专题07 一次函数 4大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）八年级数学上学期

专题07 一次函数 4大高频考点概览 考点01 函数的概念和图象 考点02 一次函数的图象与性质 考点03 一次函数的实际应用 考点04 一次函数与几何图形综合 地 城 考点01 函数的概念和图象 1．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，动点P从点A出发，按顺时针方向绕半圆O匀速运动到点B，再以相同的速度沿直径回到点A停止，线段的长度d与运动时间t的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．5 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）小聪从家跑步到体育馆，在体育馆锻炼了一段时间后又跑步到书店去买书，然后步行回家（小聪的家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小聪离家的距离与时间之间的关系．则下列说法错误的是（　　） A．体育馆到书店的距离为千米 B．小聪从家跑步到体育馆的速度为每小时千米 C．小聪的家到书店的距离为千米 D．小聪步行回家的速度为每小时千米 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）公路旁依次有、、三个村庄，小明和小红骑自行车分别从村，村同时出发匀速前往村（到了村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，、分别表示小明和小红与村的距离和骑行时间之间的函数关系，下列结论：①，两村相距；②小明每小时比小红多骑行；③出发后两人相遇；④图中．其中正确的是 ．（填序号） 地 城 考点02 一次函数的图象与性质 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）点和点在直线上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）已知点，都在直线上，则 （填“＞”或“＜”）． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）若点在直线上，则代数式的值是 ． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标是，则不等式的解集是 ． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是 （填序号）． 7．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是 ． 8．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）一次函数的图像沿轴向下平移2个单位，所得图像对应的函数表达式为 ． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解为 ． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． ①一次函数的“关联点”为； ②若一次函数的“关联点”为，则，； ③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； ④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集： ； (3)求四边形的面积． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 13．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知关于，的方程组的解是，则函数和的图象交点坐标为 ． 14．（24-25八年级上·江苏常州·期末）定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 一次函数的实际应用 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日迫及之．”两匹马行走路程S（里）与行走时间（日）的函数关系如图所示，则图中交点P的坐标是 ． 第1题 第2题 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲车从A地匀速驶往相距的B地，当甲车行驶小时经过途中的C地时，乙车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当乙车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地（甲车到达B地，乙车到达A地后分别停止运动）．行驶过程中两车的距离y（）与甲车从出发所用的时间x（）之间的函数关系如图所示，则甲车到达B地时，乙车距A地 ． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）小丽准备在双十一活动期间网购本笔记本，甲、乙两商店都在进行打折促销．已知两商店的标价都是每本20元，甲商店的优惠条件是：若购买不超过5本，则按标价卖，购买5本以上，从第6本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：若关注店铺就可以成为会员并赠送5元优惠券（凡购买物品超过10元可直接抵用）．且会员从第一本开始按标价的8折卖，设在甲商店购买所需费用为y1元，在乙商店购买所需要费用为y2元． (1)分别写出y1、y2与之间的函数关系式； (2)当购买30本的时候，去哪家商店比较划算？为什么？ 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图是小明放学骑车回家行驶的路程y（千米）与行驶时间x（分钟）的函数图象，小明骑行10分钟时车子发生故障，维修车子用了5分钟，修好车子后继续骑行回家： (1)分别求出维修车子前与维修车子后，y与x的函数关系式； (2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了 千米． 6．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面长为，小球与木块（大小、厚度忽略不计）同时从出发向沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块后又被反弹向挡板，如此反复，直到木块到达，同时停止．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图②是与的部分函数关系图像，结合图像回答下列问题． (1)小球第一次到达挡板的时间是______s，小球的速度为______，木块的速度为______； (2)小球第一次返回时，求与的函数关系式； (3)当小球从出发至第一次、相遇时，小球与木块距离为时，直接写出的值为______． 7．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… 2.6 3.2 3.6 4.4 (1)你认为的值记录错误的数据是______，请利用正确的数据确定函数表达式； (2)当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 8．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知某种毛线玩具的销售单价x（元）与它的日销售量y（个）之间的关系如下表． x 35 50 55 …… y 35 20 15 …… 若日销售量y是销售单价x的一次函数． (1)求y与x之间的函数表达式： (2)当销售单价为58元时，它的日销售量是多少？ 9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地出发沿这条公路匀速驶向目的地C，乙车从B地出发沿这条公路匀速驶向目的地A，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． 请你根据图象上的数据，解答下列问题： (1)乙车出发时，两车相距多少； (2)乙车出发多长时间，两车相遇； (3)甲车到达C地时，两车相距 ． 10．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）利用杆秤称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得等式：，其中秤盘质量克，重物质量x克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．如图，秤盘与零刻度线的距离为3厘米，零刻线与末刻线的距离为50厘米，秤盘质量克，秤砣质量克．某兴趣小组利用等式制作简易杆秤． (1)确定秤纽的位置：当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请求出l，a的值； (2)确定杆秤的最大称重质量：根据（1）中l，a的值，求y关于x的函数解析式，并求杆秤的最大称重质量（秤砣移至末刻线D处，秤得的物体质量）； (3)制作杆秤的刻度：将零刻线开始至末刻度线之间的线段平均分成10份（格），标注刻度值，则点E处应标注的刻度值为______克． (4)该小组成员利用制作好的杆秤称重物时，误用了60克的秤砣进行称重，称得重物的质量为500克，则该重物的实际质量为_____克． 地 城 考点04 一次函数与几何图形综合 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，且，与交于点D．求： (1)直线对应的函数表达式； (2)的面积． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的每个顶点坐标分别为． (1)把向上平移4个单位长度后得到，请画出，并写出点的坐标； (2)已知点A与点关于直线成轴对称，请画出直线，并直接写出直线的函数表达式． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得： 【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B． （1）两条直线的交点C的坐标为________________； （2）说明是等腰三角形； （3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中，．若有，则称点Q为点P的“两倍差点”， (1)在点、、、中，点_____是点的“两倍差点”； (2)已知点M的坐标为， ①若点N是直线上一点，且点M是点N的“两倍差点”；求点N的坐标； ②若点H的坐标为，点T是点M的“两倍差点”，当线段距离最小时，点T的坐标为______； (3)若将直线在y轴左侧的图象沿x轴翻折，其余图像保持不变，所形成的新的图象记为图形W，若图形W上恰好有点的两个“两倍差点”，请求出m的取值范围． 353．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点是线段上一点，将沿着折叠，点落在点处，连接． (1)求点、点的坐标； (2)若点落在线段上，求点的坐标； (3)在轴是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与直线相交于点． (1)______，______； (2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线于点E，交直线于点F． ①若，求点D的坐标； ②若点D坐标是，M是直线上一点，当是等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为秒，的面积为y． (1)求y关于t的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于4时，结合函数图像，求的值． 8．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交点为． (1)点的坐标为______； (2)求的面积； (3)在轴上求一点，使是以为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点的坐标______． 9．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交坐标轴于、两点，点、的坐标分别为、，直线、相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，若直线上存在点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数 4大高频考点概览 考点01 函数的概念和图象 考点02 一次函数的图象与性质 考点03 一次函数的实际应用 考点04 一次函数与几何图形综合 地 城 考点01 函数的概念和图象 1．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，动点P从点A出发，按顺时针方向绕半圆O匀速运动到点B，再以相同的速度沿直径回到点A停止，线段的长度d与运动时间t的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查动点的函数图象，根据点在上运动时，的长不变为半径的长，点在线段上运动时，的长先变小，后变大，进行判断即可． 【详解】解：当点在上运动时，的长不变为半径的长，当点在线段上运动时，的长先变小，后变大， 故符合题意的只有选项B； 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【知识点】垂线段最短、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：依题意，动点从点出发，线段的长度为，运动时间为， 根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）小聪从家跑步到体育馆，在体育馆锻炼了一段时间后又跑步到书店去买书，然后步行回家（小聪的家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小聪离家的距离与时间之间的关系．则下列说法错误的是（　　） A．体育馆到书店的距离为千米 B．小聪从家跑步到体育馆的速度为每小时千米 C．小聪的家到书店的距离为千米 D．小聪步行回家的速度为每小时千米 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．根据图象中特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】解：由图象可知： A．体育馆到书店的距离为千米，故本选项不符合题意； B．小聪从家跑步到体育馆的速度为：（千米时），故本选项不符合题意； C．小聪的家到书店的距离为：（千米），故本选项符合题意； D．小聪步行回家的速度为：（千米时），故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）公路旁依次有、、三个村庄，小明和小红骑自行车分别从村，村同时出发匀速前往村（到了村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，、分别表示小明和小红与村的距离和骑行时间之间的函数关系，下列结论：①，两村相距；②小明每小时比小红多骑行；③出发后两人相遇；④图中．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③ 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一元一次方程的应用，根据函数图象即可判断①；求出小明、小红的速度即可判断②；设二人出发后相遇，根据题意列出一元一次方程，解方程即可判断③；求出小明到达村所用时间即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，，两村相距，故①正确； 小明的骑行速度为：， 小红的骑行速度为：， 小明每小时比小红多骑行，故②错误； 设二人出发后相遇， 由题意可得：， 解得：， 故出发后两人相遇，故③正确； 小明到达村所用时间为， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③； 故答案为：①③． 地 城 考点02 一次函数的图象与性质 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）点和点在直线上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质．根据直线系数，可知y随x的增大而增大，根据即可判断结论． 【详解】解：点和点在直线上，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）已知点，都在直线上，则 （填“＞”或“＜”）． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，由于，函数值随增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，点，都在直线上， 由于， 则该直线经过二、四象限，函数值随增大而减小， 由于， 则 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）若点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：点在直线上， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标是，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．不等式可变形为，再根据不等式表示的是一次函数的图象位于一次函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：不等式可变形为， 不等式表示的是一次函数的图象位于一次函数的图象的上方， ∵直线与直线的交点的横坐标是， ∴由函数图象可知，不等式的解集是， 即不等式的解集是， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，能直接利用数形结合求解是解题的关键． 直接根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据两条直线的交点求不等式的解集、利用图象法解一元一次方程 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象求解即可． 本题考查了一次函数的性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系．熟练掌握相关知识，和数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：①∵，， 当时，， 则， 由图知一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴关于x的方程的解是， 故①正确； ②由图知，，， ∴函数经过二、三、四象限，不经过第一象限， 故②正确； ③由图知，时，直线在直线的下方， ∴关于x的不等式的解集是， 故③正确． 综上，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 7．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数增减性求参数，因为函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，故，解出m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限， ∴ 解得， 故答案为： 8．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）一次函数的图像沿轴向下平移2个单位，所得图像对应的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】此题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行解答即可． 【详解】解：将函数的图象向下平移 2 个单位长度，所得图象对应的函数表达式是， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了运用一次函数图象解方程组，利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可求得方程组的解，熟练掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系及数形结合思想解题的关键． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴，解得， ∴点， ∴方程组的解为， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． ①一次函数的“关联点”为； ②若一次函数的“关联点”为，则，； ③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； ④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】①联立，求出的值即可得到答案； ②由定义可知点在直线上，求出，再将点代入即可求出的值； ③将一次函数的“关联点”代入求出k的值即可； ④由题意可得直线与直线平行，从而得出直线为，再求出，，即，设，则，计算出，，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：①联立， 解得：， 一次函数的“关联点”为，故①正确； ②∵一次函数的“关联点”为， ∴点在直线上， ， ， 一次函数的“关联点”为， ， 解得：，故②错误； ③∵一次函数的“关联点”为， ∴把代入得：， 解得：，故③正确； ④直线上没有“关联点”， 直线与直线平行， ， ， 当时，， 当时，，解得， ，， ， ∴， ∵， ∴， 设， ， ， ， 解得：或， 或，故④错误； 综上分析可知：正确的是①③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的几何问题，熟练掌握一次函数的性质，理解定义，是解题的关键． 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集： ； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了两条直线交点问题、一次函数图象解不等式以及直线与坐标轴围成图形的面积．并利用数形结合的思想解决问题． （1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式； （2）根据图象求得即可； （3）根据可得结论． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 则的坐标为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：由图象可知，不等式的解集是． 故答案为：； （3）解：∵直线与y轴相交于点C， ∴C的坐标为， 又∵直线与x轴相交于点A， ∴A点的坐标为， ∴， ∴ ． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． ①根据函数图象直接得到，进一步即可得到；②根据当时，，即可求得；③求得，即可判断③；④当时，代入两个函数解析式，借助图象即可判断． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， .∴， .∴，即，故②正确； ∵， ∴ 当的值每增加，，故③错误， 当时，由图象可得：，故④错误． 故选：A． 13．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知关于，的方程组的解是，则函数和的图象交点坐标为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两个一次函数的交点坐标为方程组的解是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数的交点坐标为方程组的解，即可得出答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴函数和的图象交点坐标为， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·江苏常州·期末）定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，一次函数动点问题等知识，解题的关键是正确分类讨论． 根据等边三角形的性质和勾股定理求出，，然后根据题意分4种情况讨论，然后分别求解即可． 【详解】解：∵点，点、在轴上 ∴当时，点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∵是等边三角形，，点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∴， 如图所示，过点P作于点D 当时， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴此时动点与等边的“点图距” ∴当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴ ∴； 当时，动点与等边的“点图距”为的长度 ∴ 综上所述，． 故选：B． 地 城 考点03 一次函数的实际应用 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日迫及之．”两匹马行走路程S（里）与行走时间（日）的函数关系如图所示，则图中交点P的坐标是 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：设良马t天追上驽马， ， 解得，， 20天良马行走的路程为（里）， 故点P的坐标为， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲车从A地匀速驶往相距的B地，当甲车行驶小时经过途中的C地时，乙车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当乙车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地（甲车到达B地，乙车到达A地后分别停止运动）．行驶过程中两车的距离y（）与甲车从出发所用的时间x（）之间的函数关系如图所示，则甲车到达B地时，乙车距A地 ． 【答案】180 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据函数图象中的数据，可以先计算出甲车的速度，然后再根据图象可知，4.5小时两车相遇，则可以计算出乙车的速度，再计算出甲车从A地到B地用的时间，然后即可计算出甲车到达B地时，乙车距A地的路程． 本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】解：由图象可得， 甲车的速度为：（）， 乙车的速度为：（）， 甲车从A地到B地用的时间为：（小时）， 则甲车到达B地时，乙车距A地的路程是：（）， 故答案为：180． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 【答案】(1)；15；1 (2) (3)4 (4)1.2或2或2.6 (5) ；24 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查一次函数的应用，通过待定系数法求函数表达式，并根据甲、乙两人的行程情况列出方程是解题的关键． （1）由图象可知，乙比甲提前到达地的时间为甲、乙分别到达地的时间差，乙的速度可由到达地的距离除以到达地的时间即可； （2）根据函数图象，分两段求函数表达式，当时，根据甲、乙速度相同，甲比乙先出发骑行3km，得到一段y关于x的函数表达式；当时，设y关于x的函数表达式为，由于图象经过，两点，将两点分别代入函数表达式得到方程组，求解方程组即可； （3）先根据图象确定乙到达地时对应的值，再代入甲此时对应的函数表达式求出值，用总路程减去值得到甲离地的距离即可； （4）分两种情况讨论，甲、乙相遇前后和乙到达地后的情况，根据甲、乙两人相距2km列出方程求解即可； （5）根据甲乙相遇时两人路程相等，结合图象列出方程，求解方程，再求出此时距离地的距离即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲提前到达， 而乙的速度为， 由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同， 则， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，乙的骑行速度为, 当时，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； 当时，设y关于x的函数表达式为， 图象经过，两点，代入函数表达式得： 解得 因此，y关于x的函数表达式为, 综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 则在中，令得， 因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为， 故答案为：； （4）解：由题意得，乙的骑行速度为， 则乙骑行过程中，y关于x的函数表达式为：， ①甲、乙两人相遇前后相距时， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距时, 则 综上所述，当或或时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或； （5）解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为， 乙的函数表达式为， 则， 解得， 此时距离地的距离为． 因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地 故答案为：，． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）小丽准备在双十一活动期间网购本笔记本，甲、乙两商店都在进行打折促销．已知两商店的标价都是每本20元，甲商店的优惠条件是：若购买不超过5本，则按标价卖，购买5本以上，从第6本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：若关注店铺就可以成为会员并赠送5元优惠券（凡购买物品超过10元可直接抵用）．且会员从第一本开始按标价的8折卖，设在甲商店购买所需费用为y1元，在乙商店购买所需要费用为y2元． (1)分别写出y1、y2与之间的函数关系式； (2)当购买30本的时候，去哪家商店比较划算？为什么？ 【答案】(1)与x之间的函数关系式为，与x之间的函数关系式为 (2)去甲商店比较划算，理由见解析 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、写出函数关系式是解题的关键． （1）根据两个商店的优惠情况分别写出与之间的函数关系式即可； （2）将分别代入与x之间的函数关系式，求出的值并比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ∴与x之间的函数关系式为，与x之间的函数关系式为． （2）解：去甲商店比较划算．理由如下： 当时，， ∵， ∴去甲商店比较划算． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图是小明放学骑车回家行驶的路程y（千米）与行驶时间x（分钟）的函数图象，小明骑行10分钟时车子发生故障，维修车子用了5分钟，修好车子后继续骑行回家： (1)分别求出维修车子前与维修车子后，y与x的函数关系式； (2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了 千米． 【答案】(1)维修车子前y与x的函数关系式为；维修车子后y与x的函数关系式为 (2) 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据和题意，可以分别计算出维修车子前与维修车子后，y与x的函数关系式； （2）根据函数图象中的数据和题意，可以分别计算出维修前后车子每分钟行驶的路程，然后作差即可． 【详解】（1）解：设维修车子前y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， 即维修车子前y与x的函数关系式为； 设维修车子后y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， 即维修车子后y与x的函数关系式为； （2）解：由图象可得， 维修车子前每分钟行驶的路程为：（千米）， 维修车子后每分钟行驶的路程为：（千米）， ∴维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了千米）， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面长为，小球与木块（大小、厚度忽略不计）同时从出发向沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块后又被反弹向挡板，如此反复，直到木块到达，同时停止．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图②是与的部分函数关系图像，结合图像回答下列问题． (1)小球第一次到达挡板的时间是______s，小球的速度为______，木块的速度为______； (2)小球第一次返回时，求与的函数关系式； (3)当小球从出发至第一次、相遇时，小球与木块距离为时，直接写出的值为______． 【答案】(1)16；； (2) (3)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，进而可得小球P的速度为，求出速度和，然后计算出点的速度，故可判断得解； （2）先求解，再利用待定系数法计算可以得解； （3）依据题意，先求出小球P运动前的函数关系式，然后把代入解析式和（2）中解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，观察函数图象，可得， 小球P第一次到达挡板l的时间是， ∴小球P的速度为， 由题意，， 又， ∴， ∴木块Q的运动速度． 故答案为：16；； （2）解：由（1）得：， 设小球P第一次返回时，， 将，代入得， 解得， ∴． （3）解：由题意，设小球P运动前的函数关系式为， 函数过， ∴， ∴， ∴此时函数为， ，又令， ∴， 又当小球运动到后，结合（3）函数关系式为， ∴令， 解得， 综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或． 7．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… 2.6 3.2 3.6 4.4 (1)你认为的值记录错误的数据是______，请利用正确的数据确定函数表达式； (2)当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 【答案】(1)， (2)200 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，求出函数解析式是关键． （1）分析表格中数据即可得到结论；利用正确的数据，由待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴y的值记录错误的数据是； 设， ∵， ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为； （2）解：将代入函数解析式得：， 解得． 答：对应的时间是200分钟． 8．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知某种毛线玩具的销售单价x（元）与它的日销售量y（个）之间的关系如下表． x 35 50 55 …… y 35 20 15 …… 若日销售量y是销售单价x的一次函数． (1)求y与x之间的函数表达式： (2)当销售单价为58元时，它的日销售量是多少？ 【答案】(1) (2)日销售量是12个 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数应用．熟练掌握一次函数解析式，一次函数应用是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）将代入，计算求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， 将和代入， 得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：将代入得，， ∴日销售量是个． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地出发沿这条公路匀速驶向目的地C，乙车从B地出发沿这条公路匀速驶向目的地A，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． 请你根据图象上的数据，解答下列问题： (1)乙车出发时，两车相距多少； (2)乙车出发多长时间，两车相遇； (3)甲车到达C地时，两车相距 ． 【答案】(1)170 (2) (3)40 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）由速度一路程∶时间分别求出两车的速度，根据“A、B两地之间的距离甲车行驶的距离乙车行驶的距离”列式计算即可； （2）设乙车出发后两车相遇，两车相遇时两车行驶的距离之和为A、B两地之间的距离，据此列关于m的一元一次方程并求解即可； （3）当甲车到达C地时，计算乙车行驶的路程，从而求出乙车与C地之间的距离即可， 【详解】（1）解：甲车的速度为， 乙车的速度为， 答∶乙车出发时，两车相距 （2）解：设乙车出发后两车相遇． 解得 答∶乙车出发小时后两车相遇． （3）解：甲车到达C地时， 乙车行驶的路程为， 此时乙车距C地的距离为， 甲车到达C地时，两车相距． 10．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）利用杆秤称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得等式：，其中秤盘质量克，重物质量x克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．如图，秤盘与零刻度线的距离为3厘米，零刻线与末刻线的距离为50厘米，秤盘质量克，秤砣质量克．某兴趣小组利用等式制作简易杆秤． (1)确定秤纽的位置：当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请求出l，a的值； (2)确定杆秤的最大称重质量：根据（1）中l，a的值，求y关于x的函数解析式，并求杆秤的最大称重质量（秤砣移至末刻线D处，秤得的物体质量）； (3)制作杆秤的刻度：将零刻线开始至末刻度线之间的线段平均分成10份（格），标注刻度值，则点E处应标注的刻度值为______克． (4)该小组成员利用制作好的杆秤称重物时，误用了60克的秤砣进行称重，称得重物的质量为500克，则该重物的实际质量为_____克． 【答案】(1)； (2)，最大称重质量为1000克； (3)600； (4)602． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查一次函数的应用、解一元一次方程，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键． （1）由知，，再把，，，，代入，求出，； （2）将，，，代入，求得，当时可求出杆秤的最大称重质量； （3）求出每一刻度的称重，再乘以6即可； （4）先计算出称重时值的长度为，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把，，，，代入，得： ， 解得，， ∴； （2）解：将，，，代入，得， ， 解得，； 当时，即， ∴， 即杆秤的最大称重质量是1000克； （3）解：克， 故答案为：600； （4）解：由（1）知， 当重物质量为500克时，则有： ， 解得，， 而小组成员错误称量时，值的长度为，用了60克的秤砣进行称重， 所以有：， 解得，， 即物体实际重量为602克， 故答案为：602． 地 城 考点04 一次函数与几何图形综合 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，且，与交于点D．求： (1)直线对应的函数表达式； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、斜边的中线等于斜边的一半、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解解析式即可； （2）过点C作于点H，求出直线解析式，再求点D坐标，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：，， 点A，B的坐标分别为，． 设直线对应的函数表达式为． 把，代入， 得，解得   直线对应的函数表达式为． （2）解：过点C作于点H． ，， ． 点C的坐标为． 设直线对应的函数表达式为． 把代入，得，解得． 直线对应的函数表达式为． 联立方程组解得； 点D的坐标为． 的面积为：． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的每个顶点坐标分别为． (1)把向上平移4个单位长度后得到，请画出，并写出点的坐标； (2)已知点A与点关于直线成轴对称，请画出直线，并直接写出直线的函数表达式． 【答案】(1)见解析，点B1的坐标为； (2)见解析， 【知识点】求一次函数解析式、勾股定理与网格问题、平移(作图)、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的图形平移以及轴对称的性质，解题的关键是掌握平移规律和轴对称的性质． （1）根据平移规律“上加下减”，将三角形各顶点向上平移4个单位，得到对应点后连接成三角形，再确定坐标． （2）根据轴对称性质，两点连线的垂直平分线即为对称轴直线；再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示，直线l为所求： ∵点与点关于直线成轴对称， ∴直线垂直平分线段， 连接交直线于点，不妨设点 那么有 解得， ∴点的坐标为， 由平移的性质知， ∴设直线的解析式为，代入，， 解得， ∴直线的函数解析式为． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：    【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B． （1）两条直线的交点C的坐标为________________； （2）说明是等腰三角形； （3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 【答案】 数学阅读：见详解；推广延伸：，理由见详解；解决问题：（1）；（2）见详解；（3）或． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】数学阅读：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：． 推广延伸：如图3，连接，由与面积之和等于的面积可得：． 解决问题：（1）将和联立，解方程组，即可得C点的坐标． （2）求出A、B 两点的坐标，即可得的长，再根据勾股定理求出的长，即可得证． （3）分两种情况：M点在射线上，和M点在射线的反向延长线上，运用上面的结论即可求出点M的坐标． 【详解】数学阅读： 证明：如图2，连接， ∵，， ， ∴， ，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 推广延伸： 解：，理由如下： 如图3，连接，    ∵， ， ， ∴， ，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 解决问题： 解：（1）联立，得， ∴两条直线的交点C的坐标为； （2）由得， ∴， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴是等腰三角形． （3）如图，若M点在射线上，作于E点，于F点．    图 在，， 由图②得， ∴， ∴， ∴M点的纵坐标为2， 由，得， ∴． 如图，若M点在射线的反向延长线上，由图③得，    图 ∴， ∴M点的纵坐标为4， 由，得， ． 综上，M点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和等积法等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念．能综合运用以上知识是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中，．若有，则称点Q为点P的“两倍差点”， (1)在点、、、中，点_____是点的“两倍差点”； (2)已知点M的坐标为， ①若点N是直线上一点，且点M是点N的“两倍差点”；求点N的坐标； ②若点H的坐标为，点T是点M的“两倍差点”，当线段距离最小时，点T的坐标为______； (3)若将直线在y轴左侧的图象沿x轴翻折，其余图像保持不变，所形成的新的图象记为图形W，若图形W上恰好有点的两个“两倍差点”，请求出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①② (3) 【知识点】求不等式组的解集、坐标与图形变化——轴对称、坐标与图形综合、一次函数与几何综合 【分析】本题在新定义的基础上，考查了一次函数及其图象的性质，解一元一次不等式组，等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是对新定义的理解． （1）根据定义得，进一步得到结论； （2）①设，根据M是点N的“两倍差点”可得出结果； ②设，根据定义得出，从而，T在直线上运动，当时，最小，进一步得出结果； （3）可得出直线在y轴右侧的图象是射线，直线在y轴左侧的图象沿x轴翻折的图象是射线：，设射线上的点Q和射线上的点F分别是点P的“两倍差点”，根据“两倍差点”定义得出不等式，进一步求得m的范围． 【详解】（1）解：由题意得， ， ，， ∴C和D是点E的“两倍差点”； 故答案为：C，D； （2）①设， ， ， ， ； ②如图1， 设， ∴， ∴， 如图1， T在直线上运动， 当时，最小， 设l交x轴于，交y轴于，作， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ； 故答案为：； （3）如图2， 直线在y轴右侧的图象是射线，直线在y轴左侧的图象沿x轴翻折的图象是射线， 设射线上的点是点P的“两倍差点”， 则， ， ， ， ， 设射线上的点是点P的“两倍差点”， 则， ， ， ， ， ． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点是线段上一点，将沿着折叠，点落在点处，连接． (1)求点、点的坐标； (2)若点落在线段上，求点的坐标； (3)在轴是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、折叠问题 【分析】（）把和分别代入一次函数解析式解答即可求解； （）由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，即得，设，则，在中，利用勾股定理求出的值即可求解； （）分点在轴右侧和左侧两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：当点落在线段上，如图， ∵，， ∴，， ∴， 由折叠得，，，，则， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：当点在轴右侧时，如图，过点作于点，过点作轴于，过点作的延长线于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， 设点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； 当点在轴左侧时，如图，过点作，则， ∵， ∴， 由上可知，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与直线相交于点． (1)______，______； (2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线于点E，交直线于点F． ①若，求点D的坐标； ②若点D坐标是，M是直线上一点，当是等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)①或；②或或或 【知识点】等腰三角形的定义、利用平方根解方程、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的应用、等腰三角形的定义、利用平方根解方程等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先利用待定系数法求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）①设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，再根据建立方程，解方程即可得； ②先设点的坐标为，再分三种情况：，和，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴， 将点，代入得：， 解得， 故答案为：，． （2）解：①由题意，画出图形如下： 由（1）已得：直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得或，均符合题意， ∴点的坐标为或． ②∵点坐标是，是直线上一点，轴， ∴可设点的坐标为， ∵， ∴， ， ， 当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 当时，是等腰三角形， 则，即，解得或， 此时点的坐标为或； 当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为秒，的面积为y． (1)求y关于t的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于4时，结合函数图像，求的值． 【答案】(1) (2)图像见解析，函数的一条性质：该函数的最大值为6 (3)2或 【知识点】画一次函数图象、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的应用、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． （1）分两种情况：①，先求出的长，再利用三角形的面积公式即可得；②，先求出的长，再利用三角形的面积公式可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）先根据（1）的结论，画出两段一次函数的图像，再写出一条性质即可得； （3）分两种情况：和，求出时，的值即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， ①当时，点在上运动， 则， ∴的面积； ②如图，当时，点在上运动， 过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； 综上，． （2）解：在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像如下： 该函数的一条性质：该函数的最大值为6． （3）解：当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 综上，的值为2或． 8．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交点为． (1)点的坐标为______； (2)求的面积； (3)在轴上求一点，使是以为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点的坐标______． 【答案】(1) (2)3 (3)或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合 【分析】（1）把代入求出y的值，即可得出答案； （2）先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点的坐标为； （2）解：联立， 解得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴； （3）解：∵点C坐标为， ∴， 当时， ∵点P在y轴上， ∴点P的坐标为或； 当时，过点C作轴，如图所示： ∵点， ∴， ∵，， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，当点P的坐标为或或时，三角形是为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，直线交点坐标，等腰三角形的定义和性质，综合性较强，正确把握并能熟练运用相关知识是解题的关键．注意分类思想的运用． 9．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交坐标轴于、两点，点、的坐标分别为、，直线、相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，若直线上存在点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为：． (2)M的坐标为：或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的几何问题，熟练掌握基本性质和三角形面积公式是解题关键； （1）利用待定系数法直接求解即可； （2）分两种情况，当分别在点的上方和下方时，分别计算即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为：， ∵点、的坐标分别为、， ∴， 解得， 故直线的函数表达式为：． （2）解：∵直线的函数表达式为：，的图像交坐标轴于、两点，且直线、相交于点． ∴， ∴联立解得， ∴， 如图， 当在点下方时，要使得的面积是的面积的2倍， 则点为的中点， ∴； 当在点上方时， ∵， ， 又∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵在直线上， ∴， ∴， ∴, 故M的坐标为：或． 试卷第1页，共3页 2 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $