2025年江苏省南京市数学拔尖创新人才数学素养测试卷

2025年江苏省南京市数学拔尖创新人才数学素养测试卷 一、填空题：本题共10小题，每小题8分，共计80分。 1．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB延长线上的动点，DE与BC交于点F，若△ACF，△ECF的面积分别为608，405，则四边形ABCD的面积为　 　 ． 2．（8分）1，2，…，2028中，与2028互素的数共有　 　 个． 3．（8分）若x0是方程的解，则x0＝　 　 ． 4．（8分）已知正整数a1，a2，…，a26满足a1+a2+⋯+a26＝2025，记a1，a2，⋯，a26的最大公约数为d，则d的最大值为　 　 ． 5．（8分）记a，b，则a，b中较大的数为　 　 ． 6．（8分）设a1，a2，a3，a4是整数，若ai+aj（1≤i＜j≤4）的值分别为﹣5，1，2，3，4，10，则a1a2a3a4＝　 　 ． 7．（8分）已知X，Y，Z为不大于9的正整数，若，则　 　 ． 8．（8分）用0，1，2，3，4，5这6个数组成两个无相同数码的三位数，记较大的三位数与较小的三位数的差为m，则m的最小值为　 　 ． 9．（8分）设a1，a2，⋯，a11为1，2，…，11的一个排列，则满足|a10﹣a11|≥|a9﹣a11|≥⋯≥|a1﹣a11|的排列共有　 　 个． 10．（8分）正实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e＝30，记a+b，a+c，a+d，a+e，b+c，b+d，b+e，c+d，c+e，d+e的整数部分分别为x1，x2，⋯，x10，则x1+x2+⋯+x10的最小值为　 　 ． 二、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11．（12分）将“﹣1”，“﹣2”，“﹣3”，“4”，“5”，“6”，“7”，“﹣8”，“﹣9”这9个数填入表格中左上角3×3的子表格中，使得每行与每列的四个数之和均为0． 　 　 　 　 　 　 20 　 　 　 　 　 　 ﹣3 　 　 　 　 　 　 ﹣16 ﹣10 7 4 ﹣1 12．（14分）若对任意实数x，都有ax2+bx+c＞0，求证：πa+6b+12c＞0． 13．（14分）正整数a，b，c满足a＜b＜c，且，求所有满足条件的数组（a，b，c）． 14．（15分）如图，在△ABC中，E，F分别为CA，AB上的动点，连接BE，CF，相交于点P，连接EF，AP，若△ABC的面积是△AEF的面积的6倍，且△APE的面积为405，求△BCE的面积． 15．（15分）求所有的正整数数对（m，n），使得3m5n﹣1400为完全平方数． 2025年江苏省南京市数学拔尖创新人才数学素养测试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本题共10小题，每小题8分，共计80分。 1．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB延长线上的动点，DE与BC交于点F，若△ACF，△ECF的面积分别为608，405，则四边形ABCD的面积为　2026　 ． 【分析】由题可知，进而可得S△ABF＝S△ECF＝405，据此求解即可． 【解答】解：如图，过A作AM⊥BC交延长线于点M，过E作EN⊥BC于点N， 则AM∥EN， ∴△ABM∽△EBN， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴△CDF∽△BEF， ∴， 由题可知， ∴S△ABF＝S△ECF＝405， ∴S△ABC＝S△ABF+S△ACF＝608+405＝1013， ∴S四边形ABCD＝2S＝2026， 故答案为：2026． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（8分）1，2，…，2028中，与2028互素的数共有　624　 个． 【分析】先对2028分解质因数，再根据欧拉函数公式计算1到2028中与2028互素的数的个数． 【解答】解：因为2028＝22×3×132， 根据欧拉函数公式：（其中p1，p2，⋯，pk是n的质因数），可得： ＝624． 答：1，2，…，2028中，与2028互素的数共有624个． 故答案为：624． 【点评】本题考查了质数，解决本题的关键是将2028分解质因数． 3．（8分）若x0是方程的解，则x0＝　2028　 ． 【分析】根据分数的性质把原方程的左右两边变形，再利用解一元一次方程的一般步骤解出方程，得到答案． 【解答】解：原方程变形为：， ∴， ∴20262027， ∴1， ∴3549x+4732x＝4732×3549， ∴x＝2028， ∵x0是原方程的解， ∴x0＝2028， 故答案为：2028． 【点评】本题考查的是解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 4．（8分）已知正整数a1，a2，…，a26满足a1+a2+⋯+a26＝2025，记a1，a2，⋯，a26的最大公约数为d，则d的最大值为　75　 ． 【分析】设最大公约数为d，将数表示为d•bi，求2025不超过2025÷26的最大约数即可． 【解答】解：设这26个正整数的最大公约数为d，则可将每个数表示为ai＝d•bi（其中bi是正整数）， 那么它们的和为：a1+a2+⋯+a26＝d（b1+b2+…+b26）＝2025， 要使d最大，需使b1+b2+…+b26最小， ∵bi是正整数， ∴b1+b2+…+b26的最小值为26×1＝26， 因此，d需满足d×26≤2025，且d是2025的约数， 先对2025分解质因数：2025＝34×52， 2025÷26≈77.88， ∴我们需要找到2025不超过77.88的最大约数， 2025的约数有：1，3，5，9，15，25，27，45，75，81，… 其中不超过77.88的最大约数是75， 当d＝75时，b1+b2+…+b26＝2025÷75＝27， ∵27可以表示为26个正整数的和（例如25个1和1个2）， 故答案为：75． 【点评】本题考查最大公约数的应用，解题关键是将数表示为最大公约数与正整数的乘积，分析和的因数关系求最大值． 5．（8分）记a，b，则a，b中较大的数为a＞b ． 【分析】利用分数的通分，加减计算，比较数的大小． 【解答】解：∵a，发现8个加数都大于， ∴a， ∵b， ∴b，， ∴a＞b． 故答案为：a＞b． 【点评】本题考查了分数的大小比较，解题的关键是掌握分数通分，分数的计算，分数的大小比较． 6．（8分）设a1，a2，a3，a4是整数，若ai+aj（1≤i＜j≤4）的值分别为﹣5，1，2，3，4，10，则a1a2a3a4＝　144　 ． 【分析】根据题意列方程组，解出a1＝﹣3、a2＝﹣2、a3＝4、a4＝6，再计算四数乘积得144． 【解答】解：根据题意，可以列出以下方程组：a1+a2＝﹣5，a3+a4＝10，a1+a3＝1，a2+a4＝4， 解方程组可得：a1＝﹣3，a2＝﹣2，a3＝4，a4＝6， 因此，a1a2a3a4＝（﹣3）×（﹣2）×4×6＝144． 故答案为：144． 【点评】本题考查解二元一次方程组和有理数的乘法，属于基础题． 7．（8分）已知X，Y，Z为不大于9的正整数，若，则　297　 ． 【分析】根据题意可得111（X+2Y+Z）＝1000X+110Y+Z，化简得889X＝112Y+110Z，根据X，Y，Z为不大于9的正整数，可得X＝1，Y＝8，Z＝9，即可求解． 【解答】解：∵， ∴111（X+2Y+Z）＝1000X+110Y+Z，化简得889X＝112Y+110z， ∵X，Y，Z为不大于9的正整数， ∴112Y+110Z≤1998（Y，Z均为9）， ∵889×1＝889＜1998，889×2＝1778＜1998，889×3＝2667＞1998， ∴X＝1或2， 当X＝1时，则112Y+110z＝889， 889的个位数为9， 则2Y+0需要等于个位为9的数， 2Y+0只能为偶数，故不符合题意，舍去， 当X＝2时，则112Y+110z＝1778， 1778的个位数为8， 则2Y+0需要等于个位为8的数， 则Y＝9或4， 若Y＝9，则1778﹣112×9＝770， 则Z＝770÷110＝7，7为正整数，符合题意； 若Y＝9，则1778﹣112×4＝1330， 则Z＝1330÷110，不为正整数，不符合题意； 综上所述：X＝2，Y＝9，Z＝7，故297． 故答案为：297． 【点评】本题考查了整数的十进制表示法和整数的运算，属于中档题． 8．（8分）用0，1，2，3，4，5这6个数组成两个无相同数码的三位数，记较大的三位数与较小的三位数的差为m，则m的最小值为　47　 ． 【分析】利用有理数的减法法则解答即可． 【解答】解：记较大的三位数与较小的三位数的差为m，若使m的值最小，则较大的三位数应尽可能小，较小的三位数应尽可能大， ∴m的最小值为301﹣254＝47． 故答案为：47． 【点评】本题主要考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． 9．（8分）设a1，a2，⋯，a11为1，2，…，11的一个排列，则满足|a10﹣a11|≥|a9﹣a11|≥⋯≥|a1﹣a11|的排列共有　94　 个． 【分析】根据数字的变化类的规律代入可得 【解答】解：由题可得： 当a11＝1，|11﹣1|≥...≥|3﹣1|≥|2﹣1|，可得1个， 当a11＝2，|11﹣2|≥|10﹣2|≥...≥|3﹣2|≥|1﹣2|，可得2个， 当a11＝3，|11﹣3|≥|10﹣3|≥...≥|2﹣3|≥|1﹣3|，可得4个， .....， 当a11＝6，|11﹣6|≥|10﹣6|≥...≥|3﹣6|≥|1﹣6|，可得32个， 当a11＝7，|11﹣7|≥|10﹣7|≥...≥|3﹣7|≥|1﹣7|，可得16个， 综上所述：总共的排列（1+2+4+8+16）×2+32＝94个， 故答案为：94． 【点评】本题考查了数字的变化类的规律，熟练掌握数字的变化类的规律是解题的关键． 10．（8分）正实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e＝30，记a+b，a+c，a+d，a+e，b+c，b+d，b+e，c+d，c+e，d+e的整数部分分别为x1，x2，⋯，x10，则x1+x2+⋯+x10的最小值为　111　 ． 【分析】通过分析各部分与总和的关系，利用整数部分的性质，得出x1+x2+⋯+x10的最小值推导过程，当a＝b＝c＝d＝e＝6时取得最小值120． 【解答】解：∵a+b+c+d+e＝30， ∴（a+b）+（a+c）+（a+d）+（a+e）+（b+c）+（b+d）+（b+e）+（c+d）+（c+e）+（d+e）＝4（a+b+c+d+e）＝4×30＝120， 设每项的小数部分为yi， ∴120， ∵0≤yi＜1， ∴09， ∴111120． ∴x1+x2+⋯+x10的最小值为111． 故答案为：111． 【点评】本题考查数字的变化和极端情况考虑，属于中档题． 二、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11．（12分）将“﹣1”，“﹣2”，“﹣3”，“4”，“5”，“6”，“7”，“﹣8”，“﹣9”这9个数填入表格中左上角3×3的子表格中，使得每行与每列的四个数之和均为0． 　﹣3　 　﹣9　 　﹣8　 20 　6　 　﹣2　 　﹣1　 ﹣3 　7　 　4　 　5　 ﹣16 ﹣10 7 4 ﹣1 【分析】利用有理数的加法法则解答即可． 【解答】解：将“﹣1”，“﹣2”，“﹣3”，“4”，“5”，“6”，“7”，“﹣8”，“﹣9”这9个数填入表格中： ﹣3 ﹣9 ﹣8 20 6 ﹣2 ﹣1 ﹣3 7 4 5 ﹣16 ﹣10 7 4 ﹣1 故答案为：﹣3；﹣9；﹣8；6；﹣2；﹣1；7；4；5． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 12．（14分）若对任意实数x，都有ax2+bx+c＞0，求证：πa+6b+12c＞0． 【分析】已知二次函数ax2+bx+c对任意实数x恒正，故a＞0且判别式Δ＝b2﹣4ac＜0，通过对πa+6b+12c变形，结合Δ＜0，推出3b2﹣4ac＞2b2，再利用a＞0得aπ＞0，最终证得πa+6b+12c＞0． 【解答】证明：∵二次函数ax2+bx+c对任意实数x恒大于零， ∴其开口向上，即a＞0，且判别式Δ＝b2﹣4ac＜0， 将πa+6b+12c进行变形：πa+6b+12c＝3b2﹣4ac+aπ+6b+12c﹣3b2﹣+4ac， 由于Δ＜0， ∴﹣4ac＞﹣b2，则3b2﹣4ac＞2b2， 又∵a＞0， ∴aπ＞0， ∴πa+6b+12c＞2b2+aπ＞0， ∴πa+6b+12c＞0． 【点评】本题考查二次函数恒正的性质和不等式，属于中档题． 13．（14分）正整数a，b，c满足a＜b＜c，且，求所有满足条件的数组（a，b，c）． 【分析】根据题意得a+2≥3，再由得出a+2的可能值为3，4，5，最后进行分类讨论即可． 【解答】解：∵a，b，c是正整数且a＜b＜c，设x＝a+2，y＝b+3，z＝c+4，且x＜y＜z， ∴， ∴， 3，5.54， ∴3≤x≤5， 当x＝3时，， ∵x＜y＜z， ∴y＞3，且2，得y＜9.6， 故y的可能取值是4，5，6，7，8，9， 当y＝5时，，z＝120， 当y＝6时，，z＝24， 当y＝8时，，z＝12， 用同样的方法可以得出当y取4，7，9时不满足题目条件， 当x＝4时，， ∵x＜y＜z， ∴y＞4，且2，， ∴y的可能取值是5，6， 当y＝5时，，z，不是整数，舍去， 当y＝6时，解得z＝8， 当x＝5时，y＞5，且2，得y，舍去， ∴满足条件的（x，y，z）有4组 （3，5，120），（3，6，24），（3，8，12）（4，6，8）， ∴对应的（a，b，c）有4组， （1，2，116），（1，3，20），（1，5，8）（2，3，4）． 【点评】本题考查了分式的加减法的应用，解决本题的关键是要注意分类讨论，利用放缩法． 14．（15分）如图，在△ABC中，E，F分别为CA，AB上的动点，连接BE，CF，相交于点P，连接EF，AP，若△ABC的面积是△AEF的面积的6倍，且△APE的面积为405，求△BCE的面积． 【分析】根据同高三角形面积关系推导即可得解． 【解答】解：由图可知：， ， 两式相除得，6， ∴6﹣1＝5， ∴S△BCE＝5S△AEP＝405×5＝2025， ∴△BCE的面积为2025． 【点评】本题主要考查了三角形的面积，熟练找到同高三角形面积转化是解题的关键． 15．（15分）求所有的正整数数对（m，n），使得3m5n﹣1400为完全平方数． 【分析】先证3m5n﹣2﹣23×7是完全平方数，再证3m5n﹣2是完全平方数，据此求解． 【解答】解：∵3m5n﹣1400＝3m5n﹣23×52×7， ∴n≥2， ∴52（3m5n﹣2﹣23×7）是完全平方数， 设3m5n﹣2﹣23×7＝x2， ∵x2≡0（mod4）或x2≡1（mod4），x2≡0、1、4（mod8）， ∴3m•5n﹣2≡0（mod4）或3m•5n﹣2≡1（mod4）， ∴3m≡1（mod4）， ∴2|m，则3m•5n﹣2＝1（mod8），2|n﹣2， ∴3m•5n﹣2为完全平方数，记为y2， ∴y2﹣x2＝23×7＝56＝1×56＝2×28＝4×14， ∴（y+x）（y﹣x）＝2×28或4×14， ∴或， 代入可得或， ∴符合题意的正整数数对为（2，4）或（4，2）． 【点评】本题考查了完全平方数，是竞赛题目，难度较大，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第12页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $