2025年湖南省长沙市雅礼集团新苗杯数学素养创新选拔七年级数学试题

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼集团新苗杯七年级（下）创新选拔数学试卷 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．（5分）已知实数a满足，那么a﹣20252+1的值为（　　） A．1 B．2025 C．2026 D．2027 2．（5分）关于x的方程的解为正整数，且关于x的不等式组有解且最多有7个整数解，则满足条件的所有整数a值之和为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 3．（5分）在代数式xy2z中，若x与y的值各减少25%，z的值增加25%，则代数式的值（　　） A．减少 B．减少 C．减少 D．减少 4．（5分）设m，n，p．若a＜﹣3，则（　　） A．m＜n＜p B．n＜p＜m C．p＜n＜m D．p＜m＜n 5．（5分）关于x的一元一次方程的解（　　） A．是一个大于1000的数 B．是一个两位的自然数 C．是一个大于0且小于2的数 D．不存在 6．（5分）用小立方块搭成的几何体，从正面和上面看的形状图如图，则组成这样的几何体需要立方块个数为（　　） A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块 C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块 7．（5分）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推，2025年是乙巳年，高斯出生于1777年，该年是（　　） A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年 8．（5分）雅礼中学数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P1（x1，y1）处，其中x1＝1，y1＝1，当k≥2时，，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0．按此方案，第2025棵树种植点的坐标为（　　） A．（5，2025） B．（1，2025） C．（1，405） D．（5，405） 二.填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 9．（5分）已知a+b+c+d+e＝0，abcde＞0，则的值为 　 　 ． 10．（5分）一批衣服进价为50元，打算以30%的利润卖出，卖了70%后打折，全部衣服卖完后的总利润只有不打折售卖利润74%，则打了 　 　 折． 11．（5分）如图，线段AD、CE、BF两两相交，M、N、P为交点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 　 　 ． 12．（5分）已知关于x，y的方程组无解，则a的值为 　 　 ． 13．（5分）已知a+b+c＝0，a＜2b＜3c，则的取值范围是 　 　 ． 14．（5分）已知关于x的方程|5x﹣4|+a＝0无解，|4x﹣3|+b＝0有两个解，|3x﹣2|+c＝0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是　 　 ． 15．（5分）如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，若AD：CD＝2：3，BE：CE＝3：2，则△ACF与△BCF的面积之比为 　 　 ． 16．（5分）对于给定实数a，记M（a）是三数a，6﹣a，2a+4中最小的数，则在数M（﹣2025），M（﹣2024），M（﹣2023），…，M（﹣1），M（0），M（1），…，M（2023），M（2024），M（2025）中最大的数是 　 　 ． 三.解答题（共4小题，每小题15分，共60分） 17．（15分）甲自A向B先走5.5分钟后乙自B向A行走，每分钟比甲多走30米．他们于途中C处相遇．甲自A到C用时比自C到B用时多4分钟，乙自C向A用时比自B向C用时多3分钟．请问甲从A到C用了多少分钟？A、B两处的距离是多少米？ 18．（15分）对于任意一个三位数p，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则称这个三位数p为“新苗数”．例如：p＝112，因为1+1＝2，所以112是“新苗数”；p＝253，因为2+5≠3，所以253不是“新苗数”． （1）判断147，358是否是“新苗数”？说明理由； （2）对于“新苗数”p，去掉个位上的数字得到的两位数记为m，去掉百位上的数字后将十位与个位的数字交换得到的两位数记为n，若m+n能被24整除，求所有的p． 19．（15分）观察按下列规则排成的一列数：，，，，，，，，，，，，，，，． （1）第30个数为 　 　 ．（不要写过程，直接写答案） （2）从左起第m个数记为F（m），当时，求m的值和这m个数的积． （3）未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，说明理由． 20．（15分）如表，设A是由n×n个有理数组成的n行n列的数表，其中aij（i，j＝1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的数，且aij取值为1或﹣1．对于数表A给出如下定义：记xi为数表A的第i行各数之积，yj为数表A的第j列各数之积． 令S＝（x1+x2+…+xn）+（y1+y2+…+yn）将S称为数表A的“积和”． a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann （1）当n＝4时，对如下数表A，求该数表的“积和”S的值； 1 1 ﹣1 ﹣1 1 ﹣1 1 1 1 ﹣1 ﹣1 1 ﹣1 ﹣1 1 1 （2）是否存在一个5×5的数表A，得该数表的“积和”S＝0？并说明理由； （3）求n×n的数表A“积和”S的绝对值的最小值． 2024-2025学年湖南省长沙市雅礼集团新苗杯七年级（下）创新选拔数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D C C C A D 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．（5分）已知实数a满足，那么a﹣20252+1的值为（　　） A．1 B．2025 C．2026 D．2027 【分析】根据二次根式有意义，求出a的范围，化简绝对值，即可求解． 【解答】解：∵， ∴a﹣2026≥0， a≥2026， ∴， ， a﹣2026＝20252， ∴a﹣20252＝2026， a﹣20252+1＝2026+1＝2027． 故选：D． 【点评】本题考查二次根式和绝对值，计算出字母的取值范围，化简绝对值是解决本题的关键． 2．（5分）关于x的方程的解为正整数，且关于x的不等式组有解且最多有7个整数解，则满足条件的所有整数a值之和为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解为正整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组最多有7个整数解，得到a的值相加即可． 【解答】解：分式方程去分母得：8﹣4x＝ax﹣x， 解得：x， 由分式方程解为正整数，得到a+3＝1，2，8， 解得：a＝﹣2，﹣1，5， 不等式组整理得：a≤x＜5， 由不等式组有解且最多有7个整数解，得到整数解为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3， ∴a＞﹣3且a≤﹣2， 则满足题意a的值为﹣2，之和为﹣2． 故选：B． 【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 3．（5分）在代数式xy2z中，若x与y的值各减少25%，z的值增加25%，则代数式的值（　　） A．减少 B．减少 C．减少 D．减少 【分析】根据题意得出x与y的值都变为原来的75%，即为原来的，z的值变为原来的125%即，然后把它们代入代数式xy2z中即可． 【解答】解：由已知条件得：x与y的值都变为原来的75%，即为原来的，z的值变为原来的125%即， ∴， ∴1， ∴代数式的值减小． 故选：D． 【点评】本题考查了代数式的求值，解题的关键是找出x、y、z的变化，然后代入代数式再求值． 4．（5分）设m，n，p．若a＜﹣3，则（　　） A．m＜n＜p B．n＜p＜m C．p＜n＜m D．p＜m＜n 【分析】比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算m﹣n、n﹣p的结果，根据a＜﹣3，判断结果的符号． 【解答】解：∵a＜﹣3，∴a+3＜0，a+2＜0，a+1＜0， ∴m﹣n0，即m＞n， n﹣p0，即n＞p， ∴m＞n＞p． 故选：C． 【点评】本题考查了比较两数大小的方法，分式加减的运用．当a﹣b＞0时，a＞b，当a﹣b＝0时，a＝b，当a﹣b＜0时，a＜b． 5．（5分）关于x的一元一次方程的解（　　） A．是一个大于1000的数 B．是一个两位的自然数 C．是一个大于0且小于2的数 D．不存在 【分析】把方程拆分为常数与分数的形式，化简方程即可求解． 【解答】解：将方程两边拆分为常数和分数的形式， 变形为：， ， ， ， 1﹣x＝0， 解得x＝1． 故选：C． 【点评】本题考查一元一次方程的解法，把分数拆分为常数和分数的和是解决本题的关键． 6．（5分）用小立方块搭成的几何体，从正面和上面看的形状图如图，则组成这样的几何体需要立方块个数为（　　） A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块 C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块 【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可． 【解答】解：有两种可能； 由主视图可得：这个几何体共有3层， 由俯视图可得：第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块， 第三层只有一块， ∴最多为3+4+1＝8个小立方块，最少为个2+4+1＝7小立方块． 故选：C． 【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就很容易得到答案． 7．（5分）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推，2025年是乙巳年，高斯出生于1777年，该年是（　　） A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年 【分析】依题意天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期，求出相隔年数，再有周期性判断即可． 【解答】解：天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期， 1777年与2025年相隔2025﹣1777＝248年． 248＝24×10+8，即天干有24个周期，余8年， 248＝12×20+8，即地支有20个周期，余8年， 故“乙”往前推8年（乙→甲→癸→壬→辛→庚→己→戊→丁），得“丁”． “己”往前推8年（己→辰→卯→寅→丑→子→亥→戌→酉），得“酉”． 组合后为“丁酉年”． 故选：A． 【点评】本题主要考查归纳推理和合情推理．属于中档题． 8．（5分）雅礼中学数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P1（x1，y1）处，其中x1＝1，y1＝1，当k≥2时，，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0．按此方案，第2025棵树种植点的坐标为（　　） A．（5，2025） B．（1，2025） C．（1，405） D．（5，405） 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【解答】解：根据题意，x1＝1， x2﹣x1＝1﹣5[]+5[]， x3﹣x2＝1﹣5[]+5[]， x4﹣x3＝1﹣5[]+5[]， … xk﹣xk﹣1＝1﹣5[]+5[]， ∴x1+（x2﹣x1）+（x3﹣x2）+（x4﹣x3）+…+（xk﹣xk﹣1）， ＝1+（1﹣5[]+5[]）+（1﹣5[]+5[]）+（1﹣5[]+5[]+…+（1﹣5[]+5[]）， ∴xk＝k﹣5[]， 当k＝2025时，x2025＝2025﹣5[]＝2025﹣5×404＝5， y1＝1， y2﹣y1＝[]﹣[]， y3﹣y2＝[]﹣[]， y4﹣y3＝[]﹣[]， … yk﹣yk﹣1＝[]﹣[]， ∴yk＝1+[]， 当k＝2025时，y2025＝1+[]＝1+404＝405， ∴第2011棵树种植点的坐标为（5，405）． 故选：D． 【点评】本题考查了坐标位置的确定，根据题目条件找出横坐标与纵坐标的通项公式是解题的关键，规律性较强，难度较大． 二.填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 9．（5分）已知a+b+c+d+e＝0，abcde＞0，则的值为 　﹣1或3　 ． 【分析】先根据已知条件可得a、b、c、d、e的符号，分类讨论再代入即可． 【解答】解：因为a+b+c+d+e＝0，abcde＞0， 所以a+b+c+d＝﹣e，a+b+c+e＝﹣d，b+c+d+e＝﹣a，a+c+d+e＝﹣b，a+b+d+e＝﹣c，且a、b、c、d、e的符号两个负号或者四个负号， 若a、b、c、d、e的符号两个负号时，原式1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1， 若a、b、c、d、e的符号四个负号时，原式1+1+1+1﹣1＝3， 综上所述：原式＝﹣1或3． 故答案为：﹣1或3． 【点评】本题主要考查分是的化简求值、绝对值，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 10．（5分）一批衣服进价为50元，打算以30%的利润卖出，卖了70%后打折，全部衣服卖完后的总利润只有不打折售卖利润74%，则打了 　8　 折． 【分析】根据售价﹣进价＝进价×利润率，计算出售价，再根据公式列方程计算即可求解． 【解答】解：售价＝50（1+30%）＝65元， 设总件数为N，折扣数为x， 65×70%N+65×（1﹣70%）N•50N＝（65﹣15）N×74%， 解得x＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了销售问题，熟练运用公式是解决本题的关键． 11．（5分）如图，线段AD、CE、BF两两相交，M、N、P为交点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 　360°　 ． 【分析】根据外角性质得∠A+∠B＝∠BMQ，∠C+∠D＝∠DQF，∠E+∠F＝∠FNM，再利用三角形的外角和定理即可得解． 【解答】解：根据外角性质得： ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠BMQ+∠DQF+∠FNM＝360°， 故答案为：360°． 【点评】本题考查三角形的外角和三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 12．（5分）已知关于x，y的方程组无解，则a的值为 　﹣1　 ． 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，根据方程无解的特征计算即可求解． 【解答】解：方程组， 将方程①×（a﹣1）得a（a﹣1）x+2（a﹣1）y＝（1+a）（a﹣1）③， 将方程③﹣②得（a2﹣a﹣2）x＝a2﹣1﹣3， ∵关于x，y的方程组无解， ∴， ∴， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练运用方程无解的特征列式子计算，是解决本题的关键． 13．（5分）已知a+b+c＝0，a＜2b＜3c，则的取值范围是 　　 ． 【分析】首先将a+b+c＝0变形为b＝﹣a﹣c．再将b＝﹣a﹣c代入不等式a＜2b＜3c，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 【解答】解：∵a+b+c＝0，a＜2b＜3c， ∴a＜0，c＞0， ∴b＝﹣a﹣c，且a＜0，c＞0， ∵a＜2b＜3c， ∴a＜2（﹣a﹣c）＜3c，即a＜﹣2a﹣2c＜3c， 解a＜﹣2a﹣2c，得：， 解﹣2a﹣2c＜3c，得：， ∴的取值范围为：． 故答案为：． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题关键在于精确计算． 14．（5分）已知关于x的方程|5x﹣4|+a＝0无解，|4x﹣3|+b＝0有两个解，|3x﹣2|+c＝0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是　0　 ． 【分析】根据一元一次方程的解的情况，确定a、b、c的符号，根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：∵方程|5x﹣4|+a＝0无解， ∴a＞0， ∵|4x﹣3|+b＝0有两个解， ∴b＜0， ∵|3x﹣2|+c＝0只有一个解， ∴c＝0， 则|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|＝a﹣b﹣a+b＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查的是一元一次方程的解，掌握绝对值的性质、一元一次方程的解的定义是解题的关键． 15．（5分）如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，若AD：CD＝2：3，BE：CE＝3：2，则△ACF与△BCF的面积之比为 　4：9　 ． 【分析】先根据AD：CD＝2：3得S△AFD：S△CFD＝2：3，设S△AFD＝2a，S△CFD＝3a，则S△ACF＝5a，再根据BE：CE＝3：2得S△BFE：S△CFE＝3：2，设S△BFE＝3b，S△CFE＝2b，则S△BCF＝5b，进而得S△ACF：S△BCF＝a：b，设S△ABF＝x，则S△ABD＝x+2a，S△BCD＝5b+3a，根据S△ABD：S△BCD＝AD：CD＝2：3得（x+2a）：（5b+3a）＝2：3，由此解得x，则S△ABF，继而得S△ABE，S△ACE＝5a+2b，再根据S△ABE：S△ACE＝BE：CE＝3：2得：（5a+2b）＝3：2，由此解得a：b＝4：9，据此即可得出△ACF与△BCF的面积之比． 【解答】解：∵△AFD的边AD上的高与△CFD的CD上的高相同，AD：CD＝2：3， ∴S△AFD：S△CFD＝AD：CD＝2：3， 设S△AFD＝2a，S△CFD＝3a， ∴S△ACF＝S△AFD+S△CFD＝5a， ∵△BFE的边BD上的高与△CFE的CE上的高相同，BE：CE＝3：2， ∴S△BFE：S△CFE＝BE：CE＝3：2， ∴设S△BFE＝3b，S△CFE＝2b， ∴S△BCF＝S△BFE+S△CFE＝5b， ∴S△ACF：S△BCF＝5a：5b＝a：b， 设S△ABF＝x， ∴S△ABD＝S△ABF+S△AFD＝x+2a，S△BCD＝S△BCF+S△CFD＝5b+3a， ∵△ABD的边AD上的高与△CBD的边CD上的高相同， ∴S△ABD：S△BCD＝AD：CD＝2：3， ∴（x+2a）：（5b+3a）＝2：3， 解得：x， ∴S△ABF＝x， ∴S△ABE＝S△ABF+S△BFE，S△ACE＝S△ACF+S△CFE＝5a+2b， 又∵△ABE的边BE上的高与△ACE的边CE上的高相同， ∴S△ABE：S△ACE＝BE：CE＝3：2， ∴：（5a+2b）＝3：2， 整理得：9a＝4b， ∴a：b＝4：9， ∴S△ACF：S△BCF＝a：b＝4：9， 即△ACF与△BCF的面积之比为4：9． 故答案为：4：9． 【点评】此题主要考查了三角形的面积，理解同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比是解决问题的关键． 16．（5分）对于给定实数a，记M（a）是三数a，6﹣a，2a+4中最小的数，则在数M（﹣2025），M（﹣2024），M（﹣2023），…，M（﹣1），M（0），M（1），…，M（2023），M（2024），M（2025）中最大的数是 　3　 ． 【分析】令y＝x、y＝6﹣x、y＝2x+4，画出函数图象，由函数图象即可得到答案． 【解答】解：在同一坐标系中画出三个一次函数y＝x，y＝6﹣x，y＝2x+4的图象，如图： 由图象可得，M（3）最大，最大值为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了实数大小的比较，一次函数的应用，根据题意构造一次函数y＝x、y＝6﹣x、y＝2x+4，画出函数图象，采用数形结合的思想，是解此题的关键． 三.解答题（共4小题，每小题15分，共60分） 17．（15分）甲自A向B先走5.5分钟后乙自B向A行走，每分钟比甲多走30米．他们于途中C处相遇．甲自A到C用时比自C到B用时多4分钟，乙自C向A用时比自B向C用时多3分钟．请问甲从A到C用了多少分钟？A、B两处的距离是多少米？ 【分析】通过设甲、乙速度和相遇时间，结合路程、时间关系建立方程，逐步推导得出甲速度、相遇时间及AB总距离． 【解答】解：设甲的速度为v米/分钟，乙的速度为（v+30）米/分钟，设乙出发后经过t分钟相遇，则甲从A到C的总时间为（5.5+t）分钟， 则甲从A到C的距离：[v•（5.5+t）]米，乙从B到C的距离：[（v+30）•t]米， 故AB总距离：[v•（5.5+t）+（v+30）•t]＝（5.5v+2vt+30t）米， 甲的时间差：甲从C到B的剩余路程[（v+30）•t]，所需时间为分钟， 根据题意得：，化简得：，即v＝20t， 乙的时间差：乙从C到A的路程为甲从A到C的距离[v•（5.5+t）]米，所需时间为分钟， 根据题意得：， 代入v＝20t后化简得：， 解得：t＝4.5， 则v＝20×4.5＝90， 故甲从A到C的时间：5.5+4.5＝10分钟，AB总距离：90•（5.5+4.5）+120•4.5＝1440米． 【点评】本题考查分式方程的应用和路程＝速度×时间基本公式，属于中档题． 18．（15分）对于任意一个三位数p，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则称这个三位数p为“新苗数”．例如：p＝112，因为1+1＝2，所以112是“新苗数”；p＝253，因为2+5≠3，所以253不是“新苗数”． （1）判断147，358是否是“新苗数”？说明理由； （2）对于“新苗数”p，去掉个位上的数字得到的两位数记为m，去掉百位上的数字后将十位与个位的数字交换得到的两位数记为n，若m+n能被24整除，求所有的p． 【分析】（1）根据“新苗数”定义，计算即可判断； （2）设出“新苗数”p，根据题意表示出m和n，再根据整除分类代入计算即可． 【解答】解：（1）因为1+4≠7， 所以147不是“新苗数”； 因为3+5＝8， 所以358是“新苗数”； （2）设“新苗数”p的百位为a，十位为b，则个位为a+b， 根据题意m＝10a+b，n＝10（a+b）+b＝10a+11b， 所以m+n＝10a+b+10a+11b，＝20a+12b， 因为a≥1，b≥0，a+b≤9， 所以当a＝1时，m+n＝20a+12b，把0≤b≤8的整数依次代入，不能被24整除，不符合题意， 当a＝2时，m+n＝20a+12b，把0≤b≤7的整数依次代入，不能被24整除，不符合题意， 当a＝3时，m+n＝20a+12b，把0≤b≤6的整数依次代入， b＝1时m+n＝72，能被24整除，此时p为314； b＝3时m+n＝96，能被24整除，此时p为336； b＝5时m+n＝120，能被24整除，此时p为358； 当a＝4时，m+n＝20a+12b，把0≤b≤5的整数依次代入，不能被24整除，不符合题意， 当a＝5时，m+n＝20a+12b，把0≤b≤4的整数依次代入，不能被24整除，不符合题意， 当a＝6时，m+n＝20a+12b，把0≤b≤3的整数依次代入， b＝0时m+n＝120，能被24整除，此时p为606； b＝2时m+n＝144，能被24整除，此时p为628； 当a＝7时，m+n＝20a+12b，把0≤b≤2的整数依次代入，不能被24整除，不符合题意， 当a＝8时，m+n＝20a+12b，把0≤b≤1的整数依次代入，不能被24整除，不符合题意， 当a＝9时，m+n＝20a+12b，把b＝0代入，不能被24整除，不符合题意， 综上，满足题意的p为314，336，358，606，628． 【点评】本题考查对“新苗数”定义的理解，通过代数方法分析数位关系是解决本题的关键． 19．（15分）观察按下列规则排成的一列数：，，，，，，，，，，，，，，，． （1）第30个数为 　　 ．（不要写过程，直接写答案） （2）从左起第m个数记为F（m），当时，求m的值和这m个数的积． （3）未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，说明理由． 【分析】（1）发现：可以分为若干组，第一组1个，第二组2个，…，以此类推，可得：； （2）由F（m）知：m个数一共有第2002组数，且第2002组中有2个数，可得：m＝（1+2+3+…+2001）+2，并计算这些数的积，前面第2001组数的积都为1，最后第2002组两个数的积就是这m个数的积． （3）观察不难发现，分母为2的分数的分子与后一个数的分子是连续的整数，表示c和d这两个数，根据cd＝2001000列方程可得结论． 【解答】解：（1）第1组：，共1个数； 第2组：，，共2个数； 第3组：，，，共3个数； 第4组：，，，，共4个数； … 则第n组有n个数，前n组共有的数为：1+2+3+...+n， ∵当n＝7时，， 当n＝8时，， ∴第30个数是在第8组，第30﹣28＝2个数， 即， 故答案为：； （2）m＝（1+2+3+…+2001）+22＝2003003． 这m个数的积（）×...． （3）设c，d， 则2001000，则n＝2000， 所以存在，c，d． 【点评】本题是对数字变化规律的考查，从分子与分母的变化情况考虑每个分数是解题的关键，本题有难度． 20．（15分）如表，设A是由n×n个有理数组成的n行n列的数表，其中aij（i，j＝1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的数，且aij取值为1或﹣1．对于数表A给出如下定义：记xi为数表A的第i行各数之积，yj为数表A的第j列各数之积． 令S＝（x1+x2+…+xn）+（y1+y2+…+yn）将S称为数表A的“积和”． a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann （1）当n＝4时，对如下数表A，求该数表的“积和”S的值； 1 1 ﹣1 ﹣1 1 ﹣1 1 1 1 ﹣1 ﹣1 1 ﹣1 ﹣1 1 1 （2）是否存在一个5×5的数表A，得该数表的“积和”S＝0？并说明理由； （3）求n×n的数表A“积和”S的绝对值的最小值． 【分析】（1）由题易得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝1，x4＝1，y1＝﹣1，y2＝﹣1，y3＝1，y4＝﹣1，进而得解； （2）由题可知S＝（x1+x2+x3+x4+x5）+（y1+y2+y3+y4+y5）＝0，进而分类思考即可； （3）x1、x2、x3⋯⋯xn、y1、y2、y3⋯⋯yn的取值不是1就是﹣1，进而发现当a11、a22、a33、⋯ann中有i个数由1变为﹣1，则S＝2n﹣4i，据此求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知，x1＝1，x2＝﹣1，x3＝1，x4＝1， y1＝﹣1，y2＝﹣1，y3＝1，y4＝﹣1， ∴S＝2+（﹣2）＝0； （2）不存在，理由如下： 假设存在，一个5×5的数表A，使得该数表的“积和”S＝0， 则S＝（x1+x2+x3+x4+x5）+（y1+y2+y3+y4+y5）＝0， ∵x1、x2、x3、x4、x5、y1、y2、y3、y4、y5的值只能取1或﹣1， ∴x1、x2、x3、x4、x5、y1、y2、y3、y4、y5中只能有5个1或5个﹣1， ∴设5×5的数表A中25个数的乘积为t， 则t＝x1x2x3x4x5＝y1y2y3y4y5， ∴t2＝x1x2x3x4x5y1y2y3y4y5＝﹣1， 这与t2≥0矛盾，故假设不成立， ∴不存在一个5×5的数表A，使得该数表的“积和”S＝0； （3）依题意可知：x1、x2、x3⋯⋯xn、y1、y2、y3⋯⋯yn的取值不是1就是﹣1， 不妨设n行n列的数表A中的数均为1，此时x1＝x2＝x3＝⋯⋯xn＝y1＝y2＝y3＝⋯⋯yn＝1，S＝2n， 若将a11的值由1变为﹣1， 则新的n行n列的数表中x1＝y1＝﹣1，x2＝x3＝⋯⋯xn＝y2＝y3＝⋯⋯yn＝1， 此时S＝2n﹣4， 由此发现，当a11、a22、a33、⋯ann中有i个数由1变为﹣1， 则S＝2n﹣4i， 故当n为偶数时，|S|min＝0： 当n为奇数时，|S|min＝2． 【点评】本题主要考查了数列、规律探究等内容数列掌握相关知识是解题的关键． 第19页（共19页） 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