专题06 相交线与平行线 6大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）七年级数学上学期

专题06 相交线与平行线 6大高频考点概览 考点01 垂线、点到直线的距离、对顶角 考点02平行线的性质与判定（小题） 考点03 平行线的性质与判定（解答题） 考点04 有关垂直、平行的作图问题 考点05 平行线的性质与判定（压轴题） 考点06 多边形 地 城 考点01 垂线、点到直线的距离、对顶角 一、选择题 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图所示，，于，则下列结论中错误的为（　　） A． B．点到的垂线段是线段 C．点到的距离是线段 D．线段的长度是点到的距离 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，点M在边上（不与B，C两点重合），连接，则的长可能是（   ） A．6 B．5.5 C．4.5 D．3 4．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）下列说法中，正确的有（   ）个 ①两直线相交，对顶角相等； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 5．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 6．（24-25七年级上·江苏南京·期末）已知：在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有 条． 7．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，点O是直线上的一点，平分，，若，则 ． 8．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 三、解答题 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，直线与线段交于点O，线段，直线，是平角． (1)图中一共有　　　个直角和　　　条线段． (2)若，求的度数． (3)若去掉“线段，直线”这一条件，（2）所得的结果　　　（选填“成立”或“不成立”） 10．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 11．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线相交于点O，，若，求的度数． 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 14．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 15．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线相交于点平分， (1)若，则___________； (2)若平分，的度数为． ①求的度数； ②作射线，请直接写出的度数． 16．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点P画线段的垂线，垂足为H； (2)点A到线段的距离即线段 的长； (3)线段、的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ． 17．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 18．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线与相交于．是的平分线，． (1)若比大，求和的度数； (2)试问与之间有怎样的大小关系？请说明理由； (3)的补角是__________． 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线、相交于点O，，． (1)图中的余角除了，还有______； (2)若，求的度数． 20．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，村庄A和村庄B位于一条笔直的公路l的两侧． (1)现要在公路l上设立一个公交站台C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．请在图中画出公交站C的位置，并说明理由． (2)一位A庄的居民有急事出门，打算打车前往目的地．请在图中画出公路l上最近上车点H的位置，并说明理由． 地 城 考点02 平行线的性质与判定（小题） 一、选择题 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点D，点C分别落在点，点的位置，与交于点G．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线，将一块直角三角尺按如图方式放置，顶点C落在直线b上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D．不确定 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力N的方向与斜面垂直（），摩擦力f的方向与斜面平行（）．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，在下列条件中能判定的有（    ） A． B． C．且 D． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②中，，则在下列判断中，正确的是（   ） A． B． C． D．的度数无法确定 13．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，将一张长方形纸片折成如图所示的形状，如果，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 15．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知与互补，平分，那么（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，直线被直线所截，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 18．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）将直角三角尺与直尺如图放置，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③与互余；④与互补 19．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则 ． 20．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线、被直线所截，，若，则的度数是 ． 21．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为 ． 22．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，则的度数为 ． 23．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 24．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线分别与直线相交于点，平分，交直线于点，若，射线于点，则 ． 25．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 地 城 考点03 平行线的性质与判定（解答题） 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线a，b分别与直线m，n相交，，． (1)请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)若，则 ° ． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)探索与的数量关系，并说明理由． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）在下列解题过程的空白处填上适当的内容(推理的理由或数学表达式)． 如图，已知，，射线平分，若． 求：的度数． 解：(已知) ( ) (已知) ( ) ( ) (两直线平行，内错角相等) 平分已知 (角平分线定义) (已知) (等式性质) (等量代换) 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将下列解答过程补充完整： 已知：如图，，．试说明：． 解：因为（已知）， 所以 （          ）． 又因为（已知）， 所以∠ =∠ （                  ） ． 所以 （                ） 所以（                    ） 5．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知． (1)求证：．请将下面证明过程补充完整： 证明：（已知） （___________①___________） 又（已知） ___________②（同角的补角相等） ，（③） （___________④___________） (2)若平分，于点，，求的度数 6．（24-25七年级上·江苏常州·期末）推理填空： 如图，，，．请将求的过程填写完整． 解：因为（已知） 所以______（______） 又因为（已知） 所以______（______） 所以______（______） 所以______（______） 因为（已知） 所以______． 7．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线． (1)若，判断与是否平行，并说明理由； (2)若射线平分，求的度数． 8．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，平分．请将下列说理过程补充完整． 因为， 所以______（______）， ______（______）． 因为平分， 所以______=______． 所以． 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）根据题意将下列空格补充完整． 如图，若，，．试说明与平行． 理由：因为， 所以________（________________）， 所以（________________）， ________（________________） 因为， 所以________． 又因为， 所以________， 所以（________________）． 10．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知．画直线，与相交于点O．现将一个直角三角尺的直角顶点落在点O处，顶点M、N落在同侧，并使平分． (1)当时，求的度数； (2)画的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ 11．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，与平行吗？为什么？ 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）完成下面的证明： 已知：如图，在三角形中，于D，于G，且．求证：． 证明：，已知， ， ______， ______， 又已知， ____________， ______ 13．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，， (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗?为什么? (3)若，，求的大小． 15．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）【阅读•领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段，比如要证明直线、是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 【实践•体悟】如图2，已知，．求证：． (1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你帮他完成下列证明过程： 证明：连接． 因为（已知）， 所以______（内错角相等，两直线平行） 所以______（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以____________（等式性质）， 所以____________（等量代换）， 所以（______）． (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程． 16．（24-25七年级上·江苏无锡·期末） 如图，已知四边形，点 E 是射线上一点，连接交线段于点F，  若， ． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分， 求的大小． 17．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，直线与直线、分别相交于点、，． (1)填空： 因为， 又因为（_____）， 所以． 所以（_____）； (2)过点作直线与直线相交于点，已知，求的大小． 18．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一点，连接，在射线上取点，连接，使得，当，时，求的度数； 19．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，． (1)填空： 因为， 所以（____________________） 因为， 所以__________．（等量代换）． 所以（____________________） (2)若，求的度数． 20．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，，，则，平行吗？ (1)茜茜同学很快写出解答，请你在茜茜说理过程的括号内填写理由： 因为， 所以（①______） 因为， 所以， 所以（②______）； (2)小洁说也可以不用“同旁内角”来说明，请你写出小洁的说理过程． 21．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，，．求证∶． 证明∶因为（已知）， 所以（ ）， 所以_____ ， 因为（已知）， 所以_____（等量代换）， 所以（_____）． 22．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，．求证：． 证明：因为（已知）， 所以① 　（② ）． 所以③ 　 （④ 　）． 因为（ 已知 ）， 所以⑤ 　（等量代换）． 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 23．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在小学里，我们已经知道“三角形的内角和等于”，当时是用“撕角”的办法来说明的．请你再用平行线的性质定理或判定定理说明其正确．如图，，，是的三个内角，说明． 24．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，，，则．请你将下列说明过程补充完整． 理由如下： 因为， 所以______（______ ）． 又因为， 所以______． 所以．（______）· 25．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，，平分，．请判断与的位置关系并说明理由． 地 城 考点04 有关垂直、平行的作图问题 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的正方形方格纸中，点A、B、C均在格点上．利用网格只用直尺画图： (1)过点A画直线的平行线，并标出格点D的位置； (2)过点C画直线的垂线，并标出格点E的位置； (3)过点B画直线的垂线，并标出格点F的位置． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）作图和说理 (1)如图1，在公路的两侧各有一所学校、，一辆拖拉机沿着（从到）方向行驶． ①请在公路上作一点，使得拖拉机行驶到该点时在学校听到的拖拉机噪声最大；在公路上作一点，使得拖拉机行驶到该点时在学校听到的拖拉机噪声最大． 你的依据是___________： ②在公路上的__________________段，随着拖拉机的行驶，在学校听到的拖拉机噪声越来越小，而在学校听到的拖拉机噪声越来越大． (2)如图2，已知． ①利用无刻度的直尺和圆规，在射线的下方作，使得（不写作法保留作图痕迹）． ②与的位置关系是___________，理由是：___________． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）作图题： (1)如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C均在格点上，请用无刻度直尺画图： ①过点A画的平行线； ②过点C画的垂线． (2)如图2，已知，内部有一射线，利用直尺和圆规作图：在左侧作出射线，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线． (2)过C点作线段的垂线，交于H． (3)点D是线段与网格线的交点，连结，，比较线段，，的大小： ，理由是 ． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，均在格点上． (1)过点C画的平行线； (2)过点A画的垂线，垂足为G； (3)过点A画的垂线，交于点H； (4)线段______的长度是点H到直线的距离． 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）尺规作图：如图，线段和，在射线上截取线段，使得，过点作直线，点在射线右侧；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所画的图形中，若，求的度数． 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）用无刻度的直尺和圆规作（保留作图痕迹）． (1)如图，已知，，，求作； (2)如图，已知，，，求作． 8．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D均在格点上，请用无刻度直尺按要求完成画图． (1)连接，画直线、射线； (2)过点D画的平行线m； (3)过点D画直线的垂线 9．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）（1）如图1，点、、都在正方形网格的格点上，按下列要求仅用直尺画图，保留必要的辅助线，并标出相应的字母： ①过点画直线； ②在上画点，使的长度最小． （2）如图2，已知，点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 10．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，有一个的正方形网格，点A、B、C都在正方形网格的格点上： (1)请确定格点M，使得； (2)取的中点，请确定格点N，使得．（在图中描出所求的点，并标注对应的字母） 11．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，是的一个外角． (1)利用无刻度的直尺和圆规作图：在的内部画射线，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若射线是的平分线，，求的度数． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图． (1)找一个格点， 画直线使；（标出点） (2)找一个格点， 画直线使， 垂足为；（标出点） (3)比较大小： 线段 线段（用“”“”“”号连接）． 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点，点、、均在格点上．按下述要求画图（仅用无刻度直尺）： (1)过点画的平行线； (2)在线段上画一点，使得； (3)线段、这两条线段大小关系是_______（用“<”号连接），理由是______． 15．（24-25七年级上·江苏南京·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加黑画图需要的格点） (1)在图①中画直线，使； (2)在图②中画直线，使，垂足为F． 16．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 17．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)线段_____的长度是点O到的距离； (3)过点A画的平行线． 18．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，点P是的边上的一点 (1)过点P画的平行线． (2)过点P画的垂线，交于H． (3)线段的长度是点H到___________的距离． 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，平面内有三个点A、B、C． (1)读句画图： ①画线段、射线、直线； ②在线段上任取一点D（不与A、B重合）； ③作，作，垂足分别是E、F； (2)请判断与的关系，并说明理由． 20．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，，被直线所截，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)已知平分． ①若，求的度数； ②过点C作直线，交于点E． （要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 21．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点、、都是方格纸中的格点（图中每1个小方格都是边长为1的正方形），请用直尺画图． (1)在网格中找一个格点，连结，使； (2)在网格中找一个格点，作直线，使； (3)连接，，则的面积为________． 地 城 考点05 平行线的性质和判定（压轴题） 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）综合与实践 【问题情境】 （1）如图1，，点E在之间．写出之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】 （2）小明在完成第（1）题的探究后，又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点A 处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜l垂直，即，垂足为O，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点D．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的E处射出，在平面镜上经点F反射后，到达上的点G，……其传播路径为⋯⋯请判断与的数量关系，并说明理由． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图1，中，点D为线段延长线上一点，，过点B作交直线于点E，连接，． (1)求证：平分． (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，分别在线段、上各取一点M、N，连接、．若满足，，则在直线上是否存在一点P，使得，如果存在，请通过作图找出点P；如果不存在，请说明理由． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 7．（24-25七年级上·江苏常州·期末）已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点． (1)若，，则______度； (2)若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由： (3)若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 8．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线． (1)若，判断与是否平行，并说明理由； (2)若射线平分，求的度数． 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）在数学活动中，数学兴趣小组的主题是《关于三角板的数学思考》． (1)在桌面上，把一副三角板摆成图1的位置（两直角三角板的直角顶点重合）． ①若，则________； ②若比大，求、的大小； (2)如图2，小红将一个三角板（，）放在一组互相平行的直线与之间，并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，若，求的大小． 10．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中． (1)如图①，点在直线的上方，若，则______，______； (2)如图②，点在直线的下方，若，求的度数； (3)若保持三角板不动，三角板绕直角顶点顺时针旋转一周，当时，直接写出的度数． 11．（24-25七年级上·江苏·期末）【原理探究】如图①，根据光的反射原理，反射角等于入射角，即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（法线为经过入射点A且与平面镜l垂直的直线），由此可得，理由为__________． 【实际应用】 请用【原理探究】获得的结论解决以下问题： 如图②，平面镜相对放置，光线经过两次反射，为反射光线． （1）若平面镜互相平行，那么入射光线与反射光线平行吗？为什么？ （2）若，调整平面镜的位置，使得，请在备用图中画出相应的平面镜和反射光线，并求此时的度数． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数． 【初步认识】 （1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则 　　°；图3中，，则 　°； 【深度理解】 （2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由； （3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　 ； A．由特殊到一般     B．方程    C．分类讨论     D．整体 【拓展应用】     （4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数 °（用含n的代数式表示）； 【大胆创新】 （5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 ° ． 地 城 考点06 多边形 一、选择题 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 二、填空题 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成8个三角形，则n的值是 ． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是 ． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）从n 边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，剪成的三角形纸片个数为 ． （用含n 的代数式表示） 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到6个三角形，那么这个多边形为 边形． 8．（24-25七年级上·江苏常州·期末）从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成 个三角形． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相交线与平行线 6大高频考点概览 考点01 垂线、点到直线的距离、对顶角 考点02平行线的性质与判定（小题） 考点03 平行线的性质与判定（解答题） 考点04 有关垂直、平行的作图问题 考点05 平行线的性质与判定（压轴题） 考点06 多边形 地 城 考点01 垂线、点到直线的距离、对顶角 一、选择题 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：∵该女生获得满分但未加分， ∴ ∵， ∴可能为， 故选项D符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图所示，，于，则下列结论中错误的为（　　） A． B．点到的垂线段是线段 C．点到的距离是线段 D．线段的长度是点到的距离 【答案】C 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段，垂直， 根据垂直的定义判断A，再根据垂线段的定义解答B，然后根据点到直线的距离判断C，D． 【详解】解：因为，则，所以A正确； 因为点C到的垂线段是线段，所以B正确； 因为点A到的距离是线段的长度，所以C不正确； 因为线段的长度是点C到的距离，所以D正确． 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，点M在边上（不与B，C两点重合），连接，则的长可能是（   ） A．6 B．5.5 C．4.5 D．3 【答案】C 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，得到的取值范围，进行判断即可． 【详解】，，， ， ， 的长可能是， 故选：C 4．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）下列说法中，正确的有（   ）个 ①两直线相交，对顶角相等； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】线段中点的有关计算、垂线段最短、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查的是平线段中点的性质，垂线的定义，对顶角的定义，垂线段最短的性质，熟记教材中的定义以及性质是解题的关键．根据知识点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：①两直线相交，对顶角相等，正确，符合题意； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确，符合题意； ④点M在线段上时，如果，那么点M是的中点，原说法错误，不符合题意； 故正确的有3个， 故选：D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 【答案】5 【知识点】垂线段最短 【分析】此题考查了垂线段最短．根据垂线段最短求出的最小值，再根据题意得到的最大值，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，当运动到点E时，根据垂线段最短可知此时取最小值，， 当运动到点C时，根据题意可知此时取最大值，， ∴的最大值与最小值相差， 故答案为：5 6．（24-25七年级上·江苏南京·期末）已知：在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有 条． 【答案】4 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故答案为：4． 7．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，点O是直线上的一点，平分，，若，则 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，正确理解垂线的定义和角平分线的定义是解题的关鍵， 首先根据角平分线的定义得，再由垂直的定义可得，进而即可求得的度数． 【详解】解：平分，， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 【答案】12或30 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的定义，与三角板有关的角度的计算，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据在右边和左边两种情况，画出示意图，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：当在右边时，如图： ，， ∴此时，重合， ， ∴三角板旋转的角度为， （秒）； 当在左边时，如图： ，， ∴此时，与延长线重合， ∴ 三角板旋转的角度为， （秒）； 的值为：12或30． 故答案为：12或30． 三、解答题 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，直线与线段交于点O，线段，直线，是平角． (1)图中一共有　　　个直角和　　　条线段． (2)若，求的度数． (3)若去掉“线段，直线”这一条件，（2）所得的结果　　　（选填“成立”或“不成立”） 【答案】(1)， (2) (3)成立 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查的是垂直的定义、线段的认识及角的和差计算； （1）结合图象，根据垂直定义及线段的定义及表示即可求出结论； （2）先求出，再根据对顶角性质得出结论； （3）结合（2）的方法写出结论即可． 【详解】（1）解：∵线段，直线， ， 则图中一共有6个直角， 线段有：线段，共4条线段； （2）， ， ； （3）若去掉“线段，直线”这一条件，（2）所得的结果仍成立， 理由：， ， ，故（2）所得的结果仍成立． 10．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义、垂线的定义． （1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得， 即可求解； （2）根据，可得，再结合的度数比的度数的3倍多，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴．                                                    ∵， ∴．                                                            ∵平分， ∴，                                                          ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴．                                                    ∵， ∴． ∵的度数比的度数的3倍多， ∴，                                             ∴．                                                          ∵， ∴． 11．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)图形见解析，的度数为或 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （）先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （）分两种情况：当在直线的上方时；当在直线的下方时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：分两种情况： 当在直线的上方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴； 当在直线的下方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线相交于点O，，若，求的度数． 【答案】． 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等 【分析】本题考查对顶角、角的和差，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据对顶角相等得出，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 【答案】（1）①图见解析；②图见解析 （2）直线； 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线 【分析】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图即可； （2）根据点到直线的距离和垂线段最短求解即可． 【详解】解：（1）如图所示：①即为所求； ②如图所示：即为所求； （2）线段的长度是点到直线的距离，线段的长度是点到直线的距离．、、这三条线段大小关系是， 故答案为：，，． 14．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1) (2)75 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂线、角平分线的定义、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，掌握角平分线的定义并由平角定义列出关于的方程成为解题的关键． （1）由角平分线定义得到，然后进行计算即可解答； （2）设，由条件得到，求出x的值即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 15．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线相交于点平分， (1)若，则___________； (2)若平分，的度数为． ①求的度数； ②作射线，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）根据角平分线的定义得出，再根据平角的定义得； （2）①设，则，，根据列方程求出x，再根据对顶角相等，即可得出的度数；②分在上方、下方两种情况，画出图形，利用角的和差关系求解． 【详解】（1）解：平分，， ， ； （2）解：①平分， 设， ， ， 平分， ， ， ， 解得， ， ； ②由①知， 时，， 分两种情况： 当在上方时，如图， ； 当在下方时，如图， ； 综上可知，的度数为或． 16．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点P画线段的垂线，垂足为H； (2)点A到线段的距离即线段 的长； (3)线段、的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)；垂线段最短 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、垂线、垂线段最短、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）借助网格，根据垂线的定义画图即可． （2）根据点到直线的距离的定义可知，点A到线段PH的距离即线段AH的长． （3）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：点A到线段的距离即线段的长． 故答案为：． （3）解：线段、的大小关系是． 理由是：垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 17．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线与相交于．是的平分线，． (1)若比大，求和的度数； (2)试问与之间有怎样的大小关系？请说明理由； (3)的补角是__________． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)和 【知识点】角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差、垂线的定义，解题关键是准确识别图形，利用角之间的关系求解； （1）根据角平分线的性质得出，再根据得出，根据比大即可求解； （2）根据平角的定义表示出，可得与相等； （3）根据补角的定义写出的补角是即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∵比大， ∴， ∴， ． （2）解：， 理由如下：∵，， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴的补角是， ∵，， ∴的补角是， 故答案为：和． 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线、相交于点O，，． (1)图中的余角除了，还有______； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的余角、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了余角的定义，对顶角相等，同角的余角相等． （1）根据垂直的定义得出，再根据余角的定义求解即可； （2）根据垂线定义得出，根据，求出，进而求解即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解:∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中的余角除了，还有，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，村庄A和村庄B位于一条笔直的公路l的两侧． (1)现要在公路l上设立一个公交站台C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．请在图中画出公交站C的位置，并说明理由． (2)一位A庄的居民有急事出门，打算打车前往目的地．请在图中画出公路l上最近上车点H的位置，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析，理由：两点之间，线段最短； (2)作图见解析，理由：垂线段最短； 【知识点】两点之间线段最短、垂线段最短 【分析】本题考查作图应用与设计作图，两点之间线段最短，垂线段最短，树立了掌握它们的性质是解题的关键； （1）连接与直线l的交于点C即为所求； （2）过点A作交于点H，即为所求． 【详解】（1）解：（1）如图所示：连接与直线l的交点即为所求的点C， ， 理由：两点之间，线段最短， （2） 如图所示：点H即为所求；， 理由：垂线段最短． 地 城 考点02 平行线的性质与判定（小题） 一、选择题 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出，再由两直线平行同旁内角互补，即可得出答案． 【详解】解：如图 ∵水中的两条光线平行，， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ∴． 故选B． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】由平行线的性质推出，，由三角形内角和定理求出的度数，即可得到的度数. 本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出，． 【详解】解: ， ， ， ， ， ． 故选：． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、不能判定，该选项不合题意； 、不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，该选项符合题意； 故选：． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点D，点C分别落在点，点的位置，与交于点G．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，折叠得到，即可得出结果． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∴， ∵折叠， ∴； 故选A． 5．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据图形可得和是和被所截的同位角，再根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故选：A． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，故A选项符合题意； ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵， 无法证明或，故C选项不符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选：A 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据得，结合，，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：①∵，∴，故符合题意； ②∵，∴，不能判断，故不符合题意； ③∵，∴，故符合题意； ④∵，∴，故符合题意； ⑤∴，不能判断，故不符合题意； 综上，①③④都能判定， 故选：B． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线，将一块直角三角尺按如图方式放置，顶点C落在直线b上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的知识点是平行线性质定理，掌握以上知识是解题的关键； 本题过点作，可得，再根据，，即可求解； 【详解】解：过点作，如图： ， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：A； 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力N的方向与斜面垂直（），摩擦力f的方向与斜面平行（）．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据平行线的性质求出，根据对顶角相等求出，再根据，即可求出． 【详解】解：如图交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，在下列条件中能判定的有（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行可得答案．关键是掌握平行线的判定定理． 【详解】解：A、当时，可得，不合题意； B、当时，无法得到，不合题意； C、当且时，可得，可得，符合题意； D、当时，可得，不合题意． 故选：C． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②中，，则在下列判断中，正确的是（   ） A． B． C． D．的度数无法确定 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了角度的计算，平行线的性质．通过作辅助线，得到，利用两直线平行，同旁内角互补，得到结果． 【详解】解：过A作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 13．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，将一张长方形纸片折成如图所示的形状，如果，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长到E，先利用平行线的性质可得，再利用折叠的性质可得：，然后利用平行线的性质可得：，即可解答． 【详解】解：如图：延长到E， ∵， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴， 故选：A． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】分两种情况：①当时，②当时，进行讨论即可． 【详解】解：①如图，当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即：， 解得：； ②如图，当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为秒或秒， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的定义，周角的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握角的和差运算，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 15．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想是解题的关键． 分和，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图1所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由反射定理可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2所示，过点C作， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 故选B． 16．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知与互补，平分，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据题意，由条件得到，从而得到，结合角平分线得到，即可得到的度数． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 17．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，直线被直线所截，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角，根据平行线的性质可得，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示 ∵， ∴ ∴， 故选：B． 二、填空题 18．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）将直角三角尺与直尺如图放置，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③与互余；④与互补 【答案】①②③④ 【知识点】与余角、补角有关的计算、两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了余角和补角的定义，平行线的性质，熟练掌握余角、补角的定义是解题的关键．根据平行线的性质，余角、补角的定义，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴与互余，故③正确； ∵， ∴， ∴与互补，故④正确， 综上可知，正确的结论为①②③④， 故答案为：①②③④． 19．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则 ． 【答案】/72度 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，平行线的性质，先由折叠的性质得到，再由角平分线的性质得，进而可得，再由长形的性质和平行线的性质得，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是长方形， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线、被直线所截，，若，则的度数是 ． 【答案】/135度 【知识点】对顶角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 根据对顶角相等得出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 21．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，度分秒的换算．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ， ， ． 故答案为：． 22．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题、平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了方向角，平行线的判定和性质，过点作，可得，即得，，再根据角的和差即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 23．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定并灵活运用． 过点作，得出，即可得，结合，得出，然后根据得出，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 24．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线分别与直线相交于点，平分，交直线于点，若，射线于点，则 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，画出图形，分两种情况，利用平行线的判定和性质解答即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，①当射线于点时，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当射线于点时，， 同理可得； ∴的度数为或， 故答案为：或． 25．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质，结合直线，得，，，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，， 其中所有正确结论的序号是①③④， 故答案为：①③④． 地 城 考点03 平行线的性质与判定（解答题） 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线a，b分别与直线m，n相交，，． (1)请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)若，则 ° ． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】对顶角相等、同位角相等两直线平行、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法及平行线的性质得到角的关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等，得到，结合平行线的判定方法即可得出答案； （2）根据对顶角相等得出根据平行线的性质得出即可求解． 【详解】（1）解：直线与平行； 如图所示 ， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． （1）根据“同旁内角互补，两直线平行”求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：平行，理由如下： ，， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）在下列解题过程的空白处填上适当的内容(推理的理由或数学表达式)． 如图，已知，，射线平分，若． 求：的度数． 解：(已知) ( ) (已知) ( ) ( ) (两直线平行，内错角相等) 平分已知 (角平分线定义) (已知) (等式性质) (等量代换) 【答案】两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同位角相等，两直线平行；； 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了对顶角，平行线的性质和判定等知识，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．根据平行线的性质与判定以及角平分线的定义完成填空，即可求解． 【详解】解：(已知) (两直线平行，同旁内角互补) (已知 (等量代换) (同位角相等，两直线平行) (两直线平行，内错角相等) 平分已知 (角平分线定义) (已知) (等式性质) (等量代换) 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同位角相等，两直线平行；；． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将下列解答过程补充完整： 已知：如图，，． 试说明：． 解：因为（已知）， 所以 （          ）． 又因为（已知）， 所以∠ =∠ （                  ） ． 所以 （                ） 所以（                    ） 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；2；；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的判定与性质．根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同旁内角互补） 又因为（已知）， 所以（同角的补角相等）． 所以（内错角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；2；；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 5．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知． (1)求证：．请将下面证明过程补充完整： 证明：（已知） （___________①___________） 又（已知） ___________②（同角的补角相等） ，（③） （___________④___________） (2)若平分，于点，，求的度数 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算： （1）根据平行线的性质和判定，进行作答即可； （2）根据角平分线的定义，结合平行线的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：（已知） （①两直线平行，同旁内角互补） 又（已知） ②（同角的补角相等） ，（③内错角相等，两直线平行） （④两直线平行，同位角相等）， 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等； （2）解：平分， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（24-25七年级上·江苏常州·期末）推理填空： 如图，，，．请将求的过程填写完整． 解：因为（已知） 所以______（______） 又因为（已知） 所以______（______） 所以______（______） 所以______（______） 因为（已知） 所以______． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质定理． 首先由平行线的性质得到，然后得到，证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：因为（已知） 所以（两直线平行，同位角相等） 又因为（已知） 所以（等量代换） 所以（内错角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同旁内角互补） 因为（已知） 所以． 7．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线． (1)若，判断与是否平行，并说明理由； (2)若射线平分，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角板的角度问题，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）由两直线平行，内错角相等，得到，进而得出，即可证明全等； （2）由三角板可知，，结合角平分线的定义，得到，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：与平行，理由见解析； ， ， ， ， ； （2）解：由三角板可知，， ， 平分， ， ， ． 8．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，平分．请将下列说理过程补充完整． 因为， 所以______（______）， ______（______）． 因为平分， 所以______=______． 所以． 【答案】；两直线平行，同位角相等； ；两直线平行，内错角相等； ； 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 根据平行线的性质即可求得，，根据角平分线的定义可得，等量代换即可求得答案． 【详解】因为， 所以（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． 因为平分， 所以． 所以． 故答案为：；两直线平行，同位角相等； ；两直线平行，内错角相等； ；． 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）根据题意将下列空格补充完整． 如图，若，，．试说明与平行． 理由：因为， 所以________（________________）， 所以（________________）， ________（________________） 因为， 所以________． 又因为， 所以________， 所以（________________）． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据推理过程利用平行线的判定定理与性质填空即可． 【详解】解：理由：因为， 所以，（同旁内角互补，两直线平行） 则．（两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以，（同位角相等，两直线平行）． 10．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知．画直线，与相交于点O．现将一个直角三角尺的直角顶点落在点O处，顶点M、N落在同侧，并使平分． (1)当时，求的度数； (2)画的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】 （1）根据，得到，从而得到的度数，利用角平分线，得到结果即可； （2）根据，得到，结合对顶角相等，以及角平分线的定义，得到，利用同角的余角相等，得到结果即可． 本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1） 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2） 解：，理由如下： 过B点作的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，与平行吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的性质可得，结合已知可得，根据同旁内角互补两直线平行，即可求解． 【详解】解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）完成下面的证明： 已知：如图，在三角形中，于D，于G，且． 求证：． 证明：，已知， ， ______， ______， 又已知， ____________， ______ 【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据垂直定义可得：，从而利用同位角相等，两直线平行可得：，然后利用平行线的性质可得：，从而利用同角的补角相等可得：，最后根据内错角相等，两直线平行即可解答． 【详解】解：，（已知）， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （同角的补角相等） （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行． 13．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，， (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）由于，可判断，则，由得出，可判断出； （2）根据平行线的性质得出，根据垂线的定义和角的和差关系求出，则可得到的度数，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗?为什么? (3)若，，求的大小． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，见解析 (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等， （1）根据同旁内角互补，两直线平行进行推理证明； （2）根据对顶角和已知条件得到，则可证明，由平行线的性质推出，即可求证； （2）根据角之间的关系求得，利用平行线的性质求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）已证 ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 15．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）【阅读•领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段，比如要证明直线、是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 【实践•体悟】如图2，已知，．求证：． (1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你帮他完成下列证明过程： 证明：连接． 因为（已知）， 所以______（内错角相等，两直线平行） 所以______（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以____________（等式性质）， 所以____________（等量代换）， 所以（______）． (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程． 【答案】(1)，内错角相等，两直线平行； (2)证明见解析过程． 【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、相交线及平行线，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意，将小明的证明过程补充完整即可． （2）延长交直线于点M，再利用平行线的判定与性质进行证明即可． 【详解】（1）证明：连接， 因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（等式性质）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，内错角相等，两直线平行． （2）解：延长交直线于点M， ， ， ． ， ， ． 16．（24-25七年级上·江苏无锡·期末） 如图，已知四边形，点 E 是射线上一点，连接交线段于点F，  若， ． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分， 求的大小． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角互补，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合邻补角互补相等，则，因为，所以，即可作答． （2），平分，所以，因为，则．即可作答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴． 17．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，直线与直线、分别相交于点、，． (1)填空： 因为， 又因为（_____）， 所以． 所以（_____）； (2)过点作直线与直线相交于点，已知，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】对顶角相等、同位角相等两直线平行、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题干已有过程进行补充，即可作答． （2）因为，所以，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：因为， 又因为（两直线相交，对顶角相等）， 所以． 所以（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：两直线相交，对顶角相等；同位角相等，两直线平行． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． 18．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一点，连接，在射线上取点，连接，使得，当，时，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的定义可得，结合，可得，即可证明； （2）设，则，由，可得，，进而得到，由角平分线的定义可得，根据，列方程即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）设， ，， ， 由（1）知：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得：， 即． 19．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，． (1)填空： 因为， 所以（____________________） 因为， 所以__________．（等量代换）． 所以（____________________） (2)若，求的度数． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：（1）因为， 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为， 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，，，则，平行吗？ (1)茜茜同学很快写出解答，请你在茜茜说理过程的括号内填写理由： 因为， 所以（①______） 因为， 所以， 所以（②______）； (2)小洁说也可以不用“同旁内角”来说明，请你写出小洁的说理过程． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补 ②同旁内角互补，两直线平行 (2)见解析（方法不唯一） 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质和判定方法是解题的关键． （1）“因为，所以”是利用“两直线平行，同旁内角互补”得出；“因为，所以”是利用“同旁内角互补，两直线平行”得出； （2）方法不唯一，如法：连接；或法：延长至点；或法：延长至点；或法：延长至点；或法：延长至点；分别证明即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（①两直线平行，同旁内角互补）， 因为， 所以， 所以（②同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②同旁内角互补，两直线平行； （2）解：方法不唯一，如： 法：如图，连接， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 21．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，，．求证∶． 证明∶因为（已知）， 所以（ ）， 所以_____ ， 因为（已知）， 所以_____（等量代换）， 所以（_____）． 【答案】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；D；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，结合图形，已知，运用平行线的判定和性质，等量代换等知识求解即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行． 22．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，．求证：． 证明：因为（已知）， 所以① 　（② ）． 所以③ 　 （④ 　）． 因为（ 已知 ）， 所以⑤ 　（等量代换）． 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 【答案】①；②内错角相等，两直线平行；③；④两直线平行，同旁内角互补；⑤ 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角是否互补，判定两直线平行． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 23．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在小学里，我们已经知道“三角形的内角和等于”，当时是用“撕角”的办法来说明的．请你再用平行线的性质定理或判定定理说明其正确．如图，，，是的三个内角，说明． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义：先由平行线的性质得到内错角相等，再结合平角是即可作答，作出的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点A作，如图所示． ∵， ∴，， ∵， ∴． 24．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，，，则．请你将下列说明过程补充完整． 理由如下： 因为， 所以______（______ ）． 又因为， 所以______． 所以．（______）· 【答案】；两直线平行，内错角相等；；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是平行线的性质与判定．先证明，再证明，从而可得结论． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；同旁内角互补，两直线平行． 25．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，，平分，．请判断与的位置关系并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．由可得，利用平行线的性质得出，，再结合角平分线的定义和等量代换可得，最后利用平行线的判定即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）， 平分， ， ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 地 城 考点04 有关垂直、平行的作图问题 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的正方形方格纸中，点A、B、C均在格点上．利用网格只用直尺画图： (1)过点A画直线的平行线，并标出格点D的位置； (2)过点C画直线的垂线，并标出格点E的位置； (3)过点B画直线的垂线，并标出格点F的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】格点作图题、画垂线、用直尺、三角板画平行线、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的平判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线的判定作出图形； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据垂线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解:如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）作图和说理 (1)如图1，在公路的两侧各有一所学校、，一辆拖拉机沿着（从到）方向行驶． ①请在公路上作一点，使得拖拉机行驶到该点时在学校听到的拖拉机噪声最大；在公路上作一点，使得拖拉机行驶到该点时在学校听到的拖拉机噪声最大． 你的依据是___________： ②在公路上的__________________段，随着拖拉机的行驶，在学校听到的拖拉机噪声越来越小，而在学校听到的拖拉机噪声越来越大． (2)如图2，已知． ①利用无刻度的直尺和圆规，在射线的下方作，使得（不写作法保留作图痕迹）． ②与的位置关系是___________，理由是：___________． 【答案】(1)①图见解析，垂线段最短；② (2)①图见解析②平行，内错角相等，两直线平行． 【知识点】尺规作一个角等于已知角、垂线段最短、画垂线、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查垂线段最短，尺规作图—作角，平行线的判定： （1）①根据垂线段最短，作图即可；②根据拖拉机离的远近作答即可； （2）①根据尺规作一个角等于已知角的方法作图即可；②根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图，点即为所求；理由是：垂线段最短； ②由题意，可知，在公路上的段，随着拖拉机的行驶，在学校听到的拖拉机噪声越来越小，而在学校听到的拖拉机噪声越来越大； （2）解：①如图，即为所求； ②∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 故答案为：，内错角相等，两直线平行． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）作图题： (1)如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C均在格点上，请用无刻度直尺画图： ①过点A画的平行线； ②过点C画的垂线． (2)如图2，已知，内部有一射线，利用直尺和圆规作图：在左侧作出射线，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了网格图——作平行线，垂线；尺规作图——作一个角等于已知角：熟练掌握作图方法是解题的关键； （1）①取格点Q，作直线即可；②取格点P，作直线即可，； （2）根据作一个角等于已知角的方法，作，即可． 【详解】（1）解：①直线即为所求；②直线即为所求； （2）如图2中，射线即为所求． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线． (2)过C点作线段的垂线，交于H． (3)点D是线段与网格线的交点，连结，，比较线段，，的大小： ，理由是 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)；垂线段最短 【知识点】垂线段最短、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】此题考查了作图-平行线；作图-垂线；线段的长短比较； （1）根据作图-平行线结合题意画图即可求解； （2）根据作图-垂线结合题意画图即可求解； （3）根据线段的比较结合题意填空即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由图可知，，理由是垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，均在格点上． (1)过点C画的平行线； (2)过点A画的垂线，垂足为G； (3)过点A画的垂线，交于点H； (4)线段______的长度是点H到直线的距离． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4) 【知识点】点到直线的距离、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据平行线的判定画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）根据垂线的定义画出图形； （4）根据点到直线的距离判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）如图，直线即为所求； （4）线段的长度是点H到直线的距离． 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）尺规作图：如图，线段和，在射线上截取线段，使得，过点作直线，点在射线右侧；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所画的图形中，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】尺规作一个角等于已知角、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了尺规作图作一个角等于已知角，平行线的性质和判定， （1）在射线上截取线段，使得，然后利用作一个角等于已知角的方法得到，即可得到； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图所示； （2）∵， ∴． 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）用无刻度的直尺和圆规作（保留作图痕迹）． (1)如图，已知，，，求作； (2)如图，已知，，，求作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、根据平行线的性质探究角的关系、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）作线段，在线段的上方作，，交于点A，即为所求； （2）作线段，延长到E，在的上方作，，交于点C，即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求； （2）解：如图2中，即为所求． 根据作图可得， 则， ∴． 8．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D均在格点上，请用无刻度直尺按要求完成画图． (1)连接，画直线、射线； (2)过点D画的平行线m； (3)过点D画直线的垂线 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了复杂作图，掌握直线、线段、射线、平行线、垂线及网格线的特征是解题的关键． 根据直线、线段、射线的特征作图； 根据网格线的特征作图； 根据网格线的特征作图． 【详解】（1）解：如图所示：线段，直线，射线即为所求； （2）解：如图所示：m即为所求； （3）解：如图所示：n即为所求． 9．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）（1）如图1，点、、都在正方形网格的格点上，按下列要求仅用直尺画图，保留必要的辅助线，并标出相应的字母： ①过点画直线； ②在上画点，使的长度最小． （2）如图2，已知，点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①见详解，②见详解；（2）见详解 【知识点】两直线平行同旁内角互补、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了平行线的作图，平行线的性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①运用网格的性质，过点作，即可作答． ②运用网格的性质，且结合垂线段最短，则，即可作答． （2）过点P作，且交于点，运用两直线平行，同旁内角互补，即可作答． 【详解】解：（1）①过点画直线，如图所示： ； ②在上画点，使的长度最小，如图所示： ； （2）点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使，如图所示： 10．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，有一个的正方形网格，点A、B、C都在正方形网格的格点上： (1)请确定格点M，使得； (2)取的中点，请确定格点N，使得．（在图中描出所求的点，并标注对应的字母） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了作平行线，垂线的做法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据小网格的特征，先连接，因为，且点在格点，即可作图； （2）根据小网格的特征，先连接，因为，且点N在格点，即可作图； 【详解】（1）解：连接， ∵，且点在格点， ∴点如图所示： （2）解：连接， ∵，且点N在格点， ∴点N如图所示： 11．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，是的一个外角． (1)利用无刻度的直尺和圆规作图：在的内部画射线，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若射线是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】尺规作一个角等于已知角、同位角相等两直线平行、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是画一个角等于已知角，角平分线的定义，平行线的性质． （1）作即可得到， （2）由可得，，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所画的平行线； ； （2）解：∵ ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂线段最短、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，垂线段最短； （1）根据题意过点画直线，使得且，即可求解； （2）根据垂线段最短，找到的格点，连接，则交点为，则点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； ∵ ∴当垂足时，最小， 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图． (1)找一个格点， 画直线使；（标出点） (2)找一个格点， 画直线使， 垂足为；（标出点） (3)比较大小： 线段 线段（用“”“”“”号连接）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】垂线段最短、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离． （1）根据平行线的判定画出对应的平行线即可得到答案； （2）根据垂直的定义画出对应的图形即可； （3）根据点到直线的距离垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求 （2）解：如图，点，即为所求． （3）由垂线段最短可知，线段＞线段． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点，点、、均在格点上．按下述要求画图（仅用无刻度直尺）： (1)过点画的平行线； (2)在线段上画一点，使得； (3)线段、这两条线段大小关系是_______（用“<”号连接），理由是______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)，垂线段最短 【知识点】垂线段最短、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，垂线段最短等知识点，熟练掌握利用网格画垂线、平行线是解题的关键． （1）按照画平行线的方法作图即可； （2）按照画垂线的方法作图即可； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：如图，点即为所求作； （3）解：线段、这两条线段大小关系是：，理由是：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 15．（24-25七年级上·江苏南京·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加黑画图需要的格点） (1)在图①中画直线，使； (2)在图②中画直线，使，垂足为F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、格点作图题、画垂线 【分析】本题考查了格点作图、平行线的判定、垂直的定义，在网格中找出特殊的格点，按要求作图是解题的关键． （1）找到格点，使得，则有，即可得到； （2）找到格点，使得等于直线与网格水平线形成的锐角，再根据角度运算可得，即可得到． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： 16．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【知识点】垂线段最短、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：根据斜边大于直角边，得． 17．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)线段_____的长度是点O到的距离； (3)过点A画的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【知识点】点到直线的距离、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查的是作图-复杂作图，熟知垂线段及平行线的作法是解答此题的关键． （1）过点P作，交于点C即可； （2）根据点到直线距离的定义即可得出结论； （3）依据平行线的判定，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点C即为所求； （2）∵， ∴线段的长度是点O到的距离． 故答案为：； （3）如图，． 18．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，点P是的边上的一点 (1)过点P画的平行线． (2)过点P画的垂线，交于H． (3)线段的长度是点H到___________的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)直线 【知识点】点到直线的距离、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据推尺子的方法，作图即可； （2）根据垂直定义作图即可； （3）根据点到直线的距离是垂线段的长度可求． 【详解】（1）解：直线即为所求： （2）解：直线即为所求： （3）解：根据点到直线的距离是垂线段的长度， ∴线段的长度是点H到直线的距离， 故答案为：直线． 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，平面内有三个点A、B、C． (1)读句画图： ①画线段、射线、直线； ②在线段上任取一点D（不与A、B重合）； ③作，作，垂足分别是E、F； (2)请判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】垂线的定义理解、画出直线、射线、线段、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了线段，射线，直线以及垂线的定义，平行线的判定等知识． （1）根据线段，射线，直线以及垂线的定义画出图形即可． （2）根据垂直的定义，平行线的判定一一判定即可． 【详解】（1）解：如图 （2）解： ，（垂直的定义） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 20．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，，被直线所截，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)已知平分． ①若，求的度数； ②过点C作直线，交于点E． （要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)，见解析； (2)①；②见解析． 【知识点】尺规作一个角等于已知角、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质； （1）证明即可； （2）①求出可得结论； ②利用内错角相等两直线平行作出图形即可. 【详解】（1）．理由如下： 因为，， 所以． 所以． （2）①解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以． ②方法不唯一． 21．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点、、都是方格纸中的格点（图中每1个小方格都是边长为1的正方形），请用直尺画图． (1)在网格中找一个格点，连结，使； (2)在网格中找一个格点，作直线，使； (3)连接，，则的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)4 【知识点】无刻度直尺作图、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，画图即可； （2）根据垂直的定义，三角形的内角和定理，解答即可； （3）根据面积公式解答即可． 本题考查了利用网格线画平行线，画垂线，三角形的面积的计算，掌握作图的基本方法是解本题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接， 交水平直线于点Q，B、G，Q，F四点共线， 根据题意，得，， ∴， ∴． 则即为所求． （2）解：如图，连接， 设交于点M，E，N共线，N，C，H三点共线， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， 故． 则点即为所求． （3）解：连接，， 则的面积为：． 故答案为：4． 地 城 考点05 平行线的性质和判定（压轴题） 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)75 (2)12或 (3)或15 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角板中角度计算问题 【分析】（1）根据平角的定义求解即可； （2）根据的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，平角的定义，熟练掌握旋转性质，平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； 故答案为：75． （2）解：当和重合时，，则， 当和重合时，，则， 当和重合时，，则， ①当时，，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：； ③当时，， ∴，t无解； 综上所述，或． （3）解：当和重合时，，则， ∴转动过程中，， ①当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ③当时，， ∴和重合， ∴， 即， 解得：； 当时，，且位于下面，不符合题意，舍去； 综上所述，或15． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）综合与实践 【问题情境】 （1）如图1，，点E在之间．写出之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】 （2）小明在完成第（1）题的探究后，又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点A 处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜l垂直，即，垂足为O，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点D．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的E处射出，在平面镜上经点F反射后，到达上的点G，……其传播路径为⋯⋯请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）①见解析；②相等，见解析 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，垂线的概念，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）过点E作，利用平行线性质和判定推出，即可得到之间的数量关系； （2）①根据垂直定义，以及光线的入射角等于反射角，即可导角推出； ②由（2）的结论得∶，即，再结合（1）的结论得∶，即可推出与的数量关系． 【详解】解∶ （1）之间的数量关系是∶ ， 理由如下∶ 过点E作， 如图所示∶ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）①理由如下∶ ∵， ∴， ∴， ∵光线的入射角等于反射角， ∴， ∴； ②与的数量关系是∶， 理由如下∶ 由（2）的结论得∶， ∴， ∵， 由（1）的结论得∶， ∴． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或3或6或12或15 【知识点】角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的综合题，正确理解旋转的性质、平行线的性质是本题解题的关键． （1）延长交于，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）参考（1）的解答，根据角平分线性质、平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先计算出的取值范围，用表示出的大小，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义，用表示出三边与的夹角，当夹角相等时，两直线平行，据此解答． 【详解】（1）解：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， 即：， ； （2）解：， 理由如下：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， 在 和 中， ，，， ， 即：， ； （3）解：， ， ， ，是的平分线， ， ， 转动过程中，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 在转动过程中，， 设所在直线与射线的夹角为， ， 在转动过程中，， ①当时， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：， ②当时， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：，舍去， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， ③当时， 当时，， 即，， 解得：， 当时，， 即，， 解得：， 综上所述，或3或6或12或15． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 【答案】(1)①，理由见解析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见解析 (3)或 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质探究角的关系、同位角相等两直线平行 【分析】（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论； ②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可； （2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可； （3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：①；理由如下： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； ②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：    理由：根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：当点S在线段上时，如图所示：      ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ； 当点S在线段上时，如图所示：    ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上分析可得：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图1，中，点D为线段延长线上一点，，过点B作交直线于点E，连接，． (1)求证：平分． (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，分别在线段、上各取一点M、N，连接、．若满足，，则在直线上是否存在一点P，使得，如果存在，请通过作图找出点P；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 (3)不存在，理由见详解 【知识点】角平分线的有关计算、垂线段最短、根据平行线判定与性质证明、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）根据平行得，结合已知即可得，那么有平分； （2）根据垂直得，求得，结合，利用平行线的判定即可； （3）设，则，，则，有，则，有，可判定，则，结合垂线段最短，故直线BE上不存在一点P使得成立． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 则平分； （2）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：不存在，理由如下， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， 则， 根据垂线段最短，故直线BE上不存在一点P使得． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了平行线的性质和判定，垂线段最短，余角的性质，角的和差关系等知识，正确识图掌握平行线的性质和判定是本题的关键． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值是20或； (3)或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，一元一次方程的应用等知识，也体现了数形结合的思想，读懂题，熟悉条件，理解题意是解题的关键． （1）根据角的和与差即可解答； （2）分两种情况：在的左边和右边，根据列方程即可解答； （3）分情况画出图形，根据两直线平行内错角相等列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图①，，， 如图②，当时，；    故答案为：，； （2）解：分两种情况： ①如图1，当在的左边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； ②如图2，当在的右边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； 综上，t的值是20或； （3）解：如图，由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图：由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，或． 7．（24-25七年级上·江苏常州·期末）已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点． (1)若，，则______度； (2)若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由： (3)若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键． （1）如图1，过P作，根据平行线的性质求解即可； （2）如图2，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得到，从而有，由根据平角的定义即可得到结论； （3）由垂直的定义得到，由平行线的性质得到，根据平角的定义得到结论． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）如图2， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知，， ∴ ∴； 即或； （3）解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵由（1）知，， ∴， ∴． 8．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线． (1)若，判断与是否平行，并说明理由； (2)若射线平分，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角板的角度问题，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）由两直线平行，内错角相等，得到，进而得出，即可证明全等； （2）由三角板可知，，结合角平分线的定义，得到，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：与平行，理由见解析； ， ， ， ， ； （2）解：由三角板可知，， ， 平分， ， ， ． 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）在数学活动中，数学兴趣小组的主题是《关于三角板的数学思考》． (1)在桌面上，把一副三角板摆成图1的位置（两直角三角板的直角顶点重合）． ①若，则________； ②若比大，求、的大小； (2)如图2，小红将一个三角板（，）放在一组互相平行的直线与之间，并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，若，求的大小． 【答案】(1)①；②， (2) 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，与三角板有关的角度计算，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）①根据周角的定义可得，即可求得答案；②同理①求出，即可解答； （2）过点B作，，由平行线的性质推出，求出，由即可求解． 【详解】（1）解：①如图， 则， ∵，， ∴； ②同理①得：， ∵，， ∴，即， ∴，则； （2）解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中．    (1)如图①，点在直线的上方，若，则______，______； (2)如图②，点在直线的下方，若，求的度数； (3)若保持三角板不动，三角板绕直角顶点顺时针旋转一周，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算； （1）先求解，，即可得结论； （2）由平行线的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； （3）如图，当点在直线的上方时，证明，如图，当点在直线的下方时，证明，再进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，当点在直线的上方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在直线的下方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上：为或. 11．（24-25七年级上·江苏·期末）【原理探究】如图①，根据光的反射原理，反射角等于入射角，即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（法线为经过入射点A且与平面镜l垂直的直线），由此可得，理由为__________． 【实际应用】 请用【原理探究】获得的结论解决以下问题： 如图②，平面镜相对放置，光线经过两次反射，为反射光线． （1）若平面镜互相平行，那么入射光线与反射光线平行吗？为什么？ （2）若，调整平面镜的位置，使得，请在备用图中画出相应的平面镜和反射光线，并求此时的度数． 【答案】原理探究：等角的余角相等；实际应用：（1）入射光线与反射光线平行，理由见解答；（2）平面镜和反射光线见解答；或或或 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了作图的应用和设计，平行线的性质，掌握平面镜原理和平行线的性质是解题的关键． 原理探究：根据互余的性质求解； 实际应用：（1）根据平面镜原理和平行线的判定定理求解；（2）根据平面镜原理和平行线的性质定理求解． 【详解】解：原理探究：∵反射角等于入射角，， （等角的余角相等）， 故答案为：等角的余角相等； 实际应用：（1）入射光线与反射光线平行， 理由：由平面镜原理得：， ， ， ， ， ； （2）平面镜和反射光线如下图③和图④所示： 当反射光线向右时：延长到F， ， 由平面镜原理得：， ， ， ， 当M和N互换位置时，； 当反射光线向左时：如下图④所示： ， ， 由平面镜原理得：，平分，， ， ， 当M和N互换位置时，． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数． 【初步认识】 （1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则 　　°；图3中，，则 　°； 【深度理解】 （2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由； （3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　 ； A．由特殊到一般     B．方程    C．分类讨论     D．整体 【拓展应用】     （4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数 °（用含n的代数式表示）； 【大胆创新】 （5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 ° ． 【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3）A；（4）；（5）45或75或165 【知识点】角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到 ，于是得到结论； （3）小明与小丽解决以上问题的方法，用到的是由特殊到一般的数学思想； （4）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论． （5）分三种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）图2中，， 图3中， ； 故答案为：；； （2）猜想：，理由如下： 图中，， ， 和是和的角平分线， ， ； （3）明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了由特殊到一般的数学思想， 故选：A． （4）， ， ， ， ． 故答案为：； （5）如图，当时，则； 如图，当时，设交于点E， 则， ∴, ∴； 如图，当时，设交于点E， 则， ∴, ∴， ∴． 综上可知，旋转的角度为或或． 故答案为：45或75或165． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键． 地 城 考点06 多边形 一、选择题 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 【答案】D 【知识点】多边形的概念与分类、多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立． 根据正多边形的定义即可判断A、B、D，根据多边形从一个顶点出发可以作条对角线判断C． 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意； B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A ． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【知识点】多边形的周长、正多边形概念辨析 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 【详解】解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 二、填空题 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成8个三角形，则n的值是 ． 【答案】10 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题主要考查的是多边形对角线的性质，根据从一个n边形的某个顶点出发，可分为的三角形作答． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为：10 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是 ． 【答案】6 【知识点】多边形的周长 【分析】本题考查了多边形的周长，根据正多边形的每条边都相等，求出正六边形的周长即可． 【详解】解：正六边形的边长是1， 这个正六边形的周长是：， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）从n 边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，剪成的三角形纸片个数为 ． （用含n 的代数式表示） 【答案】/ 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线：对角线分成的三角形个数问题，因为从n边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，故剪成的三角形纸片个数为，即可作答． 【详解】解：依题意，从n边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片， ∴剪成的三角形纸片个数为， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到6个三角形，那么这个多边形为 边形． 【答案】八/8 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形的性质，解题的关键是从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为的规律进行解答即可． 【详解】解：设多边形有n条边，则， 解得：， 故多边形是八边形． 故答案为：八． 8．（24-25七年级上·江苏常州·期末）从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成 个三角形． 【答案】5 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题主要考查多边形的对角线，掌握从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为是解答本题的关键． 【详解】解：从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成个三角形， 故答案为：5． 试卷第1页，共3页 2 / 120 学科网（北京）股份有限公司 $