精品解析：四川省南充市营山县城区片区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

营山县城区片区2025年秋九年级数学学情反馈卷 测试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 2. 方程的根是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，由题意推出，或，解方程即可求出的值，熟练掌握因式分解解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：C． 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，且， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意， 对称轴直线，故选项B不符合题意； 顶点坐标是，故选项C符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意． 故选：C． 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件．据此可得且，进而求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 5. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线是，即． 故选：D 6. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC． 【详解】解：依题意旋转角∠A′CA=40°， 由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°， 由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°． 故选A． 7. 若关于的一元二次方程的解是，则关于的方程的解为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用整体法的思想，找出关于的方程的解为或是解题的关键．由关于的一元二次方程的解是，，可得出关于的方程的解为或，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程的解是，， 关于的方程的解为或， 解得：或， 关于的方程的解为或2． 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 9. 抛物线经过三点，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质（包括抛物线的开口方向、顶点坐标及点到对称轴的距离与函数值的关系），解题的关键是掌握“开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大”这一核心规律； 先根据抛物线解析式确定其开口方向为向下、顶点坐标为，再分别计算三点与对称轴的距离，最后通过比较距离大小，得出对应函数值的大小关系． 【详解】解：由抛物线解析式可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为． 根据开口向下的抛物线性质：点到对称轴的距离越近，函数值越大． 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为． 因为，所以． 故选：D． 10. 如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与射线，交于点，，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点在的角平分线上， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由可得， ∴，故②正确； 由可得， ∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：B． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标特征．利用关于原点对称的点的坐标特征，即横坐标和纵坐标均互为相反数，建立方程求解和的值，再计算． 【详解】解：因为点与点关于原点对称，所以点的横坐标与点的横坐标互为相反数，即； 点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，即． 解方程，得，移项得， 所以． 因此． 故答案为：． 12. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系．根据方程根的定义和根与系数的关系，得到和，进而计算表达式的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， 即． 又∵，是方程的两个实数根， ∴（根据根与系数的关系）． ∴ ． 故答案为：． 13. 若抛物线的顶点在轴上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，根据顶点在轴上，得到顶点的纵坐标为0，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， 在x轴上， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是_____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据是一元二次方程的两个实数根，得出，据此列式，代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：设该方程的另一个根为， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形．过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，证明即可得解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵轴于点E，过点C作轴，线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 16. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有______． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键．依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故①不正确． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故②正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③正确． 由题意抛物线为， ，故④错误． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③． 三、解答题（共86分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （）根据因式分解法解方程即可； （）根据因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 18. 已知二次函数的图象与经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）指出它的对称轴和最值． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，最小值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，设二次函数表达式为，再将代入求即可得到答案； （2）由（1）中求得表达式化为顶点式即可得到答案． 【小问1详解】 解：二次函数图象经过点，， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知二次函数表达式为， 该抛物线的对称轴为直线， ∵，抛物线开口向上， ∴函数有最小值为． 19. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定与的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，可得出，然后根据证明即可； （2）证明是等边三角形，得出，根据全等三角形的性质得出，最后根据角的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转得，， ∴， 和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 20. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）作图见解析，点的坐标为， （2）作图见解析，点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平移作图，画旋转图形，三角形的面积； （1）根据平移变换的定义作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可． （3）连接，根据长方形的面积减去一个小正方形和三个三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，点的坐标为， 【小问2详解】 如图所示，即为所求，点的坐标为 【小问3详解】 如图，连接， ∴的面积为 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可． 【小问1详解】 证明：∵ ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：根据题意得， ∵即： ， ∴， 解得， ∴m的值为或． 22. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； （3）若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【答案】（1）方程为波浪方程，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； （3）根据根与系数的关系推出，根据波浪方程的定义得到，据此得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， 【小问2详解】 解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 【小问3详解】 解：∵一个波浪方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴这个波浪方程为． 23. 抖音直播带货的兴起，越来越多的商家都开启了抖音直播带货的模式．某商家在直播间销售某种商品，每件售价为90元，每周可卖200件．为了促销，商家决定降价销售，据市场大数据显示：销售单价每降价1元，每周可多卖20件，商品成本单价为70元．设商品销售单价为x（元），每周的销售量为y（件）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，每周销售该商品获利最大，最大利润是多少元？ （3）若商家在销售该商品时每周想要获得不低于4320元的利润，每周至少要销售多少件？ 【答案】（1） （2）当售价定为85元时，每周的销售利润最大，最大利润为元； （3）每周至少要销售240件． 【解析】 【分析】（1）根据题意直接列出函数解析式即可； （2）根据每星期的利润单件的利润×销售量列出函数解析式，并将二次函数化为顶点式即可出最大值； （3）当时，解一元二次方程，然后代入一次函数求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 设每星期的销售利润为w元，则 ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当售价定为85元时，每周的销售利润最大，最大利润为元； 【小问3详解】 当时，， 解得， ∵，函数图像开口向下， ∴， 当时，， 当时，， ∴每周至少要销售240件． 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的应用，一元二次方程的性质及应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 24. 如图1，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，连结，经观察分析，发现，从而可进一步证出． （1）如图2，将正方形绕O点逆时针旋转一定的角度，求证：，； （2）如图3，将正方形绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等、对应角相等即可得证 （2）与（1）同理求出，连接交于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得，，再求出，然后利用勾股定理列式计算即可求出． 【小问1详解】 证明：如图，交于点G，交于点H， 四边形和四边形均为正方形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， 在和中，，， ， ； 【小问2详解】 解：同（1）可证， ， 如图，连接交于G，则，， ∵正方形的边长为， ∴， ∴。 ∴， 中，， ∴． 25. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先求出点B，C的坐标，再利用待定系数法求解； （2）先求出直线的解析式，作轴于点D，交直线于点E，设点，用含p的二次函数表示出的面积，即可求解； （3）设点Q的坐标为，分点P在第一、二、四象限三种情况，利用平行四边形的性质列方程，即可求解 【小问1详解】 解：中，令，得， 令，则，解得， ，， 将，，代入， 得：，解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为． 如图，作轴于点D，交直线于点E， 设点，则， ， ， 当时，取最大值4， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：设点Q的坐标为，分三种情况， 当点Q在第一象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 同理，当点Q在第四象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 当点Q在第二象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四边形的性质等，第二问的关键是用二次函数表达出，第三问的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 营山县城区片区2025年秋九年级数学学情反馈卷 测试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是(　　) A. B. C D. 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 7. 若关于的一元二次方程的解是，则关于的方程的解为（ ）． A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线经过三点，则，，的大小关系正确的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与射线，交于点，，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 点与点关于原点对称，则的值为______． 12. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 13. 若抛物线的顶点在轴上，则________． 14. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是_____ ． 15. 如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是______． 16. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有______． 三、解答题（共86分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数的图象与经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）指出它的对称轴和最值． 19. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求度数． 20. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 22. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； （3）若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 23. 抖音直播带货的兴起，越来越多的商家都开启了抖音直播带货的模式．某商家在直播间销售某种商品，每件售价为90元，每周可卖200件．为了促销，商家决定降价销售，据市场大数据显示：销售单价每降价1元，每周可多卖20件，商品成本单价为70元．设商品销售单价为x（元），每周的销售量为y（件）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，每周销售该商品获利最大，最大利润是多少元？ （3）若商家在销售该商品时每周想要获得不低于4320元的利润，每周至少要销售多少件？ 24. 如图1，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，连结，经观察分析，发现，从而可进一步证出． （1）如图2，将正方形绕O点逆时针旋转一定的角度，求证：，； （2）如图3，将正方形绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，直接写出的长． 25. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $