2024-2025学年下学期广东省广州市第二十七届WMO八年级竞赛数学试卷（复赛）

2024-2025学年广东省广州市第二十七届WMO初中八年级（下）竞赛数学试卷（复赛） 一、选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）若四次多项式x4﹣ax2+1可分解为两个整系数二次三项式，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2．（4分）若关于x的不等式组只有2个正整数解，关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A．10 B．13 C．16 D．19 3．（4分）若已知正实数a，b满足a2+b2＝12，其中a是正实数，b是a的小数部分，则a3﹣b3＝（　　） A．9 B．27 C． D． 4．（4分）如图，△ABC为直角三角形，AB＝5，BC＝12，在BC上取一点D，连接AD，使△ABD沿AD翻折时刚好落到斜边AC上，则AD＝（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD边上的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，点P是线段AF上一动点，则点P移动过程中与点C的最大距离是最小距离的（　　）倍． A． B． C． D． 6．（4分）如图，直线l1过点A（2，0），交y轴于点C，且与过点B的直线l2：y＝2x+6相交于点E（a，2），点F为x轴上一动点，连接CF、EF，当△CEF的周长最小时，F点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）已知实数m、n满足m﹣8n+4n2＝﹣7，当m为整数，0≤n≤2时，m有（　　）种不同的取值． A．5 B．6 C．7 D．8 8．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，E为CD边上的中点，EF⊥AC，AG＝CF，动点M在AB上、动点N在BC上，则GM+MN+NF的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（4分）如图，在边长分别为6cm和8cm的两个正方形中各取一个顶点重合，使其与两条边形成△ABC，连接DE，M是DE的中点，MN⊥BC，若△ABC是直角三角形，则MN的长是（　　）cm． A．4或5 B．3或4 C．或5 D．或5 10．（4分）如图，边长为1的正方形ABCD中，M、N、O分别为AD、BC、MN边上的动点，E、F分别为AB、CD边上的点，EF⊥MN，且过点O，则EM+FN的最小值与最大值的积是（　　） A．2 B． C． D．3 二、填空题（6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）若x，y，则的值为　 　 ． 12．（5分）已知点A（2，a）是一次函数y＝kx﹣1图象上的一点，过点A作直线y＝kx﹣1的垂线，交y轴于点B（0，b），若点A、B之间的距离是，则点A的纵坐标是　 　 ． 13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCA是正方形，点D为对角线AB上一点，连CD，并以CD为边向右作正方形CDEF，若点D坐标为（3，1），则点F的坐标是　 　 ． 14．（5分）如图，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，CD⊥AC，交BC的平行线EF于点D，以AE、AF为邻边画矩形AEHF，以CD、CF为邻边画矩形CDGF，当S矩形AEHF+S矩形CDGF取最小值时，AE＝　 　 ． 15．（5分）如图，先画一个边长为acm的大正方形，然后以大正方形的一边为对角线画第二个正方形，接着以第二个正方形的一边为对角线画第三个正方形，…，依此操作下去，若第2022个正方形的面积是cm2，则a＝ 　 　 ． 16．（5分）在矩形ABCD中，AB＝1，，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BA1D1C1，那么在旋转过程中DC1的最大值是最小值的　 　 倍． 三、解答题（5小题，共50分） 17．（8分）若最简二次根式与能合并为一项，求的最大值． 18．（9分）如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，AB＝5，点D是AC上不同于A、C的动点，DE⊥AB，以DE为边向下作等边三角形DEF，连接CF． （1）若四边形AEFC是等腰梯形，求AD的值； （2）若△DEF与△ABC重叠部分的面积小于△DEF的面积时，求AD的取值范围． 19．（12分）已知一次函数y＝﹣x﹣4与反比例函数交于A、B两点，若A点横坐标为﹣5． （1）写出反比例函数的解析式和B点坐标； （2）若将一次函数y＝﹣x﹣4向上平移8个单位后，与反比例函数交于C、D两点，求四边形ABCD的面积； （3）在x轴正半轴上是否存在一点E，使得以四边形ABCD的对角线BD为边的△BDE是等腰三角形？若存在，写出E的坐标；若不存在，说明理由． 20．（10分）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，点F为∠ABC、∠ACB角平分线的交点，G为BC边上的一点，CD＝CG． （1）证明：BD平分∠EDG； （2）若EG＝2，S△CDG，求BD的长． 21．（11分）已知六边形ABCDEF的所有内角都相等，且AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF． （1）试判断六边形ABCDEF的三条对角线AD、BE、CF是否三线共点； （2）若三角形ACE的面积为，求六边形ABCDEF的面积． 2024-2025学年广东省广州市第二十七届WMO初中八年级（下）竞赛数学试卷（复赛） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C D B A B D A 一、选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）若四次多项式x4﹣ax2+1可分解为两个整系数二次三项式，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】把各个选项表示的a代入整式后分解，根据分解结果是否符合要求可得结论． 【解答】解：当a＝﹣1时，四次多项式x4﹣ax2+1为x4+x2+1， ∵x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）， ∴原整式分解为两个整系数二次三项式，故选项A符合条件； 当a＝0时，四次多项式x4﹣ax2+1为x4+1， ∵x4+1，在实数范围内不能分解， ∴原整式不能分解为两个整系数二次三项式，故选项B不符合条件； 当a＝1时，四次多项式x4﹣ax2+1为x4﹣x2+1， ∵x4﹣x2+1＝（x2x+1）（x2x+1）， ∴原整式不能分解为两个整系数二次三项式，故选项C不符合条件； 当a＝2时，四次多项式x4﹣ax2+1为x4﹣2x2+1， ∵x4﹣2x2+1＝（x2﹣1）（x﹣1）（x+1）， ∴原整式不能分解为两个整系数二次三项式，故选项D不符合条件． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键． 2．（4分）若关于x的不等式组只有2个正整数解，关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A．10 B．13 C．16 D．19 【分析】先解不等式组，再根据不等式组有且只有2个正整数解确定a的范围，然后解分式方程，再根据分式方程的解为整数，确定a的值，进行计算即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣2， 解不等式②得：x， ∵不等式组只有2个正整数解， ∴23， 解得：6≤a＜11， ∵a为整数， ∴a＝6，7，8，9，10， ， ax﹣1﹣23＝﹣5（4﹣x）， 解得：x， ∵分式方程的解为整数， ∴a﹣5＝±1，±4，±2且4， ∴a＝6，4，9，1，7，3且a≠6， ∴符合条件的所有整数a的值为：7，9 ∴符合条件的所有整数a的和为16， 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键． 3．（4分）若已知正实数a，b满足a2+b2＝12，其中a是正实数，b是a的小数部分，则a3﹣b3＝（　　） A．9 B．27 C． D． 【分析】根据a2+b2＝12，其中a是正实数，b是a的小数部分，可以得到a、b的值，进而求得所求式子的值． 【解答】解：∵a2+b2＝12，b是a的小数部分， ∴设a＝n+m，其中n是a的整数部分，m是a的小数部分， ∴（n+m）2+m＝12， ∴n2+2nm+2m2＝12， ∵m是a的小数部分， ∴0＜m＜1， ∴0＜m2＜1， ∴0＜2m2＜2， ∵n是正整数， ∴n2是正整数， ∴只有当n2＝9，2nm+2m2＝3时，n2+2nm+2m2＝12成立， ∴n＝3， ∴6m+2m2＝3，解得，m， ∴a＝3，b， ∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） ＝3×（12） ． 故选：D． 【点评】本题主要考查代数方程的求解、整数与小数部分的关系，以及代数式变形的能力．关键在于将题目中的条件转化为方程，并通过合理的代数运算找到答案． 4．（4分）如图，△ABC为直角三角形，AB＝5，BC＝12，在BC上取一点D，连接AD，使△ABD沿AD翻折时刚好落到斜边AC上，则AD＝（　　） A． B． C． D． 【分析】过点D作DE⊥AC，利用勾股定理得出DE2+EC2＝CD2，即BD2+82＝（12﹣BD）2，解得BD，在Rt△ABD中，AD． 【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E． 由翻折可得，AE＝AB＝5，BD＝DE， ∵△ABC为直角三角形，AB＝5，BC＝12， ∴AC＝13， ∴CE＝AC﹣AE＝13﹣5＝8， 在Rt△DEC中， DE2+EC2＝CD2， 即BD2+82＝（12﹣BD）2， BD， ∴AD， 故选：C． 【点评】本题考查了翻折变化中的性质应用，解直角三角形，翻折前后的对应角对应边相等是本题的关键． 5．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD边上的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，点P是线段AF上一动点，则点P移动过程中与点C的最大距离是最小距离的（　　）倍． A． B． C． D． 【分析】由题可证当点P在点A时CP最大，当CP⊥AF时，CP最小，据此求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥CF， ∴∠ADE＝∠ECF， ∵E是CD中点， ∴DE＝CE＝2， ∵∠AED＝∠FEC， ∴△AED≌△FEC（ASA）， ∴AD＝CF＝4， 在Rt△CEF中，EF2， 连接AC，过C作CM⊥AF于点M， 由垂线段最短可知，当点P运动到点M时，CP最小， 此时根据等面积可知，CP＝CM， 当点P运动到点A时，CP最大，此时CP＝AC＝4， ∵4， ∴点P移动过程中与点C的最大距离是最小距离的10倍， 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6．（4分）如图，直线l1过点A（2，0），交y轴于点C，且与过点B的直线l2：y＝2x+6相交于点E（a，2），点F为x轴上一动点，连接CF、EF，当△CEF的周长最小时，F点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求点E的坐标，再求直线l1方程，再求坐标点． 【解答】解：①求出点E的坐标，已知点E（a，2）在直线l2：y ＝ 2x+6上，将y ＝ 2代入y ＝ 2x+6可得：2 ＝ 2a+6移项可得2a＝2﹣6＝﹣4，解得a ＝﹣2，所以点E的坐标为（一2，2）． ②求出直线l1的方程设直线的方程为y ＝ kx+b，因为直线l1过点A（2，0）和E（一2，2），将这两点代入方程可得方程组用第一个方程减去第二个方程消去b可得：（2k+b）﹣（﹣2k+b） ＝0﹣22k+b+2k﹣b＝﹣24k＝﹣2，解得 k将，k代入2k+b＝0，可得2 x（）+b＝0，即﹣1+b＝0，解得b＝ 1所以直线l1的方程为 yx+1． ③求出点C的坐标因为直线l1交y轴于点C，令x ＝ 0，则yx0+1＝1，所以点C的坐标为（0，1）． ④求出点C关于x轴的对称点C'的坐标关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以点C（0，1）关于x轴的对称点C'的坐标为（0，﹣1）． ⑤求出直线EC'的方程设直线EC“的方程为y ＝ mx+n，将点E（﹣2，2）和C“（0，﹣1）代入方程可得方程组 将n ＝﹣1代入﹣2m+n＝ 2，可得﹣2m﹣1＝2，移项可得﹣2m＝2+1＝3，解得 m＝﹣/，所以直线EC'的方程为：yx﹣1． ⑥求出点F的坐标因为△CEF的周长＝CE+EF+CF，当点F为直线EC'与x轴的交点时，CF+EF＝C'F+EF ＝C'E（两点之间线段最短），此时△CEF的周长最小．令y＝0，则0x﹣1，移项可得/x ＝﹣1，解得x ＝﹣2，所以点F的坐标为（，0）． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称和最短线路，已知点在直线上，求点的坐标． 7．（4分）已知实数m、n满足m﹣8n+4n2＝﹣7，当m为整数，0≤n≤2时，m有（　　）种不同的取值． A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由m﹣8n+4n2＝﹣7整理得m＝﹣4（n﹣1）2﹣3，即可得到n＝1时，m有最大值﹣3，n＝0时，m＝﹣7，n＝2时，m＝﹣7，则当0≤n≤2时，﹣7≤m≤﹣3，即可确定整数m的值． 【解答】解：m﹣8n+4n2＝﹣7， m＝﹣4n2+8n﹣7， m＝﹣4n2+8n﹣4﹣3， m＝﹣4（n﹣1）2﹣3， ∵﹣4＜0， ∴n＝1时，m有最大值﹣3， ∵n＝0时，m＝﹣7，n＝2时，m＝﹣7， ∴当0≤n≤2时，﹣7≤m≤﹣3， ∵整数m为﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，二次函数的性质，配方法是解题的关键． 8．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，E为CD边上的中点，EF⊥AC，AG＝CF，动点M在AB上、动点N在BC上，则GM+MN+NF的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】由题易求AG＝CF＝1，再作点G关于直线AB对称点G'，作点F关于直线BC对称点F'，则GM+MN+NF＝G'M+MN+NF'≥G'F'，当且仅当G'、M、N、F'四点共线时取等，所以求出G'F'的长度即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD＝CD＝4，∠ACD＝60°， ∵E是CD中点， ∴CECD＝2， ∵EF⊥AC， ∴∠CEF＝30°， ∴CFCE＝1， ∴AG＝CG＝1， 如图，作点G关于直线AB对称点G'，作点F关于直线BC对称点F'， 则GM＝G'M，NF＝NF'， ∴GM+MN+NF＝G'M+MN+NF'≥G'F'，当且仅当G'、M、N、F'四点共线时取等， 如图， 由题可知∠G'AC＝∠F'CA＝120°，AG'＝CF'＝1， ∴四边形ACF'G'是等腰梯形，简化图如下， 过A作AL⊥G'F'于点L，作CK⊥G'F'于点K， 则四边形ACKL是矩形， ∴AC＝KL＝4， 在Rt△AG'L中，∠G'AL＝120°﹣90°＝30°，AG'＝1， ∴G'LAG'， 同理KF'， ∴G'F'5， 即GM+MN+NF的最小值为5； 故选：B． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、轴对称最短路径问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．（4分）如图，在边长分别为6cm和8cm的两个正方形中各取一个顶点重合，使其与两条边形成△ABC，连接DE，M是DE的中点，MN⊥BC，若△ABC是直角三角形，则MN的长是（　　）cm． A．4或5 B．3或4 C．或5 D．或5 【分析】通过建立坐标系利用函数求得MN的长度． 【解答】解：直角在A点：如图： 设A（0，0），B（6，0），C（0，8）， 则BC方程为， 连接两正方形顶点D（6，﹣6）和E（﹣8，8），中点M（﹣1，1）， MN为点M到BC的垂线距离， 根据公式， 其中由题可得：x0＝﹣1，y0＝1，A＝4，B＝﹣3，C＝24， 将数据代入计算得MN长度为5； 直角在B点：如图： 设A（0，0），B（6，0），， DE连接两正方形顶点D（0，6）和E，中点M（3，7， BC为垂直线x＝6，MN的水平距离为6﹣3＝3，但需验证构造方式， 另一种构造下，DE连接两正方形顶点D（6，6）和E中点， MN长度为． 故选：D． 【点评】本题考查正方形的性质和勾股定理，属于难题． 10．（4分）如图，边长为1的正方形ABCD中，M、N、O分别为AD、BC、MN边上的动点，E、F分别为AB、CD边上的点，EF⊥MN，且过点O，则EM+FN的最小值与最大值的积是（　　） A．2 B． C． D．3 【分析】作AG∥NM，作NG∥EM，连接FG，可得出EM+FN＝GN+FN≥FGMN，当MN取最小和最大时，求得结果． 【解答】解：如图， 作AG∥NM，作NG∥EM，连接FG， ∴四边形MNGE是平行四边形， ∴GN＝EM，EG＝MN， ∴EM+FN＝GN+FN≥FG， ∵四边形ABCD是正方形，EF⊥MN， ∴EG⊥EF，EF＝MN， ∴FGMN， ∴当MN＝1时，FG最小， 当MN时，FG最大＝2， ∴EM+FN的最小值与最大值的积是2， 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造平行四边形． 二、填空题（6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）若x，y，则的值为　﹣3　 ． 【分析】先对x和y进行分母有理化，将其化为最简形式，然后再代入到要求的代数式中进行计算． 【解答】解：对x进行分母有理化x； 对y进行分母有理化y2； ∴xy3 （）（2）+2（2）+3 （5+23）﹣（522）23 ＝452223 ＝（4﹣5﹣2+3）+（）+（﹣2）+（﹣2） ． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 12．（5分）已知点A（2，a）是一次函数y＝kx﹣1图象上的一点，过点A作直线y＝kx﹣1的垂线，交y轴于点B（0，b），若点A、B之间的距离是，则点A的纵坐标是　3或﹣5　 ． 【分析】依据题意，由点A（2，a）是一次函数y＝kx﹣1图象上的一点，则可得一次函数为yx﹣1，然后求出与一次函数的图象垂直的过A的直线，进而可得B的坐标，再由点A、B之间的距离是，从而列出方程故可以求出A的纵坐标即可得解． 【解答】解：由题意，∵点A（2，a）是一次函数y＝kx﹣1图象上的一点， ∴2k﹣1＝a． ∴k． ∴一次函数为yx﹣1． ∴过A与直线y＝kx﹣1的垂直的直线可设为yx+m． ∴a2+m． ∴m． ∴过A与直线y＝kx﹣1的垂直的直线可设为yx． ∴该直线与y轴的交点为（0，）． 又∵与y轴交于（0，b）， ∴b． ∵点A、B之间的距离是， ∴（2﹣0）2+（a）2＝5． ∴a＝3或﹣5． 经检验，a＝3或﹣5是方程（2﹣0）2+（a）2＝5的解． ∴A的纵坐标为3或﹣5． 故答案为：3或﹣5． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活一次函数的性质是关键． 13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCA是正方形，点D为对角线AB上一点，连CD，并以CD为边向右作正方形CDEF，若点D坐标为（3，1），则点F的坐标是　（7，3）　 ． 【分析】由题易求OA＝OB＝4，进而构造一线三垂直全等，即可求出F坐标． 【解答】解：设OB＝OA＝a，则A（0，a），B（a，0）， 由点A和点B坐标可知直线AB解析式为y＝﹣x+a， 将点D（3，1）代入可得，a＝4， ∴OA＝OB＝AC＝BC＝4， 如图，过C作CG⊥AC于点G，过F作FH⊥AC交AC延长线于点H，则∠DCG＝∠H＝90°， ∴DG＝3，CG＝1， ∵四边形CDEF是正方形， ∴CD＝CF，∠DCF＝90°， ∴∠DCG＝∠CFH＝90°﹣∠FCH， ∴△DCG≌△CFH（AAS）， ∴FH＝CG＝1，CH＝DG＝3， ∴F（7，3）； 故答案为：（7，3）． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14．（5分）如图，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，CD⊥AC，交BC的平行线EF于点D，以AE、AF为邻边画矩形AEHF，以CD、CF为邻边画矩形CDGF，当S矩形AEHF+S矩形CDGF取最小值时，AE＝　3　 ． 【分析】本题可先利用勾股定理求出AC的长度，再设AE ＝ x，通过相似三角形等知识表示出相关线段长度，进而得出S矩形AEHF+S矩形CDGF关于x的表达式，最后根据二次函数性质求最小值时x的值． 【解答】解：∵AC⊥AB， ∴△ABC是直角三角形．， 已知AB ＝ 6，BC ＝ 10，根据勾股定理AC ＝8， 设AE ＝ x，表示相关线段长度， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， 则，即，解得AFx， ∵CD⊥AC，EF∥BC， ∴CD ＝ AB ＝ 6，CF ＝ AC﹣AF＝8x， S矩形AEHF＝AE×AF＝xx， S矩形CDGF＝CD×CF ＝ 6×（8）＝48﹣8x， ∴S矩形AEHF+S矩形CDGF8x+48． 对于二次函数y ＝ ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，函数在x 处取得最小值，在y8x+48中，a ，b＝﹣8，则x＝3， 即AE ＝ 3时，S矩形AEHF+S矩形CDGF取最小值， 故答案为：3． 【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是根据勾股定理，三角形相似等求出相关线段长度，从而列出S矩形AEHF+S矩形CDGF关于x的表达式即可． 15．（5分）如图，先画一个边长为acm的大正方形，然后以大正方形的一边为对角线画第二个正方形，接着以第二个正方形的一边为对角线画第三个正方形，…，依此操作下去，若第2022个正方形的面积是cm2，则a＝ 　2　 ． 【分析】分别求出第一个、第二个、第三个正方形的边长，得出规律即可求解． 【解答】解：第1个正方形的边长是acm，对角线长为acm， 第2个正方形的边长为aacm， 第3个正方形的边长是acm， … ∴第n个正方形的边长为acm， ∴第n个正方形的面积为：a2 cm2a2 cm2， ∵第2022个正方形的面积是cm2， ∴a2， ∴a＝2（负值舍去）． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理．求出第一个、第二个、第三个正方形的边长，得出规律是解决问题的关键． 16．（5分）在矩形ABCD中，AB＝1，，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BA1D1C1，那么在旋转过程中DC1的最大值是最小值的　11+2　 倍． 【分析】将矩形ABCD绕点B旋转，则点C的轨迹为以B为圆C，BC为半径的圆．分两种情况作出图形，求得DC1最大值与最小值，进一步解答即可得解． 【解答】解：将矩形ABCD绕点B旋转，则点C的轨迹为以B为圆C，BC为半径的圆．分两种情况： 如图1，当点C1在DB的延长线上时，DC1取最大值， 由旋转的性质得：BC1＝BC， 由勾股定理得：BD， ∴DC1最大值为：； 当点C1在对角线BD上时，DC1取最小值，如图2， 此时，DC1的最小值为， ∴11+2， ∴在旋转过程中DC1的最大值是最小值的11+2倍， 故答案为：11+2． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质． 三、解答题（5小题，共50分） 17．（8分）若最简二次根式与能合并为一项，求的最大值． 【分析】根据同类二次根式的定义列出方程组，解方程组求出a、b，再根据二次根式的性质计算． 【解答】解：∵最简二次根式与能合并为一项， ∴， 解得：， ∴， 则3﹣x≥0， ∴x≤3， 当x＝3时，有最小值0， ∴有最大值8+3﹣0＝11， 即的最大值是11． 【点评】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 18．（9分）如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，AB＝5，点D是AC上不同于A、C的动点，DE⊥AB，以DE为边向下作等边三角形DEF，连接CF． （1）若四边形AEFC是等腰梯形，求AD的值； （2）若△DEF与△ABC重叠部分的面积小于△DEF的面积时，求AD的取值范围． 【分析】（1）由题易求BC＝5，AC＝10，进而证△AED≌△CFD（AAS），即可得解； （2）分析可知当△DEF完全在△ABC内时，△DEF与△ABC重叠部分的面积等于△DEF的面积，所以当点F在BC上时为分界点，再向下等边三角形△DEF就不完全在△ABC内，点D在点C处，DE边为BC边时，等边三角形△DEF就完全不在△ABC内，据此画出图形求解即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，AB＝5， ∴∠A＝30°， 设BC＝m，则AC＝2m， 由勾股定理可得m2+75＝4m2， 解得m＝5， ∴BC＝5，AC＝10， 设AD＝x，则，， ∵△DEF是等边三角形， ∴， ∵四边形AEFC是等腰梯形， ∴AE＝CF，∠FCD＝∠A＝30°， ∵∠EDF＝∠ADE＝60°， ∴∠FDC＝60°， ∴△AED≌△CFD（AAS）， ∴； （2）当△DEF完全在△ABC内时，△DEF与△ABC重叠部分的面积等于△DEF的面积， ∵等边△DEF是以DE为边向下作的， ∴当点F在BC上时为分界点，再向下等边三角形△DEF就不完全在△ABC内，点D在点C处，DE边为BC边时，等边三角形△DEF就完全不在△ABC内， 如图，当点F在BC上时，， 又∵BE＝5x， ∴， 解得， 当点D在点C处，DE边为BC边时，AD＝AC＝10， ∵点D是不同于A、C的动点，且△DEF与△ABC重叠部分的面积小于△DEF的面积， ∴AD的取值范围是． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的性质、等腰梯形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．（12分）已知一次函数y＝﹣x﹣4与反比例函数交于A、B两点，若A点横坐标为﹣5． （1）写出反比例函数的解析式和B点坐标； （2）若将一次函数y＝﹣x﹣4向上平移8个单位后，与反比例函数交于C、D两点，求四边形ABCD的面积； （3）在x轴正半轴上是否存在一点E，使得以四边形ABCD的对角线BD为边的△BDE是等腰三角形？若存在，写出E的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）把点A横坐标代入一次函数解析式求出点A的纵坐标，然后把点A坐标代入反比例函数求出k值，再联立两个函数解析式求出点B坐标即可． （2）先根据函数图象平移的性质求出直线CD的函数解析式，再通过辅助线根据等腰直角三角形的性质判定四边形ABCD是矩形，由S四边形ABCD＝AB•ADAH•AG求出结果． （3）先设点E的坐标（a，0），由等腰三角形的定义分DE＝BE、DE＝BD、BD＝BE三种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）将点A横坐标代入一次函数y＝﹣（﹣5）﹣4＝1，则点A坐标为（﹣5，1）， 把点A坐标代入反比例函数，可得 k＝﹣5， 所以反比例函数解析式是． 联立两个函数解析式得： ， 解得或． 所以点B坐标是（1，﹣5）． （2）将一次函数y＝﹣x﹣4 向上平移8个单位后得到的函数式是 y＝﹣x+4，联立两个函数解析式得： ， 解得或． 故C、D两点坐标为：C（5，﹣1），D（﹣1，5）． 如图，过点A、D、B、C分别作坐标轴的平行线．交点为G（﹣5，﹣5）、H（﹣5，5）、P（5，5）、Q（5，﹣5）． 则AH＝DH＝BQ＝CQ＝4，AG＝BG＝DP＝CP＝6，PQ＝10， ∴△AHD、△BQC、△AGB、△CPD都是等腰直角三角形， ∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝180°﹣2×45°＝90°，即四边形ABCD是矩形． ∴S四边形ABCD＝AB•ADAH•AG＝48． （3）由（2）可求得， 设点E（a，0），且a＞0．当△BDE是等腰三角形时有三种情况： ①当DE＝BE时，52+（1+a）2＝52+4﹣a2，则 a＝0，不符合题意，舍去； ②当DE＝BD时，，则； ③当BD＝BE时，，则； 所以存在符合情况的点E，且坐标为或． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，一元二次方程等知识点，根据等腰三角形的定义分类讨论求解是本题的难点． 20．（10分）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，点F为∠ABC、∠ACB角平分线的交点，G为BC边上的一点，CD＝CG． （1）证明：BD平分∠EDG； （2）若EG＝2，S△CDG，求BD的长． 【分析】（1）据三角形的三个内角的平分线相交于一个点，可以知道AF平分∠BAC，据三角形的内角和180°，可以求出∠CFB＝120°等腰三角形的三线合一，四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，得以求证； （2）训练勾股定理的应用，等边三角形的判定． 【解答】（1）证明：在△ABC中，因为∠A＝60°， 所以∠ABC+∠ACB＝120°， 因为BD，CE是∠ABC、∠ACB的平分线， 所以∠BFC＝180°﹣（∠BCF+∠CBF）＝180°（∠ACB+∠ABC）， ＝180°（180°﹣∠A）＝180°﹣60°＝∠120°， 于是∠DFE＝∠BFC＝120°（对顶角相等）， 因为∠DFE+∠A＝180°， 所以A，E，F，D四点共圆， ∵点F为∠ABC、∠ACB角平分线的交点，连接AF，则AF为∠BAC的平分线，∠CAB＝60°， ∴∠FAE＝∠FAD＝30°， 由A，E，F，D四点共圆可得：∠EDF＝∠FAE＝30°， ∵CD＝CG，CE是∠ACB 角平分线， 所以CE⊥DG，即∠DOF＝90°， 又∠CFD＝180°﹣∠BFC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠FDG＝30°，即∠EDF＝∠FDG， ∴BD平分∠EDG． （2）解：∵CD＝CG，∠DCE＝∠GCE，CE＝CE， ∴△CDE≌△CGE， ∴DE＝GE， 由（1）知∠EDG＝60°，CE垂直平分DG， ∴ED＝EG，即△DEG 是等边三角， ∴DE＝DG＝EG＝2， ∵，即DG•CO， ∴CO，DO＝1，据勾股定理得CD＝2， ∴CD＝CG＝DG， ∴△CDG是等边三角形， ∴∠DCG＝60°，则∠ABC＝60°，∠DBC＝30°，∠BDC＝90°， 在Rt△CBD中，BC＝2CD＝4， 据勾股定理得． 【点评】考查等腰三角形的性质，四点共圆，勾股定理，等边三角形的判定． 21．（11分）已知六边形ABCDEF的所有内角都相等，且AF＝CD，AB＝DE，BC＝EF． （1）试判断六边形ABCDEF的三条对角线AD、BE、CF是否三线共点； （2）若三角形ACE的面积为，求六边形ABCDEF的面积． 【分析】（1）利用全等三角形可证点O1是AD、CF的中点，点O2是AD、BE的中点，点O3是BE、CF的中点，据此得证； （2）易证S△AOB+S△BOC+S△COD＝S△AOE+S△COE+S△AOC＝S△ACE＝2，据此即可得解． 【解答】解：（1）如图，连接AD、CF，交于点O1， ∵六边形ABCDEF的所有内角都相等，且六边形内角和为（6﹣2）×180°＝720°， ∴∠BAF＝∠AFE＝∠E＝∠EDC＝∠B＝120°， ∵∠DAF+∠AFE+∠E+∠EDA＝360°， ∴∠DAF+∠EDA＝360°﹣120°﹣120°＝120°， ∵∠DAF+∠DAB＝120°， ∴∠DAB＝∠EDA， ∴AB∥DE， 同理BC∥EF，CD∥AF， ∵AF＝CD ∴，则点O1是AD、CF的中点， 连接BE，令其交AD于点O2，交CF于点O3， ∵AB＝DE，BC＝EF， 同理可证，， 即点O2是AD、BE的中点，点O3是BE、CF的中点， 综上可得O1、O2、O3是同一点， ∴六边形ABCDEF的三条对角线AD、BE、CF三线共点． （2）如图，由（1）得点O是AD、BE、CF的中点， ∴S△AOE＝S△AOB，S△COE＝S△BOC，S△AOC＝S△COD， ∴S△AOB+S△BOC+S△COD＝S△AOE+S△COE+S△AOC＝S△ACE＝2． 由（1）方法可得△AOB≌△DOE、△BOC≌△EOF、△COD≌△FOE， ∴六边形ABCDEF的面积＝2（S△AOB+S△BOC+S△COD）＝4． 【点评】本题主要考查了多边形内角和、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第28页（共28页） 学科网（北京）股份有限公司 $