精品解析：河北省石家庄市赵县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年河北省石家庄市赵县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念即可判断 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 已知⊙O的半径是4，OP=5，则点P与⊙O的位置关系是( ) A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据“点到圆心的距离大于半径，则点在圆外”即可解答． 【详解】解：∵⊙O的半径是4，OP=5，5>4 即点到圆心的距离大于半径， ∴点P在圆外， 故答案选C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小确定点与圆的位置关系． 3. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴方程无实数根． 故选C． 4. 如图，是 的直径， 是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，根据垂径定理即可进行判断，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 【详解】解：∵是 的直径， 是弦，，垂足为M， ∴，，， 无法判断， 故选：C 5. 抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 6. 如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ） 解：① ② ③ ④ ，⑤ A. ② B. ③ C. ④ D. ⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．根据配方法的步骤，首先两边同时加上 ，进行判断即可． 【详解】解：① ② ∴嘉淇在第②步的时候，开始出现错误； 故选A． 7. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ） A. ﹣20m B. 10m C. 20m D. ﹣10m 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，把y=﹣4直接代入解析式y=﹣x2 解得x=±10， 所以A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 即可得水面宽度AB为20m． 故选C. 【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用． 8. 如图，有一块圆形的花圃，中间有一块正方形水池．测量出除水池外圆内可种植的面积恰好，从水池边到圆周，每边相距．设正方形的边长是，则列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的面积-正方形水池的面积=72m2列方程即可． 【详解】解：根据题意可得 ， 故答案为． 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意中的等量关系列出方程． 9. 如图，已知点，，将线段 绕点M逆时针旋转到，点A与是对应点，则点M所在象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，准确分析作图是解题的关键． 作出对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，连接、，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，交点即为点M，由图可得，点M在第四象限． 故选：D 10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（　　） A. 5步 B. 6步 C. 8步 D. 10步 【答案】B 【解析】 【详解】勾股定理知，斜边是=17，利用切线长定理知， 半径==3，直径是6.故选B. 11. 已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（　　） A. y1+y2＞0 B. y1﹣y2＞0 C. a（y1﹣y2）＞0 D. a（y1+y2）＞0 【答案】C 【解析】 【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：①a＞0时，二次函数图象开口向上， ∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|， ∴y1＞y2， 无法确定y1+y2的正负情况， a（y1﹣y2）＞0， ②a＜0时，二次函数图象开口向下， ∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|， ∴y1＜y2， 无法确定y1+y2的正负情况， a（y1﹣y2）＞0， 综上所述，表达式正确的是a（y1﹣y2）＞0． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用了二次函数的对称性，关键要掌握根据二次项系数a的正负分情况讨论． 12. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上.再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上.将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，若点，，则点的横坐标为（　） A. 51 B. 56 C. 59 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标变化规律问题，根据题意，正确得出点的横坐标是解题的关键； 利用勾股定理求出 的长，数形结合求得点 ，，，，的坐标，从中得出点的横坐标，再求点的横坐标即可． 【详解】解：在中，，， ， 的周长为：， 由题知，点，，，， 由题意及旋转的规律可知： 当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上， 横坐标规律为：当n为偶数时，横坐标为：6n， 当n为奇数时，横坐标为：， 是奇数， 点的横坐标为：， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 设x1，x2是方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．若x1+x2＝3，则x1x2＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据已知可得，进而即可求解． 【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根， ∴，， ∵x1+x2＝3， ∴， ∴， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 14. 如图， 的半径为5， 为弦，若，则 的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，等边三角形，由圆周角定理可得 是解答本题的关键. 连接 ， ，则，再证明，可得是等边三角形，即可求解. 【详解】解：如图；连接 ， ，则 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∵ 的半径为5 ∴ 故答案为：5. 15. 如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为_____ 米． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与x轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时， ， ∴，（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 16. 如图，在 中，弦，点C在 上移动，连接 ，过点C作，交 于点D，则长的最大值为 ___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，利用垂线段最短得到当时， 最小，根据垂径定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当 的值最小时，的值最大， 时， 最小，此时D、B两点重合， ∴， 即的最大值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共7分． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法与求根公式是解题的关键． （1）方程先去括号后，再移项、合并同类项，用因式分解法进行解方程即可； （2）将方程去括号化为一般式，根据可知方程由两个不等根，用求根公式进行求解即可． 【小问1详解】 解： 令或 解得或； 【小问2详解】 解： 解得：或 ． 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，点B的坐标为，点A是点关于y轴的对称点． （1）在平面直角坐标系中标出点A，写出A点的坐标_____，并连接； （2）画出 绕着点O顺时针旋转 的图形． 【答案】（1），图形见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据轴对称变换得出A点位置进而得出答案； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可． 【小问1详解】 解：∵点A是点关于y轴的对称点， ∴点A的坐标为； 如图，线段即为所求； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 19. 如图， 是 的直径，弦于点E，点P在 上，． （1）求证：； （2）若，求 的半径． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定： （1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，再由条件可得，然后可得； （2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 设，则， 在中：由勾股定理得， 在中：由勾股定理得， ∴， 解得 ∴ 的半径为9． 20. 一次函数与二次函数的图象交于和两点，且当时，二次函数取得最大值． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，二次函数y的取值范围是 ； （3）当自变量x的取值范围是 时，一次函数的值大于二次函数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值，二次函数与不等式（组），解题的关键是： （1）把和分别代入中解得，，所以求得，，用顶点式表示出来二次函数的解析式为，把代入上式得，求出二次函数解析式； （2）先求出函数的最大值，再求出两个端点值即可得解． （3）根据交点 、 的坐标，利用函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：把和分别代入中， 解得：，， ，， 二次函数的图象经过和两点，且当时，二次函数取得最大值， ，解得， 二次函数解析式为； 【小问2详解】 ， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 当时有最大值是9， 当时，， 当时，， 当时，二次函数的取值范围是． 故答案为：． 【小问3详解】 一次函数与二次函数的图象交于和两点，抛物线开口向下， 当自变量 的取值范围是时，一次函数的值大于二次函数的值． 故答案为：． 21. 如图，在 中，，，将 绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接 ，交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证出，即可得证． （2）根据条件求出的度数，然后根据四边形内角和求出的度数，最后用的度数即可． 【小问1详解】 解：证明：∵ 绕点B按逆时针方向旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【小问2详解】 解：由旋转可得：， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是解题关键． 22. 阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）用配方法因式分解：； （3）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】（1）4 （2） （3）当时，多项式有最大值，最大值为20 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将35化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：4； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为20． 23. 近年来，电商平台带货主播成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． （1）若每本降价10元，每天可销售______本书，每天销售获利为______元； （2）若降价销售该书，每天的利润为6000元，求该书的销售单价． 【答案】（1）， （2）20元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据销售单价每降低5元，每天可多销售100本即可求得； （2）根据“总利润每千克利润 销售量”列方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． ∴降价10元，平均每天可销售： 每天销售获利：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设该书的销售单价为 元， 依题意有： 化简得： ， 解得：， ∵， ∴； 答：该书的销售单价20元． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． 第二象限内有一点P在抛物线上运动，交线段 于点E． （1）求抛物线的解析式及点A，C的坐标； （2）设的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及S的最大值； （3）是否存在点P，使点E是的中点． 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】（1），， （2），最大值为 （3）不存在这样的点P，使得点E为中点 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； (2) 先确定直线 的解析式为：．设，则，则， 根据题意，得到三角形的面积为，利用二次函数的最值解答即可． (3)不妨设，则，代入，构造方程，利用根的判别式解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴，， 根据题意， 解得， 故． 【小问2详解】 解：过点P作轴，交直线 于点M， 设直线 的解析式为， 将，代入直线 的解析式得： ， 解得， ∴直线 的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为． 此时． 【小问3详解】 解：不妨设，则， 代入，得， 整理，得， 由， 故方程无实数解， 故不存在这样的点P，使得点E为中点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求三角形的面积的最值，一元二次方程根的判别式应用，面积分割法，熟练掌握抛物线的最值，根的判别式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河北省石家庄市赵县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知⊙O的半径是4，OP=5，则点P与⊙O的位置关系是( ) A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 3. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 4. 如图， 是的直径， 是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 6. 如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ） 解：① ② ③ ④ ，⑤ A. ② B. ③ C. ④ D. ⑤ 7. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ） A. ﹣20m B. 10m C. 20m D. ﹣10m 8. 如图，有一块圆形的花圃，中间有一块正方形水池．测量出除水池外圆内可种植的面积恰好，从水池边到圆周，每边相距．设正方形的边长是，则列出的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知点，，将线段 绕点M逆时针旋转到，点A与是对应点，则点M所在象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（　　） A. 5步 B. 6步 C. 8步 D. 10步 11. 已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（　　） A. y1+y2＞0 B. y1﹣y2＞0 C. a（y1﹣y2）＞0 D. a（y1+y2）＞0 12. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上.再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上.将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，若点，，则点的横坐标为（　） A. 51 B. 56 C. 59 D. 63 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 设x1，x2是方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．若x1+x2＝3，则x1x2＝_____． 14. 如图，的半径为5， 为弦，若，则 的长为________． 15. 如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为_____ 米． 16. 如图，在中，弦，点C在 上移动，连接，过点C作，交于点D，则 长的最大值为 ___________． 三、计算题：本大题共1小题，共7分． 17. 解方程： （1）； （2）． 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，点B的坐标为，点A是点关于y轴的对称点． （1）在平面直角坐标系中标出点A，写出A点的坐标_____，并连接； （2）画出绕着点O顺时针旋转 的图形． 19. 如图， 是的直径，弦于点E，点P在上，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 20. 一次函数与二次函数的图象交于和两点，且当时，二次函数取得最大值． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，二次函数y的取值范围是 ； （3）当自变量x的取值范围是 时，一次函数的值大于二次函数的值． 21. 如图，在 中，，，将 绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接 ， 交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）用配方法因式分解：； （3）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 23. 近年来，电商平台带货主播成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． （1）若每本降价10元，每天可销售______本书，每天销售获利为______元； （2）若降价销售该书，每天的利润为6000元，求该书的销售单价． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． 第二象限内有一点P在抛物线上运动，交线段 于点E． （1）求抛物线的解析式及点A，C的坐标； （2）设的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及S的最大值； （3）是否存在点P，使点E是的中点． 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $