ；若是直径，P是直线上任意一点，与相切于点M、N，当最大时，的长为 ． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则的半径为 ；连接、，则的值为 ． 第5题 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，与y轴交于点，一次函数（）的图像分别交x轴、y轴于点B、C． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为D、E，若，求b的值． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知是的直径，点是的中点，弦交于，过点的直线交延长线于点且． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求阴影部分的面积（结果保留． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，平面直角坐标系中，是第一象限的角平分线，点A，C在射线上（A在C左侧），以为对角线作正方形，与交于点E． (1)若，，求证：； (2)以O为圆心，以长为半径作，已知， ①若恰好经过的中点时，求此时正方形的边长； ②若与有公共点，求此时正方形边长的取值范围． 9．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是的直径，点在外，与相交于点，与的延长线相交于点，且，与相交于点，． (1)求的长； (2)若，求阴影部分的面积． 10．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是的外接圆，直径，垂足为点F，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为5，求的长． 11．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）【剪纸活动】用一张半径为的圆形纸片剪一个圆心角为的扇形． （1）计算图1中的扇形（点在上）的面积（结果保留）； （2）如图2，点在内，若剪出圆心角为的扇形面积最大，请利用圆规和无刻度的直尺作出这个扇形（不写作法，保留作图痕迹）； 【活动经验】 在这张半径为的圆形纸片上剪一个圆心角为的扇形（点在上），所剪的扇形面积的取值范围是______（直接写出结果，结果保留）． 12．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，在中，是的直径，，点是上异于的任一点，连接，过点作射线，点是射线上一点，连接，当点在上运动时，始终保持． (1)当与相切时，求的长度； (2)当时，求的值． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图1，中，D为边上一点，连接，，以为直径的恰好经过点C． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求 的半径r； ②如图 2，若点E是的中点（点E，C在直径的异侧），连接，求 的长． 地 城 考点07 锐角三角函数的实际应用 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，一辆汽车在坡度（即）的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了 米． 第1题 第2 题 第3题 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则坝底为 ． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）一段拦水坝横断面如图所示，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，若，则坡面的长度为 m． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期末）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用测量计算方法：在小溪这边的点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，已知小明的眼睛离地面距离为1.6米，点、点与古树在一条直线上，则古树的高度为 米（精确到0.1米，参考数据：，，，，，）． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，某校数学兴趣小组为了测量塔的高度，将无人机飞升至距水平地面米的处，测得塔顶端的俯角为，底端的俯角为，则该塔的高度是 米．（参考数据：） 第5题 第6题 6．（24-25九年级上·江苏常州·期末）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调节到时，人的头部支撑点向后水平推移了 ． 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）小红沿坡比为的斜坡上走了120米，则她实际上升了 米 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州文峰塔，又名南山寺塔，是“海陵八景”之一、为测量文峰塔（即图中）的高度，数学社团同学采用如下方法：在点处测得塔顶点的仰角为，然后沿着正对塔身方向前进了米至点，此时测得点的仰角为，点在同一平面内，点在上，且，请根据测量数据，求文峰塔的高度（结果保留整数，参考数据：）． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，，点在点的正北方向，点，在点的正北方向．．点在点的北偏东，点在点的北偏东．求步道的长．（精确到，参考数据：） 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图为一种人字形钢架的示意图，钢架主要包括底角为的等腰三角形外框和支柱（等腰三角形底边上的高）．若该钢架的腰长为10，焊接一个这种钢架，大约需要钢材多少米？（结果取整数，参考数据：） 12．（24-25九年级上·江苏南通·期末）学校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机的机翼图纸．已知图纸中，均与水平方向垂直，机翼前缘、机翼后缘与水平方向形成的夹角度数分别为，，，点到直线的距离为．求机翼外缘的长度（结果保留根号）． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，） (1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点间的水平距离长． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，） 15．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图①为某款折叠躺椅的实物图，图②为该款折叠躺椅的侧面示意图，为水平地面．已知座板，靠背，后支架，点是转动点，，与始终在同一平面内，当张角时，，此时人躺着处于最舒服状态，求此时躺椅最高点距离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 锐角三角函数 7大高频考点概览 考点01求角的正切值 考点02正弦、余弦 考点03 特殊角的三角函数 考点04 三角函数与三角形的综合 考点05 三角函数与四边形综合 考点06 三角函数与圆形的综合 考点07 三角函数的实际应用 地 城 考点01 求角的正切值 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在中，，，若将的三边都扩大3倍，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．设，，，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：设，，， 在中，，， 扩大3倍后的三边为、、， 扩大3倍后的， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，，，垂足为，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正切值 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据同角的余角相等，得出，再结合正切的定义即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴， ∴． 在中， ， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在正方形网格中，如图放置，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查勾股定理与格点问题，正切的定义等，解题的关键是利用格点构造直角三角形．取格点，连接，利用正切的定义即可求出的值． 【详解】解：如图所示，取格点，连接 ∵， ∴ 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，=，是重心，连接，则的正切值为 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值、重心的有关性质 【分析】本题考查了重心以及正切的求法，熟练掌握基本概念是解题关键； 连接并延长与交于点，先利用重心的性质可得，，再通过直角等腰三角形性质可知，进而再通过正切的定义即可求解． 【详解】解：连接并延长与交于点，如图， ∵为重心， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为： ． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，相交于点E，则的正切值为 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切值，正确添加辅助线是解题的关键． 取格点H，连接，可根据勾股定理逆定理证明，由勾股定理得，显然，那么，由勾股定理得，再由正切定义即可求解． 【详解】解：取格点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知中，，，，则 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了三角函数，根据正切的定义即可得出答案． 【详解】∵，，， ∴， 故答案为：． 地 城 考点02 正弦、余弦 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）若锐角满足，则 ． 【答案】/30度 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在中，若，则 ． 【答案】/90度 【知识点】绝对值非负性、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴ 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期末）在中，，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，利用勾股定理得到与之间的关系，然后根据正弦的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 则， 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，掌握正弦值等于对边比斜边成为解题的关键． 根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）在中，，，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，，则的值为 ． 【答案】/0.6 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出的长，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点03 特殊角的三角函数 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）计算的值（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角形函数值即可求解，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）若锐角，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 3．（24-25九年级下·江苏苏州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查实数运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，算术平方根的定义，乘方的运算法则，绝对值的意义．根据特殊角的三角函数值，算术平方根的定义，乘方的运算法则，绝对值的意义进行计算即可． 【详解】解： ． 4．（24-25九年级下·江苏徐州·期末）计算； 【答案】； 【知识点】负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查的知识点是实数的混合运算，掌握根据运算顺序以及运算法则是解此题的关键． 先计算零指数幂、负指数幂、代入三角函数值、计算绝对值，最后计算加减可得； 【详解】解： ； 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答； （2）先计算负整数指数次幂、绝对值、零次幂和二次根式的化简，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数的运算法则以及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算，再合并即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）计算： 【答案】． 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】解： 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，立方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用特殊锐角三角函数值，立方根的定义计算即可； （2）利用特殊锐角三角函数值，二次根式的性质计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用零指数幂法则，立方根，绝对值，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】原式 ． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）计算： 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解 【详解】解：原式 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）计算：； 【答案】； 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，解题的关键是：把特殊角的三角函数代入计算即可； 【详解】解：原式 ； 12．（24-25九年级上·江苏南通·期末）计算； 【答案】； 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是特殊角的三角函数值； 【详解】解：原式                      ；             13．（24-25九年级上·江苏常州·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)2 (2) 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算． （1）先把特殊角的三角函数值代入，然后计算乘方，再计算乘除法，最后再计算加减法． （2）先把特殊角的三角函数值代入，然后再计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 14．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查的是锐角三角函数，解答本题的关键是记熟一些特殊角的三角函数值； 熟记特殊角的锐角三角函数值，把这些函数值代入所求的代数式即可求解． 【详解】解：原式 ． 地 城 考点04 锐角三角函数与三角形的综合 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知在中，，，若点为的内心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的正切值、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接并且延长交于点，作于点，∵点为的内心，∴平分，得到，设，根据推出，进而求解． 【详解】解：如图：连接并且延长交于点，作于点，则， ∵点为的内心， ∴平分， ∵，， ∴， 设, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴． 故选：B ． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，、、，点是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角，当点在边且运动一周时，点的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，根据是等腰直角三角形，可知点的运动轨迹与点的运动轨迹形状相同，且：1，得出周长比为，求出的周长即可解决问题． 【详解】解：是等腰直角三角形， ∴点的运动轨迹与点的运动轨迹形状相同， ， ∴点的轨迹图形与点的轨迹图形相似比为， ， ， 周长， ∴点的轨迹形成的封闭图形周长为， 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在中，，的对边分别为、、，若已知和求，你认为最直接的求解应选择三角函数是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查解三角形，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解．由在中，，的对边分别是、、则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，的对边分别是、、 ∴ 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）下列条件中，不能解直角三角形的是（   ） A．已知两条直角边 B．已知斜边和一条直角边 C．已知两锐角 D．已知一边与一锐角 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知解直角三角形所需的条件是解题的关键．根据四个选项中所给条件，结合解直角三角形的步骤依次进行判断即可． 【详解】解：当已知两条直角边时， 可利用勾股定理求出斜边长，再分别求出两个锐角的正弦值，进而得出两个锐角度数， 所以这个直角三角形可解． 故A选项不符合题意． 当已知斜边和一条直角边时， 可利用勾股定理求出斜边长，再分别求出两个锐角的正弦值， 可利用勾股定理求出另一条直角边长，再分别求出两个锐角的正弦值，进而得出两个锐角度数， 所以这个直角三角形可解． 故B选项不符合题意． 当已知两锐角时， 此直角三角形的大小无法确定， 所以这个直角三角形不可解． 故C选项符合题意． 当已知一边与一锐角时， 可先求出另一个锐角，再借助正弦或余弦求出剩余的边即可， 所以这个直角三角形可解． 故D选项不符合题意． 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，，以的中点为圆心作，当与相切于点时，与相交于点、，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，过点D作，垂足为Q，先由勾股定理和直角三角形的性质得出的长度，再证明，继而得出长度，证明，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点D作，垂足为Q， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是斜边上的中线，，点在边上，连接，，当与相似时，线段的长为 ． 【答案】或 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用相似三角形的性质求解、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据是斜边的中线得到，进而得到，根据与相似， 得到或，所以分三种情况讨论：①②③，分别求解即可． 【详解】解：是斜边的中线，， ， ∴， 当时， ∴，则， ∵在中，， ， ，则, ， ， ∴， 当或时， ，又， ， ， ， ， ， ， ， ∴ 综上所述，的长为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数的应用，解题的关键是分情况讨论相等的角． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，中，，，将绕点C旋转得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接，若点M，N分别是的中点，连接则长度的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、确定第三边的取值范围 【分析】先取的中点K，连接，作，再结合已知令，根据勾股定理求出，即可得出是等腰直角三角形，可知，然后根据中位线的性质，得，进而求出，最后根据三角形三边关系得出答案即可． 【详解】解：取的中点K，连接，过点A作于点H， ∵， 令， ∵， ∴， 解得（舍去负值）， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴． 由旋转的性质得到， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，三角形三边关系，三角形中位线的性质等，作出辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．先由正弦得到，从而设，，利用勾股定理求得，再利用正切求解即可． 【详解】解：， ， 设，， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，能通过辅助线构造出合适的直角三角形及熟知特殊角的三角函数值是解题的关键． 过点作的垂线，再结合特殊角的三角函数值即可解决问题． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， 在中，， 因为， 所以， 则． 在中，， 因为， 所以， 所以． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，是的角平分线，则线段的长为 ． 【答案】2 【知识点】解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线． 作于，作于，分别解直角三角形求得和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】解：如图，作于，作于， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ， 在中，设， 在中，， ∴， 由得，， ， ， 故答案为： 2 ． 11．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，点在第一象限，射线与x轴所夹的锐角为α， ，则t的值是 ． 【答案】4 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，过点A作x轴的垂线，垂足为B，根据题意可得，则，代入计算即可得出答案． 【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为B，如图， 则， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素，对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题： (1)观察图①图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是______； (2)如图⑤，在中，已知，，，能否求出的长度？如果能，请求出的长度；如果不能，请说明理由；（参考数据：，） (3)在（2）的条件下，若以点B为圆心，r为半径的与所在的直线有唯一的公共点，则r的值为______． 【答案】(1)③④； (2)； (3)． 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系——相切，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． （1）根据直角三角形的边角关系以及锐角三角函数即可判断； （2）过点C作出三角形的一条高，然后利用直角三角形的边角关系以及锐角三角函数即可解决； （3）根据直线与相切时有唯一公共点可知：高，利用面积法即可解答． 【详解】（1）解：图①已知一个角及它所对的边，而另外两个角可以任意变动，故图①不能求出其余未知元素； 图②已知三个角，而三个边可以任意变动，故图②不能求出其余未知元素； 图③已知两个角及其夹边，那么第三个角是固定的，然后作出三角形的一条高，即可求出图③其余未知元素； 图④已知两角及其中一个角的对边，那么第三个角是固定的，然后作出三角形的一条高，即可求出图④其余未知元素； 故答案为：③④； （2）解：如图1，过点C作于点D， 中，， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，过点B作于E，过点C作于点D， 当与直线相切时，与所在的直线有唯一的公共点， 此时， ， ， ， 故答案为： 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，点I是的内心． (1)O是边上一点，以r为半径的恰好经过B、I两点，求r的值； (2)过点I的直线l分别交边、边于点M、N．以下两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个结论是正确的，判断哪个结论正确并求出该定值． 【答案】(1)r的值为 (2)②正确，定值为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、三角形内心有关应用 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，等边对等角得到，内心得到是的角平分线，推出，三线合一推出，证明，得到，设，则：，进行求解即可； （2）连接并延长，交于点，作，连接，三线合一结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的值，等积法求出为定值，三角函数求出，进行判断即可． 【详解】（1）解：连接并延长，交于点，连接，则：， ∴， ∵点I是的内心， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴， 解得：； （2）②正确，理由如下： 连接并延长，交于点，作，连接， ∵点I是的内心， ∴点I是的三条角平分线的交点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 在中，， ∴在中，， ∵， ∴， 即：， ∴； 故为定值； 在中，， 在中，， ∴，， ∴， ∵，随着的变化而变化，不是定值， ∴不是定值． 【点睛】本题考查与三角形的内心有关的计算，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等积法求线段的长等知识点，熟练掌握内心是三角形的三条角平分线的交点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知中，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键． （1）解，即可求解； （2）过点作于点，解，即可求解． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在中，，在射线上有一个动点，作的垂直平分线，垂足为．点是上的一个动点，连接并延长，交直线于点，连接． (1)如图1，求的值； (2)如图1，当，点，，在同一直线上时，________，_______； (3)如图2，在点和点的运动过程中，若，求的值； (4)如图3，在点和点的运动过程中，若，求证：． 【答案】(1) (2)， (3) (4)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】（1）作于点，先利用垂直平分线性质以及勾股定理求出的长度，再通过正切的计算即可； （2）作的垂直平分线，先根据垂直平分线性质证得，进而，通过比例式可求出，再证，再利用比例式即可求出； （3）作于点，连接交直线于点，同理先证，通过角度进而可知，得到与重合，再证得，再通过比例式变形即可得到结果； （4）作于点，作于点，设，用表示出，再通过勾股定理计算即可得证． 【详解】（1）解：如图1，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （2）∵作的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵作于点，作的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， （3）如图，作于点，连接交直线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴此时三点共线，与重合， 又，的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 变形得， ∴ （4）证明：如图，作于点，作于点， 易知四边形为矩形， ∴， 设，则， ∵，垂直平分， ∴为直角等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值为2， ∴． 【点睛】本题考查了正切，相似三角形，垂直平分线的性质，勾股定理等知识点，综合程度较大，能够正确做出辅助线是解题关键． 16．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）图1、图2、图3、图4、图5均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点． (1)如图1，连接交于点E，则的值为______； (2)仅用无刻度的直尺在给定的网格中，按下列要求作图（保留作图痕迹并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，不写作法）． ①如图2，在线段上确定一点P，使； ②如图3，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，在线段BF上确定一点Q，使； ③如图4，在上确定一点H，使∽； ④如图5，在上确定一点M，使的面积为 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、格点作图题 【分析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，作图复杂作图，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）①根据相似三角形的性质作出图形即可； ②根据相似三角形的性质作出图形即可； ③根据相似三角形的性质作出图形即可； ④根据相似三角形的性质作出图形即可； ⑤根据相似三角形的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）①如图2，点P即为所求； ②如图3，点Q即为所求； ③如图4，点H即为所求； ④如图5，点M即为所求； 17．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知在中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． (1)已知，，求； (2)已知，，求和． 【答案】(1) (2)， 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，熟知正弦、正切的定义及勾股定理是解题的关键． （1）借助于的正弦即可解决问题； （2）先利用勾股定理求出，再结合的正切即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ∵， ∴． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）（1）求二次函数的顶点坐标（要写出求解过程）； （2）根据图示，求中的值． 【答案】（1）；（2），， 【知识点】解直角三角形的相关计算、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标、三角函数值的求法．理解相关知识点是解题关键． （1）把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标， （2）根据三角函数的定义即：为的对边比斜边，为的对边比邻边，为的对边比邻边，可解题． 【详解】解：（1）， ∴顶点． （2）∵，，， ∴在中，， ∴，，． 19．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，为边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题考查了解直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识． （1）根据勾股定理求出，由得到，即可得到的长； （2）由是边上的中线得到，则，根据勾股定理得到，即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵是边上的中线， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴ 20．（24-25九年级上·江苏常州·期末）在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：______，______； 发现结论：______（填“”或“”）； （2）如图，在中，，，，求的值； 研究思路：小明想构造包含的直角三角形；于是延长至，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值，那么______； （3）在中，为锐角，，，．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】线段垂直平分线的性质、特殊三角形的三角函数、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，掌握三角函数的定义和解直角三角形是解题的关键． （1）根据特殊角的锐角三角函数值直接填空即可； （2）根据正切的定义，在中求的正切值即可； （3）过点作于点，在上截取，连接，根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，得出，根据角的正切值，设，则，得到，，再利用勾股定理列方程，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，过点作于点，在上截取，连接， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 设，则， ，，， ， ， ，， 在中，， ， 整理得：， 解得：（舍），， ， ． 21．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，等腰中，，过点B作于点D，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，勾股定理， 对于（1），根据，求出，再根据勾股定理求出答案； 对于（2），先根据求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出结果． 【详解】（1）解：在中，，， ∴． 根据勾股定理，得； （2）解：∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得． 在中，． 22．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图①，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线的对称点Q，连结交于点E，连结、．设点P的运动时间为t秒．    (1)当点P与点B重合时，求t的值． (2)用含t的代数式表示线段的长． (3)当为锐角三角形时，求t的取值范围． (4)如图②，取的中点M，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)点在线段上时，；点在线段上时， (3)或 (4)或 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据，构建方程求解即可； （2）分两种情形：当点在线段上时，首先利用勾股定理求出，再求出即可解决问题.当点在线段上时，在中， 求出即可； （3）求出两种特殊情形下是等腰直角三角形时的值， 即可求解当为锐角三角形时的取值范围. （4）分两种情形：如图⑥中，当点在线段上，时. 如图⑦中， 当点在线段上， 时，分别求解即可. 【详解】（1）解：当点与重合时，， 解得 ； （2）解：在 中， ， ， 如图①中，当点在线段上时， 在中，， ， 如图③中，当点在线段上时， 在中，， ；    （3）解：当是等腰直角三角形时，则， 如图④中，当点在线段上时，    在中， ， ， ， ， 如图⑤中，当点在线段上时，    在中， ， ， 解得 ； 是锐角三角形， ∴观察图象可知满足条件的的取值范围为或； （4）解：如图⑥中，当点在线段上， 时，    过点作 于， 延长交于， 过点作于， ， 在中， ， 在中，， ， 解得 ， 如图⑦中，当点在线段上， 时，    过点作 于， 过点作于， ， ， 在中， ， 在中， ， ， ， 解得 综上所述，满足条件的的值为或 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，平行线的性质 ，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题 23．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，请利用没有刻度的直尺和圆规，按下列要求作图并计算． (1)在边上作一点，使点到两边所在的直线的距离相等，在边上作一点，使；（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）； (2)在（1）的条件下，若，，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）作出的平分线交边于点，作交边于点即可； （2）作作于点，利用三角函数的定义求得，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，设，则，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：点，点如图所示， ； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 地 城 考点05 锐角三角函数与四边形综合 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形中，，点是平面内一动点，，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．则下列结论：①；②；③连接，当时，的面积为；④过点作的垂线，垂足为，则最小值是．其中，正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，解直角三角形等，利用旋转和正方形的性质证明可判断①；设相交于点，相交于点，由全等三角形的性质得，进而可得，即得，即可判断②；过点作的延长线于点，由锐角三角函数可得，即得，即得到，进而求出的面积可判断③；由题意可知点在以点为圆心，半径为的圆上运动，当与相切时，最小，由锐角三角函数可得，即得，进而由锐角三角函数求出即可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，故①正确； 设相交于点，相交于点，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 过点作的延长线于点，则， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图，点在以点为圆心，半径为的圆上运动，当与相切时，最小， ∵与相切， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴最小值是，故④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，矩形中，为中点，连接．点为点关于的对称点，连接，，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质、解直角三角形的相关计算、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】设交于点，根据对称性，得到垂直平分，进而得到为的中位线，得到，解，求出，利用面积公式求出关于的表达式，进行判断即可． 【详解】解：设交于点， ∵点为点关于的对称点， ∴垂直平分， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴设， 则：， ∴， ∴， ∴，当时，， ∴与的函数图象大致为： 故选D． 【点睛】本题考查对称的性质，中垂线，三角形的中位线定理，解直角三角形，二次函数的图象等知识点，解题的关键是得到为的中位线． 3．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在菱形中，对角线，，将菱形绕着的中点顺时针旋转，得到四边形，当点恰好落在边上时，四边形的边与边交于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】如图，连接和交于点，作于点，连接，先求得菱形的边长为5，证明是的中位线，求得，再求得，，证明是等腰三角形，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接和交于点，作于点，连接， ∵和是菱形的对角线， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）图1中周长为20的矩形纸片剪掉一块边长为1的正方形后，将剩下的部分沿线剪开，拼成不重叠、无缝隙的矩形（如图2），则图2中 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】如图，标注字母，设，则,证明，利用相似三角形的性质求解，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，标注字母： 由题意可得：，， ∵图1中周长为20的矩形纸片， ∴图1中大的矩形的长与宽的和为， 设，则, ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键. 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． (1)如图①，连接，则 ， ； (2)如图②，当点在射线上时，求线段的长； (3)如图③，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，则的最小值为 ． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案； （3）连接，先证明是等边三角形，，得出， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由矩形和矩形可得，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， 由矩形和矩形可得，， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到， ∴，，， ∴， ∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 故答案为：． 【点睛】本题是相似综合题，考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （1）根据三角形中位线的性质求解即可； （2）根据角的正切值，得到，由三角形中位线定理得到，证明四边形为平行四边形，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ， ， 是的中位线， ； （2）解：是的中位线， ， ， ， 在中，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， 在中， ． 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图1所示，在正方形中，将绕着点逆时针旋转得到，，旋转角度为．    (1)在图1中，当时，，分别交于点，． ①若正方形的边长为4，求的最小值； ②求证：； (2)将绕着点逆时针旋转一周，连接，取的中点，连接．在旋转过程中，当时，求的值． 【答案】(1)①最小值为8；②见解析 (2)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①首先证明出得到，然后得出当时，即和重合时，取得最小值，即的长度，勾股定理求出，进而求解即可； ②由①得，然后证明出，得到，求出，进而求解即可； （2）设，则，表示出，然后分两种情况：当点在上方时和当点在下方时，然后分别解直角三角形求解即可． 【详解】（1）①， ∴当时，即和重合时，取得最小值，即的长度 ∵正方形的边长为4 ∴ ∴ ∴ 最小值； ②由①得 同理可得： ． （2）设，则 垂直平分， 作于点 ①当点在上方时，如右图   ， ， 中 ； ②当点在下方时，如右图    同理： 综上或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 地 城 考点06 锐角三角函数与圆形的综合 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的半径为，直线与相切于点，动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时12s，当点到直线的距离是时，点运动的时间为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了垂径定理，特殊的三角函数值，能够想清楚会有两种情况是解题关键； 如图，设当点运动到两点时，点到直线的距离是，连接，设与交于点，可知，，先通过三角函数值可知，得到，进而再对P点进行两种情况分析即可得到结果． 【详解】解：如图，设当点运动到两点时，点到直线的距离是，连接，设与交于点，可知，， 则，， 在中，， ∴， ∴， ∵动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时， ∴的运动速度为， 当点运动到点时，运动了，所以运动时间为， 同理可知， 当点运动到点时，运动了，所以运动时间为， 综上点运动的时间为或． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是的直径，点C是上一点，，点D是上一动点，以为边作，连接，若，则的最大值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，过C作于H，连接，，，根据正弦的定义求出，根据勾股定理求出，，然后根据证明，得出，则，故当B、C、E三点共线时，取最大值为11． 【详解】解：过C作于H，连接，，， ∵是的直径，， ∴半径， ∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 根据勾股定理，得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当B、C、E三点共线时，取最大值为11， 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，的弦与弦相交于点，，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、圆周角定理 【分析】本题考查了垂径定理、30度所对的直角边是斜边是一半，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为，则，因为，再得，即，即，则，，得，设半径为，在中，得，解得，即可作答． 【详解】解：连接交于点H，如图所示： ∵， 则， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵为的直径， ∴， 即， 则， ∴， 得， 设半径为， 在中，， ， 解得， ∴， 故选：C 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E是的中点，则 ；若是直径，P是直线上任意一点，与相切于点M、N，当最大时，的长为 ． 【答案】 / 【知识点】切线的性质定理、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，延长交的延长线于K，过O作于L，由矩形的性质推出，，由勾股定理求出；由切线的性质推出，判定，得到，因此，由，判定当最大时，，得到此时P与L重合，判定，推出，，求出，，由三角形面积公式，即可得到答案． 【详解】解：连接，延长交的延长线于K，过O作于L， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴； ∵与相切于点M、N， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大时， ∵， ∴当最小时，最大，最大， ∴当最大时，， ∴此时P与L重合， ∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵的面积， ∴， ∴， ∴当最大时，的长为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，关键是判定当最大时，，由三角形面积公式得到． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则的半径为 ；连接、，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值、解直角三角形的相关计算、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、应用切线长定理求解 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及解直角三角形；通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，其中掌握三角形内切圆的性质是解题关键．连接，过点作于点，勾股定理求得，等面积法求得半径，过点作交的延长线于点，解，进而得出是等边三角形，进而及诶，得出的长，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， 依题意，是的内切圆，切点分别为、、， ∴， 设，则， 在中， 即 解得： ∴ 设的半径为， ∴ ∴ 如图所示，过点作交的延长线于点， ∵是的内切圆，切点分别为、、， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴ 在中， 故答案为：；． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，与y轴交于点，一次函数（）的图像分别交x轴、y轴于点B、C． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为D、E，若，求b的值． 【答案】(1)见解析； (2)的值为． 【知识点】一次函数与几何综合、解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线、圆周角定理 【分析】（1）过点O作的垂线，垂足为D，求出，得出，，进一步求出，即可得出结论； （2）连接，，过点O作的垂线，垂足为F，则， 判定和为等腰直角三角形，得到，求出点，即可求解． 【详解】（1）证明：过点O作的垂线，垂足为D， 当时，， 当时，， ， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ， ∴直线与相切； （2）解：连接，，过点O作的垂线，垂足为F，则，如图： ， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， 将代入直线中，得， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，一次函数的性质，勾股定理，解直角三角形等性质，掌握相关知识是解题的关键． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知是的直径，点是的中点，弦交于，过点的直线交延长线于点且． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求阴影部分的面积（结果保留． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用弧、弦、圆心角的关系求证、求其他不规则图形的面积、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）根据切线的判断方法，利用等腰三角形的性质，圆周角定理得出即可； （2）根据扇形面积，三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接、， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：中，， ， 在中，，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，切线的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握切线的判定方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，平面直角坐标系中，是第一象限的角平分线，点A，C在射线上（A在C左侧），以为对角线作正方形，与交于点E． (1)若，，求证：； (2)以O为圆心，以长为半径作，已知， ①若恰好经过的中点时，求此时正方形的边长； ②若与有公共点，求此时正方形边长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、圆的基本概念辨析 【分析】（1）依题意，易得，因为点A在第一象限角平分线上，得，根据∵四边形是正方形，则，即可作答． （2）①因为以长为半径作，已知，恰好经过的中点，得，结合Q为的中点，且四边形是正方形，则，因为是第一象限的角平分线，故等腰直角三角形，把数值代入，解得，再证明四边形是矩形，得，，运用勾股定理代入数值得，解得，即可作答． ②分类讨论，当A在上时，或当在上时，分别作图，运用边与半径关系，且结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，以为对角线作正方形，与交于点E． ， ∵点A在第一象限角平分线上， ， ∵四边形是正方形 ， ； （2）解：①设正方形边长为m，的中点为Q，延长交y轴于点P，如图所示： ∵以长为半径作，已知，恰好经过的中点， 则， 连接，并延长交轴于一点H， ∵Q为的中点，且四边形是正方形， ∴，即 由（1）得轴，则， ∵是第一象限的角平分线， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵， 解得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）； ②与有交点 当A在上时， ∵以长为半径作， ∴， 设， ∵是的中点，且， ∴， 即， 解得， 则， ∴， 当在上时，连接， 则， ∴为等边三角形， ∵是的中点， 则，． ∴， ∴， 则， ∴， 则， ∴． ∴与有公共点，此时正方形边长的取值范围为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，矩形的性质与判定，圆的基础知识，勾股定理，等边三角形的判定与性质，角平分线的定义，综合性较强，难度加大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是的直径，点在外，与相交于点，与的延长线相交于点，且，与相交于点，． (1)求的长； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求弧长、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质、圆周角定理 【分析】连接，根据等腰三角形的性质可证，根据圆周角定理可得，从而可证，因为是直径可证，根据线段的垂直平分线可得； 连接、、，根据线段垂平分线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质和圆周角定理可得，根据可得，根据锐角三角函数可得，根据可求结果． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接、、， ， 垂直平分线段， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据圆的基本性质找到边和角之间的关系． 10．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是的外接圆，直径，垂足为点F，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题考查了解直角三角形，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是： （1）根据垂径定理得出，然后根据圆周角定理即可得证； （2）解直角三角形的得出，设，则，，在中，根据勾股定理构建关于x的方程，解方程即可求出，然后根据垂径定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵直径， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵直径， ∴． 11．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）【剪纸活动】用一张半径为的圆形纸片剪一个圆心角为的扇形． （1）计算图1中的扇形（点在上）的面积（结果保留）； （2）如图2，点在内，若剪出圆心角为的扇形面积最大，请利用圆规和无刻度的直尺作出这个扇形（不写作法，保留作图痕迹）； 【活动经验】 在这张半径为的圆形纸片上剪一个圆心角为的扇形（点在上），所剪的扇形面积的取值范围是______（直接写出结果，结果保留）． 【答案】[剪纸活动]（1）；（2）见解析；[活动经验] 【知识点】解直角三角形的相关计算、作垂线(尺规作图)、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形面积公式，解直角三角形，作垂直平分线； [剪纸活动] （1）先求出扇形的半径，再根据扇形面积公式计算，即可求解； （2）连接，作的垂直平分线，以为直径作圆交，连接并延长交于点，作弧，则扇形即为所求； [活动经验] 当在圆心或圆上时，扇形面积最小，由（1）（2）可得当为直径时，扇形面积最大，分别根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】[剪纸活动] （1）解：连接，如图所示， ∵ ∴是的直径， ∴ ∴ ∴扇形的面积为； （2）如图所示，扇形即为所求； [活动经验] 解：如图所示，当在圆心或圆上时，扇形面积最小，， ∴扇形的面积为 如图所示，当是的直径时，此时半径为 ∴扇形的面积为 ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，在中，是的直径，，点是上异于的任一点，连接，过点作射线，点是射线上一点，连接，当点在上运动时，始终保持． (1)当与相切时，求的长度； (2)当时，求的值． 【答案】(1)的长度是 (2)的值为 【知识点】切线的性质定理、利用平行四边形性质和判定证明、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由是的直径，，得，由，，得，连接，由切线的性质得，则，所以是等边三角形，则，由，求得，再根据勾股定理即可求解 ； （2）连接，则，由，则，所以是等边三角形，则，再证明四边形是平行四边形，则，所以，由，得． 【详解】（1）解：∵是的直径，， ， ， ， 如图1，连接， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ， ∴的长度是 ． （2）解：如图2，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图1，中，D为边上一点，连接，，以为直径的恰好经过点C． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求 的半径r； ②如图 2，若点E是的中点（点E，C在直径的异侧），连接，求 的长． 【答案】(1)见详解 (2)①，② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）连接，根据题意得，结合圆和等腰三角形的性质得，则，结合已知得，即可证明； （2）①根据题意知和，则，解得和，求得，即可得半径； ②连接，，则，进一步得到和，以及，过点A作于点H，过点D作于点G，则，是等腰直角三角形，求得和，结合等面积法即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是的切线； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 故 的半径； ②连接，，如图， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 过点A作于点H，过点D作于点G，则，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的性质，涉及直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，同弧所对圆周角相等，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的性质和相似三角形的判定和性质． 地 城 考点07 锐角三角函数的实际应用 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，一辆汽车在坡度（即）的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了 米． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟知坡度的概念是解题的关键． 设汽车竖直方向上升的高度为米，根据坡度的概念用表示出汽车前进的水平宽度，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设汽车竖直方向上升的高度为米， ∵斜坡的坡度， ∴汽车前进的水平宽度为米， 由勾股定理得：， 解得： （负值舍去）， 则汽车竖直方向上升的高度为米， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则坝底为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及勾股定理，设，根据坡度的概念用表示出，根据勾股定理求出，再根据坡度的概念求出，计算即可得到答案．熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：设， ∵迎水坡的坡比为， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， ， 解得或（负值舍去）， ∴， 四边形为矩形， ∴， ∵背水坡的坡比为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）一段拦水坝横断面如图所示，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，若，则坡面的长度为 m． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键．根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵坡的斜坡坡度， ∴，即， 解得，， 经检验符合题意， 由勾股定理得， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期末）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用测量计算方法：在小溪这边的点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，已知小明的眼睛离地面距离为1.6米，点、点与古树在一条直线上，则古树的高度为 米（精确到0.1米，参考数据：，，，，，）． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设米，用含x的代数式表示出和的长，再根据可得x的值，再代入三角函数值计算即可． 【详解】解：如图， 设米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴（米）， ∵小明的眼睛离地面距离为1.6米， ∴古树的高度为米， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，某校数学兴趣小组为了测量塔的高度，将无人机飞升至距水平地面米的处，测得塔顶端的俯角为，底端的俯角为，则该塔的高度是 米．（参考数据：） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角与俯角问题，延长交距水平地面米的水平线于点，根据，求出米，即可求解，理解题意，作出辅助线是解题关键． 【详解】解：延长交距水平地面米的水平线于点，如图： 由题可知，米， 设米， ， 米， ， （米）， ∴（米）， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏常州·期末）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调节到时，人的头部支撑点向后水平推移了 ． 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键，作垂线构造直角三角形是解决问题的前提．通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 即人的头部支撑点向后水平推移了． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）小红沿坡比为的斜坡上走了120米，则她实际上升了 米 【答案】60 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，灵活运用勾股定理是解本题的关键．根据题意设铅直距离为，则水平距离为，根据勾股定理求出的值，即可得到结果． 【详解】解：设铅直距离为，则水平距离为， 根据题意得：， 解得：， 则她实际上升了60米， 故答案为：60 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州文峰塔，又名南山寺塔，是“海陵八景”之一、为测量文峰塔（即图中）的高度，数学社团同学采用如下方法：在点处测得塔顶点的仰角为，然后沿着正对塔身方向前进了米至点，此时测得点的仰角为，点在同一平面内，点在上，且，请根据测量数据，求文峰塔的高度（结果保留整数，参考数据：）． 【答案】文峰塔高 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键．根据等腰三角形的判定可得，设，则，根据列方程求解即可． 【详解】解：由题意知：，，， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 答：文峰塔高． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，，点在点的正北方向，点，在点的正北方向．．点在点的北偏东，点在点的北偏东．求步道的长．（精确到，参考数据：） 【答案】步道的长度为 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作，垂足为，结合题意可得：，，求解，，再进一步解答即可. 【详解】解：作，垂足为，结合题意可得： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：步道的长度为. 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图为一种人字形钢架的示意图，钢架主要包括底角为的等腰三角形外框和支柱（等腰三角形底边上的高）．若该钢架的腰长为10，焊接一个这种钢架，大约需要钢材多少米？（结果取整数，参考数据：） 【答案】 【知识点】三线合一、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据正弦函数和余弦函数的定义求出，的值，进而即可求解． 【详解】解：在中，，即， ， 在中，，即， ， 又，， ， 共需钢材． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期末）学校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机的机翼图纸．已知图纸中，均与水平方向垂直，机翼前缘、机翼后缘与水平方向形成的夹角度数分别为，，，点到直线的距离为．求机翼外缘的长度（结果保留根号）． 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作，交的延长线于，过点作于，根据正切的定义求出，进而求出，根据等腰直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于，过点作于， 由题意可得，，，， 则四边形、四边形为矩形， ，． 在中，， 则， ， 在中，， 则， ， 答：机翼外缘的长度为． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，） (1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点间的水平距离长． 【答案】(1) (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）过点B作于F，过点C作于G，延长交于H，，设，根据坡度的概念用x表示出，根据勾股定理求出； （2）根据余弦的定义求出，进而求出． 【详解】（1）解：过点B作于F，过点C作于G，延长交于H， 设， ∵坡道的坡度为， ∴， 在中，，即， 解得：， 所以他沿垂直方向上升的高度为； （2）解：由（1）可知：，四边形为矩形， ∴， 在中，， 则， 则， 所以点A，D间的水平距离长约为． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，） 【答案】米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（其他问题），利用三角形的内角和定理得出是解题的关键． 由三角形的内角和定理可得，然后根据即可求出、两点之间的距离． 【详解】解：，， ， ， 在中， ，米， （米）， 、两点之间的距离约为米． 15．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图①为某款折叠躺椅的实物图，图②为该款折叠躺椅的侧面示意图，为水平地面．已知座板，靠背，后支架，点是转动点，，与始终在同一平面内，当张角时，，此时人躺着处于最舒服状态，求此时躺椅最高点距离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】此时躺椅最高点E距离地面的高度约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点E作，交的延长线于点F，过点B作，垂足为G，根据垂直定义可得，再利用平角定义可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点F，过点B作，垂足为G， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴此时躺椅最高点E距离地面的高度约为． 试卷第1页，共3页 101 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $