专题01 一元一次方程的解法（7大题型） 2025-2026学年人教版数学七年级上册

专题01 一元一次方程的解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等式的基本性质 1 题型二、解一元一次方程--移项或去括号 3 题型三、解一元一次方程--去分母（整数） 7 题型四、解一元一次方程--去分母（小数） 9 题型五、一元一次方程的错解复原问题 11 题型六、一元一次方程新定义问题 15 题型七、一元一次方程整数解问题 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等式的基本性质 1．已知，则下面变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时加、减、乘同一个数或除以同一个非零数，等式仍然成立．选项C中分母可能为零，导致变形错误． 【详解】解：， A、两边同乘，得，正确； B、两边同减，得，正确； C、当时，不能两边除以0，错误； D、分母为，恒不为零，两边同除，等式成立，正确， 故选：C． 2．下列等式变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么，其中正确的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质和绝对值的定义，等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立，据此结合绝对值的定义求解即可． 【详解】解：①当时，恒成立，但和不一定相等，原说法错误； ② ∵，∴，∴，原说法正确； ③ 当时，或，不一定有，原说法错误； ④ ∵，∴两边同除以28得 即，原说法正确． ∴ 正确的有②④， 故选：D． 3．根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，包括等式两边同时加、减、乘、除除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立．根据等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，等式两边加5， ∴，故A成立，不符合题意； B．∵，等式两边乘， ∴，但选项给出，故B不成立，符合题意； C．∵ ，等式两边加， ∴，故C成立，不符合题意； D．∵，等式两边减5， ∴，故D成立，不符合题意． 故选：B． 4．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，结合图形得出1个三棱锥个球，1个正方体个球是解题的关键． 根据图①，图②中得到三种物体的关系，然后根据图③中的摆放方式即可得出答案． 【详解】解：由图①可得个球个正方体个球个三棱锥， 则个正方体个三棱锥个球， 由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥个正方体， 则1个正方体个三棱锥个球， 那么2个正方体个三棱锥个球个三棱锥个球， 故1个三棱锥个球， 那么个正方体=个三棱锥个球个球个球个球， 由图③可得天平左边为个球个正方体个三棱锥个球个球个球个球， 则天平右边应放个球， 故选：D． 题型二、解一元一次方程--移项或去括号 5．解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）先移项使含未知数的项在等号的左边、常数项在等号的右边，再合并同类项，最后系数化为1，解答即可； （2）先去括号，再移项、合并同类项、系数化为1，解答即可． 【详解】（1）解：， 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：； （2） 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：． 6．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 7．解方程 (1) (2) 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握一元一次方程的求解是解题关键． （1）移项将含的项移到左边，常数项移到右边，合并同类项后系数化为1求解即可． （2）先去分母，再去括号，接着移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可． 【详解】（1） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 8．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去括号得，， 移项得，， 系数化为1得，． 9．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程． 先去括号，再去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】解：， 去括号得，， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 题型三、解一元一次方程--去分母（整数） 10．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程．去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 11．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，去分母，去括号，然后移项，再合并同类项，系数化为1可得解． 【详解】解： ． 12．解方程： 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． 去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 13．解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将未知数系数化为1，即可求出解． 方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 14．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的求解步骤． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． 故原方程的解为； （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 故原方程的解为． 题型四、解一元一次方程--去分母（小数） 15．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，即可求解． 【详解】解：原方程可变形为： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得 16．解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法等知识﹒ （1）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可； （2）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可﹒ 【详解】（1）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （2）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得﹒ 17．解方程：1． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，将原方程变形为1，再根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出未知数的值即可． 【详解】解：， 方程整理得：1， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 移项合并得：， 系数化为１，得：． 18．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，本题中应首先利用分式的性质把分式的分子、分母同时扩大若干倍使各项系数化为整数，然后再解方程． 【详解】解： 整理得：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 19．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 先把原方程变形，根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】解：， 整理得， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ． 题型五、一元一次方程的错解复原问题 20．下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：  第一步   第二步   第三步   第四步   第五步 (1)以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； (2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (3)请写出该方程的正确解答过程． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)三；移项没有变号 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据等式的基本性质，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，逐一判断即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质进行变形的， 故答案为：等式的基本性质； （2）解：从第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没有变号， 故答案为：三；移项没有变号； （3）解：：， 等式两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，． 21．嘉淇解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为． (1)试求a的值； (2)求原方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解含分母的一元一次方程等知识，掌握解含分母的一元一次方程的步骤，注意每步不要出错． （1）按嘉淇错误的解法去分母后，再把代入去分母后的方程中，即可求得a的值； （2）把（1）中求出的a的值代入方程中，解方程即可． 【详解】（1）解：按方程左边的1没有乘以10，去分母得：， 把代入得：， 解得：． （2）解：把代入原方程，得， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 22．某同学在解关于x的方程时，误将方程右边的“1”看成了“－1”，得到方程的解为． (1)求m的值； (2)正确地求出该方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答； （2）把代入原方程，再按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：把代入方程中，得， 解得：； （2）解：把代入方程中，得， ， ， ， 解得：． 题型六、一元一次方程新定义问题 23．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和1方程”，例如：方程和为“和1方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和1方程”，求m的值； (2)若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为n，求n的值； 【答案】(1) (2)n的值为0或1 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键； （1）由题意易得方程与方程的解分别为，，然后可得，进而问题可求解； （2）设另一个方程的解为m，由题意得：，则有，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：； 解方程得：； ∴， 解得：； （2）解：设另一个方程的解为m，由题意得：，则有， 当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得； 当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得； 综上所述：n的值为0或1． 24．如果方程的解为，则称该方程为“和谐方程”例如：，时的解是，且成立，所以是“和谐方程”． (1)判断下列方程是否为“和谐方程”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（）；②（）；③（）； (2)若关于x的方程（n≠1且n为实数）是“和谐方程”，求的值； (3)若关于x的方程（且）是“和谐方程”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 【答案】(1)①√；②×；③×； (2)5 (3)或． 【分析】（1）解方程，根据“和谐方程”定义，方程的解定义，分别判断即可； （2）解方程，根据“和谐方程”定义，方程的解定义，计算即可； （3）解方程，根据“和谐方程”定义，方程的解定义，整数解，计算即可． 【详解】（1）解：①，解得， ∵， ∴①是“和谐方程”； ②变形为， 解得， ∵， ∴不是“和谐方程”； ③变形为， 解得， ∵， ∴不是“和谐方程”． 故答案为：①√；②×；③×； （2）解：方程（且n为实数）， 解得 ∵方程是“和谐方程”， ∴， 整理，得， 解得，或， ∵， ∴当时， 原式： 当时， 原式； 综上，的值为5； （3）解：解关于x的方程（且）， 得， ∵关于x的方程方程（且）是“和谐方程”， ∴变形为， ∴， ∴， 解关于x的方程， 得， ∵关于x的方程有整数解， ∴是整数， ∴是2的因数， ∴或， ∴或或0或1， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴，且， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义——“和谐方程”．熟练掌握新定义，解一元一次方程和分式方程，方程的解，整数解，分类讨论，是解题的关键． 25．规定关于的一元一次方程的解为，则称该方程是定解方程， 例如：的解为，则该方程就是定解方程； (1)若关于的一元一次方程是定解方程，则的值为______； (2)若关于的一元一次方程是定解方程，它的解为，求，的值； (3)若关于的一元一次方程和都是定解方程，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、代数式求值等知识点，理解定解方程的定义是解题的关键． （1）根据定解方程的概念列式求解即可； （2）根据a是方程的解得到关于a、b的一个方程，再反而不好根据定解方程的概念列式得到关于a、b的一个等式，然后联立两方程求解即可； （3）根据定解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算求解即可． 【详解】（1）解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴，解得：． （2）解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程，它的解为， ∴①， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴②， ①②联立得∶解得：． （3）解：∵关于的一元一次方程和都是定解方程， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ． 题型七、一元一次方程整数解问题 26．已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负整数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 方程有非负整数解， 取，，． 或，时，方程的解都是非负整数． 则， 故答案为∶． 27．已知关于的方程，其中．求所有整数的值，使得该方程的解为正整数，并求此时方程的解． 【答案】当时，方程的解为或当时，方程的解为 【分析】本题考查解一元一次方程，先求得原方程的解为：，再利用要使为整数，且该方程的解为正整数，得出或，求得，再取值求解即可． 【详解】解：方程， 解得：， 要使为整数，且该方程的解为正整数， 则或， 则或， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，方程的解为，符合题意； 综上所述，当时，方程的解为或当时，方程的解为． 28．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【答案】(1)； (2)1或4 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 一、单选题 1．下列结论错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，解题的关键点在于严格依据等式的基本性质进行判断， 等式两边同时乘（或除以）同一个不为的整式，等式仍然成立；等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；根据性质逐项判断即可． 【详解】选项A、若，则（等式性质：两边同减同一数，等式仍成立），选项A结论正确，不符合题意； 选项B、若，则，（等式性质：两边同乘同一个非零数，等式仍成立），选项B结论正确，不符合题意； 选项C、若，，则（等式性质：两边同除同一非零数，等式仍成立），选项C结论正确，不符合题意； 选项D、若，时，则不一定成立，选项D结论错误，符合题意． 2．若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得出，代入代数式计算即可． 【详解】解：是一元一次方程 的解 ， ， 故选：A ． 3．已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（   ） A． B．3 C．8 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数．先解第一个方程求出x的值，再代入第二个方程求解a，据此进行分析计算，即可作答． 【详解】解：∵： ∴， ∴ ∴， ∵两个方程的解相同， ∴把代入，得， 即， ∴， ∴， 故选：A． 4．在解关于x的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 小佳将原方程中的“”看成了“”，得到错误方程并求解，代入错误解可求出m的值． 【详解】解：∵ 小佳看错后的方程为，且解得， ∴ 代入得， 即， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 5．把方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同时乘以分母3和2的最小公倍数6，注意每一项都要乘以6，且分子是多项式时应加括号，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴两边乘以6得：， ∴整理得， 故选：C． 二、填空题 6．已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先用含a的式子表示方程的解，根据方程的解为正整数得出求出正整数a的取值，然后求和即可． 【详解】解：解方程得， ∵a，x为正整数， ∴a的值为或， ∴所有正整数a的值的和是， 故答案为：． 7．若方程与关于方程的有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到该方程的解为，再根据题意把代入到方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； ∵方程与关于方程的有相同的解， ∴是关于方程的的解， ∴， 解得， 故答案为：． 8．已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．先把关于y的一元一次方程写成的解形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：， 故答案为：． 9．我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】（）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值即可； （）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值，然后把的值代入方程，解方程即可求解； 本题考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， ∴方程为， 解得， 故答案为：． 10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，，，，，填入如图所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了有理数运算和等式的性质，代数式求值；先求出所有数总和，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和中间正方形四个顶点上的数字之和，求出代数式的值． 【详解】解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为， ∵四个三角形的三个顶点上的数字之和减去中间正方形四个顶点上的数字之和等于 8 个数的和． 即， ， ， ， ， ， 故答案为：25． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 13．解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为得：； （2）； 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （3） 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为得：； （4） 去分母，得 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为得：． 14．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是关键．先根据分式的基本性质将分式变形为，然后去分母得，再解一元一次方程即可． 【详解】解：方程变形得， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． 15．已知是关于的方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义，把代入方程，即可得到一个关于m的方程，求得m的值，然后代入代数式即可求解，熟练掌握方程的解的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵是的解， ∴将代入方程得，， ∴． 16．关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 【答案】 【分析】把看成常数，解方程，再根据方程有正整数解，求出即可． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 两边同除以3，得． ∵是正整数，方程有正整数解， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 17．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键． （1）根据“立信方程”的定义解答即可； （2）根据，可得，再代入，即可求解； （3）先根据方程，得出的取值，再根据方程，得出的取值，最后根据相同的解，即可确定的值． 【详解】（1）解： ， 将，代入得， ， 故答案为：1； （2）解：∵ ∴ ∴，代入得， ， ， 故答案为：5； （3）解：由，得， ∵的值为整数， ∴为整数，且取正整数， ∴或或 当时，； 当时，； 当时，； ∵ ∴ ∴， ∵的值为整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∵方程的解也是关于的方程的解， ∴，． 18．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)9 (2)或 (3)2024 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可； （2）根据条件可得“美好方程”的另一个解为，再由 “美好方程”的两个解的差为8，建立关于n的方程，再求解； （3）求出方程的解为，再根据“美好方程”的定义，可得是方程的解，再把方程变形为，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得：； （2）解： ∵“美好方程”的一个解为n， ∴“美好方程”的另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为8， ∴， ∴n的值为或； （3）解：解方程得：， ∵方程和是“美好方程”， ∴是方程的解， ∵方程可变形为， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次方程的解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等式的基本性质 1 题型二、解一元一次方程--移项或去括号 3 题型三、解一元一次方程--去分母（整数） 7 题型四、解一元一次方程--去分母（小数） 9 题型五、一元一次方程的错解复原问题 11 题型六、一元一次方程新定义问题 15 题型七、一元一次方程整数解问题 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等式的基本性质 1．已知，则下面变形错误的是（    ） A． B． C． D． 2．下列等式变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么，其中正确的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．①③ D．②④ 3．根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 题型二、解一元一次方程--移项或去括号 5．解下列方程 (1) (2) 6．解方程： (1)； (2) 7．解方程 (1) (2) 8．解方程： (1)； (2)． 9．解方程： 题型三、解一元一次方程--去分母（整数） 10．解方程：． 11．解方程：． 12．解方程： 13．解方程：． 14．解方程： (1)． (2)． 题型四、解一元一次方程--去分母（小数） 15．解方程：． 16．解方程． (1) (2) 17．解方程：1． 18．解方程：． 19．解方程：． 题型五、一元一次方程的错解复原问题 20．下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：  第一步   第二步   第三步   第四步   第五步 (1)以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； (2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (3)请写出该方程的正确解答过程． 21．嘉淇解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为． (1)试求a的值； (2)求原方程的解． 22．某同学在解关于x的方程时，误将方程右边的“1”看成了“－1”，得到方程的解为． (1)求m的值； (2)正确地求出该方程的解． 题型六、一元一次方程新定义问题 23．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和1方程”，例如：方程和为“和1方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和1方程”，求m的值； (2)若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为n，求n的值； 24．如果方程的解为，则称该方程为“和谐方程”例如：，时的解是，且成立，所以是“和谐方程”． (1)判断下列方程是否为“和谐方程”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（）；②（）；③（）； (2)若关于x的方程（n≠1且n为实数）是“和谐方程”，求的值； (3)若关于x的方程（且）是“和谐方程”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 25．规定关于的一元一次方程的解为，则称该方程是定解方程， 例如：的解为，则该方程就是定解方程； (1)若关于的一元一次方程是定解方程，则的值为______； (2)若关于的一元一次方程是定解方程，它的解为，求，的值； (3)若关于的一元一次方程和都是定解方程，求代数式的值． 题型七、一元一次方程整数解问题 26．已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． 27．已知关于的方程，其中．求所有整数的值，使得该方程的解为正整数，并求此时方程的解． 28．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 一、单选题 1．下列结论错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（   ） A． B．3 C．8 D．15 4．在解关于x的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，则m的值为（     ） A． B． C． D． 5．把方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 7．若方程与关于方程的有相同的解，则的值为 ． 8．已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 9．我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，，，，，填入如图所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)． 12．解方程： (1)； (2)． 13．解方程： (1) (2) (3) (4) 14．解方程： 15．已知是关于的方程的解，求的值． 16．关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 17．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 18．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $