精品解析：河南省周口市商水县几校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中学业测评卷 九年级数学 注意事项： 1.此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2.请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 4. 如果反比例函数图象经过点，那么的值为（ ） A. B. 6 C. D. 5. 若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则对应边上的高的比等于( ) A 2∶3 B. 3∶2 C. 4∶9 D. 9∶4 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 7. 抛物线与x轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 9. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 一元二次方程解是：_____________． 12. 反比例函数y＝图象在第_____象限． 13. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 14. 抛物线的对称轴是直线________． 15. 若，且，则与的周长比为________ 16. 已知二次函数的部分x、y的对应值如下表： 表格 x 0 1 2 3 … y 0 3 4 3 0 … 则当时，x的取值范围是________． 三、解答题（共72分） 17 解下列方程： （1） （2）（用配方法） 18. 已知二次函数． （1）将函数化为的形式； （2）求出函数图像的顶点坐标和对称轴； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 19. 如图，在中，点、分别在、上，且，，，． （1）求的长； （2）若，求的长． 20. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为． （1）求m的值和反比例函数的解析式； （2）若点Q在反比例函数图象上，且点Q到y轴的距离为2，求点Q的坐标． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 22. 如图，在中，于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 已知二次函数的图象经过点 , ,． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求函数图象的顶点坐标； （3）当x在什么范围内时，？ 24. 观察下列等式，探索规律： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式： （1）写出第n个等式； （2）计算：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中学业测评卷 九年级数学 注意事项： 1.此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2.请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式（其中）是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数．检查各选项，只有选项B符合此定义． 【详解】解：二次函数要求自变量的最高次数为2，且系数不为0． 选项A：，的最高次数为1，是一次函数； 选项B：，的最高次数为2，且系数，符合定义； 选项C：，分母有未知数，不是二次函数； 选项D：，分母有未知数，不是二次函数； 故选：B． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 通过计算判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的识别，掌握顶点坐标公式即可快速求解． 根据二次函数的顶点式的顶点坐标为，直接对比求解． 【详解】∵， ∴顶点坐标为． 故选：B． 4. 如果反比例函数的图象经过点，那么的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，把点代入可得答案. 【详解】解：根据反比例函数的性质可得：． 故选：A 5. 若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则对应边上的高的比等于( ) A. 2∶3 B. 3∶2 C. 4∶9 D. 9∶4 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质分析判断即可. 【详解】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3， ∴△ABC和△A′B′C′对应边上的高的比为2：3. 故选A. 【点睛】熟知“相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高之比等于相似比”是解答本题的关键. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0， 解得k＞﹣1且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 7. 抛物线与x轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，明确二次函数与方程的关系是解题的关键． 先令化为一元二次方程，再根据一元二次方程，即可判断抛物线与轴交点个数． 详解】解：令，则， ∴， ∴抛物线与轴有2个交点， 故选：C． 8. 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 【答案】D 【解析】 【分析】分别把各点代入反比例函数 求出y1、y2、y3的值，再比较出其大小即可．也可以画出函数的大致图像，根据函数的增减性来判断． 【详解】解：∵点A（1，y1）、B（2，y2）、C（-3，y3）都在反比例函数的图象上， ∴， ∵-2<3<6， ∴y3< y2< y1． 故选D． 9. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则的值为（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：∵＝， ∴， ∵DE∥BC， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 10. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”直接计算． 【详解】解：∵将抛物线向左平移2个单位，得， ∴再向下平移3个单位，得， ∴得到的抛物线解析式为． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解是：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， ∴． 故答案：． 12. 反比例函数y＝的图象在第_____象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】直接根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：因为k=5＞0， 所以反比例函数图象分布在第一、三象限． 故答案为一、三． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 13. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项定义，设比例中项为，则 ，代入已知数值计算即可． 【详解】解：设比例中项为，则， ∵，， ∴； 故答案为：． 14. 抛物线的对称轴是直线________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴公式，对于二次函数，对称轴为直线． 根据二次函数的对称轴公式求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 15. 若，且，则与的周长比为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质. 根据且，可得的周长与的周长的比为，求解即可． 【详解】解：∵且， ∴的周长与的周长的比为， 故答案为：． 16. 已知二次函数的部分x、y的对应值如下表： 表格 x 0 1 2 3 … y 0 3 4 3 0 … 则当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过表格数据确定二次函数的对称轴和与x轴的交点，结合二次函数图象开口方向求解即可． 【详解】由表格可知，当和时，， 即二次函数图象与x轴交于点和． 当时，为最大值， 故二次函数图象开口向下，对称轴为直线． 因此，当时，x的取值范围是或． 故答案为：或． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程： （1） （2）（用配方法） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ， 18. 已知二次函数． （1）将函数化为的形式； （2）求出函数图像的顶点坐标和对称轴； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 （3）当时，y随x的增大而减小 【解析】 【分析】本题考查将二次函数一般式改为顶点式，求二次函数图象的顶点坐标和对称轴，二次函数的图像和性质．熟知二次函数的顶点式是解题关键． （1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即把一般式转化为顶点式； （2）根据顶点式的特点即得出函数图像的顶点坐标和对称轴； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由顶点式可知函数图像的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问3详解】 解：∵， ∴二次函数开口向上， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小， 即当时，y随x的增大而减小． 19. 如图，在中，点、分别在、上，且，，，． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键． （1）根据，得到，即可得解； （2）根据，得到，得到，代入计算即可； 【小问1详解】 解：， ， ，，， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 20. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为． （1）求m的值和反比例函数的解析式； （2）若点Q在反比例函数图象上，且点Q到y轴的距离为2，求点Q的坐标． 【答案】（1）， （2） 或 【解析】 【分析】本题考查函数图象和性质，求反比例函数解析式，一次函数，掌握相关知识是解决问题的关键． （1） 将交点坐标代入一次函数求出 ，再代入反比例函数求出解析式； （2） 利用到轴的距离为确定的横坐标，再代入反比例函数求纵坐标． 【小问1详解】 解：∵点 在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ 点坐标为 ； 设反比例函数为 ，将 代入得： ，解得 ， ∴反比例函数的解析式为 ； 【小问2详解】 解：∵点 到轴的距离为， ∴ 点的横坐标为 或， ∵点 在反比例函数 的图象上， 当时，， ∴ 点坐标为 ； 当时，， ∴ 点坐标 ． 综上所述 的坐标为 或 ． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 【答案】（1）每件衬衫应降价20元 （2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利是1250元 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键． （1）若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解． （2）列出商场平均每天赢利y与衬衫降价x之间的函数关系式，利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价x元， 根据题意得， 整理得， 解得，． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元． 答：每件衬衫应降价20元． 【小问2详解】 解：设商场平均每天赢利y元，则 ； ∵， ∴当时，y取最大值，最大值为1250． 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元． 22. 如图，在中，于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）3.6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明三角形相似，再结合相似三角形的对应边成比例求解线段长度。 （1）通过证明两个三角形有公共角且均为直角，利用“ AA”判定； （2）先由勾股定理求出斜边长度，再结合相似三角形的对应边成比例计算的长。 【小问1详解】 证明：∵ ， ， 又 ∵（公共角）， ； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得： ， ， ， 即， 解得． 23. 已知二次函数的图象经过点 , ,． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求函数图象的顶点坐标； （3）当x在什么范围内时，？ 【答案】（1） （2） （3）当 或 时， 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式,顶点坐标,利用二次函数图像求不等式的解集，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用待定系数法或交点式求解析式； （2）通过配方化为顶点式求顶点坐标； （3）根据二次函数的图像和开口方向确定 时 的范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数图像经过点 和 ， 可设其解析式为： 又图像经过点 ，代入得： 解得： ∴二次函数解析式为：； 【小问2详解】 解： ， ∴顶点坐标为 ； 【小问3详解】 解：令，得， 即 , 由于二次项系数 ，函数图象开口向下， ∴当或时，． 24. 观察下列等式，探索规律： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式： （1）写出第n个等式； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查数字规律探索和有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察已知等式，归纳出第 个等式的形式； （2）利用（1）的等式将每一项拆成两个分数的差，通过求和相消得到结果． 【小问1详解】 解：观察所给等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 由此归纳，第 个等式为： ； 【小问2详解】 解：根据（1）的结论， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $